连续型随机变量及其密度函数的概念与性质

连
续
型
离
散
型
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例1 设随机变量 的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
(1) 确定常数 ;
(2) 求{ > . } ; (3) 求 的分布函数().
解 (1)由归一性, 有
+∞
න
−∞
+∞
()d = න
e− d ≈ . .
.
()是分段表
达的, 求 ()
时也分段求.
当 x ≤ 0 时, F(x)=0.


当 x＞0 时, () = න ()d = න e− d = − e− .
−∞
所以

− e− ,
() = ൝
,
> ,
≤ .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的
概念与性质
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
离散型 可能值为离散可列个点,如,次品数.

随机
变量 连续型
可能值为某个区间,如,年降水量.
←分布律
←？
1. 概率密度函数定义
设()是随机变量 的分布函数, 若存
在非负函数 (), 使对任何实数 ,有
知识点2.5
故
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
− = + ,
→−
= + .
→
−
π
+
= − = ,



π
+
= + = .


即

= ,

⇒

= .
π
,


⇒ () =
+ ,


,
≤ −,
− < ≤ ,
> .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质


(2) − < <
=
− −





= +
−= .



(3)随机变量 的概率密度为

′
() = () = ൞ −
+
‫׬‬
()d
→
= .
由此可得
{ ≤ ≤ } = { < ≤ } = { ≤ < } = { < < }.
连续型随机变量取值落在
某一区间的概率与区间的开闭无关
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
若 是连续型随机变量, { = } 是不可能事件, 则有
,
,
− < ≤ ,
其他.
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例2 设连续型随机变量 的分布函数为
,

= + ,

,
≤ −,
− < ≤ ,
> .
求： (1)系数 , 的值;

(2) − < < ;

(3)随机变量 的概率密度.
解
(1)因为 是连续型随机变量, 所以 () 连续.

+∞

e− d = − ⅇ− ฬ = = ,



解得 = . 于是 的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
+∞
(2) { > . } = න
+∞
()d = න
.
(3) 由密度函数的定义知
+∞
(2) 归一性: න
() = ;
−∞

(3) { < ≤ } = − ( ) = න () ;

y
()
o
x1
x2
x
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
同时得以下计算公式

{ ≤ } = () = න ()d;
= = .
若 = = , 则不能确定 = 是不可能事件.
若 为离散型随机变量,则
= 是不可能事件 ⇔ = = .
可见, 由 = , 不能推出 = ∅.
同样的, 由 =1, 不能推出 = .
称 为几乎不可能事件, 为几乎必然事件.


()
() = න () d
−∞
则称 为连续型随机变量, 称 ()为 X 的概
率密度函数, 简称概率密度.


知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
2. 概率密度函数的性质
这两条性质是判定一个函数
() 是否为某个变量的概率
密度函数的充要条件.
(1) 非负性: () ≥ 0；
−∞
+∞
{ > } = − () = න
()d .

(4) 若 f (x)在点 x 处连续, 则有′ () = ().
知识点2.5
注意
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
对于任意可能值 ,连续型随机变量取 的概率等于零, 即
{ = } = .
证明
{ = } =