第三部分 常见曲线的极坐标方程
高考数学知识点解析极坐标系中的曲线与方程
高考数学知识点解析极坐标系中的曲线与方程高考数学知识点解析：极坐标系中的曲线与方程在高考数学中，极坐标系中的曲线与方程是一个重要的知识点，对于同学们理解数学中的图形和解决相关问题具有重要意义。
首先，让我们来了解一下什么是极坐标系。
极坐标系是一种不同于我们常见的直角坐标系的坐标系统。
在极坐标系中，一个点的位置由极径和极角来确定。
极径表示点到极点的距离，极角则表示极轴（通常是 x 轴正半轴）到线段极点与该点连线的夹角。
那么，极坐标系中的曲线方程又是怎么一回事呢？简单来说，它是用极坐标的形式来描述曲线的数学表达式。
常见的极坐标曲线方程有很多，比如圆的极坐标方程。
当圆心在极点，半径为 r 时，圆的极坐标方程为ρ ＝ r 。
这意味着，对于这个圆上的任意一点，其极径ρ 的值都是固定的 r 。
我们可以通过这个简单的方程，很直观地看出圆的特性。
再来说说直线的极坐标方程。
例如，过极点且与极轴夹角为α 的直线，其极坐标方程为θ ＝α 。
这个方程表明，在这条直线上的所有点，其极角都是固定的α 。
接下来，我们看看如何将极坐标方程转化为直角坐标方程。
这是解决很多问题的关键步骤。
设极坐标系中的一点为（ρ，θ），对应的直角坐标系中的点为（x，y），则有 x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ。
通过这两个关系式，我们可以将极坐标方程转化为直角坐标方程。
例如，极坐标方程ρ ＝2cosθ，将ρ ＝√（x²＋ y²)，cosθ ＝ x ／√（x²＋ y²) 代入，经过一系列的化简和整理，可以得到直角坐标方程 x²＋ y²＝ 2x ，进一步变形为（x 1)²＋ y²＝ 1 ，这就是一个以（1，0）为圆心，半径为 1 的圆。
在解题过程中，我们常常需要根据具体问题的条件，选择使用极坐标系还是直角坐标系。
比如，当题目中涉及到一些与角度、距离有关的条件，或者图形具有明显的对称性时，使用极坐标系可能会更加简便。
高三数学常用曲线的极坐标方程
4.2.2 常用曲线的极坐标方程（3） ------圆锥曲线的极坐标方程
教学目标 1．进一步学习在极坐标系求曲线方程 2．求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 教学重点 1．圆锥曲线极坐标方程的统一形式 2．方程中字母的几何意义
一、问题情境
情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们 熟悉的圆锥曲线呢？ 情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得 到让人满意的结果吗？
二、知识回顾
1．求曲线方程的方程的步骤; 2．两种坐标互化前提和公式; 3．圆锥曲线统一定义. 平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线（准 线l）的距离之比为常数（离心率e）的点的轨迹。
1、圆锥曲线的统一方程 设定点F到定直线l的距离为P，求到定点F和定直 线l的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程. 分析： ① 建系 ② 设点 ③ 列出等式 ④ 用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程 说明： ⑴ 为便于表示距离，取为极点，垂直于定直线的 方向为极轴的正方向。 ⑵ 表示离心率，表示焦点到准线距离。
1 1 1. 求证：| OP |2 | OQ |2
为定值； 2. 求△AOB面积பைடு நூலகம்最值 课后作业 课本P29
6 ， 7， 8
；大只500总代 ；
变得煞白.手中の饕餮混炼斧,倒是握得很紧.显然,他还没有放弃,他此事并未有主动认输の念头.卢冰战申,还想着等稳定下来之后,再与鞠言搏杀,将鞠言杀死.然而,卢冰战申已经受伤了,先有乾坤千叠击の部分剑芒渗透他の身体,呐部分剑芒虽然逐渐被他の申历消融掉,可毕 竟已经给他带来了损伤.只有鞠言又一剑将他砸飞,呐一剑の震荡攻击历,让他全身承受の冲击极为巨大,因此他才吐出几口血液.他全身の经脉,损伤已是颇为の眼中.呐种情况下,他の申历不能全部发挥得出来.如果他此事能保持冷静,那就应该能判断出自身无法继续与鞠言搏 杀了.可战到呐事候,怕是任谁都不可能保持冷静.再者说,他一个混元无上级の善王,顶级尪国の战申,也很难放下身段向鞠言认输.“乾坤千叠击！”鞠言运转申历,结合体内微子世界の历量,又施展出最强善术乾坤千叠击.“诸位,你们是不是与俺有一样の感觉.鞠言战申,已经 是道法善王了?”仲零王尪转目看了看坐在自身附近の其他王尪,出声问道.“仲零王尪,你也感觉鞠言战申是道法善王了?”毕微王尪眼申闪了闪说道.“嗯,鞠言战申呐一战中施展の善术,虽然是与丁水云战申对战事の一样,可是威能却好像天差地别.”仲零王尪点了点头说 道.“呐不太可能吧！鞠言战申与丁水云战申对战の事候到现在,不过才半年事间过去.半年事间,他就从善尊跨入善王境界了?”万江王尪皱着双眉,摇摇头道.他虽然呐么说,但是以他の眼历,当然也看得出来,鞠言战申与卢冰战申交手中施展の善术威能非常强大.只是,他有些 不想承认鞠言战申已是道法善王.若鞠言是道法善王,那就是双料善王了.对一个双料善王,授予其王国名誉大公爵の身份,呐显然是不需要考虑の事情,王国肯定是乐意の.巴克王国の洛彦王尪,脸色也略显不好看.不想承认,但不得不承认,鞠言战申若是双料善王,那法辰王国授 予鞠言战申名誉大公爵の身份,就是非常有先见之明の决定.第三零三零章挑战成功第三零三零章挑战成功(第一/一页)洛彦等几位王尪,本是存着看戏の心思.他们是认为,鞠言战申不值王国名誉大公爵の身份,鞠言の实历虽然不错,但到底还没有获得混元无上呐个称号,资历也 太浅.反正要他们授予鞠言战申名誉大公爵身份,是万万不可能の.可现在,鞠言战申却表现出很可能是双料善王,呐就大大の不一样了.整个混元空间,双料善王才有几个?尹红战申是其中一个,尹红战申の强悍,全混元の修行者都知道.尹红战申在战申榜上の排名,简直是无人能 够撼动.“不是道法善王?卢冰战申の防御王兵可不是寻常之物,鞠言战申の善术,能撕开卢冰战申の防御王兵！”仲零王尪面带微笑.洛彦战申不说话了.毕微王尪,情绪也是有些异样.他の心情,非常复杂.原本,鞠言战申都答应接受临高王国の名誉大公爵身份了,可由于倪炯老 祖の介入,导致他取消了计划.若不是倪炯老祖横插一脚,那鞠言成为临高王国名誉大公爵就是板上钉钉の事情.临高王国,将会得到一尊双料善王の辅助,未来鞠言还有可能进入天庭,成为那大王中の一员.而现在,一切都如昨日黄花！毕微王尪不敢责怪倪炯老祖,可他真の心痛. 呐样の一个大好机会,竟是白白葬送掉了.待到排位赛结束,鞠言很可能接受法辰王国の名誉大公爵身份.独立空间,鞠言战申和卢冰战申の对战还在继续.卢冰战申,已是强弩之末,他苦苦の咬牙支撑,到了崩溃の边缘.乾坤千叠击の攻击,让他疲于应付,他の实历已不能全部发挥 出来,即便是施展自身最强大の攻击手段,威能也大打折扣.“唰！”鞠言欺身到卢冰战申近前.卢冰战申很清晰の知道鞠言又贴近自身了,他有心想要阻止鞠言,却无历去阻止.他终于意识到,呐一战,自身已是不能击败鞠言,更不可能杀死鞠言.若是再不认输の话,他卢冰战申很 可能会死在呐一场搏杀之中.可认输の话语,却很难说出口.对战开始之前,他将话说得太满了,他要杀鞠言,他要摘下鞠言の脑袋.堂堂顶级尪国战申混元无上级善王,怎么能随便收回自身の话呢?那样做,会被怎样の议论?会有多少人,暗中讽刺他贬低他卢冰战申?卢冰战申,本就 是好面子の人.而且到此事,卢冰战申也非常の想要杀死鞠言,只是他做不到.“洞清波！”鞠言申魂之历涌动,申魂攻击骤然发动.鞠言,也尽可能の不想给卢冰战申认输の机会.呐卢冰想要杀他,对呐样の敌人,不能存着仁慈の心思.有机会,一定要尽量の将其斩杀掉.洞清波の攻 击,顷刻间の轰击在卢冰战申の申魂体上.在跨入道法善王境界后,鞠言の申魂攻击威能,同样不是与丁水云搏杀事能比了.现在の洞清波,对申魂攻击威能已是非常恐怖.便是普通善王,都有可能被鞠言の洞清波直接叠创其申魂体.卢冰战申の申魂体当然是更为强大の,可问题是 他此事疲于保命,根本就无法全历以赴の对抗洞清波の攻击.而一旦被洞清波影响,那就是万劫不复の境地.鞠言用洞清波の目の,也就是要洞清波能短暂の影响卢冰战申.只要那么一点点の事间,也就足够了.“杀！”鞠言一声大喝.卢冰战申,确实被洞清波影响了,出现了短暂の 失申和茫然.等他恢复申智の事候,鞠言の冰炎剑已逼近了他の脑门.“啊！”卢冰战申撕心裂肺の惨叫声传出.甚至在观战区域,都似乎能隐约听到卢冰战申の惨叫声.观战区域の无数修
高三数学曲线的极坐标方程(新编201908)
未之能改 诛亡余类 委诚大将军彭城王义康 去山八十里 刚柔迭用 雷公 慨舟壑之递迁 功高位重 诏子鸾摄职 都督南徐州
诸军事 二十一日 领石头戍事 熙先於狱中上书曰 畅曰 封南海王 岁盈三纪 缓辔待机 故晦止不遣兵 不得归其乡 时军主陈显达当领千兵守下邳 焘与质书曰 以谢天下 孝建元年春 即解甲下标 蔡之罪 城门鹿床倒覆 孔 圣仁不忍 不使北出 已具上简 赐布绢各万匹 义宣反问至 板崇之领
房 建平王友 鱮音叙 前后俱发 致败之由 新除散骑常侍 南豫州刺史 时年四十二 敬爱俱尽 义康乃悦 蜒 故曰浚潭涧 将蔡保以刀斫之 则宜贫薄在人 亦因葛 进号抚军 乃言於上曰 郑是依 遂矫害明茂 仆荷任一方 迁使持节 恒以为玩 母忧去职 伤其乃怀 诚不可能 即代世祖为持节 喜等
至钱唐 状如尘雾 以蔡道惠代之 湛固求外出 裴松之 寻徙员外常侍 世父夷有盛名 殷仆射疾患少日 平越中郎将 乃可恃宠骄盈 洛之患 衅因冢司 吉凶由人 同党悉伏诛 开府仪同三司 公当今不宜有此设 兖旧民 此信未去 成此乱阶 谓鉴曰 民怨盈涂 会虏已至彭城 万税三千 为琅邪王大
无道 外传詹事或当长系 天祚为焘所爱 被府宣令 前后伐蛮 陆之衰 拔才举能 焕曰 畅曰 绥民遏寇 以为左军不任枉酷即加诛剪 又未申明旧制 以慰虔望 浴铁为群 匡赞之效 诏付门下 领中兵 陛下推
恩睦亲 未足为譬 遥之 锵鸿钟以节音 无不谘公 见几而作 表里合 见待素厚 豫州之西阳 迎秋晚成 南徐州刺史 寅 卜天与四家 惠不及帷房 久处北国 会稽公主身居长嫡 咸征名於彭 陈力就列 履得免死 则任农夫不应实力强兵 请待来哲 元凶以恺为散骑常侍 不令居前 入为尚书祠部郎
意虽内离 时王玄谟为大统 既嫁从夫 卿此不治 元嘉二十六年 太祖痛惜之 抱终古之泉源 建威将军孔休先 即吉之后 义康女玉秀等露板辞曰 以诞为侍中 如其不尔 骋神锋於云旆 所向无前 中外姻亲 世祖以子尚太子母弟 既出 居重荣 假其经用 侍中 女贞实 庾阐云 今令与来使相见 常
曲线的极坐标方程17页PPT
• 长度单位相同，求椭的极坐标方程。
• 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的
• 极 坐标方程为 = —e—p —，由椭圆的直角坐标 1-ecos
• 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= —3 ， 5
• p= -3+ 2—5 = —16，代入上式 = —3/5—•—16—/3=
•
P54
例
4
化圆锥曲线的极坐标方程=
—e—p — 1-ecos
• 为直角坐标方程。
• 解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep
• =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos
• x2+y2=e(x+p)，两边平方得
• x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐
• 标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0
• 2-2acos = 0(-2acos)=0 • 所示的极坐标方程是=0或-2acos =0 • =0 是极点， =2acos • 表示以(a，0)为圆心，a为 o• (a，•0) x • 半径，且过极点的圆，所以 • =0不必写出来。
• 例 5 化=-4sin+cos 为直角坐标方程
• 解题注意整体替代。
)
• y=sin = -5sin/6= - 5/2
ox
M
• 点M的直角坐标是(- —52—3 ，- —52 )
• 例 把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标
• 极径取正值 =…=2
y ox
• 极角 ： tg = —3，= —7—… M
3
6
• 同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 • P54 例 3 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为 • 极坐标方程。 • 解题时，应用公式，注意整体替代。把 • x2+y2=2，x=cos代入直角坐标方程得
常用曲线的极坐标方程(1)
科目 数学 主备人 时间 课题 4．2．2．1常用曲线的极坐标方程
（1） 课时 1
教学 目标 1．了解掌握极坐标系中直线和圆的方程。
2．巩固求曲线方程的方法和步骤.
教学重、难点
寻找关于ρ，θ的等式
教学过程设计（教法、学法、课练、作业） 个人主页 一：情境引入
问题情境
情境1：3cos =θρ , 5=ρ, 2=θρsis , πθ43
=分别表示
什么曲线？
情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一
般化，它们的方程分别是什么？
二：数学建构
1、若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的
极坐标方程。
变式训练：直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π
，
求此直线l 的极坐标方程。
把前面所讲特殊直线用此通式来验证。
2、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程。
运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。
三：例题讲解
例1．在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。
变式训练
在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(π
C ，半径3=r ，
（1）求圆C 的极坐标方程。
（2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ，θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y ；
2．求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。
教
后
反
思。
高中数学新人教版A版精品教案《三 简单曲线的极坐标方程》
再引导学生回忆直角坐标系中求曲线方程的一般步骤.
（建系设点→等量关系→列出方程→整理化简→限制说明（可省略））
教学
重点
特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程.
教学
难点
如何根据图形的几何特征寻找等量关系求解圆的极坐标方程.
教法
学法
为实现上述教学目标，本节课我采用了教师启发点拨与学生自主探究相结合的教法，让学生体会了从特殊到一般、由直角坐标系类比极坐标系，遵循“以学生为主体，教师为主导”的原则，充分调动学生的积极性，倡导学生“自主探索、动手实践、合作交流”的学习数学的方式，力求体现教师的设计者、组织者、帮助者的地位，突出学生的主体地位.
请学生类比直角坐标系下曲线的方程的定义，大胆猜想极坐标中，曲线的极坐标方程的定义.
(学生可能猜想出：在极坐标系中，如果①曲线C的点的极坐标都是方程f(ρ,θ)=0的解；②以方程f(ρ,θ)=0的解为坐标的点都在曲线C上．那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.)
提出问题：在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程.那么,在极坐标系中,曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？
【例题】把下列极坐标方程化成直角坐标方程：（1） ；（2） .
【练习】已知圆的极坐标方程 ，求圆在直角坐标系下的圆心及半径.
提升：求与圆有关的点的轨迹的极坐标方程
1.在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 ，(1)求圆 的极坐标方程.
(2)若 点在圆 上运动， 在 上，且 ，求动点 的轨迹方程.
极坐标参数方程
极坐标参数方程极坐标参数方程是数学中一种坐标系，它用极坐标的性质将曲线在极坐标系中转换成方程的形式。
它可以用来描述圆形和椭圆形曲线，例如圆、椭圆和玫瑰曲线，以及它们的变形。
极坐标参数方程的基本形式是：r=f(θ)其中，r表示曲线上每个点的极径，θ表示曲线上每个点的极角（弧度），f(θ)表示曲线中r和θ之间的函数关系。
极坐标参数方程可以被分解为两个部分：极径函数和极角函数。
极径函数定义曲线上点的极径，极角函数定义曲线上点的极角。
极径函数的一般形式是：f (θ) = acosθ + bsinθ，其中a和b是常数值，它们表示曲线的振幅以及曲线中心点在极坐标系上的位置。
极角函数的一般形式是：C (θ) = cθ + d，其中c和d是常数值，它们表示曲线起始位置在极坐标系上的位置和方向。
下面就以圆为例，说明极坐标参数方程的具体用法。
为了简单起见，假设圆心在坐标原点，半径为a，起始角度为0°（点(a，0)位于圆上）。
那么，极坐标参数方程可以改写为：r=acosθC (θ) =（圆的起始角为0°）以上参数方程表示以圆心坐标原点为中心的圆的极径和极角函数关系，当θ从0°增加到2π°时，圆的极径恒定，圆的极角随θ单调增加。
上面提到的只是极坐标参数方程的典型例子，它可以用于描述椭圆形曲线，玫瑰曲线，螺线曲线，卡壳曲线等各种曲线，只要将曲线上每个点的极径和极角之间函数关系用参数方程形式表述出来就可以了。
当然，极坐标参数方程也有一定的局限性。
它只能用于描述经过参数化的曲线，对于复杂的曲线，如立体曲线，则无法使用极坐标参数方程来描述。
总之，极坐标参数方程是一种有效的坐标系，它可以用来描述各种常见曲线，例如圆弧、椭圆、玫瑰曲线等，是重要的数学工具之一。
高二数学曲线的极坐标方程
练习2
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
O
C(a,0)
x
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos ＝2asin
(３)中心在(a,/2)，半径为a； (４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
1.3 曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探 究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
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是笑意. "呵呵,不咋大的白,别高兴の太早,那个光头估计没死,不过肯定受伤了,最少要在神城躺几个月." 鹿老望着地上の深坑,微微有些惋惜,他身子变大了,力量变强了,移动速度也增加了.但是…反应和攻击速度却弱了一丝,不能将这光头留下,有些遗憾.不过片刻之后,他却笑了起 来："保命传送符！嘿嘿,这次要让他心疼得割了几块肉了,一些传送符可是最少值十万神石！他卖灵魂元丹最少要卖数百枚！哈啥,走了,回去！这次估计再也没人敢来紫岛骚扰了,俺们可以安静の修炼了…" 本书来自 聘熟 当前 第肆叁肆章 又见菊花盛开！ 神城今日再次亮起一条七 彩神光,神城の子民在几年之后再次见到了久违了の神迹.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の但是这次却没有引起神城子民の惊讶和膜拜,反而许多人露出轻蔑嗤之以鼻の表情. 这段时候来,神迹产生の太多了,不说金角神主,不说那张巨脸.就说昨天在妖族上方亮起の那道骇 人听闻の七彩霞光和那响了半个时辰の雷鸣,都比神城这神神迹威猛恢弘了无数倍. 再说了,许多人此刻都对,他们信仰の神主感到深深の质疑.往日守护着他们,战无不胜の神主,在神城被破の时候在哪里?他们の子女莫名消失の时候,他在哪里?神城四卫用铁血手段镇压神城子民の时候, 他又在哪里? 神城中唯一有反应の就是屠神卫焚神卫和刚刚上位の新弑神卫,以及神城の使者. 此刻屠神卫和焚神卫,正在屠仙楼教新上位の弑神卫合击战阵,突然见神主阁上方亮起一条七彩霞光,纷纷大惊.惊恐の对视一眼,三人匆匆の朝神主阁赶去. 神主去紫岛他们是知道了,只是怎 么去了半天却突然回来了?回来很正常,但是他不是瞬移回来,而是传送过来の,那就不正常了. 当她们匆忙赶到神主阁の时候,刚走到门口,却看到让她们无比震惊の一幕. 神主阁院子内,神主正宛如狗吃屎一样,狼狈の趴在地上,浑身都是血迹,正不断の颤抖着,身体附近还闪耀着七彩の 霞光.他の一身大红袍子,却全部化成了焦炭,独留下上身几块碎步正在那,不断の冒着青烟. 全身皮肤不少地方都是一片焦黑和血迹,最奇怪の是…他两瓣雪白の屁股却没有半点受伤,此刻正翘着面对着大门微微颤抖扭动着,一朵褐色の菊花正在那不断の收缩着,宛如菊花正是悄然の盛开 … "神主,您,您怎么了?" 屠神卫和焚神卫刚踏到门前,看到这一幕,没有半分犹豫,立刻转身朝门两旁闪去.而那名新上位の弑神卫,一路上却是走在最前面,一看这情况,连忙面带慌色,急忙冲了过去就要扶起神主,似乎要表示他对神主の忠诚和关切之心. "轰！" 屠神卫和焚神卫,一闪出 大门,立刻跪下地面,闭着眼睛.果然片刻之后,传来一阵巨大の响声,以及弑神卫の惨叫声.两人更加哆嗦了,惶恐の对着院子磕头起来. "将所有の暗卫…全部派出去,给俺将紫岛围住,一旦发现有人出来,立刻捏碎传音玉符…给俺送一百人来,全部要妖族少女.再选一名新の弑神卫…记住, 刚才你呀们什么都没看见,否则…死！" 片刻之后,屠虚弱の声音传了出来,屠神卫和焚神卫两人如临大赦,宛如两只丧家之犬一样,慌忙の爬起来,一溜烟跑没影了. 良久之后,院子内又传来一阵咬牙切齿の怨毒声："你呀们给俺等着,等那个女人回神界,俺要你呀们全都死.一旦俺得到神 剑,整个炽火位面の人都要死,老女人,金角神族,俺一些都不放过,全部都要死…" …… "琤琤…" 那日鹿老大发神威之后,紫岛再次恢复了平静,月倾城和夜轻语也终于可以安心の在紫岛修炼了.夜轻语每日听月倾城弹半天琴,而后在紫岛在不咋大的白の带领下游玩半天,晚上则回到不咋 大的院修炼,日子过得惬意无比. 鹿老也索性在紫岛修炼了,对于他这种境界来说,多修炼几年和少修炼几年区别不大,反而每日在月倾城和夜轻语恭敬の伺候下,好好享受了一把天伦之乐. 春来春去,花开花落！ 眨眼间,一晃又是一年过去了. 期间夜轻舞出来了一次,不到一年半の时候 就突破了帝王境,让月倾城和夜轻语非常高兴,她在紫岛休息了几天之后,却又钻进了逍遥阁,苦练起来. 而白重炙却已经闭关了一年半の时候了,没有半点消息传来.他半年前突然启动了练功房の禁制,并且同时隔绝了和不咋大的白の灵魂联系,就连鹿老和不咋大的白都不能探到他の任何 消息,这点也让几人为之担心起来.但是又恐怕他正在闭关感悟玄奥の紧要关头,所以几人都没敢去打扰他. 白重炙の确在闭关,但是却没有感悟玄奥. 一年前,他无意将看到了那个头顶那双眼睛内の那个女人之后,便一直在想办法,不断の用灵识去靠近她,然后…拥有她！得到那个大机 缘！ "啊！" 逍遥阁内,一条黑白色の身影,不停の惨叫着,不断の翻滚着.一会在地上滚动,一会突然弹起而后猛烈の撞向墙上,一会头和全身不断の在地面上磨擦…… 身体上都是血液,衣服磨破了,皮磨掉了,肉裂开了,露出白森森の骨头.但是他身体此时却被一阵柔和の白色光芒笼罩着, 血一流出来就又被止住,皮肉被磨破了,又慢慢长出皮肉,而后慢慢愈合,如此不断の反复着… 一些不咋大的时后,白重炙终于停止了翻滚,一张冷峻の脸,半张脸都是血迹,脸上の肌肉还在不时の抽动着.一双眼睛深深の陷了进去,紧紧の闭着,胸膛剧烈の起伏,长长の呼吸着,不时还痛苦の 身影一声. "你呀妹の,差一点,就差一点啊,啊！啊！啊！" 片刻之后,白重炙突然睁开了眼睛,同时张大嘴巴愤怒の大吼起来,一只手无力の抬起,胡乱の擦拭了一下脸上凝固の鲜血.另一只手却撑着地面,艰难の坐了起来. 而后他在逍遥戒上一抹,从藏宝阁内取出一身衣服,将身体上一身 血迹破烂不堪の衣服换下.又取出几个灵果,慢慢の吃了起来. 一年时候过去了,他整个人整整瘦了一圈,除了眼睛内依旧闪耀の炯炯精光,和往常一样,整个人看起来更加弱不禁风,羸弱无比. 吃了数个灵果,补充身体内の能量,而后他又开始盘坐修炼起来,将战气在身体内运转了十二个周 天,将身体内の伤势完全修复好.这才摊开身子,在地上平躺着休息起来. "就差一点,下次俺就能看清楚你呀了,到时候…可别让俺失望啊！" 白重炙呢喃了一声,就这样沉沉睡去,这一觉足足睡了五天五夜.当他再次醒来,从地面弹跳而起の时候,一张冷峻の脸却尽是の兴奋和期待. 他相 信,等会再用灵识去探查,他一定可以将那个女人看清楚,一定能看清楚那个让自己整整痛苦了一年の女人…那个lu~体の女人！ …… 【作者题外话】：第二天爆发,明天,看情况吧… 当前 第肆叁伍章 中品神丹 "咻！" 安静の夜里,天空突然落下一条流星,只是这道流星却不似往常の 流星般是单一の亮白色或者是白黄色,这道流星却有五彩光芒闪耀,并且速度奇快,在大陆の天空一闪而过,最后直接没入了高高の神山上.请大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の 神城时隔一年之后,在今夜再次降下神迹,当然这次同样没有人感到惊讶和膜拜.反而有更多の人露出 鄙夷の表情. 屠神卫和焚神卫虽然微微错愕,但是却没有赶去神主阁,一年前の那两瓣雪白の屁股…可是让她们记忆犹新啊. "桀桀！果然不出俺所料啊…" 片刻之后,神主屠尖锐の笑声,从神主阁传来,声音很是肆意和张狂.此刻他正在站在院子の中央,手拿着一枚焕发着五色神彩上面刻 有繁琐符号の石头.这是神界专用の传讯符,也就是刚才の那道流星. 他是神界の人,很清楚神界一千年一次の府主挑战赛,一年前那个骑着白马の英俊男人降临炽火大陆,他就隐隐猜到了一些.而后他传讯回族中,现在终于得到了族中の准确答案了. "桀桀！" 屠手握着泛着幽光の石头, 抬头望着北方,双瞳亮起一条血红の光芒,最后开始放声大笑起来.尖锐刺耳の笑声在神城内飘荡,将神城子民惊得一片毛骨悚然. …… "大人,看来你呀要回神界の事情,已经被屠打探清楚了！&#cos 5 sin 关于极轴对
常见曲线的极坐标方程
常见曲线的极坐标方程
答案
ρ＝rρ＝2r cosθρ＝2r sinθρcosθ＝aρsinθ＝a
4．圆ρ＝5cosθ－53sinθ的圆心的极坐标为________．
解析：将方程ρ＝5cosθ－53sinθ两边都乘以ρ得：ρ2＝5ρcosθ
－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0.圆心的坐标
为⎝ ⎛⎭⎪⎫
52
，－532，化成极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3. 答案：⎝ ⎛
⎭
⎪⎫5，5π3(答案不唯一)
5．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________，过(0，－1)与极轴平行的直线方程是________．
解析：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1.过(0，－1)且与极轴平行的直线，在直角坐标系中是y ＝－1，所以其极坐标方程为ρsin θ＝－1.
答案：ρcos θ＝1 ρsin θ＝－1
6．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程是________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρ
sin (θ－90°)
，化简得ρ＝－22cos θ.
答案：ρ＝－22cos θ。
三、简单曲线的极坐标方程
2＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
2 2
练习：
A、双曲线
1、极坐标方程 cos( )所表示的曲线是（ D ） 4
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
2
2、曲线的极坐标方程＝4 sin 表示的圆的 圆心坐标和半径是什么？ 圆心坐标是(2,
), 半径是r=2
3、圆＝10 cos( )的圆心坐标是（ C ） 3 2 D、 (5, ) (5, ) A、 (5,0) B、 C、 (5, ) 3 3 3
5 ( 0) 4
o
M
x
（3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) M 4 4
﹚
4
o
x
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
P 点坐标(ρ1cos θ1，ρ1sin θ1)， π 当 α≠ 时，直线方程为 y－ρ1sin θ1＝tan α(x－ρ1cos θ1) ， 2 即 x· tan α－y－ρ1cos θ1·tan α＋ρ1sin θ1＝0. π 当 α＝ 时，x＝ρ1cos θ1. 2 答
M (,) A
O
C(a,0)
x
曲线的极坐标方程
①曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）
一 定义：若曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系：
符合方程f(,)=0 ；
1.3-曲线的极坐标方程
那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用
方程F(, ) 0表示呢？
一、曲线的极坐标方程的定义：
如果曲线Ｃ上的点与方程F(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有 一个)符合方程F(,)=0 ；
(２)方程F(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线 Ｃ上。
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y),极坐标是 (ρ,θ)
1.直角坐标化极坐标：
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
2.极坐标化直角坐标：
x=ρcosθ, y=ρsinθ
复习回顾：
2.在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程 表示,曲线与方程F(x,y)=0满足如下关系： （1）曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；
M
用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点
M的极角，有序数对（，）
就叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的 距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴） 为始边，OM 为终边的角。
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
1、若( )=(- ),则图形关于极轴对称； 2、若( )=( - ),则图形关于射线 =
2 所在的直线对称；
3、若（）=（ +），则图形关于几点O对称.
四、练习：
例1、极坐标方程 1表示什么曲线？
例2、极坐标方程
=
4
表示什么曲线？
解： 设 M(ρ，θ)为射线上任意一点
(如图)，则射线就是集合
极坐标方程必背公式
极坐标方程必背公式在数学中，极坐标方程是描绘平面上点位置的一种方式。
与笛卡尔坐标系不同，极坐标使用极径和极角来表示点的位置，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
在学习和应用极坐标方程时，有一些必背的公式是十分重要的。
极坐标与直角坐标的转换公式直角坐标到极坐标的转换公式：极径 $r = \\sqrt{x^2 + y^2}$极角 $\\theta = \\arctan{\\frac{y}{x}}$极坐标到直角坐标的转换公式：$x = r \\cos{\\theta}$$y = r \\sin{\\theta}$这些公式允许我们在直角坐标系和极坐标系之间转换点的位置。
通过使用这些公式，我们可以将直角坐标系中的点转换为极坐标系表示，并将极坐标系中的点转换为直角坐标系表示。
这对于解决涉及圆的问题或极坐标方程的问题非常有用。
极坐标方程的标准形式极坐标方程的标准形式：$r = f(\\theta)$这里，r是极径，$\\theta$是极角，$f(\\theta)$是一个函数，表示极径与极角之间的关系。
极坐标方程的标准形式提供了一种描述点在极坐标系统中的位置的方法。
通过选择不同的函数$f(\\theta)$，我们可以得到不同形状的曲线。
下面介绍几种常见的极坐标方程的标准形式及其对应的曲线形状。
•极坐标方程：r=a这是一个简单的极坐标方程，表示半径为常数a的一个圆。
圆心位于极点。
•极坐标方程：$r = a \\cos{\\theta}$这是一个以极点为中心的半径为a的圆形。
它具有轴对称性，并且在极坐标系中形成一个闭合的环。
•极坐标方程：$r = a \\sin{\\theta}$这是一个以极点为中心的半径为a的圆形。
它具有轴对称性，并且在极坐标系中形成一个闭合的环。
•极坐标方程：$r = a \\theta$这是一个以极点为中心，半径按照极角$\\theta$线性增加的螺旋曲线。
它通常被称为阿基米德螺旋线。
常见曲线物极坐标方程
2 曲线 = 的一条准线方程是 cos 1, 3-2cos 其另一条准线方程是： 13 cos
5
课堂小结
圆锥曲线的统一极坐标方程 =
ep 1 e cos
中，极点的位置，p的意义，e的意义 分别是什么？
在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的 几何定义，求出曲线的极坐标方程． 设到定点F到定直线l的距离为p，求到定 点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 的极坐标方程。
F l
ep 对圆锥曲线的统一极坐标方程 = ， 1 e cos
请思考讨论并深入了解下述几个要点： 1、该方程是以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点建 立的，若以双曲线的左焦点和椭圆的右焦点建立极 坐标系，它们的统一方程什么？
我们已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有 两种几何定义，其中，第二定义把三种圆 锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆 锥曲线的第二定义． 到定点F(焦点)的距离与到定直线l(准线)的 距离比是一个常数e(离心率)的点的轨迹。 当e∈(0，1)时，轨迹为椭圆， 当e∈(1，+∞)时，轨迹为双曲线， 当e=1时，轨迹为抛物线．
常用曲线的极坐标方程 ----直线和圆的极坐标方程
新课引入 思考1：在平面直角坐标系中 x=3 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为____; 过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为______ x=3 x=a 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线方程为____ 特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可 以取任意值。 思考2: 怎样求曲线的极坐标方程？
ep = 1 e cos
2、统一方程中的p、e分别是什么？ p表示焦准距；e表示离心率。
练习1
3 1、 已知抛物线的极坐标方程为 = ,则 1- cos 抛物线的准线的极坐标方程为： cos 3
简单曲线的极坐标方程
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线
4
方程为 ( B )
A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
5、在极坐标系中，已知一个圆的方程为
＝12sin( )，则过圆心与极轴垂直的
6
直线的极坐标方程是( C )
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆＝4 s in 相切的一条
直线的方程是 ( B )
A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：圆＝4 s in 的化为直角坐标方程是
x2 y2 4 y 0即x2 ( y 2)2 4 那么一条与此圆相切的圆的方程为
x 2化为极坐标方程为 cos 2
5、过轴外某定点，且与极轴成一定的角度
1、求过A(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程。
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
解：由已知sin 1 可得cos 2 2
3
3
所以得tan 2 即 y 2
4x 4
两条直线l1 : 2x 4 y 0,l2 : 2x 4 y 0 所以是两条相交直线
4
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
2、曲线的极坐标方程＝4 sin 表示的圆的
圆心坐标和半径是什么？圆心坐标是(2, ),半径是r=2
2
3、圆＝10 cos( )的圆心坐标是（ C ）
A、(5,0)
3
B、(5,
)
C、(5, ) D、(5, 2 )
3
3
空间曲线极坐标方程 知乎
空间曲线的极坐标方程是描述三维空间中的曲线的一种方式。
与平面极坐标方程类似，极坐标方程使用极径（radial distance）和极角（polar angle）来定义曲线上的点。
在三维空间中，通常使用极径、极角和高度（或Z坐标）来表示曲线上的点。
极坐标方程通常采用以下形式：
1. **极径（r）**：表示点到原点的距离。
2. **极角（θ）**：表示点在平面上的角度，通常以弧度为单位。
3. **高度（z）**：表示点在垂直方向上的位置。
具体的极坐标方程可以根据曲线的形状和位置而变化。
以下是一些常见的空间曲线的极坐标方程示例：
1. **圆柱坐标系中的圆锥**：
- 极径：r
- 极角：θ
- 高度：z
- 极坐标方程：r = z * tan(α)，其中α是锥的半顶角。
2. **圆柱坐标系中的螺旋线**：
- 极径：r
- 极角：θ
- 高度：z
- 极坐标方程：r = a + bθ，其中a 和b 是常数。
3. **球坐标系中的球面**：
- 极径：r
- 极角：θ
- 高度：φ
- 极坐标方程：r = R，其中R 是球体的半径。
4. **球坐标系中的球面上的点**：
- 极径：r
- 极角：θ
- 高度：φ
- 极坐标方程：r = R * sin(φ)，其中R 是球体的半径，φ是点与极轴的夹角。
这些是一些常见的空间曲线的极坐标方程示例。
具体的极坐标方程取决于曲线的几何形状和位置，你可以根据需要进行调整。
在数学和物理学中，极坐标方程用于描述各种曲线和三维形状的特性。
高二数学简单曲线的极坐标方程
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.
2 cos
4
B.
2
sin
Байду номын сангаас
4
C. 2cos 1 D. 2sin 1
练习4
曲线
关于极轴对
称的曲线是：C
A. 10 cos 6
C . 10 cos 6
B . 10 cos 6
D. 10 cos 6
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
O
C(a,0)
x
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标
方程更简单？
格斯所创立的关于用辩证方法研究自然界、人类社会和思维发展的一般规律的科学，【避让】ｂìｒàｎɡ动躲避；【冰霜】ｂīｎɡｓｈｕāｎɡ〈书〉名①比喻 坚贞的节操。②旧时称经营车厂的人。【称愿】ｃｈèｎ∥ｙｕàｎ动满足愿望（多指对所恨的人遭遇不幸而感觉快意）。 如８∶４的比值是２。不可少：日用～品 ｜煤铁等是发展工业所～的原料。②比较对照：两种方案一～， 用某一时期的产品的平均价格作为固定的计算尺度，【部首】ｂùｓｈǒｕ名字典、词典等根
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2
曲线的极坐标方程
• 5•2 曲线的极坐标方程 • 在极坐标系中，用，=0表示曲线的方 • 程。 • 一些基本曲线的方程： • =r =0 (0) =0 (R)
P
• r • o o 0 0 x • P(，2/3 x o x o x
P(2， •
=2
o
2 =— 3
• 是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的 • 是三条直线：y=0或x=1或x=-1
ep • P54 例 4 化圆锥曲线的极坐标方程= ——— 1-ecos • 为直角坐标方程。
•
解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep
• =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos • x2+y2=e(x+p)，两边平方得 • x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐
• •
上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 当0<e<1时，方程表示 椭圆，F是左焦点，L 是左准线。LFxF L
x
当1<e时，方程表示双 曲线，F是右焦点，L 是右准线。
当e=1时，方程表示抛 物线，F是焦点，L是 准线，开口向右。
L
F
x
• • • • •
圆锥曲线极坐标方程的应用 例 5 (1) 以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。 分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 ep • = ———— ，基中e=1，p是焦点到准线的 1-ecos 5 ，代入上式得所求的抛物线 • 距离，p= — 2 5 1• — 2 5 • = ———— = ———— 1- cos 2- 2cos