椭圆及其双曲线定义的应用

(2)∵圆 M 与圆 C1、圆 C2 都外切， ∴|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2，|MC2|－|MC1|＝1. ∴点 M 的轨迹是以 C2、C1 为焦点的双曲线的上支， 且有 a＝12，c＝1，b2＝c2－a2＝34. ∴所求的双曲线方程为 4y2－43x2＝1(y≥34)．
(3)∵圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切， ∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，|MC1|－|MC2|＝4. ∴点 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支， 且 a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5. ∴所求双曲线方程为x42－y52＝1(x≥2)．
F1 O
F2
P
X
PF 1 •PF 2 8
S F 1P2F 1 2P1F •P2F 1 284
变式2，已知，双曲线
x2 4
y2 9
1 ,
F1, F2 是其两个
焦点，点 M 在双曲线上，若 F1M2F90 求
F1MF2的面积
解:(1)由双曲线的定义知
a2,b3,c223213
M1F M2F 2a4 F 1M2F 90 M 12 F M 22 F F 1 F 22 (21)2 3 52
(a>0，b>0 ，a
不一定大于b )
椭圆，双曲线的定义及其应用
学生练习
1，设P是椭圆 x2 y2 1 上的点,若 F1, F2 是
25 16
椭圆的两个焦点，求 PF1 PF2 2a10
2，双曲线 y2 x2 1
64 16
上一点 P到它的
焦点的距离等于1，那么点 P到另一个
焦点的距离等于多少？ 17
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m. 答案：C
变式1,已知经过椭圆
x2 y2 1的右焦点
25 16
F 2 作垂
直于 x轴的直线 AB ，交椭圆 A, B 两点，F 1
是椭圆的左焦点，求 AF1B 的周长
Y
A
O
F1
F2
X
B
解：AF1B 的周长为
CA1FF1BBA A1F F 1BB2F F 2A (A1F A2) F (B1F B2) F 2 a 2 a 4 a 20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
椭圆
根据|MF1|+|MF2|=2a
双曲线
根据|MF1|-|MF2|=±2a
∵ a>c>0， ∴ 令a2-c2=b2(b>0)
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
(a>b>0)
∵ 0<a<c， ∴ 令c2-a2=b2(b>0)
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1
a2 b2
本节课你学到了什么？
课后思考
求下列动圆圆心M的轨迹方程： (1)与圆C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点
A(2,0)； (2)与圆C1：x2＋(y－1)2＝1和圆C2＝x2＋
(y＋1)2＝4都外切； (3)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆
C2：(x－3)2＋y2＝1内切．
【解】 设动圆 M 的半径为 r. (1)∵圆 C 与圆 M 内切，点 A 在圆 C 外， ∴|MC|＝r－ 2，|MA|＝r，|MA|－|MC|＝ 2. ∴点 M 的轨迹是以 C、A 为焦点的双曲线的左支， 且 a＝ 22，c＝2，b2＝c2－a2＝72. ∴所求双曲线方程为 2x2－27y2＝1(x≤－ 2)．
1. 椭圆的定义
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
2. 双曲线的定义
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 差
的绝对值等于常数 2a ( 2a |F1F2|=2c>0) 的点轨迹
3.椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系
( M 1 M F 2 ) 2 F M 1 2 2 F M 1 • M F 2 M F 2 2 1 F
M1F•M2F18
1
1
S F 1 M 2 F2M 1 F M 2 F 2 1 8 9
例3，在 ABC ，已知 BC4 ，当动点 A 满
足条件 sinBsinC1sinA，求动点 A的轨迹
例2，如图，点P是椭圆
y2 x2 1
上一点，F1, F2
54
是椭圆的两个焦点，F1P2F90 求 F1PF2 的面积
解:由题意得 a 5,b2,c1
Y
PF 1 PF 2 2 5 F 1P2F 90 P1F 2P2F 2F 1F 224
(P 1 F P2)F 2 2 P 1• F P2 F 4
.A
. 所以，动点A的轨迹方程为
x2
y2
B 1(x0,y0)
3
。.
C
X
. Y A
. 。.
B
C
X
变式3， △ABC的三边a，b，c成等差数 列，且a>b>c，A，C的坐标分别为(－ 1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．
【分析】 解答本题关键是利用椭圆定 义分析出B点的轨迹是椭圆，再利用待 定系数法求解．
3，P是双曲线
x2 64
y2 36
1上一点，F1, F2
是双
曲线的两个焦点，且 PF1 17 ，则 PF2 33
例1．双曲线
x2 a2
y2 b2
1
，过焦点F1和双曲线同支
相交的弦AB长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的
周长为( )
A．4a
B．4a－m
C．4a＋2m
D．4a－2m
解析：因△ABF2周长等于|AF2|＋|BF2|＋|AB|，涉 及到双曲线上的点到焦点的距离问题，故可用双 曲线定义求解．
【解】 由已知得 b＝2，又 a，b，c 成等差数列， ∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4， ∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4，由椭圆定 义知 B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中 a′＝2，c′＝1. ∴b′2＝3. 又 a>b>c， ∴顶点 B 的轨迹方程为x42＋y32＝1(－2<x<0)．
||BF2|－|BF1||＝2a①，||AF2|－||AF1||＝2a②，
如图所示，显然可知|AF2|>|AF1|，|BF2|>|BF1|， 所以去掉绝对值符号，
由①＋②得，|BF2|＋|AF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a， 而|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，
所以再代回就很容易求得△ABF2的周长， ∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋m.
方程。
2
. 解;以 BC 所在直线为x轴，以线段BC 的垂
直平分线为 y建立直角坐标系
A
sinBsiC n1sinA 2
由正弦定理，得
.
.
ABAC142B
2
CX
BC42
由双曲线的定义知，点A的轨迹是以B,C为焦点的
x 双曲线的右支(除去与 的交点）
2c4,2a2 c 2 ,a 1 ,b 2 c2 a 2 3