第5章 有限时间热力学
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第五章 有限时间热力学
主要内容
5.1 概述 5.2 内可逆卡诺循环的效率 5.3 内可逆卡诺热机工质与热源间的 最佳温差 5.4 内可逆逆卡诺循环工质与热源间 的最佳温差
中南大学能源科学与工程学院
第 一 节 概 述
中南大学能源科学与工程学院
• 工程热力学研究的理论基础：
• 平衡态和可逆过程，要求内外势差趋于0，则花费 的时间无限长，效率趋于0。 • 有限时间热力学： • 在有限时间内完成循环和优化循环。
Q1 Q 2 1 1 PN K 1 TL x y x 1 1 y
1
(13)
同时可以得到
T2 x t 1 1 T1 y
中南大学能源科学与工程学院
(14)
对于包括高温热源、低温热源和热机在 内的孤立系，熵产
中南大学能源科学与工程学院
1 1
R Q
(21)
由
0和 0 ，联立求得 x y
y RQ 1 0 y 1
1 1 1 x RQ 1 0 1 x
(22)
(23)
上述二式为由有限时间热力学第二定律分析 得到的求解最佳温差的方程式 利用数值计算的牛顿法求解上述二式，结果 绘成图5-8、图5－9和图5-10所示的曲线。
图2 内可逆卡诺循环的功 率、效率和熵产率曲线 中南大学能源科学与工程学院
引入目标函数（目标：熵产率取得最小值； 变量：温差；约束条件：PN 保持定值）
1 1 1 F(x, y) y x x 1 1 y
1 1 1 1 x y x 1 1 y PN
(7)
L K1TL K 2TH H
12
(8)
中南大学能源科学与工程学院
引入 H TH ，从式(7)消去 L可以得到 的 二次方程
1 K1 K 2 2 2K1TL 1 TH TL 0
12 K 2TH 1
由于
<1，上式相应的实根为 12 H 1 TH TL L 1 K1 K 2 1 2
TH TL
S
Q 2 k 2 A 2 T2 TL 2
0
T2
Q2
图7 内可逆卡诺制冷机
中南大学能源科学与工程学院
类似前述的内可逆卡诺循环，令
TH TL
K1 K2 k1A1 k 2A2
x TH T1
y TL T2
可得无因次制冷率为
1 Q2 RQ y K 1 TH 1 x y 1
L TH TL 1 TL 1 K 1 K 2 1 2
12
(9)
由方程(8)得
(10)
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内可逆卡诺热机的热效率
c,r T2 TL L 1 1 T1 TH H
将式(9)和(10)代入上式，并消去 H 和 L 可 得在输出功率最大时内可逆卡诺循环的热效率
(16)
由
F 0 x
F 及 0 得 y
1
1 1 0 PN x 1 x 1 x 1
(17)
1 PN 1 0 1 y 1 y y
一 内可逆卡诺热机工质与热源间 的最佳温差
研究对象： 图1所示内可逆卡诺热机 吸热过程时间 1 ，放热过程时间 2 ，忽 略绝热过程时间，即 1 ，则
1 2
中南大学能源科学与工程学院
引入x TH T1 ，y TL T2
TH TL ， K 1 K 2 ，可 K2 k2A2 ， 令 K 1 k 1A1 ， 以得
T2 T2 TL 5.73K
和常规值3—10K相符。
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第六节 内可逆逆循环工质 与热源间的最佳温差
中南大学能源科学与工程学院
一 内可逆逆卡诺循环工质与热 源间的最佳温差
研究对象： 同样有
Q1 k1A1 TH T1 1
内可逆卡诺循环制冷机
T
T1
Q1
1
(18)
得到最佳x和y。
中南大学能源科学与工程学院
中南大学能源科学与工程学院
例：50MW汽轮机发电机组，所配置锅炉HG220/100-1型锅炉。
TH 1356 .6K
PN 0.33
K1 5429 .4kW / K K 2 8516 .0kW / K
TL 278K
由牛顿法求的y=0.98，从而有：
即
1 1 1 s y x x 1 1 y
1
(15)
中南大学能源科学与工程学院
除去PN ,max 一点外， PN x 对于确定的 值， 和 y 不唯一，也就是 说存在一组最佳温差 使热效率达到最 高 max ，或是熵产率 达到最小 s,min 。
1
(19)
中南大学能源科学与工程学院
考虑包括热源、冷源和制冷机在内的孤立系， 有无因次熵产率为
1 Siso 1 1 1 1 s Q2 Q 1 K1 K 1 TH T1 T T 1 2
1 1 1 s x y 1 x y 1
300 42.3% 900
与实际循环热效率比较接近。
结论：利用有限时间热力学所得的内可逆卡诺循环的 热效率更接近于实际。
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第三节 内可逆卡诺热机工质 与热源间的最佳温差
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TL 1 T H H TH T1 TH 12 K1 1 K 2
中南大学能源科学与工程学院
二 蒸气压缩制冷循环工质与热源间的最 佳温差
研究对象：蒸气压缩式制冷机
T d e
T1
c
TH
TL
a 0
T2
b S
中南大学能源科学与工程学院
有限时间热力学的主要研究内容：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 卡诺热机的最佳效率与功率间的关系； 卡诺热机的效率与最大功率间的关系； 循环工质与热源间的工作温度； 功率与效率的谱分析； 制冷循环的有限时间热力学分析； 动力循环的有限时间热力学分析； 斯特林机的有限时间热力学分析； 其他循环与过程的有限时间热力学分析。
核心问题： ①考虑了时间因素后的优化目标函数； ②在确定的目标函数下热力学参数的优化。
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TL 300K TH 900K ， 例如：对于蒸汽动力循环而言， 按卡诺循环计算其热效率
TL 300 c 1 1 66.7% TH 900
显然与实际循环热效率40％相差甚远。若按式(5 －11)计算
c,r TL 1 T H
12
1
中南大学能源科学与工程学院
中南大学能源科学与工程学院
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结论： 1.若不增加不可逆传热温差所造成的损 失，降低 可提高制冷率 R Q 。 方法：增大蒸发器面积或传热系数以 提高 k 2 ,降低 等； 2. 在 及 R Q相同的条件下，为减少不 可逆损失应减小 ，在环境温度 TH 不变 的条件下，应提高冷源温度。
目标函数：输出功率 P Pmax时工质与热源间 的温差 12 12
TH T 1 L T2 TL TL L 1 2 K2 1 K 1
若以 TH 900K ，TL 300K 及 K1 K 2 1 代入，可得
L T2 109.8K
c,r TL 1 T H
12
(11)
12
同时可以推得
K2 1 2 K 1
TH TL K1K 2 以及最大功率的计算式 Pmax K K 1 2
中南大学能源科学与工程学院
2
(12)
1
(20)
同样根据拉格朗日极值原理，引入常数 ， 结合上述二式，可以得到制冷率 R Q 保持定值，无 因次熵产率 s 取最小值的优化目标函数
1 1 1 1 ( x , y) y 1 x y 1 x y 1 x y 1
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假设热机循环所需时间 正比于等温吸热 和放热时间之和，比例系数为 ，则有
1 2
(3)
内可逆卡诺循环对外输出功率P为
Q1 Q 2 Q1 Q 2 P 1 2
(4)
引入
L T2 T2 TL
Fra Baidu bibliotek
H T1 TH T1
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第二节 内可逆卡诺循环的效率
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内可逆卡诺循环： 不考虑工质的粘性摩阻，工质在循环 过程内部是可逆的。然而，工质在吸热 过程和放热过程中与热源间存在温差。
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图1 内可逆卡诺循环
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工质在吸热和放热过程中的吸热量 Q1和放热量Q 2 分别 (1)
Siso 1 1 1 1 Q1 T T Q2 T T H 2 1 L
无因次熵产率
S iso TH T1 TH T1 T2 / T1 T2 TL TL T2 s K1 1 K 1 TH T1 T2 K 2 T2 T2 TL
H T1 190.2K
实际(蒸汽与冷却水)传热温差： 3－10℃（火力发电厂）。
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目标函数： 热能利用率最高或不可逆损失最小（不应 是使功率取得最大值）。 采用热力学第二定律的目标函数更能反映问 题的本质，使物理意义更加清晰，故目标函数选 为熵产率。
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K 2TH L TH TL H L
K1TLH TH TL H L
H K 2TH L K1TLH H L K1 K 2
L K 2TH L K1TLH H L K1 K 2
由此可得
(6)
代入到上式可得
K1K 2H L TH TL H L P K 2 A 2TH L K1A1TLH H L K1 K 2
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(5)
当 从而有
P 0 H
P 和 0 L
时，可得 P 的最大值 Pmax ,
Q1 k1A1 TH T1 1
Q 2 k 2 A 2 T2 TL 2
(2)
由于循环是内可逆循环，因此根据卡诺循环的性 质有 Q1 Q 2 T1 T2 令 K 1 k 1 A 1 , K 2 k 2 A 2 可以得
1 K 2 T2 TL T1 2 K1 TH T1 T2
主要内容
5.1 概述 5.2 内可逆卡诺循环的效率 5.3 内可逆卡诺热机工质与热源间的 最佳温差 5.4 内可逆逆卡诺循环工质与热源间 的最佳温差
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第 一 节 概 述
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• 工程热力学研究的理论基础：
• 平衡态和可逆过程，要求内外势差趋于0，则花费 的时间无限长，效率趋于0。 • 有限时间热力学： • 在有限时间内完成循环和优化循环。
Q1 Q 2 1 1 PN K 1 TL x y x 1 1 y
1
(13)
同时可以得到
T2 x t 1 1 T1 y
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(14)
对于包括高温热源、低温热源和热机在 内的孤立系，熵产
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1 1
R Q
(21)
由
0和 0 ，联立求得 x y
y RQ 1 0 y 1
1 1 1 x RQ 1 0 1 x
(22)
(23)
上述二式为由有限时间热力学第二定律分析 得到的求解最佳温差的方程式 利用数值计算的牛顿法求解上述二式，结果 绘成图5-8、图5－9和图5-10所示的曲线。
图2 内可逆卡诺循环的功 率、效率和熵产率曲线 中南大学能源科学与工程学院
引入目标函数（目标：熵产率取得最小值； 变量：温差；约束条件：PN 保持定值）
1 1 1 F(x, y) y x x 1 1 y
1 1 1 1 x y x 1 1 y PN
(7)
L K1TL K 2TH H
12
(8)
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引入 H TH ，从式(7)消去 L可以得到 的 二次方程
1 K1 K 2 2 2K1TL 1 TH TL 0
12 K 2TH 1
由于
<1，上式相应的实根为 12 H 1 TH TL L 1 K1 K 2 1 2
TH TL
S
Q 2 k 2 A 2 T2 TL 2
0
T2
Q2
图7 内可逆卡诺制冷机
中南大学能源科学与工程学院
类似前述的内可逆卡诺循环，令
TH TL
K1 K2 k1A1 k 2A2
x TH T1
y TL T2
可得无因次制冷率为
1 Q2 RQ y K 1 TH 1 x y 1
L TH TL 1 TL 1 K 1 K 2 1 2
12
(9)
由方程(8)得
(10)
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内可逆卡诺热机的热效率
c,r T2 TL L 1 1 T1 TH H
将式(9)和(10)代入上式，并消去 H 和 L 可 得在输出功率最大时内可逆卡诺循环的热效率
(16)
由
F 0 x
F 及 0 得 y
1
1 1 0 PN x 1 x 1 x 1
(17)
1 PN 1 0 1 y 1 y y
一 内可逆卡诺热机工质与热源间 的最佳温差
研究对象： 图1所示内可逆卡诺热机 吸热过程时间 1 ，放热过程时间 2 ，忽 略绝热过程时间，即 1 ，则
1 2
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引入x TH T1 ，y TL T2
TH TL ， K 1 K 2 ，可 K2 k2A2 ， 令 K 1 k 1A1 ， 以得
T2 T2 TL 5.73K
和常规值3—10K相符。
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第六节 内可逆逆循环工质 与热源间的最佳温差
中南大学能源科学与工程学院
一 内可逆逆卡诺循环工质与热 源间的最佳温差
研究对象： 同样有
Q1 k1A1 TH T1 1
内可逆卡诺循环制冷机
T
T1
Q1
1
(18)
得到最佳x和y。
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例：50MW汽轮机发电机组，所配置锅炉HG220/100-1型锅炉。
TH 1356 .6K
PN 0.33
K1 5429 .4kW / K K 2 8516 .0kW / K
TL 278K
由牛顿法求的y=0.98，从而有：
即
1 1 1 s y x x 1 1 y
1
(15)
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除去PN ,max 一点外， PN x 对于确定的 值， 和 y 不唯一，也就是 说存在一组最佳温差 使热效率达到最 高 max ，或是熵产率 达到最小 s,min 。
1
(19)
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考虑包括热源、冷源和制冷机在内的孤立系， 有无因次熵产率为
1 Siso 1 1 1 1 s Q2 Q 1 K1 K 1 TH T1 T T 1 2
1 1 1 s x y 1 x y 1
300 42.3% 900
与实际循环热效率比较接近。
结论：利用有限时间热力学所得的内可逆卡诺循环的 热效率更接近于实际。
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第三节 内可逆卡诺热机工质 与热源间的最佳温差
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TL 1 T H H TH T1 TH 12 K1 1 K 2
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二 蒸气压缩制冷循环工质与热源间的最 佳温差
研究对象：蒸气压缩式制冷机
T d e
T1
c
TH
TL
a 0
T2
b S
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有限时间热力学的主要研究内容：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 卡诺热机的最佳效率与功率间的关系； 卡诺热机的效率与最大功率间的关系； 循环工质与热源间的工作温度； 功率与效率的谱分析； 制冷循环的有限时间热力学分析； 动力循环的有限时间热力学分析； 斯特林机的有限时间热力学分析； 其他循环与过程的有限时间热力学分析。
核心问题： ①考虑了时间因素后的优化目标函数； ②在确定的目标函数下热力学参数的优化。
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TL 300K TH 900K ， 例如：对于蒸汽动力循环而言， 按卡诺循环计算其热效率
TL 300 c 1 1 66.7% TH 900
显然与实际循环热效率40％相差甚远。若按式(5 －11)计算
c,r TL 1 T H
12
1
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结论： 1.若不增加不可逆传热温差所造成的损 失，降低 可提高制冷率 R Q 。 方法：增大蒸发器面积或传热系数以 提高 k 2 ,降低 等； 2. 在 及 R Q相同的条件下，为减少不 可逆损失应减小 ，在环境温度 TH 不变 的条件下，应提高冷源温度。
目标函数：输出功率 P Pmax时工质与热源间 的温差 12 12
TH T 1 L T2 TL TL L 1 2 K2 1 K 1
若以 TH 900K ，TL 300K 及 K1 K 2 1 代入，可得
L T2 109.8K
c,r TL 1 T H
12
(11)
12
同时可以推得
K2 1 2 K 1
TH TL K1K 2 以及最大功率的计算式 Pmax K K 1 2
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2
(12)
1
(20)
同样根据拉格朗日极值原理，引入常数 ， 结合上述二式，可以得到制冷率 R Q 保持定值，无 因次熵产率 s 取最小值的优化目标函数
1 1 1 1 ( x , y) y 1 x y 1 x y 1 x y 1
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假设热机循环所需时间 正比于等温吸热 和放热时间之和，比例系数为 ，则有
1 2
(3)
内可逆卡诺循环对外输出功率P为
Q1 Q 2 Q1 Q 2 P 1 2
(4)
引入
L T2 T2 TL
Fra Baidu bibliotek
H T1 TH T1
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第二节 内可逆卡诺循环的效率
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内可逆卡诺循环： 不考虑工质的粘性摩阻，工质在循环 过程内部是可逆的。然而，工质在吸热 过程和放热过程中与热源间存在温差。
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图1 内可逆卡诺循环
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工质在吸热和放热过程中的吸热量 Q1和放热量Q 2 分别 (1)
Siso 1 1 1 1 Q1 T T Q2 T T H 2 1 L
无因次熵产率
S iso TH T1 TH T1 T2 / T1 T2 TL TL T2 s K1 1 K 1 TH T1 T2 K 2 T2 T2 TL
H T1 190.2K
实际(蒸汽与冷却水)传热温差： 3－10℃（火力发电厂）。
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目标函数： 热能利用率最高或不可逆损失最小（不应 是使功率取得最大值）。 采用热力学第二定律的目标函数更能反映问 题的本质，使物理意义更加清晰，故目标函数选 为熵产率。
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K 2TH L TH TL H L
K1TLH TH TL H L
H K 2TH L K1TLH H L K1 K 2
L K 2TH L K1TLH H L K1 K 2
由此可得
(6)
代入到上式可得
K1K 2H L TH TL H L P K 2 A 2TH L K1A1TLH H L K1 K 2
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(5)
当 从而有
P 0 H
P 和 0 L
时，可得 P 的最大值 Pmax ,
Q1 k1A1 TH T1 1
Q 2 k 2 A 2 T2 TL 2
(2)
由于循环是内可逆循环，因此根据卡诺循环的性 质有 Q1 Q 2 T1 T2 令 K 1 k 1 A 1 , K 2 k 2 A 2 可以得
1 K 2 T2 TL T1 2 K1 TH T1 T2