第6章 图形变换02—透视变换
四下数学图形变换知识点
四下数学图形变换知识点数学中的图形变换是研究图形在平面或者空间中进行移动、旋转、翻转等操作的数学分支。
图形变换在几何学中有着广泛的应用，对于理解和解决几何问题有着重要的意义。
本文将重点介绍四下数学中的图形变换知识点，包括平移、旋转、翻转和对称等。
1.平移变换平移是指将图形在平面或者空间中沿着指定的方向和距离移动的操作。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
在平面坐标系中进行平移变换时，可以通过平移向量来描述平移的方向和距离。
平移变换的数学表示为：T(P) = P’ = P + v其中，P是原始图形上的点，P’是平移后的点，v是平移向量。
平移向量的坐标表示为(vx, vy)。
2.旋转变换旋转是指将图形按照指定的旋转中心和旋转角度进行旋转的操作。
旋转变换会改变图形的位置、形状和方向。
在平面坐标系中进行旋转变换时，旋转中心可以是坐标原点或者其他点。
旋转变换的数学表示为：R(P) = P’ = (x’, y’) = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，P是原始图形上的点，P’是旋转后的点，θ是旋转角度。
3.翻转变换翻转是指将图形按照指定的翻转线进行翻转的操作。
翻转变换会改变图形的位置、形状和方向。
在平面坐标系中进行翻转变换时，翻转线可以是x轴、y轴或者其他直线。
翻转变换的数学表示为：F(P) = P’ = (x’, y’) = (x, -y) （以x轴翻转）F(P) = P’ = (x’, y’) = (-x, y) （以y轴翻转）其中，P是原始图形上的点，P’是翻转后的点。
4.对称变换对称是指将图形按照指定的对称中心或者对称轴进行对称的操作。
对称变换会改变图形的位置、形状和方向。
在平面坐标系中进行对称变换时，对称中心可以是坐标原点或者其他点，对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。
对称变换的数学表示为：S(P) = P’ = (x’, y’) = (2 * a - x, y) （以点(a, 0)为对称中心对x轴对称）S(P) = P’ = (x’, y’) = (x, 2 * b - y) （以点(0, b)为对称中心对y轴对称）其中，P是原始图形上的点，P’是对称后的点。
常见图形的变换及用途：教案详解图像变换方法与应用
常见图形的变换及用途：教案详解图像变换方法与应用图形变换，是指将一个图形进行身形、大小、位置和姿态的改变，从而得到一个新的图形的过程，是图像处理中的重要内容。
图形变换不仅可以使得图像更加丰富和多样化，还可以在很多领域得到广泛的应用，如游戏、电影、多媒体、医疗等领域，今天我们就来详细的学习一下常见图形的变换及用途，希望对你有所帮助。
一、图形变换的基础知识1、图形变换的基本类型：主要包括刚性变换、相似变换、仿射变换、投影变换等。
2、图形变换的重要影响因素：主要包括变换矩阵、变换前后的坐标系、变换前后的图像大小等。
3、图形变换的基本理论：主要包括平移、缩放、旋转、翻转、拉伸、扭曲等几个关键技术。
二、常见图形变换及用途1、平移变换平移变换是将图像在正交平面内沿着x、y轴方向进行移动的一种基本变换，用于调整图像的位置。
通常使用平移矩阵来进行平移变换，矩阵内容为：[[1, 0, dx], [0, 1, dy], [0, 0, 1]]，其中dx、dy分别表示在x、y轴方向上的平移距离。
应用场景：在许多图像处理算法中，都需要将图像进行平移变换，比如说模板匹配、人脸检测等。
2、缩放变换缩放变换是将图像在x轴和y轴方向上均匀拉伸或收缩的一种基本变换。
通常使用缩放矩阵来进行缩放变换，矩阵内容为：[[a, 0, 0], [0, b, 0], [0, 0, 1]]，其中a、b表示在x、y轴各自方向上的缩放比例。
应用场景：在许多图像处理算法中，都需要将图像进行缩放变换，比如图像放大、縮小、模式识别、图像超分辨率重建等。
3、旋转变换旋转变换是将图像沿着某一点进行旋转的一种基本变换。
通常使用旋转矩阵来进行旋转变换，矩阵内容为：[[cosθ, -sinθ, 0], [sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1]]，其中θ表示旋转的角度。
应用场景：旋转变换在图像矫正、图像特征提取以及计算机视觉领域中得到广泛的应用。
4、翻转变换翻转变换是将图像进行水平或垂直方向翻转的一种基本变换。
图形变换的三种方式课件
实例2
在平面几何中，将三角形ABC沿垂直 方向向上平移2个单位，得到三角形 A'B'C'。
03
旋转变换
旋转变换的定义
01
旋转变换是指通过旋转一定角度 ，将图形从一个位置移动到另一 个位置的变换方式。
02
旋转变换通常以一个点为中心， 将图形围绕该点进行旋转。
旋转变换的性质
旋转变换不改变图形 的大小和形状，只改 变其方向和位置。
在计算机图形学中，旋转变换是常用的图形变换手段之一，用于实现图形的旋转动画、旋转 视图等效果。
04
缩放变换
缩放变换的定义
缩放变换是指通过改变图形中所有点的坐标值，使其在x轴或y轴方向上扩大或缩 小，从而改变图形的大小。
缩放变换可以分为两种类型：均匀缩放和非均匀缩放。均匀缩放是指图形在x轴 和y轴方向上同时扩大或缩小，而非均匀缩放是指图形在x轴和y轴方向上缩放的 比例不同。
旋转变换可以应用于 平面图形和三维图形 。
旋转变换具有旋转不 变性，即旋转前后图 形的性质保持不变。
旋转变换的实例
• 以直角坐标系为例，旋转变换可以用矩阵表示，例如绕原点逆 时针旋转θ角度的变换矩阵为
旋转变换的实例
``` [ cosθ sinθ
sinθ cosθ ]
旋转变换的实例
```
在几何图形中，旋转变换可以用于旋转三角形、矩形、圆形等基本图形，以及旋转复杂的组 合图形。
状和大小变化。
在计算机图形学中，缩放变换被 广泛应用于图像处理和动画制作 等领域，例如调整图片大小、改
变视频的播放速度等。
在建筑设计领域，通过缩放变换 可以模拟建筑物的实际尺寸和比 例，以便更好地进行设计和规划
。
图形的变换
xx年xx月xx日
目录
• 变换的基本概念 • 平面图形的变换 • 空间图形的变换 • 图形变换的应用 • 图形变换的进一步发展
01
变换的基本概念
变换的定义
图形变换的定义
将一个图形按照一定的方式，通过平移、旋转、缩放等操作 ，变为另一个图形的过程。
坐标变换
在变换过程中，原图形中的点与变换后的点一一对应，坐标 的变化关系可以用矩阵或函数表示。
比例变换改变图形的尺寸，但不改变其形状。比例变换可以用一个标量或矩 阵乘以图形的坐标表示。在计算机图形学中，缩放变换通常用矩阵表示。
更相变换
总结词
更相变换是指将一个图形变为另一个图形的形状和大小的过程。
详细描述
更相变换需要指定目标图形的形状和大小，通常用矩阵表示更相变换。更相变换 可以应用于计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域中，例如将一个图像变 为另一个图像的形状和大小。
变换前后的图形，除了位置和大小之外，其他 的几何性质（如角度、距离等）保持不变。
02
平面图形的变换
平移变换
总结词
平移变换是指将图形沿着特定方向和距离进行移动的过程。
详细描述
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。平移变换可以沿着水平、垂 直或倾斜方向进行，但要注意保持图形的形状和大小不变。平移变换通常用向量 表示，其中向量的大小表示距离，方向表示移动的方向。
变换的分类
按照变换的性质分类
分为几何变换和仿射变换。
按照变换的形式分类
分为平移变换、旋转变换、缩放变换、反射变换、错切变换等。
变换的性质
1 2
变换的逆变换
每一个变换都有一个逆变换，可以使得变换前 后的图形相互还原。
仿射变换与透视变换
仿射变换与透视变换1. 仿射变换1) 用途旋转 (线性变换)，平移 (向量加)．缩放(线性变换)，错切，反转2) 方法仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。
任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量(平移)的形式．公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，m11,m12,m21,m22为线性变化参数，m13,m23为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3。
3) 举例a) 以原点为中心旋转，2x3矩阵为：[ cos(theta), -sin(theta), 0 ],[ sin(theta), cos(theta), 0 ]则x’= x * cos(theta) - sin(theta) * yy’= x * sin(theta) + cos(theta) * yb) 平移，2x3矩阵为[1,0,tx],[0,1,ty]则x’= x * 1 + y * 0 + tx = x + txy’= x * 0 + y * 1 + ty = y + ty4) 图形变换样式2. 透视变换（投影变换）1) 用途将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接．2) 方法透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维到三维再到另一个二维空间的映射。
相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换。
以上公式设变换之前的点是z值为1的点，它三维平面上的值是x,y,1，在二维平面上的投影是x,y，通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z，再通过除以三维中Ｚ轴的值，转换成二维中的点。
图形的变换归纳总结
图形的变换归纳总结图形变换是数学中的一个重要概念，它涉及到图形在平面内的平移、旋转、镜像和缩放等操作。
通过对图形变换的归纳总结，我们能够更好地理解其规律和性质，并应用于解决实际问题。
本文将从平移、旋转、镜像和缩放四个方面来归纳总结图形变换的相关知识。
一、图形平移图形平移是指在平面内保持大小和形状不变的情况下，将图形沿平行向量平移一定距离。
平移变换的特点是新旧图形相似，仅位置发生改变。
平移变换常用符号表示为T(x, y) = (x + a, y + b)，其中T表示平移操作，(x, y)表示原始图形的坐标，而(a, b)表示平移向量的坐标。
通过平移变换，我们可以得到同一图形在不同位置的变化。
二、图形旋转图形旋转是指将图形按照某一中心点旋转一定角度，使其形状和大小保持不变。
旋转变换的特点是新旧图形相似，仅方向发生改变。
旋转变换常用符号表示为R(θ)，其中R表示旋转操作，θ表示旋转的角度。
旋转角度可正可负，表示顺时针或逆时针方向的旋转。
通过旋转变换，我们可以得到同一图形在不同方向的变化。
三、图形镜像图形镜像是指将图形沿一条直线作对称操作，使其形状和大小保持不变。
镜像变换的特点是新旧图形相似，仅位置关系发生改变。
镜像变换常用符号表示为M(x, y)，其中M表示镜像操作，(x, y)表示原始图形的坐标。
镜像操作可以分为水平镜像和垂直镜像两种情况。
通过镜像变换，我们可以得到同一图形在不同位置关系下的变化。
四、图形缩放图形缩放是指按照一定的比例改变图形的大小，使其形状保持不变。
缩放变换的特点是新旧图形相似，仅大小发生改变。
缩放变换常用符号表示为S(k)，其中S表示缩放操作，k表示缩放的比例因子。
比例因子k可以大于1表示放大操作，也可以小于1表示缩小操作。
通过缩放变换，我们可以得到同一图形在不同大小比例下的变化。
通过对图形变换的归纳总结，我们可以发现以下规律：1. 平移、旋转和缩放操作都可以通过坐标变换实现，其中平移操作相对简单，仅需改变图形的坐标即可；旋转和缩放操作则需要通过旋转矩阵和缩放矩阵进行计算。
第6讲 图像变换技术ppt课件
图像变换
变换是图像处理中最
常用的功能之一，通
过变换可以改变图像
的大小、形式、角度，
以达到理想的效果。
通过“编辑”→“变
换”和“自由变换” 子菜单中的命令，即
Photoshop CS
可变换图像。
图像变换操作
1. 缩放
“缩放”命令用于改变图像的大小。用户可以
是按比例缩放图片，也可以按不规则比例缩 放。在缩放图像时，按住Shift键，则可以按 等比例缩放。 2. 旋转
4. 选取变换对象 变换操作可以针对整个图层，也可以针对选区。 对于图层的变换，可以直接按Ctrl+T键选中并进行自由 变换，变换的范围是整个图层；而对于一个选区，变
换只针对所选中的区域范围。
Photoshop CS
图像换
5. 斜切
当鼠标操作某个角控制点时，其他角控制点不
发生变化，边控制点随之变化；当鼠标移至4条边的 中间控制点时，可在保持其他控制点不变的情况下， 按控制柄所在边的方向移动。
Photoshop CS
图像变换
8. 变形
通过操作图像中的多个控制点，实现对图像形状
的改变。
Photoshop CS
图像变换
9. 文字图层的变换
对于文字图层进行变换处理时，要首先对文字图
层进行栅格化处理，在进行变换。
Photoshop CS
总结
利用变换技术可以让我们所用到的图片、 图形变换成我们需要的形状、大小等。不仅 可以对图像中某个选区进行变换，还可以对 特定图层进行变换。 图像变换技术再搭配上颜色的调整，可 以让我们得到丰富多彩的图像效果，产生异 样的视觉效果。
Photoshop CS
计算机图形学中的透视变换算法研究
计算机图形学中的透视变换算法研究计算机图形学是一门应用广泛且发展迅速的学科，其中透视变换算法是其中的重要内容之一。
透视变换算法是用于将三维场景投影到二维平面上的一种技术，可以用于制作三维建模、游戏开发、虚拟现实等诸多场景。
本文将对透视变换算法进行深入探讨。
一、透视变换的基本原理透视变换是一种投影变换，实际上是将原本三维的场景投影到一个二维平面上，使得相机所看到的场景保持透视关系。
我们以一个简单的场景为例，来说明透视变换的基本原理。
图一：一个简单的场景如图一所示，我们需要将这个三维场景投影到一个平面上。
我们假设相机位置在(0,0,0)，相机朝向为Z轴正方向。
首先，我们需要将相机坐标系转换为世界坐标系。
我们可以通过相机的位置、视线方向、以及上方向来得到相机坐标系的X、Y、Z轴方向向量，进而得到相机矩阵(Camera Matrix)。
接下来，我们需要将物体坐标系转换为相机坐标系。
我们可以通过将物体的顶点坐标乘以一个变换矩阵(Model Matrix)，将物体从模型空间转换到世界空间，然后将其乘以相机矩阵，将其从世界空间转换到相机空间。
最后，我们对相机空间中的坐标进行透视变换，得到最终的图像。
透视变换的过程如下：(1) 将相机空间中的坐标投影到相机平面上。
这一步称作投影变换(Projection transformation)，通常使用投影矩阵(Projection Matrix)来实现。
(2) 对投影后的坐标进行归一化(Normalization)处理，使得所有坐标的Z值都等于1。
(3) 将归一化后的坐标变换到屏幕空间(Screen Space)。
屏幕空间是二维的，并且以屏幕左上角为原点，以屏幕右下角为坐标系的正方向。
这一步通常使用视口变换(Viewport Transformation)来实现。
二、透视变换算法的具体实现透视变换算法是计算机图形学中的重要内容之一，其核心在于将三维场景转换为二维图像。
图形变换方法及应用
因此有：
注意：此矩阵从表面上看，与绕z轴和x轴的变换矩阵符号上有所不同。
物体分别绕x、y、z轴旋转θ、φ、ψ角后，其转换矩阵为：
2.2.3变换的合并
1.平移
假设点P的坐标为X、Y，而Tx、Ty是该点沿x轴和y轴的平移量，X＇Y＇为平移后点P＇的坐标。
则平移变换公式为：
X＇=X+Tx
Y＇=Y+Ty
2．旋转
如图2所示，点P(x,y)绕原点旋转θ角，设逆时针为正。其点的坐标关系相当于点P不动，而坐标轴顺时针转动θ角，如图3。
由图3得旋转的变换公式：
X＇=X*COSθ- Y*SINθ
Y＇=X*SINθ+ Y*COSθ
3．比例
比例变换又称缩放。其作用是把图形放大或缩小。
变换公式为：
X＇=X*Sx
Y＇=Y*Sy
其意义为点P(x,y)相对于坐标原点，其x坐标值缩放Sx倍，y坐标值缩放Sy倍。
2.1.2二维图形变换矩阵
平面坐标系中的点的坐标值可用行向量[x y]表示，前面讲的各种变换都可以表达位矩阵形式，不同的变换的矩阵有不同的元素构成。
和二维变换相同，一个任意复杂的三维变换都可由基本变换合并而成。即：
式中T=T1*T2*T3……Tn即为合并后的变换矩阵。
3．公差的灵敏度分析
3．1公差的灵敏度分析概念
在任意一个零部件中，通常有一组基准点和若干个控制点，而基准点在X、Y、Z个方向上的变化对控制点的影响是不同的；即其灵敏度是不同的。
其分析方法有多种，如：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
透视和透视投影变换
透视和透视投影变换——论图形变换和投影的若干问题之三何援军（上海交通大学计算机科学与工程系，上海，200030）摘要：讨论了透视变换的基本原理：由于与画面成一角度的平行线簇经透视变换后交于灭点，可采用两种不同的方法来获得透视图：一是保持画面铅垂而通过旋转物体使之与画面构成角度达到透视变换效果，得到了3种最佳透视变换矩阵；二是通过倾斜投影画面而达到透视变换效果，给出了通过倾斜画面得到三灭点透视图的齐次透视变换矩阵。
两种方法的灭点都是可预先控制（即可先决定灭点再决定变换矩阵），比较彻底的解决了透视变换的生成理论。
给出了“对一个空间物体，一定存在另一个空间物体，使前者在画面上的透视投影与后者的平行投影是一样的，且保留了深度方向的对应关系”的一个证明。
这个性质可使复杂的透视投影转化成简单的平行投影，使得立体图形的处理大为简化。
关键词：透视变换，齐次变换矩阵，CG中图法分类号：TP391Perspective and its Projection TransformationHe Yuanjun(Department of Computer Science and Engineering,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030,China)Abstract: Basic principles of perspective transformation are discussed. Based on the fact that parallel-lines in some angle with view plane intersect at vanishing-point, two methods are presented to get perspective view: one is to keep the view plane vertical while rotating objects to some angle, thus to achieve perspective transformation effect, and three best perspective transformation matrixes is presented. The other is to incline projective view to get the effect. Homogenous perspective transformation matrix are present, which can generate 3-vanishing-point drawing through inclining view. Both methods are beforehand controllable (that’s to say vanishing-point is first decided, then comes out the transformation matrix), thus generating theory of perspective transformation is thoroughly solved. Prove that for each 3D object there must be another 3D object, which parallel projection is the same as the former’s perspective projection, and the corresponding depth relation is well preserved. With this useful property, a complicated perspective projection can be converted to a simple parallel projection, so the complication of 3D graphics processing becomes sharply reduced.Keywords: perspective transformation, homogenous transformation matrix, CG1.引言现实生活中的景物，由于观察距离及方位不同在视觉上会引起不同的反映，这种现象就是透视现象。
第6章 图形变换02—透视变换
2006年2月27日
上海交通大学计算机系 何援军
6
6.4.2 透视投影转化为平行投影— — 理论
r 证明：设有一个空间物体B1，其空间点由 P(x y z) 表 述，用下列方法构筑另一个空间物体B2：
透视子变换阵
2006年2月27日
上海交通大学计算机系 何援军
3
1 0 0 0 1 − 1 z e 0 0 1
6.4.1 透视变换—
基本变换公式：
1 0 (X Y Z H) = (x y z 1) 0 0
— 基本公式
0 1 0 0 0 0 0 0 1 − 1 ze 0 1
cos θ • cos α y 0 = cos θ • sin α y A
cos θ • sin α y sin θ / ze − cos θ • cos α y / ze (− h sin θ − C ) / ze + cos θ
其中 : A = (− cos α y • x0 − sin α y • z0 + x0 ) • cos θ C = (sin α y • x0 − cos α y • x0 + z0 ) • cos θ
6.
Y
X
7. 8. 9.
Y Z Z
Z Y X
// ctg α y・ z e, -ctgα x/sin α y・ z e, tgα z/sinα x ・ ze, -ctgα x・ ze,
灭 备 注 点 Z 数 1 1 个灭点在中心 0， 0 2 2 个灭点位于同一 0， tg α x・ z e 垂直方向 2 2 个灭点位于同一 tg α y・ z e， 0 水平方向 1 1 个灭点在中心 0， 0 3 2 个灭点位于同一 -tgα y ・ z e， tgα x/cosα y ・ z e 垂直方向， 1 个灭 点在水平轴上 -tg α y/cos α x・ z e， 3 2 个灭点位于同一 tgα x ・ ze ， 水平方向， 1 个灭 点在垂直轴上 -tg α y・cos α z・z e, 2 灭点成歪斜状态 -tg α y・sin α z・z e, 3 灭点成歪斜状态 -tg α y・ z e,0 0,tgα x ・ ze 3 2 个灭点位于同一 水平方向， 1 个灭 点在垂直轴上 灭点成歪斜状态 11
高三图形变换知识点总结
高三图形变换知识点总结图形变换是数学中的一个重要概念，也是高三数学中的一个重要知识点。
掌握了图形变换相关知识点，不仅可以解决一些几何题目，还能帮助我们更好地理解数学中的变换概念。
下面是高三图形变换的知识点总结。
一、平移变换平移变换又称为移动变换，是指将图形沿着平行方向进行移动，而保持图形的大小、形状和方向不变。
平移变换的性质如下：1. 平移变换是一种刚性变换，即变换前后的图形相似；2. 平移后的图形与原图形位置相同，只是在空间上平行移动；3. 平移变换有向量表示和坐标表示两种形式。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕定点旋转一定角度，得到新的图形。
旋转变换的性质如下：1. 旋转变换是一种刚性变换，即变换前后的图形相似；2. 旋转后的图形与原图形形状相同，只是在空间上旋转了一定角度；3. 旋转变换有角度表示和矩阵表示两种形式。
三、对称变换对称变换是指将图形绕某条直线对称，得到关于对称轴对称的新图形。
对称变换的性质如下：1. 对称变换是一种刚性变换，即变换前后的图形相似；2. 对称后的图形与原图形形状相同，只是在空间上关于对称轴对称；3. 对称变换有轴对称和点对称两种形式。
四、放缩变换放缩变换是指将图形按比例进行变形，可以是扩大或缩小图形，得到新的图形。
放缩变换的性质如下：1. 放缩变换会改变图形的大小和形状；2. 若比例因子大于1，则为放大；3. 若比例因子在0和1之间，则为缩小；4. 放缩变换有比例表示和矩阵表示两种形式。
五、剪切变换剪切变换是指将图形按一定方向进行错切，得到新的图形。
剪切变换的性质如下：1. 剪切变换会改变图形的形状和大小；2. 剪切变换有水平剪切和垂直剪切两种形式；3. 剪切变换可以用坐标或者矩阵表示。
总结：图形变换是高中数学中的一个重要内容，掌握了图形变换的知识点，能够帮助我们更好地理解几何概念，解决一些几何题目。
平移、旋转、对称、放缩和剪切是常见的图形变换方式，每种变换都有其独特的性质和表示方法。
图形的变换专题复习课件
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机器人学
在机器人学中，图形变换 用于描述机器人的运动和 位置。
02 平移变换
平移的定义和性质
总结词
平移变换是指图形在平面内沿某一方 向直线移动一定的距离。平移不改变 图形的形状和大小，只改变其位置。
详细描述
平移变换具有以下性质：方向性、距 离性、整体性、对应性。平移变换不 会改变图形内部的角度、长度等度量 性质，只影响图形的位置。
量矩阵来实现。
缩放的应用
01
在几何作图中，缩放可 以帮助我们更好地理解 和绘制图形。
02
在计算机图形学中，缩 放是常见的图形变换操 作之一，用于调整图像 的大小。
03
在工程和建筑领域，缩 放常用于设计图纸的绘 制和模型的制作。
04
在数学教育领域，缩放 可以帮助学生更好地理 解图形的性质和几何变 换的概念。
详细描述
设平面上一点P的坐标为(x, y)，沿x轴方向移动a个单位，沿y轴 方向移动b个单位，则平移后点P的坐标变为(x+a, y+b)。对于 平面图形上的任意一点，都可以用同样的方式来表示其平移后 的坐标。
平移的应用
总结词
平移变换在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。
详细描述
在几何中，平移变换常用于研究图形的性质和关系，例如通过平移来证明某些几何定理或推导几何结论。在物理 中，平移变换可以用来描述物体的运动，例如在机械运动中描述物体的位置变化。在工程中，平移变换可以用来 设计和分析机械零件、建筑结构等。
矩阵表示
在二维平面上，旋转变换可以用 一个2x2的矩阵表示，其中矩阵的
元素是关于旋转角度和旋转中心 的函数。
图像的几何变换PPT课件
4、图像镜像
图像的镜像变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0)进行 镜像后的对应点为P(x, y)，图像高度为fHeight，宽度为fWidth， 原图像中P0(x0, y0)经过水平镜像后坐标将变为（fWidth-x0， y0），垂直镜像后坐标将变为(x0，fHeight-y0)矩阵表达式为：
第二十二页，课件共46页。
2、图像比例缩放
放大前的图像
按最近邻域法放大两倍
第二十三页，课件共46页。
按插值法放大两倍
2、图像比例缩放
一般地，按比例将原图像放大k倍时，如果按照最近邻域 法则需要将一个像素值添在新图像的k×k的子块中。显
然，如果放大倍数太大， 按照这种方法处理会出现马赛克效应。
当fx≠fy(fx, fy＞0)时，图像在x方向和y方向不按比例放大， 此时， 这种操作由于x方向和y方向的放大倍数不同，一定 带来图像的几何畸变。
x x0 x 利用齐次坐标，变换前 y后图像y0上的点yP0(x0, y0)和P(x, y)之间的
关系可以用如下的矩阵变换表示为：
x
1
0
x
x0
y 0
1
y
y0
1 0 0 1 第二十七页，课件共46页。
1
3、图像平移
x＝ 2 , y＝ 1 图像平移
第二十八页，课件共46页。
从图像的性质分，图像的几何变换有： 平移、比例缩放、旋转、反射和错切等基本变换； 透视变换和复合变换；
插值运算等。
第三页，课件共46页。
1、几何变换基础
图像的几何变换是通过改变图像中物体（像素）之间 的空间关系的过程。图像的几何变换可以看成将各像 素在图像内移动的过程。其定义为 ：
数学图形的投影变换及应用
数学图形的投影变换及应用数学是一门抽象而又实用的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
其中，数学图形的投影变换是一种重要的数学工具，它可以将三维空间中的图形映射到二维平面上，从而方便我们对图形进行研究和应用。
一、投影变换的基本原理投影变换是指将一个空间中的点映射到另一个空间中的点的过程。
在数学中，我们常用的投影变换有平行投影和透视投影两种形式。
1. 平行投影平行投影是指从一个点到另一个点的映射是平行的。
在平行投影中，平行线保持平行，图形的大小和形状保持不变。
这种投影变换常用于工程制图和计算机图形学中。
2. 透视投影透视投影是指从一个点到另一个点的映射是不平行的。
在透视投影中，平行线不再保持平行，图形的大小和形状会发生变化。
透视投影常用于绘画和摄影中，可以使图像更加逼真。
二、投影变换的应用投影变换在现实生活中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1. 建筑设计在建筑设计中，投影变换可以帮助建筑师将三维建筑模型映射到二维平面上，从而方便进行设计和施工。
通过投影变换，可以清晰地展示建筑物的外观、结构和细节，有助于设计师和施工人员的沟通和理解。
2. 计算机图形学计算机图形学是一门研究如何在计算机上生成和处理图像的学科。
在计算机图形学中，投影变换被广泛应用于三维模型的渲染和显示。
通过透视投影，可以使计算机生成的图像更加逼真，增加观看者的沉浸感。
3. 地图制作地图是一种将地球表面的三维信息映射到平面上的图形。
在地图制作中，投影变换被用来将球面上的地理信息映射到二维平面上。
常见的地图投影方法有墨卡托投影、等面积投影和等角投影等，它们可以保持地图上各个地区的相对大小和形状。
4. 航空航天在航空航天领域，投影变换被广泛应用于飞行器的导航和控制。
通过将三维空间中的目标物体映射到二维平面上，可以方便地进行目标的跟踪和定位。
同时，投影变换还可以用于航空地图的制作和飞行路径的规划。
5. 艺术绘画透视投影在艺术绘画中有着重要的地位。
透视变换矩阵和相机参数
透视变换矩阵和相机参数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：透视变换矩阵和相机参数是计算机图形学中重要的概念，它们在虚拟现实、游戏开发和计算机辅助设计等领域起着重要作用。
透视变换矩阵用于将三维场景投影到二维屏幕上，而相机参数则决定了场景在屏幕上的具体表现方式。
本文将深入探讨透视变换矩阵和相机参数的原理及应用。
我们来介绍透视变换矩阵。
在计算机图形学中，透视变换矩阵是用来将三维空间中的点投影到二维平面上的矩阵。
它是由一个透视投影矩阵和一个视点矩阵组合而成。
透视投影矩阵包含了观察者的视点、视角和透视投影平面的参数，而视点矩阵则包含了场景中物体的位置、旋转和缩放等信息。
透视投影矩阵的计算方法包括了将物体坐标系中的点转换到相机坐标系中，再把相机坐标系中的点转换到裁剪坐标系中，最后再将裁剪坐标系中的点进行透视变换得到最终的屏幕坐标。
透视变换矩阵的计算涉及到矩阵乘法和坐标变换等数学知识，需要深入理解线性代数和几何变换的原理才能准确地进行计算。
相机参数也是影响场景表现的重要因素。
相机参数包括了视角、焦距、光圈和感光度等参数。
视角决定了场景在屏幕上的大小和比例，焦距和光圈决定了景深和景别，而感光度则影响了场景的曝光和对比度。
在计算机图形学中，调整相机参数可以使场景更加真实和逼真，符合人类眼睛的观察方式。
在虚拟现实和游戏开发领域，透视变换矩阵和相机参数的选择对于场景的表现至关重要。
合理的透视变换矩阵和相机参数可以让人们感受到身临其境的虚拟体验，增强沉浸感和真实感。
在计算机辅助设计领域，透视变换矩阵和相机参数则可以帮助设计师更准确地展示自己的设计作品，提高设计效率和质量。
第二篇示例：透视变换矩阵和相机参数是计算机图形学领域中非常重要的概念，它们能够帮助我们将三维世界中的物体投影到二维屏幕上，从而实现真实感的渲染效果。
本文将从透视变换矩阵和相机参数的定义、原理、应用以及优化等方面进行详细介绍。
透视变换矩阵是一种用来描述透视投影的数学工具，它可以将三维空间中的物体投影到二维屏幕上。
图形的变换
通过图形变换实现游戏物体之间的 碰撞检测，提高游戏的真实感和交 互性。
04
变换矩阵的实现
平移矩阵
矩阵形式
[1 0 Tx]
描述
将图形在x轴上向右移动Tx个单位
旋转变换矩阵
矩阵形式
[cosθ -sinθ Tx]
描述
以原点为中心，顺时针旋转θ角度
缩放矩阵
矩阵形式
[sx sy 0]
描述
图形的变换
xx年xx月xx日
目录
• 变换的基本概念 • 图形变换的方法 • 图形变换的应用 • 变换矩阵的实现 • 图形变换的优化 • 图形的组合变换
01
变换的基本概念
变换的定义
图形变换是指在几何空间中，将一个图形按照某种规则或规 律移动、旋转或缩放，从而得到另一个图形的过程。
图形变换是几何学中的一个基本概念，是计算机图形学、机 器人视觉等领域的基础。
三维图形的变换
三维图形的变换需要使用三维 矩阵来表示变换。
包括旋转、缩放、移动等操作 ，与二维图形的变换类似。
可以使用齐次坐标系来表示三 维图形的变换。
THANKS
谢谢您的观看
变换的等价性
对于两个给定的图形，存在多种不 同的变换方式可以将它们相互还原 。
02
图形变换的方法
平移变换
总结词
将图形沿着某一方向移动一定距离
详细描述
平移变换是一种基本的图形变换方法，它将图形沿着水平、垂直或斜向方向 移动一定距离。平移变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
旋转变换
总结词
将图形绕某一中心点旋转一定角度
以方便计算和表示。
极坐标系
对于需要关注角度和长度的图 形，如圆或螺旋线等，可采用 极坐标系进行表示和计算。
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2005年7月5日
上海交通大学计算机系 何援军
10
6.4.3由旋转变换产生透视图——原理 类似地，通过以下矩阵的乘积，可 得出五个类似的物体绕两个轴旋转 后的变换矩阵：
E E E E E
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Rx R z Pz Ry R x Pz Ry R z Pz Rz R y Pz Rz R x Pz
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透视参数
14
6.4.5 透视图的例子
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15
6.5 投射变换
1.概述 2.屏幕投射的基本原理 3.屏幕投射的实施 6.屏幕投射的变换公式 5.屏幕投射变换参数的求取
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设画面为右手坐标系，由比例关系，得
u U min x X min U max U min X max X min v V min y Y min V max V min Y max Y mi
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6.5.3 屏幕投射的实施
灭点F1-F3
13
6.4.4由倾斜画面产生透视图——公式
1 0 0 0 1 0 0 0 cos y 0 sin y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 P 0 0 1 0 0 0 1 0 sin y 0 cos y 0 0 h 0 1 x 0 z 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos cos 0 sin / ez 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos cos / ze x 0 z 1 0 0 0 cos 0 0 0 cos sin y cos sin y cos cos y 0 cos 0 sin / ze cos sin y 0 cos cos y cos cos y / ze A h cos C ( h sin C ) / ze cos 其中 : A ( cos y x0 sin y z0 x0 ) cos C (sin y x0 cos y x0 z0 ) cos
2 dz' ze (z e z) (z e z) ze 0 2 2 dz ( z e z) ( z e z)
即空间物体B1 和空间物体B2 相应的点与画面的远近关 系（深度方向）是一致的。证毕。
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6.4.3由旋转变换产生透视图——原理
将物体绕x轴转 αx角(Rx)，绕y轴转 αy角(Ry) ， 再施以变换Pz即得三灭点透视，变换为：
E
0 0 1 0 cos x sin x R x R y PZ R x R y PZ 0 sin x cos x 0 0 0 0 cos y 0 0 0 sin y 1 0 0 sin y 0 1 0 0 0 cos y 0 0 0 1
一是保持画面铅垂而通过旋转物体使 之与画面构成角度达到透视变换效果； 二是通过倾斜投影画面而达到透视变 换效果。
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6.4.2 透视投影转化为平行投影——理论
定理：对一个空间物体，一定存在另一 个空间物体，使前者在画面上的透视投 影与后者的平行投影是一样的，且保留 了深度方向的对应关系。
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6.5.3 屏幕投射的实施
由于该两窗口的尺寸不一定在X方向和Y方向 有相同的比例，为了使变换后的图形不出现 变形，因此投射时需要满足下列两个条件：
x，y方向成相同的比例变换（不引起变形）； W在S中占有最大的区域，即或在水平方向占据S 整个跨度或在垂直方向占据S的整个跨距。
上述两类变换公式有明显的缺陷： x方向和y方向的变换比例不一致， 这将导致圆（弧）经变换后变成椭 圆（弧），造成图形的失真。因此， 需要对上述变换公式进行调整。 设世界坐标窗口为： W[Xmin,Ymin,Xmax,Ymax] 画面坐标窗口为： S[Xsmin,Ysmin,Xsmax,Ysmax]
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6.4.3由旋转变换产生透视图——通式
旋转轴 序 及次序 ① ② 1. 不旋转 2. X 3. 4. 5. Y Z X Y
与原坐标轴平行线簇在 XOY 平面上的灭点坐标
X // // ctgα y·ze，0 // ctgα y·ze， 0 ctgα y/cosα x·ze， tgα x·ze ctgα y·cosα z·ze， ctgα y·sinα z·ze ctgα y·ze, tgα z/sinα y·ze, -ctgα z/sinα x·ze, -ctgα x·ze, // Y // 0， -ctgα x·ze // // -tgα y·ze， -ctgα x/cosα y·ze 0，-ctgα x·ze
规格化矩阵的前三行，即得原来分别平行于x，y，z 轴的向量经变换后的投影分别交于三个灭点：
(ctg y ze ,
tg z , ctg x z 0)， e y e cos y
和
tg z , tg x z e y e cos y
10. X Z 2005年7月5日
ctgα x·sinα z·ze, -tgα x·sinα z·ze, 上海交通大学计算机系 何援军 -ctgα x·cosα z·ze, tgα x·cosα z·ze,
2
6.4.4由倾斜画面产生透视图——原理
视点E
投影画面K
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ze ze
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6.4.3由旋转变换产生透视图——原理
cos y 0 sin y sin y z e sin x sin y cos x sin x cos y sin x cos y z e cos sin x y sin x cos x cos y cos x cos y z e 0 0 0 1
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6.4.2 透视投影转化为平行投影——理论
证明：设有一个空间物体B1，其空间点由P(x y z)表 述，用下列方法构筑另一个空间物体B2：
B2的拓扑与的空间物体B1一致，其相应空间点P´(x´ y´ z´) 由P经透视变换而得。 显然，B1在xoy平面上的透视投影坐标与B2在xoy平面上的 正投影坐标均为(x´ y´)。而由于
透视子变换阵
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6.4.1 透视变换——基本公式
设视点E(0,0,ze)在z轴上，空间点为P(xp,yp,zp)， 则视线EP的直线方程为： x=0+(xp-0)t y=0+(yp-0)t z=ze+(zp-ze)t
2005年7月5日
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1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 ze 0 0 1 0 0
=
cos y 0 sin y sin y ze sin x sin y cos x sin x cos y sin x cos y cos sin y sin x cos x cos y cos x cos y x 0 0 0 1
第6章 图形变换
之二——透视变换、视图变换
6.4 透视变换
1.概述 2.透视投影转化为平行投影 3.通过旋转变换产生透视图 4.通过倾斜画面产生透视图 5.透视变换的例子
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上海交通大学计算机系 何援军
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6.4.1 透视变换——概述
现实生活中的景物，由于观察距离及方位不同， 在视觉上会引起不同的反映，这种现象就是透视 现象。研究这种现象并使之能在平面上用线来表 现其规律，使画面可正确地表现出物体之间的远 近和层次关系，使观察者获得立体的、有深度的 空间感觉，就必须研究透视变换的规律。
4
1 0 0 0
1 0
0 0 0 1 1 ze 0 0 1 0 0
6.4.1 透视变换——基本公式
矩阵形式为：
X
矩阵
Y Z H x
1 0 y z 1 0 0
0 1 0 0 0 1 1 ze 0 0 1 0 0
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6.5.3 屏幕投射的实施
设W内的两条直线
x=x0 y=y0
分别变换到S内的两条直线
xs= xs0 ys= ys0
则有
xs xs0 x x0 ＝ Xsmax Xsmin X min X max
y y0 Ymax Ymin
y s y s0 ＝ Ys Ys max min
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2005年7月5日
6.5.3 屏幕投射的实施
令
X max X min Sx Xs max Xs min Ymax Ymin Sy Ysmax Ysmin
其中Sx，Sy分别为W和S在x和y方向的比例因子。 为了保证相同的比例和W在S中占有最大的区域两 个条件，取 S0＝max(Sx,Sy) 于是有 x-x0=S0(xs-xs0) 即 xs= xs0+(x-x0)/S0 y-y0=S0(ys-ys0) ys= ys0+(y-y0)/S0