第二章 连续时间信号分析
合集下载
信号与系统基础及应用第2章 连续时间信号分析
2 2
Adt
A
T
ak
2 T
T
2 T
x(t)
cos
k0tdt
2
2 T
2 2
A cos
k
2π T
tdt
2A sin kπ
kπ T
A0 Sa( k0 )
π
2
抽样函数
Sa(x) sin x x
抽样函数定义为
Sa(x) sin x x
为偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ(k=1,2,…)时， Sa(kπ)=0。
2. 三角函数形式的傅里叶级数
傅立叶（J. B. J Fourier，1768 –1830），法国 著名数学家、 物理学家。
1807年提出：任何一 个周期信号都可以展 开成傅里叶级数。
狄里赫利（1805 －1859）,德国数 学家，解析数论 奠基者，现代函 数概念的定义者。
1829年提出：只有在满 足一定条件时，周期信 号才能展开成傅里叶级 数。
【例2.3】 已知 x(t) 3cos(0t 4) ，求出Xk。
解:
x(t) 3cos(0t 4)
3 1 2
e j(0t4)
e j(0t4)
x(t) 3 ej4ej0t 3 e e j4 j0t
2
2
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
1.完备正交函数集
（1） 在[t1,t2]区间上定义的非零实函数x1(t)与x2(t)， 若满足条件：
t2 t1
x1(t)x2 (t)dt
0
则函数x1(t)与x2(t)为区间[t1, t2]上的正交函数。 （2） 若 x1(t)与x2(t)是复变函数，则 x1(t)与x2(t)在[t1,t2] 区间上正交的条件是：
《信号分析与处理》ch02连续时间信号分析 教学课件
3.连续时间信号的分解
04 实部分量与虚部分量
对于复函数信号x(t)，可分解为实、虚两个部分之和，即
虽然实际产生的信号都是实信号，但在信号分析理论中，常借助复信号来研究某些实 信号的问题，这样可以建立某些有益的概念或简化运算。例如，复指数常用于表示正 弦、余弦信号。近年来，在通信系统、网络理论、数字信号处理等方面，复信号的应 用日益广泛。
2.连续它包括信号的移位(时移或延时)、反褶、尺度倍乘(压缩或扩展)、微分、积分， 以及两信号的相加、相乘。我们需要熟悉运算过程中表达式对应的波形变化。
2.连续时间信号的运算
01 移位、反褶、尺度倍乘
若将x(t)表达式的自变量t更换为t ± t，则x(t ± t0) 相当于x(t)的波形在t轴上的整体移动。当运算符 号取“+”时，波形左移;当运算符号取“-”时， 波形右移，如图2-13 所示。 在雷达、声呐及地震信号检测等问题中，容易找到 信号移位现象的实例。在将发射信号经同种介质传 输到不同距离的接收机时，各种接收信号相当于发 射信号的移位，并具有不同的t0值(同时有衰减)。 在通信系统中，长距离传输电话信号时，可能听到 回波，这是幅值衰减的语音延时信号。 信号的反褶是将 x(t)的自变量t更换为-t ，此时 x(t)的波形相当于将x()以t=0为轴反褶过来，如图 2-14所示。此运算也称为时间轴反转。
01
变量置换:改换图形中的横坐标，即t-τ，τ变成函数的自变量。
02
反褶:h(τ)反褶，变成 h(-τ)。
03
平移:将反褶后的信号平移t，得到 h(t-τ)。在τ坐标系中，t>0 表示图形右 移，t<0表示图形左移。
04
相乘:两信号重叠部分相乘，即x(τ)h(t-τ)。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
连续时间信号分析
均功率
P lim 1 T /2 f (t) 2 dt
T T
T / 2
第一节 周期信号分析
❖ 周期信号f(t)的平均功率与傅 里叶系数有右示关系
❖ 这是周期信号的帕斯瓦尔 （Parseval）公式。它说明周 期信号的平均功率等于直流、 基波和各次谐波分量有效值的 平方和。
❖ 信cn2号与的n功1率的谱关,系表图示，信称号为各周次期谐
内的数学表达式为
f
(t)
E,
t /2
0, / 2 t T1 / 2
[T1 / 2, T1 / 2]
f (t)
Re ct(t / )
E
1
T1
/ 2 0 / 2
t T1
t
/ 2 0 / 2
第二节 非周期信号的频域分析
一、 非周期信号的傅里叶变换
❖对于周期为 T1 的周期信号，可以利用傅里叶级数 对他进行频域分析，得到它的离散频谱。
（Dirichlet）条件，即在周期 f(t)
t1，t1
T1
内，函数
1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限；
2）极大值和极小值数目应该是有限个；
3）应是绝对可积的，即 t1T1 f (t)dt t1
在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条 件。
第一节 周期信号分析
周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式
第一节 周期信号分析
❖ 如矢量的分解，一个信号也可以对于某一基函数 集找出此信号在各基函数中的分量；
❖ 一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则 是正交函数集 。
❖ 从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在 定义域里用某个正交函数集来表示。
❖ 若此函数集不仅是正交而且完备，则用他来表示 信号时将没有误差。
第2章-连续信号的时域分析
第二章连续信号的时域分析所谓信号的时域分析，指的是整个分析过程都在时间域内进行，分析过程中所有的信号都用以时间t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示。
本章首先介绍几个典型的连续时间信号，以及对这些信号的基本运算。
此外，连续信号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算，本章将详细介绍卷积积分的定义及其运算方法。
2.1 基本要求1．基本要求♦了解基本的连续信号及其相关参数和描述；♦了解信号的基本运算；♦掌握阶跃信号和冲激信号的定义、性质及作用；♦掌握卷积积分的定义、性质及计算。
2．重点和难点♦冲激信号的定义及性质♦含有阶跃和冲激函数的信号的求导和求积分运算♦卷积积分的计算2.2 知识要点1．基本的连续信号了解正弦信号、实指数信号、复简谐信号、门信号及抽样函数信号的函数表达式、时间波形及其相关参数。
2．信号的基本运算从数学意义上看，系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算。
一个复杂的运算可以分解为一些基本运算的组合。
本章主要了解信号的加减乘除运算、翻转平移和尺度变换、微积分等几种基本的运算。
所有运算既可以利用信号的时间函数表达式进行，也可以在时间波形图上进行运算。
注意与数学上相关运算的区别。
这里强调，作为信号基本运算之一的积分运算，运算结果得到的是一个新的以t 为自变量的函数，具体表示符号和定义为⎰∞--=tf t fττd )()()1( （2-1）3．阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号是对实际系统中的某类信号进行理想近似后得到的两个特殊信号，这两种信号用于描述一类特殊的物理现象，对于信号特性和系统性能的分析，起着十分重要的作用。
阶跃信号和冲激信号的时间波形如图2-1所示。
在信号与系统的分析过程中，经常利用阶跃函数将分段信号的时间函数表达式统一为一个解析表达式，以简化信号的运算。
利用阶跃函数还可以方便地表示因果、非因果信号等。
由于阶跃函数和冲激函数是两个特殊的函数，因此在进行求导和求积分等运算时，必须根据其定义和性质对函数表达式进行分析，以便化为普通函数的运算。
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2．单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示，如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度，其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明，以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ，以符号 δ (t t 0 ) 表示，定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明，一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ，复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号，波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ，其实部﹑虚部为增幅正弦信号，波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4．抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数，其定义如下：
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质：
Sa(0) = 1， Sa(kπ) = 0 ，k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号，可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如，图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )
第二章-1 连续信号的分析
0
Sa(t )dt
2
和
Sa(t )dt
lim
t 0
4)利用罗比塔法则,在 t 0 时,
sin t 1 t
（二） 奇异信号的时域描述
奇异信号是用奇异函数表示的一类特殊 的连续时间信号,其函数本身或者函数的导 数(包括高阶导数)具有不连续点。它们是从 实际信号中抽象出来的典型信号,在信号的 分析中占有重要的地位。
1. 单位斜坡信号
（1）定义：
从某一时刻开始随时间正比例增长的信 号，其增长变化率为1。
（2）数学描述：
t t 0 r (t ) 0 t 0
斜坡信号的 一阶导数在 （3）波形图： t=0处不连续
r( t ) 1 O 1 t r(t-t0) 1 O t0
有延迟 的单位 斜坡信 号
x(t 0 ) (t t 0 )dt x(t 0 )
表明：冲激函数在任意时刻都具有取样特性。 意义：用于对模拟信号采样。
单位冲激信号的性质:
2）展缩特性：
(at)
1 (t ) a
上式可从冲激信号的广义函数定义来证明，即 只需证明
1 (t ) (at)dt (t ) a (t )dt
a
信号的频率特性与幅度不同，它是信号的基本特征。
2. 翻转
3. 平移
值得 注意 的是 若将翻转信号x(-t)时移 t 0 (t 0 0) ，也就是将 x(-t)表达式及其定义域中的所有自变量t替换 为 t t 0 , 从而使x(-t)表达式变为x t t 0 x t t 0 。 从信号波形上看，x t t 0 x t t 0 的波形是将x(-t) 的波形向左移 t 0 时间； x t t 0 x t t 0 的波形是将 x(-t)的波形向右移 t 0 时间
实验二---连续时间信号的频域分析
实验二---连续时间信号的频域分析实验目的：1. 学习连续时间信号的频域分析方法，掌握傅里叶变换理论。
2. 理解信号的时域与频域之间的转换关系，能够实现信号的频域分析及某些信号处理操作。
3. 了解傅里叶变换的性质和应用，能够应用傅里叶变换对各种周期和非周期信号进行分析。
实验原理：1. 傅里叶变换傅里叶变换是将一个连续时间函数在频域中的频谱与该函数在时域中的波形进行对应的数学变换。
连续时间傅里叶变换（CTFT）是将一个无限长但可积的信号，即绝对可积信号，变换为复频域函数。
如果傅里叶变换是定义在时域上的，那么它的自变量是时间t，而它的函数值是一个关于f的复合函数，即分别为实频谱与虚频谱的函数。
- 傅里叶变换是一个线性变换;- 时域中的卷积在频域中对应为乘积；- 频域中的卷积在时域中对应为乘积；- 时域中的移位在频域中对应为复制效应；- 能量守恒：信号在时域中的总能量等于在频域中的总能量；- Parseval定理：信号在时域和频域中的幅度平方和等于常数。
实验步骤：1）连续时间正弦波$f(t)=A sin(2\pi f_0 t)$其中，$f_0 =1200 Hz$，采样间隔 $\Delta t =5*10^{-6}$ s，数据长度 $N= 150$。
$f(t)=\frac{2A}{T_0} t$（$-\frac{T_0}{2}<t<\frac{T_0}{2}$）其中，$T_0$ 为周期，数据长度 $N= 500$。
$f(t) =\frac{A}{2}[sgn(t)+1]$（$-1<t<1$）绘制信号的频域幅度谱和相位谱，并分析其特点。
实验结果：正弦波：三角波：方波：实验分析：从时域波形可以看出，正弦信号为一定频率下的振荡信号，具有周期性，幅度相等，相位差为 $\frac{\pi}{2}$ 的两个正弦函数相加而成；三角波和方波均为非周期信号。
从频域幅度谱可以看出，正弦波在频域中只存在一个正弦函数，且其频率与时域信号的频率相同；三角波在频域中存在多个频率成分，且成分包含奇数倍或基波的奇数倍；方波在频域中由越来越多的奇数倍频率成分组成，其频率分量越高，能量越小。
《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析
0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数，通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解：将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意 激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔，f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件，则 f t 可以展开为三角形
信号与系统(郑君里)第二版 讲义 第二章
第二章 连续时间系统的时域分析第一讲 微分方程的建立与求解一、微分方程的建立与求解对电路系统建立微分方程，其各支路的电流、电压将为两种约束所支配： 1.来自连接方式的约束：KVL 和KIL ，与元件的性质无关。
2.来自元件伏安关系的约束：与元件的连接方式无关。
例2-1 如图2-1所示电路，激励信号为，求输出信号。
电路起始电压为零。
图2－1解以输出电压为响应变量，列回路电压方程：所以齐次解为：。
因激励信号为，若，则，将其代入微分方程：所以，从而求得完全解：由于电路起始电压为零并且输入不是冲激信号，所以电容两端电压不会发生跳变，，从而若，则特解为，将其代入微分方程，并利用起始条件求出系数，从而得到：二、起始条件的跳变——从到1.系统的状态(起始与初始状态)(1)系统的状态：系统在某一时刻的状态是一组必须知道的最少量的数据，利用这组数据和系统的模型以及该时刻接入的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。
由于激励信号的接入，系统响应及其各阶导数可能在t=0时刻发生跳变，所以以表示激励接入之前的瞬时，而以表示激励接入以后的瞬时。
(2)起始状态：，它决定了零输入响应，在激励接入之前的瞬时t=系统的状态，它总结了计算未来响应所需要的过去的全部信息。
(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接入之后的瞬时系统的状态。
(4)初始条件：它决定了完全响应。
这三个量的关系是：。
2.初始条件的确定（换路定律）电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能发生突变，即是连续的。
时不变：时变：例电路如图2-2所示，t=0以前开关位于"1"已进入稳态，t=0时刻，开关自"1"转至"2"。
(1)试从物理概念判断、和、。
(2)写出t>0时间内描述系统的微分方程式,求的完全响应。
图2－2解(1)换路前电路处于稳态电感相当于短路，电感电流，电容相当于开路= 0，= = 0。
信号与系统(第二章)
•但由于自变量 的系数不同， 但由于自变量t 的系数不同， 但由于自变量 则达到同样函数值2的时间不同。 则达到同样函数值 的时间不同。 的时间不同 •时间变量乘以一个系数等于改 时间变量乘以一个系数等于改 变观察时间的标度。 变观察时间的标度。
1
O
f (2t ) 2 1
O
T 2
t
2T
t
, a > 1 压缩保持信号的时间缩短 f (t ) → f (at ) , 0 < a < 1 扩展保持信号的时间增长
13 页
τ < 0，左移 超前 超前) ，左移(超前
例：
f (t ) 1
−1 O t −1 O
f(t+1)的波形？ 的波形？ 的波形
ft) f ((t+ 1)
1 t
1
1
宗量相同，函数值相同， 宗量相同，函数值相同，求新坐标
t = 0 t +1 = 0 t = −1 f (t ) = 1 f (t +1) = 1 f (t +1) = 1
X
O
t
第
欧拉(Euler)公式
1 jωt −jωt sin(ωt ) = e − e 2j
1 jωt −jωt cos(ωt ) = e + e 2
7 页
(
)
(
)
e
jω t
= cos(ωt ) + jsin(ωt )
X
第
6．复指数信号
f (t ) = Kest = Keσ t cos(ω t ) + jKeσt sin(ω t ) (−∞< t < ∞)
宗量3t+5 宗量
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件
得：
LC 2
d
2r( t dt 2
)
L R
dr( t dt
)
r(
t
)
e(
t
)
二阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
信号与系统
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子（Differential operator）：
p d ; dt
p dt
3. 1 Px p
t
[
dx dt
]t
d
x( t ) x( )
若x( ) 0, 则 1 Px＝x p
4.Px Py , 其中P不能消去 dx ＝ dy 两边积分得 x y C
dt dt
温州大学瓯江学院
信号与系统
引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：
列方程的基本方法： 节点分析法和网孔电流法。
温州大学瓯江学院
信号与系统
例1：已知电路，求输出电容电压。 一阶系统：
电源：
us (t)
电容电压： uc (t)
VCR
Ri 电阻电压：
RC duc (t) dt
KVL
RC
duc (t) dt
uc
(t)
us
(t)
一阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
(
p2
5
p
3 2
)i2
(t)
0.5
pf
(t)
d2 dt 2
i2
(t
)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P 1 | F (n 0 ) | F (0) 2 | F (n 0 ) |2 0.1806
2 2 n =1 4 4
n = —4
P 0.1806 1 90% P 0.200
Fn
1 25
8
2
40
40
n 0
周期信号的功率谱
吉伯斯现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲（肩峰），过冲峰值不随谐波分量增加而 减少，且约为跳变值的9% 。
2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) dt
2
若 x（t）存在相应的 X（nω0），则平均功率可写成
1 p T0
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt
1 p T0
1 T0
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt
谱线只在基波频率的整倍数处出现，具有非周期性 的离散频谱，即线谱。信号周期T越大，ω 0就越小，则 谱线越密。反之，T越小，ω 0越大，谱线则越疏。
2、幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱 随着谐波n0增大 时， 幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就 越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变 化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱 衰减越慢。
物理意义：信号的能量主要集中在有效带宽内, 因此 若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号 产生明显影响。
2．3．3 离散频谱与功率分配
周期信号是功率信号。如果信号 x(t) 表示为加在1欧姆电 阻两端的电压或通过的电流，则其瞬时功率为 x2(t)，平均 功率为：
1 p T0
T0
0
1 | x ( t ) | dt T0
§2-2 周期信号的傅立叶级数（时域分析）
2.2.1 周期信号的描述
x (t) = x ( t +n T0 ) , t ∈(-∞ , +∞)
T0
2 0
1 f0
2.2.1 周期信号的描述
x(t)
T
周期为Tl和周期为T2的两个(或多个)周期信号相加，可能 是周期信号，也可能是非周期信号。这主要取决于在这两个周 期Tl和T2之间是否有最小公倍数，即存在一个最小数T0能同时 被Tl和T2所整除。若存在最小公倍数，则有
(n 0, 1, 2, 3, )
2 T an x(t ) cos( n1t )dt T 0
2 T bn x(t ) sin( n1t )dt T 0
( n=1, 2, 3, …
)
周期信号展开为傅立叶级数条件（三个有限）
(1) 周期信号f(t)应满足Dirichlet条件，即绝对可积：
2 a0 T0
2 an T0
2 bn T0
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t )dt
x ( t ) cos n 0 tdt
n=0,1,2,3,…
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) sin n 0 tdt
n=0,1,2,3,…
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
k
当 Δ→0， 则kΔ→τ，Δ→dτ，
最后求得x（t）的准确表达式为：
x(t ) x( ) (t )d
上式表明任何一个非周期信号可以由一系列不同强度 (x(τ)dτ)，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。 该式也即第一章所说的 卷积函数 x(t)*δ(t) 。即：
mn mn
n
| X (n ) |
0
2
1 T0 / 2 2 2 p x(t ) dt | X (n0 ) | n T0 T0 / 2
该式反映了周期信号的平均功率与离散频谱之间的关系， 称为功率信号的帕斯瓦尔公式(Parseval’s Formular)。也称 帕斯瓦尔功率守恒定理
u ( t ) (t)
所以
x(0)[u(t) u(t )] x(0)[u(t)] x(0) (t) x()[u(t ) u(t 2)] x() (t )
……
故有：
x(t)
k
x (k)
( t k)
kΔ
x(t ) x(0)[u(t ) u(t )] x()[u(t ) u(t 2)]
x(k)[u(t k) u(t k )]
根据第一章冲激信号的定义以及它与阶跃信号的关系有：
du ( t ) (t ) lim (t ) dt 0
该式说明周期信号在时域的平均功率等于频域各谐波分 量(含直流量) 功率之和，因此每个分量幅度大小的变化， 反映了功率分布的变化规律。
周期信号的功率频谱： |Xn|2 随nω0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简 称功率谱。
例题 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/) 内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
离散性
谐波性
收敛性
周期矩形脉冲信号的频谱图
n0 A F (n0 ) Sa( ) T 2
Fn
A / T
2
2
n 0
0 2 / T
3、信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即
B
2
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其ω B越小；反之， 越小，其ω B越大。
n1Tl＝n2T2 T1／T2＝n2／n1＝rational number nl，n2 positive integer
T 0 0
2
1 f0
例，已知
x1 (t ) A1 cos 6t
2 1 T1 1 6 3 2
x2 (t ) A2 cos10t
2 1 T2 2 10 5 2
jn0t
T0 / 2
T0 / 2
( X (n0 )e
n
)( X (n0 )e
n
T0 / 2
jn0t
) dt
n n
X(n 0 )X (n 0 )
T0 / 2
e j( n m )0 t dt
2 | X (n0 ) | n 0
X（nω0）从x（t）的傅里叶级数表示式中，获得反映信号 全貌的三个基本特征，即基频、各谐波的幅度和相位。
X (n0 ) | X (n0 ) | e
频谱特性
j ( n0 )
幅频特性
相频特性
周期矩形脉冲信号频谱图
E=10v， T0=1s，τ =0.2s
2．3．2 频谱的特性 周期信号的频谱是由 间隔为ω 0 的谱线组成 1、离散性
x(t) (t) x(t ) x( ) (t )d
上式表明，任意连续时间函数与冲激函数相卷积仍等于 原来时间函数。
将非周期信号分解为冲激信号的线性组合，对线性系统 的时域分析具有重要理论意义和实际意义。
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
傅立叶级数展开的两种形式： 三角傅立叶级数和指数型傅立叶级数 这种方法也可称周期信号的时域分析
1、三角傅立叶级数
a0 x(t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1
1、三角傅立叶级数
a0 x(t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1
x(t )
n
X (n0 )e jn0t
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数X(nω0) 不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 X(nω0)是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度 和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
§2-3 周期信号的频域分析
用频率函数来描述任意信号的方法称为信号的频域分析 2．3．1 频谱分析
T1 5 n1 有理数 T2 3 n2
Tl，T2最小公倍数为：
（n1=3 , n2=5）
T3=n1Tl＝n2T2=1 T3=1
所得的信号仍然是周期信号，其基本周期
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合（函数集合） 意义： (1) 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量 的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 (2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利 用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应 而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。
第二章 连续时间信号分析
连续时间信号的时、频域分析 常用及奇异信号的频域分析 傅里叶变换（级数）的基本性质及应用 傅里叶变换的卷积性质 非周期信号的能量密度 拉普拉斯变换
§2-1 概述
用三角函数集或复指数函数集作为正交函数集对 函数进行分解，称这种分析方法为“傅里叶分析 (Fourier analysis)”方法，该方法因法国数学家傅 里叶(J．Fourier，1768—1830)于1822年提出并证明 的“周期函数展开为正弦级数的原理”而得名。傅里 叶分析方法是一种频域分析方法，它包括用于对周期 信 号 进 行 频 域 分 析 的 “ 傅 里 叶 级 数 分 析 (Fourier series analysis)”和用于对任意信号进行频域分析 的 “ 傅 里 叶 变 换 分 析 (Fourier transform analysis)”。
2 2 n =1 4 4
n = —4
P 0.1806 1 90% P 0.200
Fn
1 25
8
2
40
40
n 0
周期信号的功率谱
吉伯斯现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲（肩峰），过冲峰值不随谐波分量增加而 减少，且约为跳变值的9% 。
2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) dt
2
若 x（t）存在相应的 X（nω0），则平均功率可写成
1 p T0
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt
1 p T0
1 T0
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt
谱线只在基波频率的整倍数处出现，具有非周期性 的离散频谱，即线谱。信号周期T越大，ω 0就越小，则 谱线越密。反之，T越小，ω 0越大，谱线则越疏。
2、幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱 随着谐波n0增大 时， 幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就 越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变 化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱 衰减越慢。
物理意义：信号的能量主要集中在有效带宽内, 因此 若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号 产生明显影响。
2．3．3 离散频谱与功率分配
周期信号是功率信号。如果信号 x(t) 表示为加在1欧姆电 阻两端的电压或通过的电流，则其瞬时功率为 x2(t)，平均 功率为：
1 p T0
T0
0
1 | x ( t ) | dt T0
§2-2 周期信号的傅立叶级数（时域分析）
2.2.1 周期信号的描述
x (t) = x ( t +n T0 ) , t ∈(-∞ , +∞)
T0
2 0
1 f0
2.2.1 周期信号的描述
x(t)
T
周期为Tl和周期为T2的两个(或多个)周期信号相加，可能 是周期信号，也可能是非周期信号。这主要取决于在这两个周 期Tl和T2之间是否有最小公倍数，即存在一个最小数T0能同时 被Tl和T2所整除。若存在最小公倍数，则有
(n 0, 1, 2, 3, )
2 T an x(t ) cos( n1t )dt T 0
2 T bn x(t ) sin( n1t )dt T 0
( n=1, 2, 3, …
)
周期信号展开为傅立叶级数条件（三个有限）
(1) 周期信号f(t)应满足Dirichlet条件，即绝对可积：
2 a0 T0
2 an T0
2 bn T0
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t )dt
x ( t ) cos n 0 tdt
n=0,1,2,3,…
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) sin n 0 tdt
n=0,1,2,3,…
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
k
当 Δ→0， 则kΔ→τ，Δ→dτ，
最后求得x（t）的准确表达式为：
x(t ) x( ) (t )d
上式表明任何一个非周期信号可以由一系列不同强度 (x(τ)dτ)，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。 该式也即第一章所说的 卷积函数 x(t)*δ(t) 。即：
mn mn
n
| X (n ) |
0
2
1 T0 / 2 2 2 p x(t ) dt | X (n0 ) | n T0 T0 / 2
该式反映了周期信号的平均功率与离散频谱之间的关系， 称为功率信号的帕斯瓦尔公式(Parseval’s Formular)。也称 帕斯瓦尔功率守恒定理
u ( t ) (t)
所以
x(0)[u(t) u(t )] x(0)[u(t)] x(0) (t) x()[u(t ) u(t 2)] x() (t )
……
故有：
x(t)
k
x (k)
( t k)
kΔ
x(t ) x(0)[u(t ) u(t )] x()[u(t ) u(t 2)]
x(k)[u(t k) u(t k )]
根据第一章冲激信号的定义以及它与阶跃信号的关系有：
du ( t ) (t ) lim (t ) dt 0
该式说明周期信号在时域的平均功率等于频域各谐波分 量(含直流量) 功率之和，因此每个分量幅度大小的变化， 反映了功率分布的变化规律。
周期信号的功率频谱： |Xn|2 随nω0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简 称功率谱。
例题 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/) 内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
离散性
谐波性
收敛性
周期矩形脉冲信号的频谱图
n0 A F (n0 ) Sa( ) T 2
Fn
A / T
2
2
n 0
0 2 / T
3、信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即
B
2
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其ω B越小；反之， 越小，其ω B越大。
n1Tl＝n2T2 T1／T2＝n2／n1＝rational number nl，n2 positive integer
T 0 0
2
1 f0
例，已知
x1 (t ) A1 cos 6t
2 1 T1 1 6 3 2
x2 (t ) A2 cos10t
2 1 T2 2 10 5 2
jn0t
T0 / 2
T0 / 2
( X (n0 )e
n
)( X (n0 )e
n
T0 / 2
jn0t
) dt
n n
X(n 0 )X (n 0 )
T0 / 2
e j( n m )0 t dt
2 | X (n0 ) | n 0
X（nω0）从x（t）的傅里叶级数表示式中，获得反映信号 全貌的三个基本特征，即基频、各谐波的幅度和相位。
X (n0 ) | X (n0 ) | e
频谱特性
j ( n0 )
幅频特性
相频特性
周期矩形脉冲信号频谱图
E=10v， T0=1s，τ =0.2s
2．3．2 频谱的特性 周期信号的频谱是由 间隔为ω 0 的谱线组成 1、离散性
x(t) (t) x(t ) x( ) (t )d
上式表明，任意连续时间函数与冲激函数相卷积仍等于 原来时间函数。
将非周期信号分解为冲激信号的线性组合，对线性系统 的时域分析具有重要理论意义和实际意义。
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
傅立叶级数展开的两种形式： 三角傅立叶级数和指数型傅立叶级数 这种方法也可称周期信号的时域分析
1、三角傅立叶级数
a0 x(t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1
1、三角傅立叶级数
a0 x(t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1
x(t )
n
X (n0 )e jn0t
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数X(nω0) 不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 X(nω0)是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度 和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
§2-3 周期信号的频域分析
用频率函数来描述任意信号的方法称为信号的频域分析 2．3．1 频谱分析
T1 5 n1 有理数 T2 3 n2
Tl，T2最小公倍数为：
（n1=3 , n2=5）
T3=n1Tl＝n2T2=1 T3=1
所得的信号仍然是周期信号，其基本周期
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合（函数集合） 意义： (1) 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量 的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 (2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利 用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应 而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。
第二章 连续时间信号分析
连续时间信号的时、频域分析 常用及奇异信号的频域分析 傅里叶变换（级数）的基本性质及应用 傅里叶变换的卷积性质 非周期信号的能量密度 拉普拉斯变换
§2-1 概述
用三角函数集或复指数函数集作为正交函数集对 函数进行分解，称这种分析方法为“傅里叶分析 (Fourier analysis)”方法，该方法因法国数学家傅 里叶(J．Fourier，1768—1830)于1822年提出并证明 的“周期函数展开为正弦级数的原理”而得名。傅里 叶分析方法是一种频域分析方法，它包括用于对周期 信 号 进 行 频 域 分 析 的 “ 傅 里 叶 级 数 分 析 (Fourier series analysis)”和用于对任意信号进行频域分析 的 “ 傅 里 叶 变 换 分 析 (Fourier transform analysis)”。