共顶点的等腰三角形的旋转探索
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。
旋转模型(手拉手模型、脚拉脚模型、半角模型)典型例题含答案
旋转模型（综合）考察点1：“手拉手”模型（绕点旋转）手拉手模型，亦称为共顶点等腰型，一定会出现旋转型全等。
其衍生模型有等腰对补角模型和等腰旁等角模型。
辅助线作法：通常情况下，绕等腰三角形的顶点旋转，旋转角度为等腰三角形顶角的度数；难一点的情况，还需过旋转点作被旋转三角形的高，以及旋转后三角形的高。
解题时：证明全等通常用的是边角边，难点在于如何先说明夹角相等。
模型回顾：A AA C一、旋转全等图2图1（2）如图2，连接EO ，求证：EO 平分∠AED（1）如图1，连接AC ，BD ，求证：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=α1. 在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=α，直线AC 与直线BD 相交于点E 。
DDA1. 解：在△OAC 和△OBD 中OE 平分∠AED在Rt △OME 和Rt △ONE 中OM=ONOE=OE∠OEM=∠OEN 过点O 作OM ⊥AC ，ON ⊥BDOM=ONOA=OB∠OAM=∠OBN∠OMA=∠ONB=90°（2）OAM ≌△OBN 图1图2∠AEB=∠AOB=α∠OAC=∠OBD∠OFA=∠EFB在△OAF 和△BEF 中∠OAC=∠OBD△OAC ≌△OBD②①△OAC ≌△OBD（1）OA=OB∠AOC=∠BODOC=ODC C二、等腰旁等角模型图4图3图2图1（4）如图4，若∠ADC=90°+12α，求证：∠ADB=α。
（3）如图3，若α=90°，∠ABD=∠ACD ，求证：∠DAC=∠DBC ；（2）如图2，若α=90°，∠DAC=∠DBC ，求证：∠BDC=45°；1. 如图，在四边形ABCD 中，CA=CB ，∠ACB=α，连接BD 。
（1）如图1，若α=90°，∠ADC=135°，求证：BD ⊥AD ；C∠CDE=45°∠BDC=45°BD ⊥ADBDC ≌△ACE BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE ∠BDC=∠CED=45°在△BCD 和△ACD 中A 、D、E 三点共线∠CDE=45°∠ADC=135°∠CDE=∠CED=45°△CDE 1. 证明:（1）将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE∠BDC=45°DCF CF=CD∠DCF=90°∠ACB=90°∠BCF=∠ACDCF=CD∠BCF=∠ACD在△BCF 和△ACD 中BC=AC∠DBC=∠DACBF=AD BCF ≌△ACD （2）在BD 上取一点F ，使得BF=AD 图2∠ADB=∠ADC-∠BDC=（90°+12α）-（90°-12α）=α∠BDC=∠P=90°-12αD 、G 、H 三点共线∠∠ADC=90°+12α（4）将CD 绕点C 顺时针旋转α，得到CP ，连接DP 、AP∠P=∠CDP=90°-12αCD=CP∠PCD=在△BDC 和△ACP 中BC=AC∠BCD=∠ACPCD=CPBCD ≌△ACPBCH ≌△ACD BC=AC∠BCH=∠ACDCH=CD在△BCH 和△ACD 中∠DAC=∠DBCD 、G 、H 三点共线∠CDG=45°∠CDH=45°∠ACD=∠ABD∠CGD=∠BGA ∠CDG=∠BAG=45°在△DCG 和△ABG 中△CDH ∠CDH=45°（3）将CD 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接BH 、DH图3三、等腰对补角模型1.如图，已知△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连接AD。
中考数学几何模型之共顶点模型(解析版)
中考数学几何模型：共顶点模型名师点睛 拨开云雾 开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC ＝∠DAE ＝90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ．（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．【解答】解：连接BP，∵△ABC和△PCD都为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三点共线，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三点共线，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系CD＝BE；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝CE+CD；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案为：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案为：BC＝CE+CD．例题5. 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【解答】【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝2或6．【解答】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，∵∠AOE＝∠FOD，∴∠OFD＝∠OAE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴CF＝BF，∴DF＝CE﹣CF（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；如图②中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ADF＝180°，∴∠AEF+∠ADF＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝120°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴FB＝FC，∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，∴x＝2∴CF＝2．②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，∴x＝6，∴CF＝6，综上所述，CF＝2或6．故答案为2或6．。
共顶点的等腰直角三角形
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
2
证明方法： 延长OM 至点K，使得OM KM，连结BK
OA OB AOD KBO OD BK AOD OBK (SAS)
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
AOC BOD(SAS)
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论二（线的角度）： AC BD, AC BD(8字形)
证明方法：AOC BOD AC BDA 在APQ与BPO中 PAQ PBO, APQ BPO AQP BOP 90 即AC BD
或同理证明DQC DOC 90也可
OD BI OC
OI AD
1 2 90
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论三： 为BC中点,且OM 1 AD(高变中线)
2
BMI CMO IBM OCM BI OC IBM OCM（AAS）
OM IM 1 OI 1 AD 22
结论三：过点O作ON AD与点N，延长NO交BC于点M，
则M 为BC中点,且OM 1 AD(高变中线) 2
过点B作BI // OC，交OM的延长线于点I
BI // OC IBO COB 180 AOD COB 180 IBO AOD AOB 90 3 2 90 ON AD
1 3 OA OB AOD IBO AOD OBI（ASA）
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论三（角的角度）： QO平分BQC，即BQO CQO 45
证明方法：
过点O作OM BD于点M 过点O作ON AC于点N AOC BOD SAOC SBOD，AC BD OM ON 点O在BQC的角平分线上 即QO是BQC的角平分线
共顶点的等腰三角形解题技巧专题
解题技巧专题：共顶点的等腰三角形——形成精准思维模式，快速解题◆类型一共顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证：(1)AF＝AD；(2)EF＝BD.◆类型二共顶点的等边三角形3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________．5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE .(2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD .(2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD .3．D4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°.5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ，∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．(2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .。
等腰直角三角形旋转问题的分类探析
等腰直角三角形旋转问题的分类探析
等腰直角三角形旋转可以分为内旋转和外旋转这两种类型。
内旋转是指三角形以坐标原点为中心点，把三角形以某一角为基准，以顺时针或者逆时针
方向旋转，这种旋转属于位置之内不改变三角形的形状以及三个边的长度。
外旋转是指三角形不以坐标原点为中心点，而是将三角形的顶点向外或者向内三角形旋转，形成新的三角形。
这种方式可以改变三角形的形状，改变三个边的长度。
两种旋转方式会产生不同的解法。
因为长方形旋转中有三角形和它的对边，那么可以推导
出对应的三角形的边长。
这就是内旋转的解决方案。
外旋转的解决方案则更为复杂，因为
在旋转之后，三角形的形状和边长都发生了改变，需要先把改变后的三角形按照已有信息
重新拟合并进行外旋转解决方案，从而确定新三角形的顶点坐标。
从上面可以看出，等腰直角三角形旋转分为内旋转和外旋转两种类型，其中内旋转需要利
用已有信息，推导出三角形的边长；而外旋转需要把改变后的三角形按照已有信息重新拟
合并进行外旋转，从而确定新三角形的顶点坐标。
共顶点的等腰三角形与旋转
3．同学们（ ）地坐在教室里。 4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
八、句子工厂。 1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句） _________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____ ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她 的人。 “把”字句：_______________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ “被”字句：_______________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
共顶角顶点的等腰三角形的图形的性质
共顶角顶点的等腰三角形的图形的性质等腰三角形是人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》的学习内容，是学习了全等三角形的性质与判定和轴对称的性质后研究的一个重要的几何图形。
对于等腰三角形的考查，教学中多着重于其性质与判定，而以等腰三角形构图从而发现图形性质却成为历年重要考试的一个高频考点，给八年级学生带来很大的困扰。
本文选取其中一个类别：共顶角顶点的等腰三角形，从三个不同的构图视角，去发现、论证其图形的性质。
一、知识点回顾⑴等腰三角形的性质:①在同一个三角形中，相等的两条边所对的角也相等.简称“等边对等角”.②等腰三角形顶角的角平分线与底边上的高、中线互相重合.简称“三线合一”.③等腰三角形是轴对称图形.（对称轴是底边上的高所在的直线）例1、如右图：在△OAB 中，OA ＝OB . 性质①：∵OA ＝OB∴∠A ＝∠B （等边对等角）性质②: ∵OA ＝OB ，OC ⊥AB∴OC 平分∠AOB ，AC ＝BC （三线合一）或 ∵OA ＝OB ，AC ＝BC ∴OC 平分∠AOB ，OC ⊥AB （三线合一）或 ∵OA ＝OB ，OC 平分∠AOB ∴AC ＝BC ，OC ⊥AB （三线合一）⑵等腰三角形的角：已知顶角，可求底角；已知底角，可求顶角.例2、如右图：在△OAB 中，OA ＝OB . ∵OA ＝OB ∴∠A ＝∠B ＝AOB AOB ∠°=∠°21-902-180∴∠AOB ＝180º－2∠A ＝180º－2∠B （三角形的内角和是180º）二、探究构图⑴共顶角顶点且共腰的几个等腰三角形 例3、如右图，OA ＝OB ＝OC发现1：已知顶角和，可求底角和；已知底角和，可求顶角和. 证明：∵∠1＝180º－2∠7，∠2＝180º－2∠6 ∴∠1＋∠2＝360º－2（∠7＋∠6）∠7＋∠6＝180º－21（∠1＋∠2）发现2：∠7＋∠6－∠5＝90º 证明：∵∠7＋∠6＝180º－21（∠1＋∠2） ∠5＝90º－21（∠1＋∠2） ∴∠7＋∠6－∠5＝90º发现3：∠3＝21∠2，∠4＝21∠1， 证明：∵∠4＝∠OCB －∠5 ＝（90º－21∠2）－［90º－21（∠1＋∠2）］ ＝21∠1同理可得：∠3＝21∠2小结：构图⑴主要考查“等边对等角”这一性质，而发现角与角之间的关系的方法是等量代换、整体思想和设元导角的方程思想，这也是解决角关系的一般方法。
共顶点的等腰三角形问题
如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么将两条腰分配到不同的两个 三角形中会得到全等三角形，并且我们会发现：改变两个三角形的相对位置并 不会改变所得的三角形的全等关系.
谢谢观赏
A
又∵AB＝AC，AE＝AF
∴△EAB≌△FAC
F∴BE＝CF来自类型一：共顶点的等腰三角形问题
如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，求
证：⑴BE＝CF；⑵求证：BE⊥CF；
C
⑵证明：∵△EAB≌△FAC
EM
B
∴∠2＝∠4
∵∠2＋∠3＋∠5＝90°
A
∴∠4＋∠5＋∠3＝∠2＋∠5＋∠3 ＝90°
如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：
AN=BM. 如果改变两个三角形的相对位置，以上结论还成立吗？
N
B
M
A
2 1
3
C
证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋－∠2＝∠3＋－ ∠2 即∠ACN＝∠MCB ∵CA＝CM，CB＝CN ∴△CAN≌△CMB(SAS) ∴AN＝BM
共顶点的等腰三角形问题等腰三角形的两条腰相等如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等那么将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系
共顶点的等腰三角形问题
等腰三角形的两条腰相等，如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么 将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数 量和位置上有着特殊的关系.
∴BF＝FD
D
∴△ACE≌△EFD
∴△BFD是等腰直角三角形
∴CE=FD，EF＝AC
八年级数学 共顶点的等腰(等边)三角形导学案
共顶点的等腰（等边）三角形问题探讨五、精练――当堂训练、提升能力1.如图，已知△ABC，△ADE是等边三角形，点E恰在CB的延长线上，求证：∠ABD=∠AED.2.如图，A点在y轴正半轴上，以OA为边作等边△AOC，点B为x的正半轴上一动点，连AB，在第一象限作等边△ABE.在点B运动过程中，∠ACE的大小是否发生变化？若不变求出其值；若变化，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，1），点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.（1）求证：OB=AC；（2）求∠CAP的度数；（3）当B点运动时，AE的长度是否发生变化？4.已知等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC，AD=AE，F为BE和CD的交点.（1）求证：BE⊥CD；.（2）求∠AFE的度数5.如图，点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB =AC ，DA =DE ，∠BAC =∠ADE =120°，求∠BCE 的 度数.B6.如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B （a ，b ），且a，b满足(20b -=．D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边三角形ADC ，CB 交y 轴于E .（1）如图1，求A 点的坐标；（2）如图2，D 在y 轴正半轴上， C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点的坐标是否发生变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理由；（3）如图3，点D 在y 轴的负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连AE ．试求CE ,OD ,AE 三者的数量关系，并证明你的结论。
共顶点的等腰三角形问题课件
边长性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的边长关系，即两腰相等，底 边与其中一腰不等。
详细描述
由于是等腰三角形，两腰的长度必然相等。而共顶点的两个 等腰三角形共享一个顶点，因此它们的边长关系也是固定的 。具体来说，两腰相等，而底边与其中一腰的长度不等。
面积性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的面积关系，即两个等腰三角形的面积之和等于以底边为基的三角形的 面积。
02
等腰三角形两腰之间的角称为顶 角，底边与两腰之间的角称为底 角。
共顶点的等腰三角形的特性
共顶点的等腰三角形是指两个或多个 等腰三角形共用一个顶点，且各等腰 三角形的腰和底边分别相等。
共顶点的等腰三角形具有轴对称性， 即沿对称轴对折后，两侧图形能够完 全重合。
共顶点的等腰三角形的分类
根据共顶点的等腰三角形的数量，可分为双共顶点的等腰三角形和多共顶点的等 腰三角形。
共顶点的等腰三角形 问题课件
目录
• 共顶点的等腰三角形的基本概念 • 共顶点的等腰三角形的性质 • 共顶点的等腰三角形的构造方法 • 共顶点的等腰三角形的应用 • 共顶点的等腰三角形的习题与解析
01
共顶点的等腰三角形的基本概念
等腰三角形的定义
01
等腰三角形是两边长度相等的三 角形，其中两个等长的边称为腰 ，另一边称为底边。
高难度习题
题目5
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点 ，E、F为AD上两点，且∠BEC=160°，∠BDC=5°。求 ∠EDF的度数。
题目6
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点 ，E、F、G为AD上三点，且∠BEC=170°，∠BDC=10° 。求∠DEFG的度数。
共顶点等腰三角形产生相似三角形模型(整理者14232)
共顶点等腰三角形产生相似三角形模型今天研究一个难度较低但结论还比较有趣的模型。
前面研究过两个有点类似的模型，当时起名个人是从模型构造出发分别叫旋转放缩对称直角三角形和互补旋转放缩等腰三角形模型，现在想想既复杂拗口，又没点穿本质，还不如直接叫共顶点直角三角形产生等腰三角形和共顶点等腰三角形产生直角三角形模型好点。
所以今天这个就直接叫共顶点等腰三角形产生相似三角形模型了。
模型构造：一：任意作一等腰三角形ABC，∠A为顶角。
然后将其绕A旋转180°得△AED。
二：将△AED绕A进行旋转及放缩，得到新的等腰三角形AED三：连BD，CE（注意对应，不是BE和CD），分别作其中垂线，交于F点。
结论：△DFB∽△EFC，且∠DFB=∠EFC=180°-∠BAC。
证明：由边角边基本全等模型易证△EAB∽△DAC①则有BE=DC，可推出△EFB≌△CFD②，从而∠EFB=∠CFD即∠DFB=∠CFE，△DFB ∽△EFC。
接下来推为什么产生的两新的相似的等腰三角形顶角和原等腰三角形顶角互补：由①，∠ADG=GEH，则∠GHE=∠DAE；由②，∠HEI=∠FCI，则∠EHI=∠EFC。
又∠EHI+∠GHE=180°，则有∠EFC+∠DAE=∠EFC=∠BAC=180°。
由于等腰△ABC形状可以改变，△ADE可以任意旋转放缩，给出的图形是否以偏概全结论是否任意情况都成立呢？应该是都成立的。
尽管形状改变，过程和推导都大同小异，仅再举一情形进行证明。
在此图延长BE和DC交于G。
由△AED≌△ADC，可推∠EGD=∠BAC。
再由△EBF≌△CDF，可推∠GDF+∠EBF=180°，所以在四边形GBFD中，∠BFD+∠EGD=∠BFD+∠BAC=180°。
模型应用：。
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。
本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。
一、问题描述我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。
现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。
二、基本做法1. 确定旋转后的三角形根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。
在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。
2. 确定旋转角度旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。
在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。
3. 分析旋转后的三角形性质旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。
三、结论通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。
这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。
四、实际应用共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。
例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。
通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。
在计算机图形学中，共顶点等腰三角形旋转模型也是一种常见的变换操作。
共顶点的等腰直角三角形
共顶点的等腰直角三角形哎，今天咱们聊聊一个有趣的话题，等腰直角三角形。
这听起来有点数学味道，不过别担心，我会让它变得轻松有趣，保证你听了之后也想说，“这玩意儿还真挺有意思！”想象一下，一块蛋糕被切成两半，结果发现这两半又完全相同，就像等腰直角三角形的两个直角边一样，都是一模一样的！是不是觉得挺可爱的？嘿，数学里的那些点、线、面，看似冰冷的符号，其实背后藏着不少温暖的故事呢。
说到等腰直角三角形，首先得提它那两个相等的边。
哦，想象一下，你和你的好朋友，身高一样，穿着同样的衣服，走到街上，回头率简直爆表。
可不是因为你们长得特别好看，而是那种一模一样的感觉，真让人忍不住想多看几眼。
再说，直角三角形嘛，那个90度的角就像是我们生活中的“转折点”，每次遇到问题，往往就能从这个“角度”找到新的解决办法。
嘿，谁说生活一定要直线前进？偶尔拐个弯，也许会发现更美的风景。
等腰直角三角形还有个特性，最短的边和最长的边之间的关系就像朋友之间的默契。
就拿咱们的好朋友小明和小红来说吧。
小明总是喜欢说，“小红，你这儿有点儿不对劲。
”小红呢，总是可以一眼看出小明心里的小九九。
这个直角三角形里的斜边就像是小明的那些心思，虽说藏得深，但总能被小红一眼看穿。
哈哈，数学真的是生活的缩影，处处都能找到共鸣。
再说说它的面积吧。
记得小时候，我总是和同学们一起比赛，谁能算出这个三角形的面积。
公式就是底乘高除以二，听上去简单，但做起来可得小心翼翼。
这就像我们的生活，有时候简单的道理却难以实践。
就像把生活中的小烦恼变成一大堆的困扰，搞得自己晕头转向。
没事儿，学会把问题化繁为简，运用好这等腰直角三角形的思想，就能轻松应对。
在学校里，老师总是喜欢用等腰直角三角形教我们那些抽象的知识。
嘿，那时候总觉得它是数学课上的“明星”，大家都想在课堂上表现得特别棒。
想想那种感觉，心里乐滋滋的。
可是到了现实生活中，有时我发现，等腰直角三角形的“明星”光环就没那么耀眼了。
等腰三角形顺时针旋转90度讲解
等腰三角形顺时针旋转90度讲解等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在几何学中，我们经常需要对图形进行旋转，而顺时针旋转90度是一种常见的操作。
下面，我将为大家生动、全面地讲解等腰三角形顺时针旋转90度的方法，希望能对大家有所指导。
首先，我们先来看一下等腰三角形的特点。
等腰三角形的两边长度相等，而顶角也相等，常用符号表示为ABC，其中AB=AC，∠ABC=∠ACB。
在进行旋转操作时，我们需要围绕一个固定点进行旋转，这个点通常被称为旋转中心。
对于等腰三角形，旋转中心可以选择三角形的顶角A、顶点B或者顶角C。
假设我们选择顶角A作为旋转中心，顺时针旋转90度的步骤如下：1. 以顶角A为中心，画一个半径为AB的圆。
2. 将顶点B沿着圆的弧线方向旋转90度，记作顶点B'。
3. 连接顶角A和顶点B'，得到旋转后的等腰三角形的边。
4. 最后，我们可以用线段A'B'和线段AB来表示旋转前后等腰三角形的位置关系。
需要注意的是，顺时针旋转90度意味着按照时钟的方向旋转90度，即顶点B在旋转后会移动到顶点C的位置，顶点C会移动到顶点A 的位置。
此外，如果我们选择顶点B或顶角C作为旋转中心，可以按照类似的方法进行顺时针旋转90度的操作。
只需将步骤2中的旋转方向和顶点指定做相应的调整即可。
顺时针旋转等腰三角形90度的方法不仅适用于纸上几何，也有广泛的应用。
在计算机图形学中，我们经常需要对图像进行旋转操作，而等腰三角形顺时针旋转90度的方法可以帮助我们理解和实现这一过程。
综上所述，等腰三角形顺时针旋转90度是一种简单而常用的几何操作。
通过选择合适的旋转中心，按照一定的步骤，我们可以轻松地完成旋转操作。
希望通过这篇文章的讲解，大家对等腰三角形的顺时针旋转有更清晰的认识，也能够应用到实际问题中。
“共顶点的两个相似等腰三角形”的解法提炼与拓展应用
2020年10月10H理科考试研究•数学版•23•“共顶点的两个相似等腰三角形”的鮮法提炼与柘展应用陈敏燕(宁海县桃源初级中学浙江宁波315600)摘要：本文通过研究一类"共顶点的两个相似等腰三角形”，发现两个固定不变的结论，并从三个方面研究了模型在实际解题中的应用，训练巩固学生对问题结构的理解.关键词：解法提炼；基本图形；旋转变换;拓展应用1问题提出题目如图1,在443(7和ZUEF中，<B4C=厶EAF,AB=AC,AE=AF,连接EB,CF交于点D,连接仙.(1)求证-CF=BE-(2)求证:/ID平分厶EDC.图1证明(1)因为厶BAC=厶EAF,所以ABAC+A BAF=厶EAF+Z.BAF.即LCAF=厶BAE.因为AC=AB,AF^AE,所以△CAFg^BAE.所以CF=BE.(2)如图1,过点4作/IM丄BE于点M,作4/V丄FC于点N,因为△CAF^A BAE,所以S^CAF=S△砂所以*CF•AN=*BE•AM.因为CF=BE,所以AN=AM.所以AD平分厶EDC.思路分析从已知条件中可以抽象成△/1EF绕着点A旋转而形成的一道试题,主要考查全等的判定和性质、角平分线的逆定理等核心知识,在证明AD平分厶EDC时，巧用面积法证明高线相等，再根据角平分线性质的逆定理得出结论.模型提炼本题从图形的直观中可以发现“共顶图2点的两个相似等腰三角形”，其中一个三角形(A/IEF)绕着顶点旋转、相似变换得到对应的三角形(MBC);从图形的内部结构中可以发现两个固定不变的结论△CAFMBAE,从而得到CF=BE,AD平分厶EDC.笔者由此出发，纵观近几年各省、市的中考题目，发现很多试题通过此结论为纽带解决一些难度较大的问题,供同行参考.2模型应用2.1直接应用2.1.1共顶点的两个等腰直角三角形例题1(2017年河南)如图2,在Rt LABC中，Z.A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC±.,AD= 4E,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想：图2中，线段PM与P/V的数量关系是______，位置关系是______;(2)探究证明：把△仙E绕点逆时针方向旋转到图3的位置，连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△/!£>£绕点虫在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出△PM/V面积的最大值.解析⑴PM=PN,PM丄PN.(2)厶PMN是等腰直角三角形.理由如下：由旋转，可得厶BAD=厶CAE.因为4B=<4C,4D=/1E,所以△ABDMACE.所以BD=CE,厶ABD NACE.作者简介：陈敏燕(1984-),女，浙江宁海人，本科，中学一级教师，研究方向：解题规律研究.BN• 24 •理科考试研究•数学版2020年10月10日因为M,N,P 分别为DE,BC,DC 的中点， 所以MP,NP 分别为△ DCE,^BCD 的中位线.所以 MP //EC 且 MP = ~EC, NP //BD 且 =^BD.所以 PM = PN,厶MPD =乙ECD,厶DPN = 180° -厶 BDC =厶 DBC + 厶 DCB.所以厶MPNECD + 乙DBC + 厶DCB =^ECA +乙 ACD + 厶 DBC +Z.DCB.所以 /LMPN =厶ABD +AACD + 厶DBC + 厶DCB = 厶 ABC + 厶 4CB=90°.因为PM = PN ,所以ZXPMN 是等腰直角三角形.(3 )如图4,由(2 )证得 E l 一一怛_丿△ PMN 是等腰直角三角形，所以 '、'麦〈\S&PMN = ~Y PN2 =所以当点D 在B4的延长线b ----將一c时，最长，即△PMN 的面积 图4最大.故"MN 的最大面积为為疔=*(4 +10)2 =詈.A思路分析本题是“共顶点的两个特殊的等腰直角三角形”，从而挖掘隐含的两个全等三角形，以此为路，顺其而下，解决问题.2. 1.2共顶点的两个等边三角形例题2 如图5,在等边A ABC 中,40是厶ABC 的角平 分线，。
数学人教版八年级上册全等三角形与旋转问题
课题概述八年级学生虽然已经在七年级学习了平行线与相交线，但是平行线与相交线的证明很简单，本学期学习连续学习《三角形》，《全等三角形》，《轴对称》三章，图形变化较多，学生在寻找图形边角关系上还存在问题，证明也有一定难度，只能见一个图形硬性记一个图形，所以本节课设计意图就是将看似分隔的图形通过几何画板的演示整合到一起，形成一个图形的不同变换形式，而实质是不变的，从而帮助学生理解图形的内在联系。
对于以后学习旋转规律图形也会有相当大的帮助。
学习目标阐述（1）通过观察图形的变化过程，探究发现图形变化的实质，从而抓住本质规律，找到证明全等的条件．（2）通过观察几何画板的图形变换的演示，将看似分割的图形整合到一起，抓住事物本质．完成目标（1）的标志是：学生能用旋转的角度理解两个三角形能重合，所以全等，进而理解边角关系，找到证明条件。
完成目标（2）的标志是：学生发挥想象力和创意移动点C，B位置，发现不同图形式可以整合到一起，从而将图形统一，抓住图形本质。
学习者特征分析学生在八年级上学期刚刚学习了《三角形》，《全等三角形》和《轴对称》三章，三大章几何连在一起学习，学生的几何体系还没有建立起来，还不能熟练辨析图形之间的关系，对于图形的变换还比较陌生，对于判定两个三角形全等方法的选择以及利用等边三角形证明两个三角形全等也还有一定难度。
教学策略选择与教学活动设计教学策略：八年级学生好奇心强，对新鲜事物感到新奇，创意无限，喜欢探索。
几何画板的动态演示过程，能激发学生的学习兴趣，帮助学生发现并理解图形的变化过程及变换的实质，让学生能够更积极主动地探索新知。
教学活动设计教师创设背景，由学生发挥想象和创意改变图形，发现图形规律和内在联系，并由学生尝试总结规律，给出证明。
教学资源与工具的设计和使用八年级上册数学课本几何画板V5.05演示正方形旋转过程，通过观察发现题目本质，引导学生观察P点的变化范围，其轨迹像在荡秋千，引导学生观察P在AE’上，P标最大，需使直线AE’倾斜程度最大，那么倾斜NMD ECBA 教学评价与反馈设计1.如图，四边形ACDE,BCMN 为正方形，AM_____BD, ∠MAC_____∠BDC(填<，=，>)第1题 第2题2.如图，在ABC 中，D 在AB 上，且ΔCAD 和ΔCBE 都是等边三角形，（1）DE______AB ，（2）∠EDB=_________°3. 如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上任一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如 果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点.则∠CMN=_____________°第3题 第4题4.已知：如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形. 求证：BD=CE 且BD ⊥CE总结与帮助放飞学生的心灵，尊重学生独特的体验探究学习是一种发现学习，具有深刻的问题性、广泛的参与性、丰富的实践性和开放性。
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共顶点的等腰三角形的旋转探索
学习目标：1.学生能认识平面图形关于旋转中心的旋转；
2.学生熟悉旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等；
3.通过本节课探索，学生掌握具有共顶点的等腰三角形与旋转之间的联系，从而利用旋转来转化线段，求线段的长度.
一、复习引入
二、例题与变式探究
例：如图，ABD ∆、AEC ∆都是等边三角形，BE 和CD 有什么关系？
你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（九年级数学上册第63页第10题）
变式一：如图，△ABD 、△ACE 都是等腰直角三角形，求证：BE=CD.
变式二：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长.
三、课堂小结：
四、作业布置：
1..如图，△ABC 中，∠ABC ＝30，AB ＝６，BC ＝８，△ACD 是等边三角形，求BD 的长．
2. 如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，
ABC ∆是等边三角形，30ADC ∠=，3AD =，5BD =，求四边形ABCD 的面积.
五、教学反思：通过本次微课，对于共本课题是学生学会《旋转》的图形的旋转及性质后，通过一个 课后习题引起的探究，意在通过基教材之根本，挖掘教材中典型，即由共顶点的两个等边三角形，通过旋转的性质可以得到线段之间的关系，进而联想到其它共顶点的等腰三角形是不是也可以通过旋转的性质得到呢？特别是在变式二的探究上是创新的，而且本微课通过动画演示，让学生更加清晰的看到旋转的本质，对学生不仅是直观感受颇深，而且对于旋转性质的理解与掌握甚至是灵活运用都起到良好的引导作用，最后的作业设计更是精心设计，第1小题力求达到巩固，第2小题稍有拓展，旨在培养学生深层次综合思维。