数学史(第8章微积分的发展)

第8章分析时代

主题：

18世纪数学的发展

线索问题：

1 无限小算法推广的两条路线及其成果，两条路线的特点是什么？

2 欧拉的主要数学贡献及其意义是什么？

3微积分深入发展的方向：积分技术与椭圆积分、微积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念的深化、微积分的严格化的含义是什么？

4 18世纪微积分应用的发展特点，新分支形成过程及基本思想，比如常微分方程、偏微分方程、变分法等是什么？

5 概述微分几何的发展、代数的发展、数论的发展。

概述：

本章重点介绍了微积分深入发展的方向，及在微积分的影响下的一些重要数学分的发展。

主要内容：

恩格斯说：“人类精神的最高胜利”。微积分的产生推动了许多新的数学分支产生，形成了“分析”这样一个在观念和方法具有鲜明特点的数学领域。18世纪是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。

一、无穷小算法发展的两条路线：一是英国一批数学家以牛顿的流数术为出发点的微积分应用方向。二是欧洲大陆一批数学家沿着莱布尼茨路线的分析方向。

英国的优秀代表有：泰勒（泰勒公式，是微积分进一步发展的有力工具）、麦克劳林（微积分的形式化努力，由于其几何传统没有成功，旋转椭球体的引力定理）、棣莫弗、斯特林等。他们获得了许多微积分算法的成果，并且也向微积分形式化方向但由于几何传统而不成功。

欧洲大陆：新分析方向是在莱布尼茨的后继者推动下发展。雅各布.伯努利和约翰.伯努利，他们的工作构成了现在初等微积分的主要内容。18世纪微机分最重要的贡献是欧拉作出的。欧拉（1707－1783），《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》是微积分学史里程碑式的工作，欧拉引进了一批标准的符号，对分析表述的规范化起了很重要的作用。除此之外，18世纪推进微积分的还有法国学派，代表人物又克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。

二、微积分发展的几个方面：

（1）积分技术与椭圆积分：变量代换和部分分式等方法；椭圆积分，它们不能用已知初等函数来表示，一般的形式为：⎰dx x R x P )()

(后来对椭圆函数的一般研究在

19世纪被阿贝尔和雅可比独立地发展成深刻的椭圆函数理论。

（2）微积分向多元函数的推广：

（3）无穷级数理论：调和级数，欧拉常数，悖论，级数收敛判别法则

（4）函数概念深化：函数在17世纪引入，牛顿“生成量”，莱布尼茨首先使用“函数”（function ），这时函数堪称“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”，约翰.伯努利，函数概念公式化，欧拉将伯努利将函数解析化，他将函数定义为：变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。函数概念大大丰富了，发现了一系列的超越函数，比如-Γ函数和-B 函数。

（5）微积分的严格化尝试：代表人物是：达朗贝尔、欧拉、拉格朗日。

在严格化过程中，英国牛顿的后继者由于坚持几何论证而显得软弱无力，而欧洲大陆数学家则力图以代数化来克服微积分基础的困难。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。

19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西（1789-1851）。柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。

“分析算术化”的主将是维尔斯托拉斯，因为分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。创造了一套δε-语言，用以重建分析体系。实数理论：戴德金分割，康托尔的“基本序列”。康托尔建立集合论。

（6）微积分的应用与新分支

微积分在物理上特别是力学上的应用是18世纪数学的主要特征之一，从而一系列的新分支发展起来：这些分支有如下：

常微分方程，偏微分方程，变分法

三、18世纪的几何与代数

18世纪的几何与代数是伴随分析而发展的，可以说18世纪是分析的世纪。微分几何的形成，代数的主题是代数方程，当然分析的深化也是在代数方法下发展的。其方向表现在这几个方面：

1微分几何

2代数

（1）代数基本定理

（2）高次方程根式解

（3）方程组理论

（4）数的认识

数论：费马提出的一些列猜想费马提出的部分定理：

（1）费马小定理：

（2）费马大定理：

（3）平方数问题：（a）每个4n+1形的素数和它的平方都只能以一种方式表示为两个平方数之和；每个4n+1形的素数三次方和四次方都能以两种方式表示为两个平方数之和；每个4n+1形的素数五次方和六次方都能以三种方式表示为两个平方数之和；如，n=1时，

（b)每个正整数可表示成四个或少于四个平方数之和

（4）费马数：

n=0，1，2，3……的数是素数。

（5）佩尔方程。当d是正数但非完全平方数时有无穷多个整数解。

哥德巴赫在给欧拉的信中提出了自己的猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和。哥德巴赫的原始陈述相当含糊，欧拉将其进一步明确化，但却未能证明这个命题。哥德巴赫猜想现在的表述形式是英国数学家华林在他的《代数沉思录》中首先给出的。华林在同一著作中还提出了他自己的一个猜想：任一自然数n，可表示成至多r个数的k次幂之和，其中r依赖于k。

1732年，欧拉推翻了费马数的结论。N=5时，它有一个因子是641.

1736年，欧拉证明了费马小定理。

1754年，欧拉证明了平方数问题的第一个问题，1770年，拉格朗日证明了平方数问题的第二个问题。

1766年，拉格朗日证明了佩尔方程解的存在性。

1767年，1909年德国数学家希尔伯特首次证明华林问题。

1994年，英国数学家维尔斯证明费马大定理。

而哥德巴赫猜想至今仍然悬而未决。