建筑力学大纲 知识点第六章 杆件的应力与强度计算

第6章 杆件的应力与强度计算

6.1 轴向拉压杆的应力与强度计算

6.1.1 应力的概念

为了分析内力在截面上的分布情况，从而对杆件的强度进行计算，必须引入应力的概念。图6-1（a ）所示的受力体代表任一受力构件。

p

c)

F

图6-1

由于截面上内力的分布一般不是均匀的，所以平均应力m p 与所取小面积A ?的大小有关。令A ?趋于零，取极限

0lim

A F

p A

?→?=? (b)

6.1.2轴向拉压杆横截面上的应力

拉压杆横截面上的内力为轴力N F ，与轴力N F 对应的应力为正应力σ。

N

F A

σ=

(6-1) 式（6-1）就是轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。 6.1.3轴向拉压杆的强度条件 1.强度条件

材料所能承受的应力值有限，它所能承受的最大应力称为该材料的极限应力，用u σ表示。材料在拉压时的极限应力由试验确定。为了使材料具有一定的安全储备，将极限应力除

以大于1的系数n ，作为材料允许承受的最大应力值，称为材料的许用应力，以符号[]σ表示，即

u []n

σσ=

(6-2)

式中n 称为安全系数。

为了确保拉压杆不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力max σ不超过材料的许用应力，即

N

max F A

σ=

≤[]σ (6-3) 2.强度条件的三方面应用

(1) 强度校核：杆件的最大工作应力不应超过许用应力，即

N

max F A

σ=

≤[]σ (2) 选择截面尺寸 ： 由强度条件式（6-3），可得

A ≥

N

[]

F σ 式中A 为实际选用的横截面积，

(3) 确定许用荷载： 由强度条件可知，杆件允许承受的最大轴力N []F 的范围为

N F ≤[]A σ

6.2材料在轴向拉压时的力学性质

在计算拉压杆的强度与变形时，要涉及材料的极限应力u σ和弹性模量E 等，这些反映材料在受力过程中所表现出的有关性质，统称为材料的力学性质。 6.2.1低碳钢在拉伸时的力学性质

1．拉伸图与应力-应变曲线

将试件装入试验机的夹头后启动机器，使试件受到从零开始缓慢增加的拉力F 作用，试件在标距l 长度内产生相应的变形l ?。将一系列F 值和与之对应的l ?值绘成F l -?关系曲线，称为拉伸图。低碳钢试件的拉伸图如图6-7所示。低碳钢的σε-曲线如图6-8所示。

l

图6-7 图6-8

2．σε-曲线的四个特征阶段 （1）弹性阶段（图6-8中的Oa '段） （2）屈服阶段（图6-8中的bc 段） （3）强化阶段（图6-8中的cd 段） （4）颈缩阶段（图6-8中的de 段） 3．延伸率和截面收缩率 延伸率

1100%l l

l

δ-=

? （6-4）

截面收缩率

1

100%A A A

ψ-=? （6-5） 4．冷作硬化

若在σε-曲线强化阶段内的某点K 时，将荷载慢慢卸掉，此时的σε-曲线将沿着与Oa 近于平行的直线KA 回落到A 点（图6-8）

。这表明材料的变形已不能全部消失，存在着OA 表示的残余线应变，即存在着塑性变形（图中AB 为卸载后消失的线应变，此部分为弹

性变形）。如果卸载后再重新加载，σε-曲线又沿直线AK 上升到K 点，以后仍按原来的

σε-曲线变化。将卸载后再重新加载的σε-曲线与未经卸载的σε-曲线相对比，可看

到，材料的比例极限得到提高（直线部分扩大了），而材料的塑性有所降低，此现象称为冷作硬化。

6.2.2铸铁拉伸时的力学性质

铸铁是典型的脆性材料，其拉伸时的σε

-曲线如图6-9所示。与低碳钢相比，其特点为：

（1）σε

-曲线为一微弯线段，且没有明显的阶段性。

（2）拉断时的变形很小，没有明显的塑性变形。

（3）没有比例极限、弹性极限和屈服极限，只有强度极限且其值较低。

200

400

图6-9 图6-10 图6-11

6.2.3其他材料拉伸时的力学性质

图6-10中给出了几种塑性金属材料拉伸时的σε

-曲线，其中：①为锰钢，②为铝合金，③为球墨铸铁，④为低碳钢。它们的共同特点是拉断前都有较大的塑性变形，延伸率比

较大。在有关规定中，是以产生0.2%塑性应变时所对应的应力作为名义屈服极限并以

0.2

σ表示（图6-11）。

6.2.4低碳钢压缩时的力学性质

低碳钢压缩时的σε

-曲线如图6-12所示。将其与拉伸时的σε

-曲线相对比：弹性阶段和屈服阶段与拉伸时的曲线基本重合，比例极限、弹性极限和屈服极限均与拉伸时的数值相同；在进入强化阶段后，曲线一直向上延伸，测不出明显的强度极限。

图6-12 图6-13

6.2.5铸铁压缩时的力学性质

铸铁压缩时的σε-曲线如图6-13所示，仍是与拉伸时类似的一条微弯曲线，只是其强度极限值较大，它远大于拉伸时的强度极限值。这表明铸铁这种材料是抗压而不抗拉的。

6.2.6许用应力的确定

前面已经知道，许用应力是材料的极限应力除以大于1的安全系数，即 u

[]n

σσ=

（6-6）

在了解了材料的力学性质后，便可进一步来确定不同材料的极限应力u σ。脆性材料是以强度极限b σ为极限应力，即

[]b

b

n σσ=

塑性材料则是以屈服极限s σ为极限应力，即

[]s

s

n σσ=

b n 和s n 分别为脆性材料的和塑性材料的安全系数。

6.3剪切与挤压的应力与强度计算

剪切变形是杆件的基本变形形式之一。当杆件受一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力作用时，二力之间的截面将沿外力方向发生错动（图6-14），此种变形称为剪切。发生错动的截面称为受剪面或剪切面。

F

F

图6-14

6.3.1剪切的实用计算及强度条件

如图6-16（a ）所示用铆钉连接的两钢板，拉力F 通过板的孔壁作用在铆钉上，称bs F 为挤压力，显然bs F F =。

图6-16

0x

F

=∑ ， 0s bs F F -= ， s bs F F F ==

s F 称为剪力，它以切应力τ的形式分布在受剪面a a -上（图6-16（d ）

）。 s

F A

τ=

(6-7)

为计算切应力，也称为名义切应力。进行剪切强度计算时的强度条件为

s F A

τ=

≤[]τ (6-8)

6.3.2挤压的实用计算及强度条件

连接件铆钉在受剪切的同时，还受挤压。挤压是指荷载作用下铆钉与板壁接触面间相互压紧的现象。挤压强度计算，需求出挤压面上的挤压应力。如图6-17b 所示，其上挤压应力的分布比较复杂，如图6-17（c ）所示，

a)

b)

c)

图6-17

以挤压力bs F 除以计算挤压面面积bs A ，所得的平均值作为计算挤压应力，即

bs

bs

bs A F =

σ (6-9) 挤压强度条件为

bs

bs bs

F A σ=

≤[]bs σ （6-10) 式中[]bs σ为材料的许用挤压应力，由材料的挤压破坏试验并考虑安全系数后得到。 6.3.3剪切胡克定律

实验证明：当切应力不超过材料的剪切比例极限p τ时，切应力τ与切应变γ成正比，用下式表示

γτG = (6-11)

式（6-11）称为剪切胡克定律。式中G 称为材料的剪切弹性模量，是表示材料抵抗剪切变形能力的量，它的量纲与应力相同。各种材料的G 值由实验测定。

6.4圆杆扭转时的应力及强度条件

6.4.1圆杆扭转时横截面上的切应力 1. 观察变形现象并提出假设 2. 推导切应力计算公式

3． 圆截面极惯性矩P I 的计算 6.4.2圆杆扭转时的强度条件

max

max p

T W τ=

≤[]τ (6-16) 式（6-16）就是圆杆扭转时的切应力强度条件。

6.5截面的几何性质

6.5.1静矩与形心 1.静矩

设任意形状的截面图形如图6-24所示，其面积为A ，y 轴和z 轴为截面所在平面内的坐标轴。在坐标

(),z y 处，取微面积d A ，把d y A 和zd A 分别称为d A 对z 轴和y 轴的静矩，

在整个截面积A 上的积分

d z A

S y A

=?，

zd y A

S A

=? (6-17)

分别定义为该截面对z 轴和y 轴的静矩，又称为面积矩。

图6-24

2．形心坐标公式

结合静矩定义式(6-17)可以导出形心C y 和C z 的计算公式

z c S Ay =，

y c S Az = (6-18)

6.5.2惯性矩和惯性积

在图6-24中，将乘积2d y A 和2

d z A 分别称为微面积d A 对z 轴和y 轴的惯性矩，则有

2d z A

I y A =?

2d y A

I z A =? (6-19)

d zy A

I yz A

=? (6-20)

6.5.3组合截面的静矩和惯性矩计算 主轴和主惯性矩

1.惯性矩的平行移轴公式

2C z z I I a A =+

2C y y I I b A =+ (6-21)

2.组合截面的静矩和惯性矩计算

计算组合截面对某轴的静矩时，可分别计算各简单图形对该轴的静矩，然后再代数相加，即

1

n

z i i i S A y ==∑

1

n

y i i i S A z ==∑ (6-22)

3.主轴和主惯性矩

若截面对某一对直角坐标轴的惯性积等于零，则该直角坐标轴称为主惯性轴或简称为主轴，截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

当主轴通过截面形心时，则称为形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

6.6弯曲梁的应力与强度计算

6.6.1梁横截面上的正应力

梁受力弯曲后，横截面上只产生弯矩而无剪力的弯曲称为纯弯曲。下面以纯弯曲梁为研究对象，分析梁横截面上的正应力。

图6-28

1.几何方面

如图6-30，线应变为

d d d s y y x θερθρ?=

==

(a)

2

图6-30

2.物理方面

在弹性范围内，正应力σ与线应变ε成正比，即

E σε=

将式(a)代入上式得

y

E E

σερ==(b)

3.静力学方面

纯弯曲梁横截面上任一点处的正应力计算公式为

z M y

I σ=

（6-24)

6.6.2梁的正应力强度条件

根据强度要求，梁内的最大正应力不能超过材料的许用应力[]σ，即

max

max [] z

M W σσ≤=

(6-25) 6.6.3截面的合理形状及变截面梁 1.梁的合理截面形状

梁的强度计算，一般是由正应力的强度条件控制的。由强度条件

max

max

z

M

W

σ=

≤

[]

σ

可知，最大正应力与弯曲截面系数z

W

成反比，z

W

愈大就愈有利。而z

W

值的大小与截面的面积及形状有关。从强度角度看z

W

值愈大就愈合理。

2.变截面梁

等截面梁的截面尺寸是以最大弯矩max

M

所在的危险截面确定的，当危险截面上正应力达到许用值时，其他截面上的最大应力必定不会超过许用值。为节省材料，可采取弯矩大的截面用较大的截面尺寸，弯矩小的截面用较小的截面尺寸。这种截面尺寸沿轴线变化的梁，称为变截面梁。

6.6.4梁横截面上的切应力及切应力强度条件

1.矩形截面梁的切应力

a）b)

图6-37

对于图6-37（a）所示的矩形截面,截面上存在剪力S

F

，经推导后可得如下切应力公式

s z

z

F S

I b

τ=

(6-26) 2.工字形截面的切应力

工字形截面梁的切应力计算公式，其公式的形式与矩形截面完全相同。即

S z

z

F S

I d

τ=

式中S

F

为截面上的剪力；z

I

为工字形截面对中性轴的惯性矩；z

S

为欲求应力点到截面边缘间的面积A*（图6-38中的阴影面积）对中性轴的静矩；d为腹板的厚度。

图6-38

3.梁的切应力强度条件

对全梁来说，最大切应力发生在剪力最大的截面的中性轴上。梁的切应力强度条件为

Smax

max

max z z F S I b τ=

≤

[]τ (6-28) 6.7组合变形杆件的应力与强度计算

6.7.1组合变形的概念

前面分别介绍了轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲等基本变形。在实际工程中，杆件的受力是复杂的，一根杆件可同时发生两种或两种以上的基本变形，这种杆件的变形称为组合变形。

6.7.2斜弯曲 1.平面弯曲

图6-42

前面讨论过梁的平面弯曲，例如图6-42a 和图6-42b 所示的悬臂梁，分别在

y

F 和

z F 的

作用下，都发生平面弯曲。 2.斜弯曲

（1）正应力计算

在实际工程中，作用在梁上的横向力有时并不与梁的形心主惯性轴重合。变形后梁的轴线将不再位于外力所在的平面内，这种变形称为斜弯曲。

6.7.3拉伸（压缩）与弯曲的组合变形

若直杆受横向力的同时，还有轴向力作用，即为拉伸（压缩）与弯曲的组合变形，简称为拉（压）弯组合。

6.7.4偏心压缩（拉伸） 1.偏心压缩（拉伸）时正应力计算

如图6-48（a ）所示受压杆件，虽然压力F 的作用线与杆轴线平行，但不通过截面形心，这类问题称为偏心压缩。若力F 为拉力，则为偏心拉伸。该力作用点B 到截面形心C 的距离e 称为偏心距。

C

z

t

σ(a)

(b)(c)(d)

图6-48

在偏心压力F 作用时，杆件为压、弯组合变形，横截面上任一点的正应力为

N

F M z F Fe y

A I σσσ=+=-

± (6-34)

2.截面核心的概念

工程中常用的混凝土、砖石或铸铁等脆性材料，其抗拉强度远低于抗压强度。当这类构件偏心受压时，其横截面上最好不出现拉应力，以避免拉裂。为此，要把偏心压力限定在围绕截面形心的一个区域内，使其不产生较大的附加力偶，从而杆件横截面上只出现压应力。这个围绕形心的区域，称为截面核心。

小结

1. 本章通过科学实验与理论分析相结合的方法研究了静定杆件应力分析的基本方法，即从以下三个方面建立应力计算公式：(1) 根据实验观察得到的现象，提出平面假设，建立外部变形与内部变形之间的关系（称为变形几何关系）；(2) 由变形与应力的关系（称为物

理关系），结合变形的几何关系，得到横截面上各点应力的分布情况；(3) 由应力与内力的关系（静力学关系），最后导出应力计算公式。对这一过程应有清晰的概念和理解。

2. 本章讨论了轴向拉（压）杆的应力的计算问题，它是强度计算的基础。应力在截面上均匀分布。横截面上只有正应力σ，其计算公式为

N

F A

σ=

拉压杆的强度计算公式为Nmax

max F A

σ=

≤[]σ。在强度计算的三个方面应用中，最重要的是强度条件。无论是选择截面，还是求最大许用荷载，前提是都要满足强度条件，列出强度条件，另外两种应用就很容易导出。

3.测定材料力学性能的方法是实验，其中拉伸试验是最基本的一种试验，由它可测得材料的强度指标s σ、b σ ，刚度指标E 、μ ，塑性指标δ、ψ 。必须清楚理解这些指标的物理意义，并注意塑性材料与脆性材料的区别。

4.连接件（铆钉等）通常同时受到剪切与挤压作用，在工程中采用“实用计算法”来建立它们的强度条件

对构件进行剪切和挤压强度计算时，要注意正确判断并计算出剪切面和挤压面。剪切面平行于外力，且位于方向相反的两外力之间。挤压面就是两构件的接触面。当接触面为平面时，挤压面积就是接触面积；当接触面为半圆柱面时，挤压面积为半圆柱的正投影面积。

5. 剪切胡克定律是变形体力学中的重要定律。对剪切胡克定律应明确其适用范围，

G τγ=与E σε=类似，只在弹性范围内才成立。

6. 应用圆杆扭转时的强度条件max

max p

T W τ=

≤[]τ，可解决强度计算中常见的三类典型问题，即校核强度、选择截面和求许用荷载。

7．静矩是对轴而言的，其常用单位为3

m (或3

mm )。静矩与形心坐标间的关系为式

z c y c S Ay S Az =??

?

=??

当形心坐标确定时，用此式计算截面对某轴的静矩是很方便的。

8．矩形和圆形截面对其形心主轴的惯性矩计算公式

312z bh I =和4

64z d I π=

为常用公式，

对两个公式应熟记。

9．梁弯曲时的正应力计算公式为

z M y I σ=

式中，

z

I 为横截面对中性轴的惯性矩；y 为欲求应力点到中性轴的距离。

中性轴为截面的形心主轴，正应力沿截面高度按直线规律分布，以中性轴为界，一侧为拉应力，另一侧为压应力。

10．梁的强度计算时必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件

max

max z M W σ=

≤[]σ

Smax max

max z z F S I b

τ=

≤

[]τ

一般情况下，梁的强度是由正应力强度控制。选择梁的截面时，先按正应力强度条件进行选择，然后再按切应力强度条件进行校核。工程中，按正应力强度条件设计的梁，大多数都能满足切应力强度条件。

11.组合变形构件的强度计算，是建立在拉伸（或压缩）、扭转和弯曲等基本变形的强度计算基础上的。因此，需对各种基本变形的受力特点、应力分布规律及其计算，有清楚的了解，才能正确分析组合变形时的强度问题。

12.处理组合变形的强度问题是应用叠加原理，其步骤为：

(1) 确定作用在构件上的所有外力，并进行分解或简化，分成几种基本变形的受力情况； (2) 计算各基本变形的内力，作出内力图；

(3) 确定危险截面与危险点，计算各基本变形在危险点上的应力，然后将它们进行代数叠加，再根据危险点的应力情况，列出强度条件。