解决平面解析几何问题的思维策略研究

解决平面解析几何问题的思维策略研究

成都市武侯区四川大学附属中学数学组简洪权

摘要

本研究把解决平面解析几何问题的思维过程划分为理解问题、转化问题、解答问题、反思问题四个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨了解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略：运用恰当的语句表述问题的条件、运用正确的方法指导解题的思路、运用基本的知识和技能简化运算过程、运用恰当的思维方法提炼解答过程中的一般规律。

关键词：问题解决，平面解析几何问题，思维过程，思维策略

1．问题的提出

学数学离不开解题。解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出问题的解的活动。小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术应用于实际构建出适当的模型等，都叫做解题。美国数学家保罗哈尔莫斯(Paul Halmos)认为：“数学家存在的主要理由就是解问题”，“数学的真正的组成部分是问题和解” [1]。数学家的解题是一个创造和发现的过程，教学中的解题则是一个再创造或再发现的过程。

美籍匈牙利数学教育家乔治波利亚(George Polya) 在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就是意味着善于解题”

[1]。他认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。在数学教学中，“解题”是一种最基本的活动形式，无论是数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法与技能的获得，还是学生能力的发展与提高，都要通过解题活动来完成。同时，“解题”也是评价学生认知水平的重要手段。

为此，研究者把解决平面解析几何问题的思维过程划分为几个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略，旨在用以指导具体解题的方法。

2．解决平面解析几何问题的思维过程

数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程，乔治波利亚提出了四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾[2]。平面解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。坐标法是平面解析几何最基本的方法，它是利用“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个重要概念，借助于平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，用坐标表

示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质。根据平面解析几何这一学科的特点，解决平面解析几何问题，需要把平面几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为平面几何问题)，从而利用代数知识(或平面几何知识)解决问题。因此，可以把解决平面解析几何问题的思维过程划分为四个阶段：理解问题、转化问题、解答问题和反思问题。

理解问题

理解问题是解题思维活动的开始，包括认清问题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素及其关系，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立问题的条件、结论与知识和经验之间的联系。数对（坐标）与点、数式与几何量、方程与曲线、不等式与区域、两方程的公共解与两曲线的交点等这些数与形的对应关系是解决平面解析几何问题的基础。理解问题，即是根据记忆系统中已有的形与数的对应关系，将问题中的语句进行适时转换，为合理地转化问题奠定基础。比如，在解决问题1：已知实数x y 、满足,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩

求2x y +的最大值时，应根据形与数的对应关系将语句“实数x y 、满足,1,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩”转换为“点(,)P x y 在不等式组,1,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩

表示的区域内”，将代数式“2x y +”转换为“直线:2l x y T +=在y 轴上的截距”或“直线2x y T +=在x 轴上的

截距的两倍”，才能将问题转化为“当直线:2l x y T +=与不等式组,1,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩

表示的区

域有公共点时，求直线:2l x y T +=在y 轴上的截距的最大值”，促使问题的解决。 转化问题

转化问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极尝试的过程，是有目的地进行各种组合的试验、可能地将问题化归为熟悉类型的过程，是比较各种类型问题的解题方案、选择最优解法的过程。平面解析几何问题的解题途径多种多样，合理的解题途径常要经过尝试和比较才能寻得。比如，在解答问题2：已知实数x y 、满足22414450x y x y +--+=，求33

y x -+的最大值时，可将问题转化为“已知点(,)P x y 在圆

22:(2)(7)8C x y -+-=上运动，求两点(,)P x y 与(3,3)A -连线的斜率的最大值”，也可

将问题转化为“已知2,7x y θθ=+=+，求函数

T =的最大值”，经过尝试和比较才能发现前一种转化途径更利于问题的解决。同样，在解决问题3：已知实数x y 、满足22414450x y x y +--+=，求2x y -的最大值时，可将问题转化为“已知点(,)P x y 在圆22:(2)(7)8C x y -+-=上运动，且直线:2l x y T -=与圆22:(2)(7)8C x y -+-=有公共点时，求直线:2l x y T -=在y 轴上的截距的最小值”，也

可将问题转化为“已知2,7x y θθ=+=+，求函数

3T θθ=--的最大值”，经过尝试和比较才能发现后一种转化途径更利于问题的解决。

解答问题

解答问题是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。在解决平面解析几何问题的过程中，将问题进行合理转化后，基础知识和基本技能的灵活运用是成功地解答问题的

关键。比如，在解答问题4：已知过椭圆22

:162

x y C +=的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交

于A B 、两点，且0OA OB AOB --→--→⋅=∠≠，求直线l 的方程时，优生的解答如下：因直线l 过(2,0)F -且与x 轴不重合，故设直线l 的方程为2my x =+，从方程组

222,36

my x x y =+⎧⎨+=⎩中消去x 并整理得22(3)420m y my +--=。设1122(,)(,)A x y B x y 、，则

12||y y -=。因为0OA OB AOB --→--→⋅=∠≠，所以AOB S ∆=，即

121||||2OF y y ⋅⋅-==，解得0m =，或m =l 的方

程为2x =+或2x =-。上述成功解答的因素有两方面，一是灵活地运用两向量的数量积、三角形的面积公式、同角三角函数间的基本关系式等基础知识，将条件

“0OA OB AOB --→--→⋅=∠≠”转化为“AOB ∆元、面积分割等基本技能，将直线l 的方程表示为2my x =+、将AOB ∆的面积表示为