2015考研数学二真题与答案解析
2015考研数二真题与解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰,则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==,0x ≠,故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时,()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时,()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->,答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点,二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ,则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2- 【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=,则,11u uv x y v v ==++,从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+, 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,3y x =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】(B)【解析】根据图可得,在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为11(,),432sin 2sin 2D r r ππθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭所以1n 23142sin 2(,)(cos ,sin )si Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=,则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,由()(,)3r A r A b =<,故1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-,其中123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =,故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n f =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续,()()2x x x f t dt ϕ=⎰,若()()11,15ϕϕ'==,则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰,求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰,故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解,且在0x =处()y x 取得极值3,则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =,()00y '=,由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =,()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定,则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =,则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-,2B A A E =-+,其中E 为3阶单位阵,则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,33sin ()3!x x x o x =-+, 那么,23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===, 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩,所以,11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ,得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ,求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203cos )1(sin )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ,得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ,求得21-=b ； 进一步,b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=,求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0,D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =,2x π=所围成的平面区域,1V ,2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积,若12V V =,求A 的值. 【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式,得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2cos 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+,'(,0)(1)xx f x x e =+,2(0,)2f y y y =+,求(,)f x y 的极值.【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分,得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=, 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ, 求得)1()(+=x e x x ϕ,故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++=',两边关于x 积分,得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=xx xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=,求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ,求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2, x xye yf )1(2+='',xyy e f 2='', 当1,0-==y x 时,(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC , 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰,其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰,求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞,所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点,所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却,30min 后该物体降至30C ︒,若要将该物体的温度继续降至21C ︒,还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ,比例常数为(0)k >,介质温度为m ,则()dxk x m dt=--,从而()kt x t Ce m -=+, (0)120,20x m ==,所以100C =,即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =,所以11()20100t x t -=+ 当21x =时,t =１,所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数,()0f a =,()0f x '>,()''0f x >,设b a >,曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，,证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =,得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增,又因为(a)0f = 所以(b)0f >,又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--',而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->,即0x a >,所以0a x b <<,结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=,E 为3阶单位阵,求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭,011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭ 110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P , 1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C)；；，(2)函数在(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)(若(A) (B)(C) (D)再有于是，存在此时当，，=因此，在连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【解析】在外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
点两侧恒正，对应的点不是拐，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是(5)设函数满足则与(A)(B)(C)(D)【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)是第一象限中由曲线与直线区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
D综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7)设矩阵A=,b=。
若集合，则线性方程有无穷多解的充分必要条件为(A) (B)(C) (D)【解析】是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时类似的，若当时，，(8)设二次型在正交变换下的标准形为,,=在正交变换下的标准形为(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,则可见都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值为-1，因此因此在正交变换下的标准二次型为(9)设则=,综上所述，本题正确答案是48。
2015年考研数学二真题与答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2015年考研数学二真题及标准答案
2015年考研数学二真题一、选择题:（１~8小题,每小题4分，共3２分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
) (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C ）∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞;∫lnxx +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞；∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此（D ）是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在（－∞,+∞)内(A)连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选Ｂ。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 （Ｂ)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时,lim x→0x α−1cos1x β=0， lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学(二)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分收敛的是( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ->(D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos010lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos 1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C)1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为 222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为11(,),432sin 2sin 2D r r ππθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭所以1n 23142sin 2(,)(cos ,sin )si Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩则212t d y dx ==【答案】48【解析】2222333(1)11dydy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==.(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有10(1)()1,f t dt ϕ==⎰ (1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x =.【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==-所以微分方程的通解为：212x xy C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C =解得：22x xy e e -=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz =.【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B =.【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kxxbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11lim kxx bx x b x ax ++++=→ 由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kxx bx x b x x +++-=→ ）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203cos )1(sin )1(lim kxxx bx x x b x x ++++=→ kx xx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxxx x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim 0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A ⎰-=20222cos 1ππ422Aπ= dx x xf ⎰=202)(2V ππA x d x A -πππ2cos 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求(,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】x xye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=，故xx e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x xϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f xx x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2 ⎰+++=x x de x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y x x x )1()2(2C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C所以xx xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，x yy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y xy y x =+≤≥【答案】245π- 【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin2cos55x tx t tdtπ=--⎰⎰22242002222sin2sin.5545u ttdt uduπππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分11 分)已知函数()1Xf x=+⎰⎰，求()f x零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x'==-令()0f x'=,得驻点为12x=,在1(,)2-∞,()f x单调递减,在1(,)2+∞,()f x单调递增故1()2f为唯一的极小值,也是最小值.而1112241()2f=+=-⎰⎰⎰11224=--⎰⎰⎰在1(,1)2<故122-<⎰⎰从而有1()02f<21lim()lim[]xxx xf x→-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim()lim[]lim[]x xx x xf x→+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim limxx x==+∞，所以lim()xf x→+∞=+∞.所以函数()f x在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2.(20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C︒的物体在20C︒的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C︒，若要将该物体的温度继续降至21C︒，还需冷却多长时间？【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min. (21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=- 令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '> 所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)3231010*********1a A O A a a a a a a a a =⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A EE A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++231201330012031--=⇒--=-A B b a 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学二真题和答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学二真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是(A)∫1√x +∞2xx (B)∫xxxx +∞2xx (C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫1√x+∞2xx =2√x |2+∞=+∞；∫xxx x +∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx +∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln ?(xxx )|2+∞=+∞；∫x x x+∞2xx =−∫x +∞2xx −x =−xx −x |2+∞+∫x −x +∞2xx =2x −2−x −x |2+∞=3x −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x2x 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x (x )=lim x →0(1+xxx xx)x 2x=xlim x →0x 2x(1+xxx x x −1)=ex limx →0xxxxx=x x (x ≠0),x (x )在x =0处无定义，且lim x →0x (x )=lim x →0x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数x (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,x >0).若x ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<x −β≤2 【答案】A 【解析】易求出x′(x )={xx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 x +′(0)=lim x →0+x (x )−x (0)x =lim x →0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1， x −′(0)=0于是，x ′(0)存在?α>1，此时x ′(0)=0.当α>1时，lim x →0x α−1cos 1x β=0，lim x →0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x )在x =0连续?α−β>1。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
D的极坐标表示为因此综上所述，本题正确答案是B。
2015年考研数学(二)真题及答案详解【完整清晰版】
2 0 0 且 P AP 0 1 0 . 0 0 1
T
1 0 0 由已知可得 Q P 0 0 1 PC 0 1 0 2 0 0 T T T 故 Q AQ C ( P AP)C 0 1 0 0 0 1
为( )
2 2 2 (B) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (D) 2 y1 y2 y3
2 2 2 (A) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (C) 2 y1 y2 y3
【答案】(A)
2 2 2 【解析】由 x Py ，故 f xT Ax yT ( PT AP) y 2 y1 . y2 y3
2 2
2 f 2u (1 v) f 2u 2 u uv u (1 v) , .故 ， f (u, v) u 1 v v (1 v) 2 1 v 1 v 1 v
因而
f u
u 1 v 1
0,
f v
得： 1 0 ，答f ( x) 在 , 内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线
y f ( x) 的拐点的个数为(
(A) 0 (B)
) (D)
1
(C)
2
3
【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数 为 2 个. (5) 设函数 f u, v 满足 f x y, x 2 y 2 ，则 u x 与
1 1 1 【解析】 ( A, b) 1 2 a 1 4 a 2
1 1 1 1 a 1 d 1 0 1 d2 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2) ， 1 d
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe x+∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015-数二真题、标准答案及解析
2015年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列反常积分收敛的是（ ）（A）2+∞⎰（B ）2ln x dx x +∞⎰ （C ）21ln dx x x +∞⎰ （D ）2x x dx e +∞⎰【详解】21p dx x +∞⎰当且仅当1p >时才收敛，所以（A）2+∞⎰是发散的； （B ）22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞⎰是发散的； （C ）221ln ln ln dx x x x+∞+∞==+∞⎰是发散的； 事实上，对于（D ）22213()|x xx dx x e e e+∞−+∞−=−+=⎰，应该选（D ）． 2．函数21sin ()lim x tt t f x x →⎛⎫=+⎪⎝⎭在(,)−∞+∞内（ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点 【详解】220010sin limsin ()lim ,t x t x tx x tt t f x ee x x →⋅→⎛⎫=+==≠ ⎪⎝⎭函数在0x =处没有定义，而01lim ()lim xx x f x e →→==，所以应该选（B ）．3．设函数 100000cos ,(),(,),x x f x xx αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩，若()f x '在0x =处连续，则（ ） （A ）1αβ−> （B ）01αβ<−≤ （C ）2αβ−> （D ）02αβ<−≤【详解】当0x >时，1111()cossin f x x x x xααβββαβ−−−'=+，当0x <时，0()f x '=， 10011000cos(),()lim lim cos x x x x f f x x xαβαβ++−−+→→''===要使函数在0x =处可导，必须满足101αα−>⇒>；当1α>时，1111000cos sin ,(),x xx f x x xx ααβββαβ−−−⎧+>⎪'=⎨⎪≤⎩显然要使()f x '在0x =处连续，必须满足1010ααβ−>⎧⎨−−>⎩，应该选（A ）4．设函数()f x 在(,)−∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)−∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）5．设函数(,)f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则1111|,|u u v v f f u v ====∂∂∂∂依次为（ ） （Ａ）102, （Ｂ）102, （Ｃ）102,− （Ｄ）102,−【详解】设x y uy v x+=⎧⎪⎨=⎪⎩，则当11,u v ==时，12x y ==．由多元复合函数的求导法则有111121221111122212||||||||u u v x y x y v u u v x y x y v fy fx u x v f fy u x v ================∂∂⎧−=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=−⎪∂∂⎩可解得1111102|,|.u u v v f f u v ====∂∂==−∂∂所以应该选（D ） 6．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)D f x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）． 7．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→−−→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d −−=−−=同时成立，当然应该选（D ）．8．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +−，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =−，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y −+ （B ）2221232y y y +−（C ）2221232y y y −− （D ） 2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，100001010TT Q P ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭211T T T Tf x Ax y PAPy y y ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪−⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101TT Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设33arctan x t y t t=⎧⎨=+⎩，则212|t d y dx == ． 【详解】221331,dx dy t dt t dt ==++，2231()dydy dt t dxdx dt ==+ 22222261212111()()d y t t t t dx t +⋅==++，21248|.t d y dx ==10．函数22()xf x x =在0x =处的n 阶导数0()()n f = ．【详解】222()()(ln )x k x k =，所以由莱布尼兹公式可知221220222222222()()()(())()()(ln )()(ln )(ln )nn k k x n k x n x n x n n n k f x C x x n x C −−−===++⨯∑ 所以2012()()()(ln ).n n fn n −=−11．设函数()f x 连续，20()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ． 【详解】22()()()x x x xf t dt x f t dt ϕ==⎰⎰，22202()()()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰所以1101121512()(),()()()()f t dt f t dt f f ϕϕ'==+=⇒=⎰⎰．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+−=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ．【详解】20y y y '''+−=的通解为212xx y C eC e −=+，由条件0x =处()y x 取极值3可知1221212312220,,()x x C C C C y x e e C C −+=⎧⇒===+⎨−+=⎩ 13．若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则00(,)|dz = ．【详解】当00,x y ==时，，0z =设231(,,)x y zF x y z e xyz ++=+−，则23232323,,,x y z x y z x y z x y z F e yz F e xz F e xy ++++++=+=+=+在点000(,,)处，1233,y x z z F F z z x F y F ∂∂=−=−=−=−∂∂，所以001233(,)|dz dx dy =−− 14．设三阶矩阵A 的特征值为221,,−，2B A A E =−+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ．【详解】矩阵B 的三个特征值分别为371,,，所以21.B = 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+−+++−+=++−+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪−+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =−=−=−16．（本题满分10分）设0A >，D 是由曲线弧02sin ()y A x x π=≤≤及直线02,y x π==所围成的平面区域，12,V V 分别表示D 绕,x y 旋转一周所围成的旋转体的体积，若12V V =，求A 的值． 【详解】平面区域D 绕坐标轴旋转一周形成的旋转体的体积分别为：22222104sin V A xdx A πππ==⎰；22022sin V xA xdx A πππ==⎰；由于12V V =，所以8.A π=17．（本题满分10分）已知(,)f x y 满足21(,)(),xxy f x y y e ''=+01(,)(),xx f x x e '=+202(,)f y y y =+，求(,)f x y 的极值．【详解】由于21(,)(),xxy f x y y e ''=+所以211(,)()()xx f x y y e C x '=++由于01(,)(),xx f x x e '=+则111()()()x x xe C x x e C x xe +=+⇒=所以21(,)()xxx f x y y e xe '=++2211(,)()()()x x f x y y e x e C y =++−+由条件202(,)f y y y =+，可得20()C y = 从而可得211(,)()()xxf x y y e x e =++− 下面求函数的极值：解方程组210210(,)()(,)()x x xx y f x y y e xe f x y y e ⎧'=++=⎪⎨'=+=⎪⎩得函数的驻点01(,)−．2112(,)()(),(,)x x x xx yy f x y y e x e f x y e ''''=+++=，21(,)()x xyf x y y e ''=+ 在01(,)−处，01100120010(,),(,),(,)xxyy xy A f C f B f ''''''=−=>=−=>=−=， 由于200,AC B A −>>，所以(,)f x y 在01(,)−处取得极小值011(,).f −=− 18．（本题满分10分） 计算二重积分()dxdy Dx x y −⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y xy y x =+≤≥【详解】由对称性可知0dxdy Dxy =⎰⎰，22()dxdy dxdy dxdy dxdy DDDDx x y x xy x −=−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112220114022244002202221124225522545)()(sin cos )(sin )sin x dx x dy x x dxxx dx t tdt tdt udu ππππ===−=−=−=−=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰19．（本题满分10分）已知21()x f x =+⎰⎰，求()f x 的零点个数．【详解】显然函数的定义域为(,)x ∈−∞+∞．110()f −∞=+>⎰⎰当0x >时，令2t u =，则21112x xudu ==⎰⎰⎰21121()(x x xf x t =+=−⎰⎰⎰1210()(f t +∞+∞=−>⎰函数()f x的导数：21()(f x x '=− 令0()f x '=，得函数唯一驻点12x =． 当12x <时，0()f x '<，函数是单调减少的；当12x >时，0()f x '>，函数是单调增加的；所以函数()f x 在12x =取到最小值，且12112102(f t ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭⎰所以函数存在两个零点，分别位于1122(,),,⎛⎫−∞+∞⎪⎝⎭． 20．（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒，物体在20C ︒恒温介质中冷却，30分钟后该物体的温度降到30C ︒．若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却多长时间？【详解】设物体在t 时刻时的温度为()y t ，则由题意可知20()(())y t y t λ'=−，满足0120()y =，3030()y =解方程得通解为20()ty t Ce λ=+．由初始条件0120()y =确定100C =，由3030()y =确定1030ln λ=−． 也就是物体在t 时刻时的温度为103020100ln ()t y t e−=+．令21()y t =解得60t =，也就是若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却30分钟． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有二阶导数，000(),(),()f a f x f x '''=>>．设b a >，曲线()y f x =在点(,())b f b 的切线与x 轴的交点是00(,)x ，证明：0.a x b <<【详解】曲线在点(,())b f b 的切线方程为()()()y f b f b x b '−=−令0y =得切线与坐标轴的交点为0(),()f b b f b ⎛⎫−⎪'⎝⎭，也就是0()()f b x b f b =−'． 由于00(),(),f a f x '=>所以00()()(),()f b f b f a f b '>>>，可得0.x b < 下面只需要证明()()f b b a f b −>'，等价于0()()()bf b f b af b ''−−>． 令()()()()g x xf x f x af x ''=−−，则()g x 在[,)a +∞上可导，且0()g a =，0()()(),(,)g x x a f x x a '''=−>∈+∞，所以()g x 在[,)a +∞上单调增加，所以0()()g b g a >=也就是0()()()bf b f b af b ''−−>，()()f b b a f b −>'．所以0.a x b << 22．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E −−−=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ．【详解】（１）先计算Ａ的行列式：23100111110101a a aA a aa a a−=−=−=，由于30,A =所以0A =，可得0a =，010101010A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭（２）由条件22X XA AX AXA E −−−=，可知2()()E A X E A E −−=所以1212121()()(()())()X E A E A E A E A E A A −−−−=−−=−−=−−由于010101010A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，2101000101A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，2011111112E A A −⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭，112121011312111111112211()()()X E A E A E A A −−−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−=−−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭23．（本题满分11分）设矩阵02313312A a −⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭相似于矩阵12000031B b −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP −为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨−==⎩⎩． （2）由212050150031()()E B λλλλλλ−−=−=−−=−−，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ=== 解方程组0()E A x −=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x −=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ−⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123231 101 011,, Pξξξ−−⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，则1100010005.P AP−⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭令()。
2015年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2015年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列反常积分中收敛的A．dx．B．dx．C．dx．D．dx．正确答案：D2．函数f(x)＝在(一∞，+∞)内A．连续．B．有可去间断点．C．有跳跃间断点．D．有无穷间断点．正确答案：B3．设函数f(x)＝(α>0，β>0)．若(x)在x＝0处连续，则A．α一β>1．B．0<α一β≤1．C．α一β>2．D．0<α一β≤2．正确答案：A4．设函数f(x)在内连续，其2阶导函数(x)的图形如右图所示，则曲线y＝f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C5．设函数f(u，v)满足f(x＋y，)＝x2一y2，则与依次是A．，0．B．0，．C．，0．D．0，．正确答案：D6．设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y＝x，y＝围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则f(x，y)dxdy＝A．(rcosθ，rsinθ)rdrB．(rcosθ，rsinθ)rdrC．(rcosθ，rsinθ)drD．(rcosθ，rsinθ)dr正确答案：B7．设矩阵A＝b＝若集合Ω＝{1，2}，则线性方程组Ax＝b有无穷多解的充分必要条件为A．B．C．D．正确答案：D8．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x＝Py下的标准形为其中P＝(e1，e2，e3)．若Q＝(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为A．B．C．D．正确答案：A填空题9．设正确答案：4810．函数f(x)=x22x在x＝0处的n阶导数f(n)(0)＝____________．正确答案：n(n一1)(ln2)n－211．设函数f(x)连续，φ(x)＝xf(t)dt．若φ(1)=1，(1)=5，则f(1)＝___________．正确答案：212．设函数y=y(x)是微分方程一2y=0的解，且在x＝0处y(x)取得极值3，则y(x)＝___________．正确答案：2ex＋e－2x13．若函数z=z(x，y)由方程ex＋2y＋3z＋xyz=1确定，则dz｜(n)(0，0)= ___________．正确答案：dxdy14．设3阶矩阵A的特征值为2，一2，1，B=A2一A＋E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式｜B｜＝___________．正确答案：21解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(9)设
则
【答案】48
【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得 =
, 综上所述，本题正确答案是 48。 【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导
(10)函数
处的 n 阶导数
【答案】
【解析】 解法 1 用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式
其中
注意
,于是
因此 解法 2
利用泰勒展开
5 / 12
由于泰勒展开系数的唯一性，得 可得 综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(15)设函数
的值。 【解析】利用泰勒公式
,若 与 在 时是等价无穷小，求
当 时，
，则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式
(16)设 A>0，D 是由曲线段
及直线
所
围成的平面区域，
值 【解析】
分别表示 D 绕 轴与绕 轴旋转所成旋转体的体积。若
，求 A 的
7 / 12
由 A>0 可得
2015 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8 小题,每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D。 【解析】题干中给出 4 个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
与直线
围成的平面区域，函数 在
D 上连续，则
(A)
(B)
(C)
(D) 【答案】 B
3 / 12
【解析】D 是第一象限中由曲线
与直线
变换，将 D 的极坐标表示为
化为累次积分。
因此
围成的平面区域，作极坐标
综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(8)设二次型
在正交变换
下的标准形为
,其中
,若
Q=
在正交变换
下的标准形为
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A 【解析】设二次型矩阵为 A,则
可见 1，因此
都是 A 的特征向量，特征值依次为 2,1,-1，于是- 也是 A 的特征向量，特征值为-
4 / 12
因此在正交变换
下的标准二次型为
综上所述，本题正确答案是 A。 【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。 二、填空题：( )小题，每小题 4 分，共 24 分。
,
其中 D= 【解析】
因为区域 D 关于 y 轴对称，所以
=0
原式=
=
=
令
,则
=
=
又
所以二重积分= 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分的计算
(19)已知函数 【解析】
，求 的零点个数
,令
得驻点 ,
当 时，
, 单调减少；
当 时，
, 单调增加；
因为
，所以 在
上存在唯一零点。
9 / 12
又
,
，所以 在
二阶导函数 的图形如右图所示，
则曲线 பைடு நூலகம்A)
(C) 【答案】C 【解析】
的拐点个数为 (B) (D)
在(-∞,+∞)内连续，除点
的点及 不存在的点。
A OB
外处处二阶可导。
的可疑拐点是
的零点有两个，如上图所示，A 点两侧 恒正，对应的点不是
拐点，B 点两侧
，对应的点就是
的拐点。
2 / 12
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而( ) 是
；
； ；
， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数 (A) (C)有跳跃间断点 【答案】B
在(-∞,+∞)内 (B)有可去间断点 (D)有无穷间断点
【解析】这是“ ”型极限，直接有
, 在 处无定义，
且
所以
是 的可去间断点，选 B。
综上所述，本题正确答案是 B。
(14)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,-2,1，
,其中 E 为 3
阶单位矩阵，则行列式|B|=
【答案】 21
【解析】 A 的特征值为 2,-2,1,则 B 的特征值对应为 3,7,1
所以|B|=21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
线性代数—矩阵—矩阵的特征值
三、解答题：
小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
= =
又
可得 A=
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
(17)已知函数
求
的极值。
【解析】
由
，得
又已知
可得
得
,从而
对 积分得
又
， 所以
所以
于是
,
,
=2
令
得驻点(0,-1)，所以
A=
B=
8 / 12
C=
由于
,所以极小值为
【考点】高等数学—多元函数微分学—二元函数的无条件极值
(18)计算二重积分
的拐点。
综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数 满足
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】先求出
则
与
依次是
令 于是 因此
综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
(6)设 D 是第一象限中由曲线
(7)设矩阵 A=
,b= 。若集合
，则线性方程
有无穷多解的充分必
要条件为
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】
是一个范德蒙德行列式，值为
,如果 ，则
，此时
有唯一解，排除(A),(B)
类似的，若 ，则
，排除(C)
当
时，
，
综上所述，本题正确答案是 D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(11)设函数 连续， 【答案】2
.若 =1，
则
【解析】改写
,由变限积分求导法得
由 =1=
，
可得 综上所述，本题正确答案是 2 【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用
(12)设函数
是微分方程
取得极值 3，则 =
，且在 处
【答案】 【解析】求
归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题
由特征方程
可得特征根
于
是得通解 又已知
综上所述，本题正确答案是
6 / 12
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程
(13)若函数
由方程
确定，则
【答案】
【解析】 先求
，在原方程中令
得
方程两边同时求全微分得
令
得
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分
上存在唯一零点。
1 / 12
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(3)设函数
(A)
(C) 【答案】A 【解析】易求出
(
).若
(B)
(D)
再有
于是， 存在
此时
.
当
，
，
=
因此， 在 连续
。选 A
综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数 在(-∞,+∞)内连续，其