2020 新高考 数学 开放性试题题型专练(解析版110页)

5． 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所 示，弧田是由圆弧 AB 和其所对弦 AB 围成的图形，若弧田的弧 AB 长为 4π，弧所在的圆的半径 为 6，则弧田的弦 AB 长是 ，弧田的面积是 ．
【答案】6 3 ，12π﹣9 3
【解析】∵如图，弧田的弧 AB 长为 4π，弧所在的圆的半径为 6，
∴α＝∠AOB＝ 4π ＝ 2π ，可得∠AOD＝ π ，OA＝6，
63
3
∴AB＝2AD＝2OAsin
π 3
＝2× 6 ×
3 ＝6 2
3，
4
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∴弧田的
面积
S＝S
扇形
OAB﹣S△OAB＝
1 2
×
4π×6﹣
1 2
×
6
3 × 3 ＝12π﹣9
3．
旗开得胜
故答案为：6 3 ，12π﹣9 3 ．
若离散型随机变量Y 满足Y = 2 X +1，则下列结果正确的有
A． q = 0.1
B． EX = 2 ， DX = 1.4
3
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C． EX = 2 ， DX = 1.8
D． EY = 5 ， DY = 7.2
旗开得胜
【答案】ACD
【解析】先计算 q 的值，然后考虑 EX 、 DX 的值，最后再计算 EY 、 DY 的值．
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2．已知三个数1, a, 9 成等比数列，则圆锥曲线 x2 + y2 = 1 的离心率为 a2
旗开得胜
A． 5
B． 3 3
C． 10 2
D． 3
【答案】BC
【解析】由等比数列的性质求出 a ，再判断曲线类型，进而求出离心率
由三个数 1, a, 9 成等比数列，得 a2 = 9 ，即 a = ±3 ；当 a = 3 ，圆锥曲线为 x2 + y2 = 1，曲线 32
为椭圆，则 e = 1 = 3 ；当 a = −3 时，曲线为 y2 − x2 = 1，曲线为双曲线， e = 5 = 10 ，
33
23
22
则离心率为： 3 或 10 ．故选：BC． 32
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an } 称 为“斐波那契数列”，记 Sn 为数列{an } 的前 n 项和，则下列结论正确的是
A．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C．设备制造商在各年的总经济产出中一 直处于领先地位 D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】ABD 【解析】本题结合图形即可得出结果． 由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于 领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故 C 项表达错误．故选：ABD．
新高考开放性试题题型专练 01
旗开得胜
1．由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业
整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接
带动国民经济各行业的 发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几 年的 5G 经济产出所做的预测．结合下图，下列说法正确的是
A． a6 = 8
B． S7 = 33
C． a1 + a3 + a5 + ⋅⋅⋅ + a2019 = a2020
D． a12
+ a22 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a22019 a2019
= a2020
【答案】ABCD
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旗开得胜
{ } 【解析】由题意可得数列 an 满足递推关系 a1 = 1, a2 = 1, an = an−2 + an−1(n ≥ 3) ，对 照四个选
6． 设函数 f (x) = 1 ，则 f（1）＝ ；若 f (f (x)) = 1 ，则 x＝ ．
x+2
3
1
【解答】 ，﹣1
3
【解析】
f
(1)
=
1 1+ 2
=
1 3
；由
f
(f
(x))
=
1 3
，
即
f
1 (x) +
2
=
1 3
Fra Baidu bibliotek，得
f（x）＝1，由
x
1 +
2
=
1，解得
x＝﹣1．故答案为
1 3
，﹣1
7．在① sn = 2bn −1, ② − 4bn = bn−1(n ≥ 2), ③ bn = bn−1 + 2(n ≥ 2) 这三个条件中任选一个，补充在 下面的问题中，若问题中的 k 存在，求出 k 的值；若 k 不存在，说明理由．
a2 2019
= a2019a2020
− a a 2019 2018
a12 + a22 + a32 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a22019 = a a 2019 2020 ，故 D 正确；
故选：ABCD．
4．设离散型随机变量 X 的分布列为
X
0
1[来源:学科网 ZXXK]
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
项．
( ) 对 D，斐波那契数列总有 an+2 = an+1 + an ，则 a12 = a2a1 ， a22 = a2 a3 − a1 = a2a3 − a2a1 ，
( ) ( ) a32 = a3
a4 − a2
=
a3a4
−
a2a3 ，……，
a2 2018
=
a2018
a2019 − a2017
= a a 2018 2019 − a a 2017 2018 ，
项可得正确答案．
对 A，写出数 列的前 6 项为1,1, 2,3,5,8 ，故 A 正确；
对 B， S7 = 1+1+ 2 + 3 + 5 + 8 +13 = 33，故 B 正确； 对 C，由 a1 = a2 ， a3 = a4 − a2 ， a5 = a6 − a4 ，……， a2019 = a2020 − a2018 ， 可得： a1 + a3 + a5 + ⋅⋅⋅ + a2019 = a2020 ．故 a1 + a3 + a5 + ⋅⋅⋅ + a2019 是斐波那契数列中的第 2020
因为 q + 0.4 + 0.1+ 0.2 + 0.2 = 1，所以 q = 0.1，故 A 正确；
又 EX = 0× 0.1+1× 0.4 + 2× 0.1+ 3× 0.2 + 4× 0.2 = 2 ，
DX = (0 − 2)2 × 0.1+ (1− 2)2 × 0.4 + (2 − 2)2 × 0.1+ (3 − 2)2 × 0.2 + (4 − 2)2 × 0.2 = 1.8，故 C 正 确；因为Y = 2 X +1，所以 EY = 2EX +1 = 5 ， DY = 4DX = 7.2 ，故 D 正确，故选：ACD．