2020 新高考数学开放性试题题型专练(解析版110页)

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2020年全国统一考试高考数学试卷及其详细解析(理科)(新课标ⅲ)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{(,)|A x y x=，*y N∈，}y x，{(,)|8}B x y x y=+=，则A B中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．62．复数113i-的虚部是()A．310-B．110-C．110D．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．140.1p p==，230.4p p==B．140.4p p==，230.1p p==C．140.2p p==，230.3p p==D．140.3p p==，230.2p p==4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()1tKI te--=+，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95I t K=时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为( )(193)ln≈A．60 B．63 C．66 D．695．设O为坐标原点，直线2x=与抛物线2:2(0)C y px p=>交于D，E两点，若OD OE⊥，则C的焦点坐标为()A．1(4，0)B．1(2，0)C．(1,0)D．(2,0)6．已知向量a，b满足||5a=，||6b=，6a b=-，则cos a<，(a b+>=) A．3135-B．1935-C．1735D．19357．在ABC∆中，2cos3C=，4AC=，3BC=，则cos(B=)A．19B．13C．12D．238．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．642+B．442+C．63+D．43+初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，．P 是C上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则(a = )A ．1B ．2C ．4D ．8 12．已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan (θ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．210．若直线l与曲线y =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为( )A ．21y x =+B ．122y x =+C ．112y x =+D ．1122y x =+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考数学复习大题全题型专练：专题02 裂项相消求和(解析版)

专题2裂项相消求和1．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列 n a 的前n 项和为n S ，111a ，29a ，且 11222n n n S S S n ．(1)求数列 n a 的通项公式；(2)已知11n n n b a a，求数列 n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)213n a n (2)12122n n【解析】【分析】（1）根据1n n n a S S 以及 11222n n n S S S n 可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的1a 、d 写出数列的通项公式即可.（2）有题意可知1213211n b n n，然后根据裂项求和即可求得n T .(1)由题意得：由题意知 112n n n n S S S S ，则 122n n a a n 又212a a ，所以 n a 是公差为2的等差数列，则 11213n a a n d n ；(2)由题知11112132112213211n b n n n n则1111111111211997213211211211n T n n n 12122n n2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列 n a 满足2123232n a a a na n n ，且 211nn n n a b n n．(1)求数列 n a 的通项公式；(2)求数列 n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n n a n(2)(3)21n n n nS n【解析】【分析】（1）根据2123232n a a a na n n ，即可得到2123123(1)(1)2(1)n a a a n a n n （2n ），两式作差即可得解；（2）依题意可得1111n b n n n，利用分组求和及裂项相消法求和即可；(1)解：因为2123232n a a a na n n ，①当2n 时，2123123(1)(1)2(1)n a a a n a n n ．②① ②得21n na n ，所以21n n a n．当1n 时，13a ，也满足上式，所以21n n a n．(2)解：因为(2)(1)1n n a n n b n n，则221211111111(1)(1)1n n a n b n n n n n n n n n n n n n，则11111(3)2311223121n n n n S n n n n．3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知数列 n a 的前n 项和为n S ，13a ，*112n n S n a n N .(1)求数列 n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；(2)设*22111k k k b k S SN ，数列 n b 的前n 项和记为n T ，证明：*16n T n N .【答案】(1)3,21,N 1,2n n k a k n k，2,21,N ,2n n n k S k n n k(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据11n n n S S a 代入整理得12n n a a ，结合13a 理解处理；（2）代入整理得11122123n b n n，利用裂项相消进行求和．(1)由 112n n S n a，得*111(1)12n n S n a n N 两式相减可得12n n a a ，因为13a ，得21a 数列 n a 为3，1 ，3，1 ，3，1 ，3，即3,21,N 1,2n n k a k n k，当n 为偶数时，[3(1)]2n nS n ；当n 为奇数时，1[3(1)]322n n S n；2,21,N ,2n n n k S k n n k(2)由*22111k k k b k S S N 则有 221111111(21)(23)22123n n n b S S n n n n所以1111111235572123n T n n，111123236n n T4．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知数列 n a 的前n 项和为n S ，且 222n n S n a .(1)求数列 n a 的通项公式；(2)若数列21n a的前n 项和为n T ，求证：23n T .【答案】(1)*1n a n n N(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先根据 222n n S n a 和an ＝Sn －Sn －1(n ≥2)，推出数列{an }的递推公式，再求an .(2)根据21n a的通项公式的结构形式，结合裂项求和法进行适当放缩，再求和，即可证得结果.(1)当1n 时， 112122S a ，即12a .当2n 时， 222n n S n a ①，111212212n n n S n a n a ②，由①-②，得 1221n n n a n a n a ，即 11n n na n a .所以11n n a a n n ，且112a ，所以数列1n a n为常数列，所以11n a n ，即*1n a n n N .(2)证明：由（1）得*1n a n n N ，所以 22221144411221232123141411n a n n n n n n n，所以2222111111111111222223435577921231n T n n n111111111122235577921233233n n n.5．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）等比数列 n a 中，首项11a ，前n 项和为n S ，且满足 1344a a S ．(1)求数列 n a 的通项公式；(2)若31(1)log n n b n a ，求数列242n n b的前n 项和n T ．【答案】(1)13n (2)222(1)n【解析】【分析】（1）根据等比数列求解公比即可；（2）根据题意得22242112(1)n n b n n，再裂项求和即可.(1)设数列 n a 公比为q ，由11a ， 1344a a S ，可得32330q q q ，化简得2130q q ，即3q ，所以13 n n a ．(2)由（1）得3(1)log 3(1)n n b n n n ，所以222224242112(1)(1)n n n b n n n n所以22222111112122223(1)n T n n22222211111221222311n n n..6．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列{}n a 满足：12(1),=,2n n a n n a n n为奇数为偶数*()N n (1)求1a 、3a 、5a ；(2)将数列{}n a 中下标为奇数的项依次取出，构成新数列{}m b ()m *N ，①证明：m b m是等差数列；②设数列+11m b的前m 项和为m S ，求证：12m S ．【答案】(1)10a ；34a ；512a (2)①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据12(1),=,2n n a n n a n n为奇数为偶数求解；（2）①利用等差数列的定义证明；②利用裂项相消法求解.(1)由题意知：21222202a a ，23444442a a ，256666122a a ；(2)①当n 为奇数时，n +1为偶数，221111122n n n n a a n n，221211212m m m b a m m，2122m m m b m m m，当2m 时，1(22)[2(1)2]21m m b bm m m m ，m b m是以11011b a 为首项，2为公差的等差数列．②由①知12(1)(N )m b m m m，111111(2(1)21m b m m m m，11111111[(1)()((1)2223121m S m m m ，11122(1)2m .7．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an }对任意的n ∈N *都满足312233333n n a a a a n ．(1)求数列{an }的通项公式；(2)令bn ＝3413431log log n n a a ，求数列{bn }的前n 项和为Tn ．【答案】(1)3n n a (2)1114343n T n【解析】【分析】（1）根据题干中的已知条件可得当1n 时，13a ，当2n 时，13nna ，即可求解数列 n a 的通项公式；（2）代入3n n a 化简数列 nb ，利用裂项相消法即可求解数列 n b 的前n 项和n T .(1)解：∵312233333n n a a a a n ，∴当1n 时，13a ，当2n 时，3-11223-113333n n a a a a n ，从而有13n na ，即当2n 时，3nna ，又13a 满足上式，故数列 n a 的通项公式为3n n a ．(2)解：由题可知， 414334134333111=log log log 3log 34143n n n n n b a a n n ，所以1111=414344143n b n n n n，111111111437471144143n T n n，所以1114343n T n.8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列 n a 的前n 项和为n S ，24n n S a n ．(1)证明：数列 1n a 是等比数列．(2)若数列12n n n a a的前m 项和170513m T，求m 的值．【答案】(1)证明见解析(2)8【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系式化简证明；（2）由（1）得数列 n a 的通项公式为21nn a ．所以112112121n n n n n a a ，继而求和计算.(1)当1n 时，1123a a ，13a ．当2n 时， 11214n n S a n ，两式相减得121n n a a ，即 1121n n a a ，112a ，则数列 1n a 是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由（1）得12n n a ，21n n a ，当1n 时，1213a ，数列 n a 的通项公式为21n n a ．111221121212121n n n n n n n n a a ，11111111111135599172121321m m m m T ，令111170321513m ，得121513m ，解得8m ．9．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若n S 为数列 n a 的前n 项和，12a ，且*121n n S S n N ．(1)求数列 n a 的通项公式；(2)若*221log n n b a n N ，求数列11n n b b的前n 项和n T ．【答案】(1)2n n a (2)n T 21nn【解析】【分析】（1）由 121n n S S ，利用数列通项和前n 项和的关系结合等比数列的定义求解；（2）由（1）得到111(21)(21)n n b b n n 11122121n n，再利用裂项相消法求解.(1)解：因为 121n n S S ①，*n N ，当2n 时， 121n n S S ②，由①②可得 112121n n n n S S S S ，即12(2)n n a a n ．1n 时，122a a S 112222S a ，又12a ，所以24a ，所以*12n n a a n N ，所以12n na a ，所以数列 n a 是等比数列，且首项为2，公比为2．所以2n n a ．(2)由（1）知221log 21n n b a n ，所以111(21)(21)n n b b n n 11122121n n，所以12233411111n n n T b b b b b b b b ，1111111112335572121n n，111221n ，21n n ．10．（2022·重庆·模拟预测）已知数列 n a 的前n 项和为Sn ，111a ，29a =-，且11222n n n S S S n （）(1)求数列{an }的通项公式；(2)设11n n n b a a，数列{bn }的前n 项和为Tn ，求使得Tn ＞0的n 的最大值．【答案】(1)an ＝2n ﹣13(2)5【解析】【分析】（1）消去Sn 得到an +1﹣an ＝2，即可判断出{an }是公差为2的等差数列，求出通项公式；（2）利用裂项相消法求出111211211n T n，列不等式即可求解.(1)由题意知（Sn +1﹣Sn ）﹣（Sn ﹣Sn ﹣1）＝2，解得an +1﹣an ＝2（n ≥2），又a 2﹣a 1＝2，所以{an }是公差为2的等差数列，则an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣13；(2)由题知1111((213)(211)2213211n b n n n n，则121111111211997213211111211211111211211n nT b b b n n n n由0n T 得11201121111(211)n n n ，解得1102n ，所以n 的最大值为5．11．（2022·广东·模拟预测）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若 311log 3log 33n n n c S S，求 n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T ．【答案】(1)21263 S ，12312633 S ，133n n S (2)1122n T n ，证明见解析【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S ，217611512181263S ，2123187136171116512185412636312633S ，41981572013196231728112716215S 1218541622312636363 123126333 ，…12311263333(1)n n S n ，由等比数列的前n 项和公式可得， 113131263313n n n S ，所以 n S 的通项公式133n n S ．(2)由于133n n S ，所以 33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n，则1111111132432122n T n n n，因为n N ，所以102n ，所以111222n ，又n T 随n 的增大而减小，所以当1n 时，n T 取得最大值16，故1126n T ．12．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知n S 是数列 n a 的前n 项和，且21n S n n ．(1)求 n a 的通项公式．(2)若11n n n b a a，n T 是 n b 的前n 项和，求5T ．【答案】(1)3,12,2n n a n n(2)16【解析】【分析】（1）由1(2)n n n a S S n 求通项公式，注意11a S ；（2）从第2项向后用裂项相消法求和．(1)2n 时，2211(1)(1)12n n n a S S n n n n n ，113a S ，所以3,12,2n n a n n ；(2)2n 时，1111()4(1)41n b n n n n，1121113412b a a ，所以11111111[()()(12423341n T n n11128(1)n n ，所以514112866T .13．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知正项递增的等比数列 n a 满足1330a a ，29a .(1)求 n a 的通项公式；(2)设12311nn n n b a a ， n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】(1)3nn a (2)111431n n T 【解析】【分析】（1）根据已知条件及等比数列通项公式即可求解；（2）根据（1）知3n n a ，得出数列n b ，利用裂项相消法即可求解.(1)设等比数列 n a 的公比为q ，则因为数列 n a 为正项递增等比数列，所以1q ，又1330a a ∵，29a ，∴ 2111309a q a q ，解得133a q ，或12713a q（舍）；所以等比数列 n a 的通项公式为111333n n n n a a q .(2)由（1）知3n n a ，所以 1112323111131313131n n n n n n n n n b a a ，所以122231111111313131313131n n n n T b b b111431n .所以 n b 的前n 项和为111431n .14．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知数列 n a ， n b ，已知对于任意*n N ，都有1n n a ，数列{}n b 是等差数列，11b ，且25b ，41b ，63b 成等比数列．(1)求数列 n a 和 n b 的通项公式；(2)记 *2,21,2n n n a n k c k N b n k ．（ⅰ）求13213212log log n i i i c c ；（ⅱ）求211nk k k cc ．【答案】(1)3n n a ；21n b n (2)（ⅰ）1121n ；（ⅱ）175402591648n n【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式及等比中项的性质即可求解；（2）（ⅰ）利用裂项相消法求和即可，（ⅱ）将相邻两项合并成一项，再利用错位相减法求和即可.(1)设数列 n b 的公差为d ，∵25b ，41b ，63b 成等比数列，且11b ，∴ 2426153b b b ，即 223625d d d ，解得2d ，则 12121n b n n ，即13n n n n a ，(2)（ⅰ）由（1）可知，*3,211,2n n n k c k N n n k ，则335212113213213333332222=log log log 3log 3log 3log 3log 3log 3nn n i i i c c 22213352121n n 1111113352121n n1121n ；（ⅱ）由题意，对*n N ，21221212121211222213310213n n n n n n n n n n c c c c n n c c c 102193n n ，设219n n 的前n 项为 n R ，所以 2939219n n R n ，则 2319939219n n R n ，则 212311998929992199221919n n n n n R n n 14558944n n ，所以1458593232n n n R，即211110754025931648nn k k n k n c c R．15．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知数列 n a 的前n 项和为n S ，114a ，且2*1,21n n n S a n n N ．(1)求2a 的值，并证明：数列21n a n是一个常数列；(2)设数列 n b满足n bn b 的前n 项和为n T，若2 k T ，求正整数k 的值．【答案】(1)234a，证明见解析．(2)1,2,3k ．【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S 得到n a 与1n a 的关系，构造数列21n a n即可．（2）先求出n S ，得到8(1)n b n n，裂项求和得到n T ，代入解不等式．(1)当1n 时，1213S a 得：234a ．当2n 时，21(1)21 n n n S a n ，则221(1)2121n n n n n a a a n n ，得121212134n n a a a n n ，又1114a 符合上式，即数列21n a n是一个常数列．(2)由（1）可知：2121,44 n n n n a S ，即8118(1)1n b n n n n ．12188111k k k T b b b k k ，则8(1)21 k k T k k ，得：13k ．即1,2,3k ．16．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知数列{}n a 满足11a ，1|121|n n n a a a ，*n N ．(1)求4a 的值并求数列{}n a 的通项公式；(2)若333432log log ...log n n b a a a ，求数列1{}nb 的前n 项和．【答案】(1)49a ，21,13,2n n n n a ;(2)21n n .【解析】【分析】（1）根据已知条件及数列的递推公式，取项数n 可得出数列的各项，再利用等比数列的通项公式即可求解；（2）根据对数的运算性质，再利用裂项相消法即可求解.(1)因为1|121|n n n a a a ，又11a ，所以2111211a a a －＋＋，3221213a a a －＋＋，4331219a a a －＋＋．当2n 时，12211n n a a a ，所以1n a ，从而11211213n n n n n n a a a a a a ＋－，所以数列{}n a 是以首项为21a ，公比为3的等比数列，于是有 221332n n n a n ，又因为11a ，不满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21,13,2n n n n a .(2)由（1）知， 221332n n n a n ，334323lo l 1og g 2n n b a a a n ＋＋＋l og ＋＝(1)2n n ，故1n b ＝22n n ＝1121n n．所以121111112212211113n n b n b b n n 所以数列1n b的前n 项和为21n n ．17．（2022·全国·高考真题）记n S 为数列 n a 的前n 项和，已知11,n n S a a 是公差为13的等差数列．(1)求 n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a ．【答案】(1) 12n n n a(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 121133n n S n n a ，得到 23n n n a S ，利用和与项的关系得到当2n 时， 112133n n n n n n a n a a S S ,进而得：111n n a n a n ，利用累乘法求得 12n n n a ，检验对于1n 也成立，得到 n a 的通项公式 12n n n a ；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n，进而证得.(1)∵11a ，∴111S a ,∴111S a ,又∵n n S a 是公差为13的等差数列，∴ 121133n n S n n a ,∴ 23n n n a S ,∴当2n 时， 1113n n n a S，∴ 112133n n n n n n a n a a S S ,整理得： 111n n n a n a ,即111n n a n a n ,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a1341123212n n n n n n ，显然对于1n 也成立，∴ n a 的通项公式 12n n n a；(2)12112,11n a n n n n ∴12111n a a a 1111112121222311n n n18．（2022·天津·耀华中学二模）已知 n a 为等差数列，前n 项和为n S ， *n N ， n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b ，335b a a ，6112b S .(1)求 n a 和 n b 的通项公式；(2)设10c ，11ln 1n n c c n，*n N ，求n c ；(3)设1113,21ln ,2n n n n n nc n k bd a a n k b ，其中*k N .求 n d 的前2n 项和2n T .【答案】(1)n a n ，2n n b ；(2)ln n c n ；(3)ln(21)4nn .【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式、前n 项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可；（2）运用累和法，结合对数的运算性质进行求解即可；（3）根据（1）（2）的结论，结合裂项相消法进行求解即可.(1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为(0)q q ，由2231222122b b q q q ，或3q 舍去，所以1222n n n b ；35413428434a a b a d a a ，6111121111102642b S a d ，解得：11a d ，即1(1)1n a n n ，所以有n a n ，2n n b ；(2)因为111ln 1ln n n n c c n n，所以当*2,n n N 时，有112211()()()n n n n n c c c c c c c c 12(1)2ln ln ln ln ln 121(1)(2)1n n n n n n n n n ，显然当1n 时也适合，即ln n c n ；(3)由（1）（2）可知：n a n ，2n n b ，ln n c n .当21n k ，*k N 时，2123ln(21)2k k k d，当2n k ，*k N 时，2221ln 212k k k k d ，122221ln 3ln(21)4ln(21)ln(21)21224k k k k k k k k k k d d，21234ln1ln 34ln 3ln 54ln 5ln 74ln(21)ln(21)4444n n n n T112231ln 3ln 3ln 5ln 54ln 7ln(21)ln(21)04444444n n n nln(21)4nn .【点睛】关键点睛：运用裂项相消法是解题的关键.19．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，且6431316,32a a a a (1)求{}n a 的通项公式；(2)若(1)(1)n n n a b n n ，{}n b 的前n 项和为n T ，求满足8n T 的最小正整数n 【答案】(1)2nn a (2)5（1）列方程组求得等比数列{}n a 首项、公比，进而求得其通项公式；（2）先化简{}n b 的通项公式，利用裂项相消法求得{}n b 的前n 项和为n T ，再解8n T ，即可求得满足不等式的最小正整数n .(1)设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则531121131632a q a q a q a ，解之得122a q ，则等比数列{}n a 的通项公式2nn a (2)由2nn a ，可得1(1)2121222(1)111n n n n n n n a b a n n n n n n n n 则{}n b 的前n 项和232435411222222222222232435411n n n n T n n n由12281n n T n ，可得1210100n n 令 1()210101N x f x x x x ，，则1()2ln 2101N x f x x x ，由1()2ln 2100x f x ，可得210log 1 2.85ln 2x由1()2ln 2100x f x ，可得210log 1 2.85ln 2x则有()f x 在 1,2.85单调递减，在 2.85, 单调递增又2(1)21010160f ，5(4)24010180f ，6(5)2501040f 则0(1)(2)f f ，(3)(4)0(5)()f f f f n 即由不等式1210100n n ，可得5,Nn n 则满足8n T 的最小正整数为520．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x ．(1)当1a 时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x 时，()1f x ，求a 的取值范围；(3)设n Nln(1)n ．【答案】(1) f x 的减区间为 ,0 ，增区间为 0, .(2)12a【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得 f x 的单调性.（2）设 e e 1ax x h x x ，求出 h x ，先讨论12a 时题设中的不等式不成立，再就102a 结合放缩法讨论 h x 符号，最后就0a 结合放缩法讨论 h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t tt 对任意的1t 恒成立，从而可得 ln 1ln n n*n N 恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a 时， 1e x f x x ，则 e x f x x ，当0x 时，()0f x ¢<，当0x 时，()0f x ¢>，故 f x 的减区间为 ,0 ，增区间为 0, .(2)设 e e 1ax x h x x ，则 00h ，又 1e e ax x h x ax ，设 1e e ax x g x ax ，则22e e ax x g x a a x ，若12a ，则 0210g a ，因为 g x 为连续不间断函数，故存在 00,x ，使得 00,x x ，总有()0g x ¢>，故 g x 在 00,x 为增函数，故 00g x g ，故 h x 在 00,x 为增函数，故 01h x h ，与题设矛盾.若102a ，则 ln 11e e e e ax ax ax x x h x ax ，下证：对任意0x ，总有 ln 1x x 成立，证明：设 ln 1S x x x ，故 11011x S x x x，故 S x 在 0, 上为减函数，故 00S x S 即 ln 1x x 成立.由上述不等式有 ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x ，故 0h x 总成立，即 h x 在 0, 上为减函数，所以 01h x h .当0a 时，有 e e e 1100ax x ax h x ax ，所以 h x 在 0, 上为减函数，所以 01h x h .综上，12a.(3)取12a ，则0x ，总有12e e 10x x x 成立，令12e x t ，则21,e ,2ln x t t x t ，故22ln 1t t t 即12ln t t t 对任意的1t 恒成立.所以对任意的*n N ，有整理得到：ln 1ln n nln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n ln 1n ，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷)(试做解析版)(1)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i解：z =1i -，1zz z --=(1)i +(1)i --(1)1i +-=1+1-1-i -1=i - 故选B （2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥解：Q 2y x =得24y x = ∴24y x =故反函数为2(0)4x y x =≥ 故选B 。

（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞解：1a b +⇒＞10a b a b ->⇒-> ,1a b a b a b ∴>>->反之不能推出故选A 。

（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5解：221111(21)(11)2(21)k k k k S S a a a k d a k d a k d +++-=+=++-+++-=++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。

（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9解：()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-= 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C(6)已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β， BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)2 (B)3 (C)6 (D) 1 (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种解：选画册2本，集邮册2本，共有赠送方法246c =，选画册1本，集邮册3本，共有赠送方法144c =，故共有赠送方法4+6=10种，故选B(8)曲线y=2xe -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 解：2'2xy e -=-Q ，2k =-Q ，切线方程为22y x -=-由232223x y x y x y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩得 1222233s =⨯⨯= 故选C(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12解：5511()(2)()()2222f f f f -=-+=-=-Q 1112()(1)222=-⨯-=- 故选A(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45 (B)35 (C)35- (D)45-解：222421223OM OM =-=⇒=，在030Rt ONM OMN ∠=V中, 213,3132ON OM Rt ONB ∴==-=V 2在中,NB=4 213N S NB ππ∴==圆故选D(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在．试卷上作答无效．．．．．．．) (13)(1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: 0 .2y 2解：212020(1)()(1)r rr r rr r T c x c x +=-=-，令12,91822r rr r ====得得所以x 的系数为2222020(1)c c -=，91822020x c c =18的系数为(-1)故x 的系数与9x 的系数之差为220c -220c =0 (14)已知a ∈(2π，π)，sin α5tan2α=43-解：Q a ∈(2π，π)，sin α=55 2525cos 1sin 1()55a a =--=--=-Q 则tan α=5sin 15cos 2255a a ==--故tan2α=2212()2tan 142121tan 31()24a a ⨯--===---- (15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = 6 .解：延长CB 、FE 交于M ，连结AM ，过B 作BN ⊥AM 于N ，连结EN ，则∠ENB 为平面AEF 与平面ABC 所成的二面角，AM=2AB ，1223,,tan 232ABEB BN AB Rt EBN ENB BN AB ∴=∠===V 在中三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知A —C =90°，a+c=2b ，求C. 解：由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，由22sin 2sin 22sin a c b R A R C R B +=+=得，即sin sin 2A C B +=A+B+C=1800 ，0[180()]B A C ∴=-+，0sin sin 2()]A C A C ∴+=-+即sin sin 2)A C A C ∴+=+，由A-C=900 得A=900+C00sin(90)sin 2sin(902)c c c ∴++=+ 即00cos sin 22sin(45)cos(45)c c c c +=++00022sin(45)22sin(45)cos(45)c c c +=++ 01cos(45)2c ∴+=0456015c c ∴+=∴=(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

2020年高考数学多选一开放型综合解答题(详解答案)

注：选择不同条件，结果可能不同．
已知为虚数单位，复数满足______，设，，在复平面上的对应点分别为，，，求的面积．
10．在锐角△ABC中，，________，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周长l的范围．
注：在① ，且，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．
平面PBD的一个法向量为；
二面角为钝角：二面角的余弦值为．
选择③：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，）
平面ABCD的法向量；
平面PBC的法向量；
二面角为锐角；二面角的余弦值为．
（Ⅲ）假设棱BC上存在点F，．设．
依题意，可知，，
，，
，，设，
则，而此方程组无解，
（1）求a的值；
（2）若D为BC上一点，且，求的值．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
7．在锐角△ABC中，a＝2 ，_______，求△ABC的周长l的范围．
在① (﹣cos ，sin )， (cos ，sin )，且 • ，②cosA(2b﹣c)＝acosC，③f(x)＝cosxcos(x ) ，f(A)
3．△ABC的内角的对边分别为 .已知 △ABC的面② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
4．在△ABC中，a ，c ，________.（补充条件）
（1）求△ABC的面积；
如图，以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
而，，
设平面的一个法向量为
则由，得，

2020年北京市高考数学试卷-解析版

2020年北京市高考数学试卷-解析版2020年北京市高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,1,2}，A={A|0<A<3}，则A∩A=()A.{−1,1}B.{0,1}C.{−1,1,2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则A⋅A=()A.1+2AB.−2+AC.1−2AD.−2−A3.在(√A−2)的5的展开式中，A²的系数为()A.−5B.5C.−10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.76.已知函数A(A)=2A−A−1，则不等式A(A)>的解集是()A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为A。

A是抛物线上异于O的一点，过P作AA⊥A于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{AA}中，A1=−9，A5=−1.记AA=A1A2…AA(A=1,2，…)，则数列{AA}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知A，A∈A，则“存在A∈A使得A=AA+(−1)AA”是“AAAA=AAAA”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(AAAA)。

历史上，求圆周率A的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家___的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2A的近似值。

2020届新高考数学模拟试卷及答案解析(11)

2020届新高考数学模拟试题（11）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|11}A x x =-，则(A N = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}2．已知i 是虚数单位，1(1)0()a i a R +->∈，复数2z a i =-，则1||(z=)A ．15B ．5C ．5D 3．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2x f x =，则当0x >时，()(f x =)A ．2x-B ．2x-C ．2x--D ．2x4．已知a R ∈，则“01a <<”是“x R ∀∈，2210ax ax ++>”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量(1,1)a = ，(1,3)b =- ，(2,1)c =，且()//a b c λ- ，则(λ=)A ．3B ．3-C ．17D ．17-6．将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则((6f π=)A ．1B ．1-C D ．7．已知,1()(2),1lnx x f x f x k x ⎧=⎨-+<⎩，若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是()A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(,1)-∞D ．(-∞，1]8．已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为()A ．B ．C ．5+D ．3+二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：)cm 如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A ．女生身高的极差为12B ．男生身高的均值较大C ．女生身高的中位数为165D ．男生身高的方差较小10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PE ⊥于M ，过Q 作QN PE ⊥交线段EP 的延长线于点N ，则()A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =11．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则()A ．CM 与PN 是异面直线B ．CM PN>C ．平面PAN ⊥平面11BDD B D ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形12．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：)h 表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：)km 表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．设24u x x =++，24v x x =+-，则()A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如用两个埃及分数13与115的和表示25等．从11111,,,,,234100101⋯这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）14．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点(1tan,1tan )1212P ππ+-是α终边上一点，则α的值是．15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D为垂足，且3||||(2FD OF O =为坐标原点），则C 的离心率为．16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PC BC ⊥，AB BC ⊥，22AB BC ==，5PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为；三棱锥P ABC -外接球的表面积是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足，b =4a c +=，求ABC ∆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知等比数列{}n a 满足1a ，2a ，31a a -成等差数列，且134a a a =；等差数列{}n b 的前n 项和2(1)log 2nn n a S +=．求：（1）n a ，n b ；（2）数列{}n n a b 的前项和n T ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD =3AB =，AP =，//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，90APB ∠=︒，点E 满足2133PE PA PB =+ ．（1）证明：PE DC ⊥；（2）求二面角A PD E --的余弦值．20．（12分）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求1()E X （用p 表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求2()E X （用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．21．（12分）设中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 过点12A ，F 为C 的右焦点，F的方程为221104x y +-+=．（1）求C 的方程；（2）若直线:(0)l y k x k =->与O 相切，与F 交于M 、N 两点，与C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限，记O 的面积为()S k ，求(||||)()NQ MP S k - 取最大值时，直线l 的方程．22．（12分）已知函数()(2)(0f x ln x a x =+>，0)a >，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线在y 轴上的截距为233ln -．（1）求a ；（2）讨论函数()()2(0)g x f x x x =->和2()()(0)21xh x f x x x =->+的单调性；（3）设125a =，1()n n a f a +=，求证：152120(2)2n n n n a +-<-<．2020届新高考数学模拟试题（11）答案解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|11}A x x =-，则(A N = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}【解析】集合{|11}A x x =-，{0A N ∴= ，1}．故选：B ．2．已知i 是虚数单位，1(1)0()a i a R +->∈，复数2z a i =-，则1||(z=)A ．15B ．5C ．55D 【解析】因为：i 是虚数单位，1(1)0()a i a R +->∈，所以：101a a -=⇒=；12z i ∴=-，则1112||||||12(12)(12)5i z i i i +===--+；故选：C ．3．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2x f x =，则当0x >时，()(f x =)A ．2x-B ．2x-C ．2x--D ．2x【解析】0x >时，0x -<，0x < 时，()2x f x =，∴当0x >时()2x f x --=-，()f x 是R 上的奇函数，∴当0x >时，())()2x f x f x -=--=-．故选：C ．4．已知a R ∈，则“01a <<”是“x R ∀∈，2210ax ax ++>”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】“x R ∀∈，2210ax ax ++>”⇔2440a a a >⎧⎨=-<⎩ ，或0a =，10>，解得01a <．∴“01a <<”是“x R ∀∈，2210ax ax ++>”的充分不必要条件．故选：A ．5．已知向量(1,1)a = ，(1,3)b =- ，(2,1)c =，且()//a b c λ- ，则(λ=)A ．3B ．3-C ．17D ．17-【解析】因为(1,13)a b λλλ-=+- ，又因为()//a b c λ-，所以1(1)2(13)710λλλ⨯+-⨯-=-=，解得17λ=，故选：C ．6．将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则((6f π=)A ．1B ．1-CD．【解析】曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到：1()cos 2y f x x =，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到：1()cos()cos 2284y f x x x ππ=--=，所以221()sin )2cos(284f x x x x ππ--=+．设128x t π-=，解得24x t π=+，所以()2cos(2)2cos(2)2sin 2442f t t t t πππ=++=+=-．所以()2sin 2f x x =-．所以3()2()62f π=⨯-=故选：D ．7．已知,1()(2),1lnx x f x f x k x ⎧=⎨-+<⎩，若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是()A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(,1)-∞D ．(-∞，1]【解析】由,1()(2),1lnx x f x f x k x ⎧=⎨-+<⎩，可得()(2)f x f x =-为关于1x =对称，画出1x 的图象，单调递增的，由对称得(2)f x -的图象单调递减，而(2)f x k -+是(2)f x -的图象上下平行移动得到，()1y f x =-恰有一个零点即是()1f x =的根，所以可得1k ，故选：B ．8．已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为()A ．B ．C ．5+D ．3+【解析】因为线1:0l kx y +=恒过定点(0,0)O ，直线2:220l x ky k -+-=恒过定点(2,2)C 且12l l ⊥，故两直线的交点A 在以OC 为直径的圆上，且圆的方程22:(1)(1)2D x y -+-=，要求||AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找一点A ，在22:(2)(3)2E x y +++=上找一点B ，使AB 最大，5=，则||5max AB =+故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：)cm 如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A ．女生身高的极差为12B ．男生身高的均值较大C ．女生身高的中位数为165D ．男生身高的方差较小【解析】A 、找出所求数据中最大的值173，最小值161，再代入公式求值极差17316112=-=，故本选项符合题意；B 、男生身高的数据在167~192之间，女生身高数据在161~173之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；C 、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；D 、抽取的学生中，男生身高的数据在167~192之间，女生身高数据在161~173之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意．故选：AB ．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PE ⊥于M ，过Q 作QN PE ⊥交线段EP 的延长线于点N ，则()A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【解析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得||||PF PE =，即A 正确；PQ 为EPF ∠的外角平分线，所以FPQ NPQ ∠=∠，又//EP FQ ，所以NPQ PQF ∠=∠，所以FPQ PQF ∠=∠，所以||||PF QF =，所以B 正确；连接EF ，由上面可得：PE PF QF ==，//PE FQ ，所以四边形EFQP 为平行四边形，所以EF PQ =，//EF PQ所以EFK PQF QPN ∠=∠=∠，在EFK ∆中，cos KF EF EFK =∠ ，PQN ∆中，cos PN PQ QPN =∠ ，所以FK PN =；所以D 正确；C 中，若PN MF =，而PM PN =，所以M 是PF 的中点，PM PF ⊥，所以PQ FQ =，由上面可知PQF ∆为等边三角形，即60PFQ ∠=︒，而P 为抛物线上任意一点，所以PFQ ∠不一定为60︒，所以C 不正确；故选：ABD ．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则()A ．CM 与PN 是异面直线B ．CM PN>C ．平面PAN ⊥平面11BDD B D ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形【解析】A ．ANCPM 共面，因此CM 与PN 不是异面直线，不正确；B ．CM AC = ，11PN A N AA AB <===<，因此CM PN >，因此正确．C ．AN BD ⊥ ，1AN BB ⊥，1BD BB B = ，AN ∴⊥平面11BDD B ，∴平面PAN ⊥平面11BDD B ，因此正确；D ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面与11C D 相交于点Q ，则//AC PQ ，且PQ AC <，因此一定是等腰梯形，正确．故选：BCD ．12．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：)h 表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：)km 表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．设u x +，v x ，则()A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h【解析】 u x =+，v x ，∴)4uv x x =+=，∴4v u=，是减函数，故选项A 正确，由题意可知：1235xt -=+，012x ，∴153(12)336)4)36436t x x x x u v =+-=-+=++-+=+-，15436t u v ∴--，故选项B 错误，1235x t -=+，012x ，∴1135t '=-=，令0t '=得，32x =，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0t '<，()t x 单调递减；当3(,12)2x ∈时，0t '>，()t x 单调递增，∴当32x =时，()t x 最小，且最短时间为4415h ，故选项C 正确，当4x =时，8335t =+>，故选项D 错误，故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如用两个埃及分数13与115的和表示25等．从11111,,,,,234100101⋯这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是12，13，16．（按照从大到小的顺序排列）【解析】1111236++=，∴这三个分数是：111,,236，故答案为：111,,236．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点(1tan,1tan )1212P ππ+-是α终边上一点，则α的值是6π．【解析】点(1tan,1tan 1212P ππ+-是α终边上一点，21sin 1tancos sin (cos sin )361212121212tan 31tan cos sin (cos sin sin )cos 121212*********ππππππαππππππππ----∴=====+++-，0126ππ<<，可得tan tan 126ππ<=，可得1tan 1012π->->，又02απ<< ，可得012πα<<，6πα∴=．故答案为：6π．15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D为垂足，且|||(FD OF O =为坐标原点），则C 的离心率为2．【解析】如图，F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，FD 与直线by x a =垂直，垂足为D ，3||||2FD OF =，则60DOF ∠=︒，可得tan 60ba=︒=，得223b a=，2c e a∴==．故答案是：2．16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PC BC ⊥，AB BC ⊥，22AB BC ==，PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为45︒；三棱锥P ABC -外接球的表面积是．【解析】取PB 的中点O ，AC 的中点D ，连接BD 并延长至点E ，使得BD DE =，连接AE ，PE ，OD ，如图所示：PAB ∆ 和PCB ∆是同斜边的直角三角形，∴三棱锥P ABC -外接球的球心为PB 的中点，又 PB ==，∴三棱锥P ABC -外接球的半径1622R PB ==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为：24()62ππ⨯=，AB BC ⊥ ，∴点D 为ABC ∆的外接圆圆心，OD ∴⊥平面ABC ，又点D 是BE 的中点，点O 是PB 的中点，PE OD ∴⊥，PE ∴⊥平面ABC ，PAE ∴∠为PA 与平面ABC 所成角的平面角，在Rt OBD ∆中，12OD ==，21PE OD ∴==，在Rt PAB ∆中，PA =，∴在Rt PAE ∆中，2sin2PE PAE PA ∠===，45PAE ∴∠=︒，故答案为：045，6π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足①，b =4a c +=，求ABC ∆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】①cos )sin b C a c B -=”，则由正弦定理，得cos sin )sin sin B C A C B -=．由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =．由0C π<<，得sin 0C ≠．所以sin B B =．又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0B =，22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =．又0B π<<，得23B π=．由余弦定理及b =22222cos3a c ac π=+-，即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =，所以11sin 4222ABC S ac B ∆==⨯⨯=；②若在横线上填写“22cos a c b C +=”，则由正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C +=，由2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，由0C π<<，得sin 0C ≠，所以1cos 2B =-，又(0,)B π∈，所以23B π=，由余弦定理及b =22222cos3a c ac π=+-，即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =，所以11sin 422ABC S ac B ∆==⨯⨯；③若在横线上填写“sin sin 2A Cb A +=”，则由正弦定理，得sin sin sin 2A CB A A +=，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以sin 22B BB π-==，所以2sincos 222B B B=，又0B π<<，所以022B π<<，所以cos 02B≠，所以3sin22B =，所以23B π=，即23B π=，由余弦定理及b =22222cos3a c ac π=+-，即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =，所以11sin 422ABC S ac B ∆==⨯⨯；18．（12分）已知等比数列{}n a 满足1a ，2a ，31a a -成等差数列，且134a a a =；等差数列{}n b 的前n 项和2(1)log 2nn n a S +=．求：（1）n a ，n b ；（2）数列{}n n a b 的前项和n T ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．因为1a ，2a ，31a a -成等差数列，所以21312()a a a a =+-，即232a a =．因为20a ≠，所以222a q a ==．因为134a a a =，所以4132a a q a ===．因此112n n n a a q -==．由题意，2(1)log (1)22n n n a n nS ++==．所以111b S ==，1223b b S +==，从而22b =．所以{}n b 的公差21211d b b =-=-=．所以1(1)1(1)1n b b n d n n =+-=+-= ．（2）令n n n c a b =，则2n n c n = ．因此123112122232(1)22n n n n T c c c n n -=++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+-+ ．又23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+ 两式相减得2311111222222222222(1)2212n nn n n n n n T n n n n +++++--=+++⋯+-=-=--=--- ．所以1(1)22n n T n +=-+ ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD =3AB =，AP =，//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，90APB ∠=︒，点E 满足2133PE PA PB =+ ．（1）证明：PE DC ⊥；（2）求二面角A PD E --的余弦值．【解答】（1）证明：在Rt PAB ∆中，由勾股定理，得PB =．因为2133PE PA PB =+，AB PB PA =- ，所以222221211211()()0033333333PE AB PA PB PB PA PA PB PA PB =+-=-++=-⨯+⨯+⨯= ，所以PE AB ⊥，因为AD ⊥平面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以PE AD ⊥，又因为PE AB ⊥，AB AD A = ，所以PE ⊥平面ABCD ，又因为DC ⊂平面ABCD ，所以PE DC ⊥；（2）由2133PE PA PB =+，得2EB AE = ．所以点E 是靠近点A 的线段AB 的三等分点．所以113AE AB ==．分别以AB ，AD所在方向为y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(0A ，0，0)，D ，(0E ，1，0)，P ，设平面PDE 的法向量为(m a =，b ，)c，(0,EP ED ==- 由00m EP m ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00b =-+=⎪⎩令1c =，则(0,m =-，设平面APD 的法向量为(n x =，y ，)z，AP =，AD = ，由00n AP n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00y +==⎪⎩，令1x =，则(1,n =，设向量夹角为θ，则cos ||||m nm n θ==-所以二面角A PD E --20．（12分）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求1()E X （用p 表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求2()E X （用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．【解析】（1）由题意1~(20,)X B p ，则盈利的天坑院数的均值1()20E X p =．（2）若投资项目二，则2X 的分布列为：2X 2 1.2-PP1p-盈利的均值2()2 1.2(1) 3.2 1.2E X p p p =--=-．（3）若盈利，则每个天坑院盈利0.240%0.08⨯=（百万元），所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为11(0.08)0.08()0.0820 1.6E X E X p p ==⨯=（百万元）．2211(0.08)0.08()0.0820(1)0.128(1)D X D X p p p p ==⨯-=-，222()(2 3.2 1.2)(1.2 3.2 1.2)(1)10.24(1)D X p p p p p p =-++--+-=-，①当12(0.08)()E X E X =时，1.6 3.2 1.2p p =-，解得34p =．12(0.08)()D X D X <．故选择项目一．②当12(0.08)()E X E X >时，1.6 3.2 1.2p p >-，解得304p <<．此时选择项一．③当12(0.08)()E X E X <时，1.6 3.2 1.2p p <-，解得34p >．此时选择项二．21．（12分）设中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C过点12A ，F 为C 的右焦点，F的方程为221104x y +-+=．（1）求C 的方程；（2）若直线:(0)l y k x k =->与O 相切，与F 交于M 、N 两点，与C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限，记O 的面积为()S k ，求(||||)()NQ MP S k - 取最大值时，直线l 的方程．【解析】（1）解：设C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题设知223114a b+=①因为F的标准方程为221(4x y +=，所以F的坐标为，半径12r =．设左焦点为1F ，则1F的坐标为(．由椭圆定义，可得12||||a AF AF =+=由①②解得2a =，1b =．所以C 的方程为2214x y +=．（2）由题设可知，M 在C 外，N 在C 内，P 在F 内，Q 在F 外，在直线l 上的四点满足||||||MP MN NP =-，||||||NQ PQ NP =-．由22(14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y得2222(14)1240k x x k +-+-=因为直线l 过椭圆C 内的右焦点F ，所以该方程的判别式△0>恒成立．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 由韦达定理，得21228314x x k +=+，212212414k x x k -=+．2244||41kPQk+=+又因为F的直径||1MN=，所以23 ||||||||(||||)||||||141 NQ MP PQ NP MN NP PQ MN PQk-=---=-=-=+．(y k x=-可化为0kx y--=．因为l与O相切，所以O的半径R=，所以2223()1kS k Rkππ==+．所以22224222999(||||)()1(41)(1)45145k kNQ MP S kk k k k kkππππ-===++++++．当且仅当2214kk=，即2k=时等号成立．因此，直线l的方程为y x=-．22．（12分）已知函数()(2)(0f x ln x a x=+>，0)a>，曲线()y f x=在点(1，f（1）)处的切线在y轴上的截距为233ln-．（1）求a；（2）讨论函数()()2(0)g x f x x x=->和2()()(0)21xh x f x xx=->+的单调性；（3）设125a =，1()n n a f a +=，求证：152120(2)2n n n n a +-<-<．【解析】（1）对()(2)f x ln x a =+求导，得2()2f x x a'=+．因此2(1)2f a'=+．又因为f （1）(2)ln a =+，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）处的切线方程为2(2)(1)2y ln a x a-+=-+，即22(2)22y x ln a a a=++-++．由题意，22(2)323ln a ln a +-=-+．显然1a =，适合上式．令2()(2)(0)2a ln a a a ϕ=+->+，求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++，因此ϕ（a ）为增函数：故1a =是唯一解．（2）由（1）可知，()(21)2(0)g x ln x x x =+->，2()(21)(0)21xh x ln x x x =+->+，因为24()202121xg x x x '=-=-<++，所以()()2(0)g x f x x x =->为减函数．因为22224()021(21)(21)xh x x x x '=-=>+++，所以2()()(0)12xh x f x x x=->+为增函数．（3）证明：由125a =，1()(21)n n n a f a ln a +==+，易得152120.225n n n n n n a a a +-><-⇔<由（2）可知，()()2(21)2g x f x x ln x x =-=+-在(0,)+∞上为减函数．因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <．令1(2)n x a n -=，得11()2n n f a a --<，即12n n a a -<．因此，当2n 时，2112122225nn n n n a a a a ---<<<⋯<=．所以152122n n na +-<-成立．下面证明：120na -<．方法一：由（2）可知，22()()(21)2121x xh x f x ln x x x =-=+-++在(0,)+∞上为增函数．因此，当0x >时，()(0)0h x h >=，即2()021xf x x >>+．因此111()2f x x<+，即1112(2)()2f x x-<-．令1(2)n x a n -=，得111112(2)()2n n f a a ---<-，即11112(2)2n n a a --<-．当2n =时，2111111222222() 1.8()5n a a f a ln f -=-=-=-=-．因为11.82ln >>=，所以1201.8ln -<，所以2120a -<．所以，当3n 时，2212211111112(2)(2)(2)0222n n n n a a a a ----<-<-<⋯<-<．所以，当2n 时，120na -<成立．综上所述，当2n 时，1521202n n na +-<-<成立．方法二：2n 时，因为0n a >，所以1112022n n n a a a -<⇔<⇔>．下面用数学归纳法证明：2n 时，12n a >．①当2n =时，2112()(21)(21) 1.85a f a ln a ln ln ==+=⨯+=．而2211.8 1.8 1.8 1.82 3.2422a ln ln =>⇔>⇔>⇔>⇔>，因为3.242>，所以212a >．可见2n =，不等式成立．②假设当(2)n k k =时不等式成立，即12k a >．当1n k =+时，1()(21)n k k k a a f a ln a +===+．因为12k a >，()(21)f x ln x =+是增函数，所以11(21)(21)22k k a ln a ln ln +=+>⨯+=．要证112k a +>，只需证明122ln >．而2212222422ln ln >⇔>⇔>⇔>⇔>，因为42>，所以122ln >．所以112k a +>．可见，1n k =+时不等式成立．由①②可知，当2n 时，12n a >成立．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学试题解析(word版)

C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内，，是两个定点，是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内，，是两个定点，是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点的轨迹为圆．
故选：A．
7.设为坐标原点，直线与抛物线：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于轴对称
C.
的图象关于直线对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
．是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以平面
，
又因为点，分别在棱，上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点在平面内．
【答案】见解析
【解析】取上靠近的三等分点，连接，，．

2020年海南省新高考数学试卷-解析版

2020年海南省新高考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. (5分)设集合A ={2,3，5，7}，B ={1,2，3，5，8}，则A ∩B =( )A. {1,3，5，7}B. {2,3}C. {2,3，5}D. {1,2，3，5，7，8} 2. (5分)(1+2i)(2+i)=( )A. 4+5iB. 5iC. −5iD. 2+3i3. (5分)在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. (5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5. (5分)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%6. (5分)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种7. (5分)已知函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(a,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (5,+∞)D. [5,+∞) 8. (5分)若定义在R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)≥0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. (5分)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%；D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；10.(5分)已知曲线C：mx2+ny2=1.()A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnxD. 若m=0，n>0，则C是两条直线11.(5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)=()A. B. C. D.12.(5分)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. a2+b2≥12B. 2a−b>12C. log2a+log2b≥−2D. √a+√b⩽√2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(5分)已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A−NMD1的体积为．14.(5分)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=．15.(5分)将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为16.(5分)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(10分)在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1a2−a2a3+⋯+(−1)n−1a n a n+1．19. (12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度(单位：μg/m 3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )20.(12分)如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．21.(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12．(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．22.(12分)已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna．(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．根据两集合的公共元素得出答案．【解答】解：因为集合A ，B 的公共元素为：2，3，5 故A ∩B ={2,3，5}．故选：C ．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数运算，属于基础题．根据复数的乘法公式计算．【解答】解：(1+2i)(2+i)=2+i +4i +2i 2=5i ，故选：B ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用向量加法法则直接求解．【解答】解：在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：C ．4.【答案】B【解析】【分析】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角．【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为Oˈ，OOˈ垂直于纬线所在的圆面，由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又∠OAOˈ为40°且OA⊥AH，在Rt△OHA中，OˈA⊥OH，∴∠OHA=∠OAOˈ=40°，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基本知识的考查．设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，画出图形，列出方程求解即可．【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z=60，x+y+z=96，y+z=82，解得z=46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C6.【答案】C【解析】【分析】本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．【解答】解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：C32C11A22=6．故选：C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令t=x2−4x−5，由外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增，需内层函数t=x2−4x−5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0，转化为(a,+∞)⊆(5,+∞)，即可得到a的范围．【解答】解：由x2−4x−5>0，得x<−1或x>5．令t=x2−4x−5，∵外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，∴要使函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(a,+∞)上单调递增，则需内层函数t =x 2−4x −5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0，则(a,+∞)⊆(5,+∞)，即a ≥5． ∴a 的取值范围是[5,+∞)．故选：D ．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数f(x)的草图，是解决本题的关键．难度中等．根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．【解答】解：∵定义在R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，f(x)的大致图象如图：∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=0；故f(−1)<0；当x =0时，不等式xf(x −1)≥0成立，当x =1时，不等式xf(x −1)≥0成立，当x −1=2或x −1=−2时，即x =3或x =−1时，不等式xf(x −1)≥0成立，当x >0时，不等式xf(x −1)≥0等价为f(x −1)≥0，此时{x >00<x −1⩽2，此时1<x ≤3，当x <0时，不等式xf(x −1)≥0等价为f(x −1)≤0，即{x <0−2⩽x −1<0，得−1≤x <0，综上−1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D．9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查折线图表示的函数的认知和理解，考查理解能力、识图能力、推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属于中档题．通过复工和折线图中都有递减的部分来判断A；根据第一天和第十一天两者指数差的大小来判断B；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断CD；【解答】解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确；故选：CD．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．【解答】解：A.若m>n>0，则1m <1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B.若m=n>0，则方程为x2+y2=1n ，表示半径为√n的圆，故B错误；C.若m<0，n>0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，若m>0，n<0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，故C正确；D.当m=0，n>0时，则方程为y=±1√n表示两条直线，故D正确；故选：ACD．11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和ω，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】解：由图象知函数的周期，即，即ω=2，由五点对应法得，得，则故选：BC．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a>0，b>0，且a+b=1，所以(a+b)2≤2a2+2b2，则a2+b2⩾12，故A正确．②利用分析法：要证2a−b>12，只需证明a−b>−1即可，即a>b−1，由于a>0，b>0，且a+b=1，所以：a>0，b−1<0，故B正确．③log2a+log2b=log2ab⩽log2(a+b2)2=−2，故C错误．④由于a>0，b>0，且a+b=1，利用分析法：要证√a+√b⩽√2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2√ab⩽2，即2√ab⩽1，故√ab⩽12=a+b2，当且仅当a=b=12时，等号成立．故D正确．故选：ABD．13.【答案】13【解析】【分析】本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥A−NMD1的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，∴S△ANM=12×1×1=12，∴V A−NMD1=V D1−AMN=13×12×2=13．故答案为：13．14.【答案】163【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．【解答】解：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线l的方程为y=√3(x−1)，代入y2=4x并化简得3x2−10x+3=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=103；x1x2=1，∴由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=103+2=163．故答案为：163．15.【答案】3n2−2n【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题．首先判断{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，再利用求和公式，得出结论．【解答】解：将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n×1+n(n−1)2×6=3n2−2n，故答案为：3n2−2n．16.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．设大圆的半径为R ，利用已知条件求出OQ 、OD 的长，利用tan∠ODC =求出大圆的半径R ，再根据图中线段关系得出△AOH 为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．【解答】解：作AM 垂直于EF ，交OH 、DG 于S 、N ，垂足为M ，过点O 作OQ 垂直于DQ ，垂足为Q ，∵A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，∴EM =AM =7，又∵EF =12，MN =DE =2，∴NG =MF =12−7=5，AN =AM −NM =7−2=5， ∴∠AGD =45°，∵BH // DG ，∴∠AHO =45°，由于AG 是圆弧的切线，∴AG ⊥OA ，∠AOH =∠ACN =45°，设大圆的半径为R ，则AS =OS =R√2， OQ =SN =5−R √2，DQ =DN −QN =7−R√2， ∵tan∠ODC =35，∴5−R√27−R √2=35，解得R =2√2，图中阴影部分面积分为扇形AOB 和直角△AOH 的面积减去小半圆的面积，所以S 阴影=135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−12×π×1=52π+4．故答案为：52π+4．17.【答案】解：①ac=√3．△ABC中，sinA=√3sinB，即b=√33a，ac=√3，∴c=√3a，cosC=a2+b2−c22ab =a2+a23−3a22√3a23=√32，∴a=√3，b=1，c=1．②csinA=3．△ABC中，，∴a=6．∵sinA=√3sinB，即a=√3b，∴b=2√3．cosC=a2+b2−c22ab=36+12−c22×6×2√3=√32∴c=2√3．③c=√3b.∵sinA=√3sinB，即a=√3b，又∵c=√3b，与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在．【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关键．①根据题意，结合正弦定理，可得b=√33a，c=√3a，结合，运用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，即可求得c=1．②根据题意，△ABC中，csinA=asinC，即可求得a=6，进而得到b=2√3.运用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，即可求得c=2√3．③根据c =√3b ，sinA =√3sinB 即a =√3b ，可列式求得cosC =√36，与已知条件矛盾，所以问题中的三角形不存在．18.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，则{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8, ∵q >1，∴{a 1=2q =2, ∴a n =2·2n−1=2n ．(2)a 1a 2−a 2a 3+⋯+(−1)n−1a n a n+1=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1， =23[1−(−22)n ]1−(−22)=85−(−1)n22n+35．【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n 项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．(1)根据题意，列方程组{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8，解得a 1和q ，然后求出{a n }的通项公式；(2)根据条件，可知a 1a 2，−a 2a 3，…(−1)n−1a n a n+1，是以23为首项，−22为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．19.【答案】解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率 P =32+18+6+8100=0.64；SO 2 PM2.5 [0,150](150,475][0,75] 64 16 (75,115]1010由K 2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=100×(64×10−16×10)280×20×74×26=7.484>6.635，P(K 2≥6.635)=0.01；故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关，【解析】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率；(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；(3)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．20.【答案】解：(1)证明：过P 在平面PAD 内作直线l // AD ，由AD // BC ，可得l // BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线， ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又BC ⊥CD ，CD ∩PD =D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵l // BC ，∴l ⊥平面PCD ；(2)如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，∵PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB =√2， ∴PB =√3，QP =1，则D(0,0，0)，A(1,0，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，B(1,1，0)，设Q(1,0，1)，则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，设平面QCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)，则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{b =0a +c =0，取c =1，可得n⃗ =(−1,0，1)， ∴cos <n ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3·√2=√63， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√63．【解析】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．(1)过P在平面PAD内作直线l//AD，推得l为平面PAD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，求出Q(0,1，1)，运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．21.【答案】解：(1)由题意可知直线AM的方程为：y−3=12(x−2)，即x−2y=−4，当y=0时，解得x=−4，所以a=4，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，可得416+9b2=1，解得b2=12，所以C的方程：x216+y212=1．(2)设与直线AM平行的直线方程为：x−2y=m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．x−2y=m代入椭圆方程：x216+y212=1．化简可得：16y2+12my+3m2−48=0，所以△=144m2−4×16(3m2−48)=0，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：x−2y=8，利用平行线之间的距离为：d=8+4√1+4=12√55，|AM|==3．所以△AMN的面积的最大值：12×3√5×12√55=18．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是偏难题．(1)利用已知条件求出A的坐标，然后求解b，得到椭圆方程．(2)设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．22.【答案】解：(1)当a=e时，f(x)=e x−lnx+1，∴f′(x)=e x−1x，∴f′(1)=e−1，∵f(1)=e+1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e+1)=(e−1)(x−1)，当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2e−1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1．(2)方法一：由f(x)≥1，可得ae x−1−lnx+lna≥1，即e x−1+lna−lnx+lna≥1，即e x−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+t，则g′(t)=e t+1>0，∴g(t)在R上单调递增，∵g(lna+x−1)≥g(lnx)∴lna+x−1≥lnx，即lna≥lnx−x+1，令ℎ(x)=lnx−x+1，∴ℎ′(x)=1x −1=1−xx，当0<x<1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，当x>1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)≤ℎ(1)=0，∴lna≥0，∴a≥1，故a的范围为[1,+∞)．方法二：由f(x)≥1可得ae x−1−lnx+lna≥1，即ae x−1−1≥lnx−lna，设g(x)=e x−x−1，∴g′(x)=e x−1>0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，∴g(x)>g(0)=1−0−1=0，∴e x−x−1>0，即e x>x+1，再设ℎ(x)=x−1−lnx，∴ℎ′(x)=1−1x =x−1x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，当x>1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0，∴x−1−lnx≥0，即x−1≥lnx∵a>0，∴e x−1≥x，则ae x−1≥ax，此时只需要证ax≥x−lna，即证x(a−1)≥−lna，当a≥1时，∴a≥1，x(a−1)>0>−lna恒成立，当0<a<1时，x(a−1)<0<−lna，此时x(a−1)≥−lna不成立，综上所述a的取值范围为[1,+∞)．方法三：由题意可得x∈(0,+∞)，a∈(0,+∞)，∴f′(x)=ae x−1−1，x易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，①当0<a<1时，f′(1)=a−1<0，f′(1)=ae1a−1−a=a(e1a−1−1)>0，a)使得f′(x0)=0，∴存在x0∈(1,1a当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)<f(1)=a+lna<a<1，不满足题意，②当a≥1时，e x−1>0，lna>0，∴f(x)≥e x−1−lnx，令g(x)=e x−1−lnx，∴g′(x)=e x−1−1，x易知g′(x)在(0,+∞)上为增函数，∵g′(1)=0，∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，∴g(x)≥g(1)=1，即f(x)≥1，综上所述a的取值范围为[1,+∞)．方法四：∵f(x)=ae x−1−lnx+lna，x>0，a>0，∴f′(x)=ae x−1−1x，易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，∵存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0，则ae x0−1=1x0，则lna+x0−1=−lnx0，即lna=1−x0−lnx0，当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)≥f(x0)=ae x0−1−lnx0+lna=1x0−lnx0+1−x0−lnx0=1x0−2lnx0+1−x0≥1∴1x0−2lnx0−x0≥0设g(x)=1x−2lnx−x，易知函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g(1)=1−0−1=0，∴当x∈(0,1]时，g(x)≥0，∴x0∈(0,1]时，1x0−2lnx0−x0≥0，设ℎ(x)=1−x−lnx，x∈(0,1]，∴ℎ′(x)=−1−1x<0恒成立，∴ℎ(x)在(0,1]上单调递减，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=1−1−ln1=0，当x→0时，ℎ(x)→+∞，∴lna≥0=ln1，∴a≥1．【解析】本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；(2)方法一：不等式等价于e x−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+ t，根据函数单调性可得lna>lnx−x+1，再构造函数ℎ(x)=lnx−x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围；方法二：构造两个基本不等式e x>x−1，x−1≥lnx，则原不等式转化为x(a−1)≥−lna，再分类讨论即可求出a的取值范围，方法三：利用分类讨论的思想，当0<a<1，此时不符合题意，当a≥1时，f(x)≥e x−1−lnx，令g(x)=e x−1−lnx，再根据导数和函数最值的关系即可证明，−2lnx0+1−x0≥1，方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出f(x)≥f(x0)=1xlna=1−x0−lnx0，再求出x0的范围，再利用导数求1−x0−lnx0的范围，即可求出a 的范围．。

普通高等学校招生全国统一考试新高考数学(带答案)(2020年九月整理).doc

2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考理科数学（模拟试题卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．若512z i=+,则z 的共轭复数为（） A ．12i -B ．12i +C ．12i --D ．12i -+2．集合{|}310Ax x ≤≤＝，27{|}B x x =<<，A B =（）A ．{|210}x x b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．b >c >a5．已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若23MN =,则k 的值为A ．122或B ．122--或 C ．122或- D ．122-或 6．设函数()cos23sin2f x x x =-，把()y f x =的图象向左平移()2πϕϕ<个单位后，得到的部分图象如图所示，则()f ϕ的值等于（）A ．3-B ．3C ．1-D ．17．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（） A ．8B ．12C ．16D ．248．过抛物线：的焦点F作倾斜角为的直线，若直线与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）ABC D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

精品解析：2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)

★绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前,考生一定将自己的姓名.考生号等填写在答题卡和试题指定位置上.2．回答选择题时,找出每个小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.一.选择题：本题共12小题,每个小题5分,共60分。

在每个小题给出的四个选择项中,仅有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i ,则|z 2–2z |=（）A. 0 B. 1C.2D. 2【答案】D 【分析】【分析】由题意首先求得 z 2 - 2z 的值,然后计算其模即可.2=(1 i +)2=2i ,则z 2- 2z = 2i - 2(1+ i )= -2【详解】由题意可得：- 2z = -2 = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识,属于基础题.2.设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =（z .z2故）A. –4B. –2C. 2D. 4【答案】B 【分析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ,然后结合交集的结果得到关于a 的方程,求解方程即可确定实数a 的值.A = x | -2 ≤ x ≤ 2},{【详解】求解二次不等式 x 2 -4≤ 0 可得：⎧⎩a ⎫2⎭2x + a ≤ 0 B = ⎨x | x ≤ - ⎬求解一次不等式可得：.a A ⋂ B = x | -2 ≤ x ≤1{},故：- =1 a = -2,解得：由于.2故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算,不等式的解法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）5 -15 -1 5 +1 5 +1A.B.C.D.4242【答案】C 【分析】【分析】1设CD = a ,PE = b ,利用PO 2 = CD ⋅ PE a ,b 得到关于的方程,解方程即可得到答案.22a 【详解】如图,设CD = a ,PE = b ,则 PO ,=PE OE 22-=b 2-41a 21b b PO 2= ab ,即b 2-= ab 4( )2 - 2⋅ -1 = 0由题意,化简得,242a ab 1+ 5=（负值舍去）.解得a 4故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算,考查学生的数学计算能力,是一道容易题.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =（）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】C 【分析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ,由抛物线的定义知故选：C.pp | AF |= x A + =12 ,即12 = 9 +p =6 .,解得22【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径,考查学生转化与化归思想,是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据 (x , y )(i =1,2, , 20) 得到下面的散点图：i i 据此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（y = a + bx）y = a + bx 2B.A.y = a + b ln xD.C. y = a + b e x 【答案】D 【分析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,y x y = a + b ln x 因此,最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择,主要观察散点图的分布,属于基础题..6.函数 f (x ) = x 4 - 2x 3 的图像在点(1,f (1))处的切线方程为（）y = -2x -1y = -2x +1A.C. B.D.y = 2x -3y = 2x +1【答案】B 【分析】【分析】y = f x ()的导数 f '(x ) f (1)和 f '(1)求得函数【详解】,计算出的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.f x = x 4 - 2x 3()∴ f ' x = 4x 3 - 6x 2 ,∴ f (1)= -1, f '(1)= -2,( ),y +1= -2 x -1),即 y = -2x+1.(因此,所求切线的方程为故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题πf (x ) = cos( x + ) 在[-π,π]7.设函数的图像大致如下图,则f (x )的最小正周期为（）610π7πA.C.B.D.94π63π32【答案】C 【分析】【分析】⎛ 4π⎫⎭⎛ 4ππ ⎫6 ⎭⎛ 4π⎫⎭由图可得：函数图象过点- ,0⎪,即可得到cos - ⋅ω + ⎪ = 0,结合 - ,0⎪ f (x )是函数⎝9⎝9⎝94πππ3x图象与轴负半轴的第一个交点即可得到-⋅ω + = - ,即可求得ω =9622,再利用三角函数周期公式即可得解.⎛ 4π⎫⎭【详解】由图可得：函数图象过点- ,0⎪,⎝9⎛ 4ππ ⎫6 ⎭将它代入函数( )可得：cos - ⋅ω + ⎪ = 0f x ⎝9⎛ 4π⎫⎭ -,0⎪ f x ( )图象与轴负半轴的第一个交点,x 又是函数⎝94πππ3所以 -⋅ω + = - ,解得：ω =96222π 2π 4πT ===所以函数( )的最小正周期为f x ω323故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力,还考查了三角函数周期公式,属于中档题.y 28. (x + )(x + y )5 的展开式中x 3y 3的系数为（）xA. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【分析】【分析】y 2⎫x5-ry rr ∈ N x +求得 (x + y )5展开式的通项公式为T r +1= C 5r（且r ≤ 5）,即可求得⎛与(x + y )5x ⎭⎝展开式的乘积为C r 5x 6-r y r或C 5rx 4-r y r +2形式,对分别赋值为3,1即可求得r x 3y 3的系数,问题得解.【详解】 (x + y )5展开式的通项公式为Tr +1= C 5r x 5-r y r （r∈ N 且 r ≤ 5）⎛2⎫y x +⎪(x + y )5展开式的乘积可表示为：所以与x ⎭⎝y 2y 2xT r +1 = xC 5x5-r r y r= C 5r x6-ry r=x 5-r = C 5x 4-r y r +2C 5r y r r 或T r +1x xxT r +1 = C 5r x 6-r y r r = 3,可得： xT 4 = C 53x 3y 333x y 的系数为10在在中,令,该项中,y 2y 2T r +1 = C 5r x 4-r y r +2r =1,可得： T 2 = C 51x 3y 3x 3y 3的系数为5中,令,该项中x xx 3y 3的系数为10 + 5 =15所以故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式,还考查了赋值法.转化能力及分析能力,属于中档题.9.已知α∈(0,π),且3cos2α -α = 5 ,则sin α =（）8cos 52A.C. B.3315D.39【答案】A 【分析】【分析】cos αcos α的一元二次方程,求解得出用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于,再用同角间的三角函数关系,即可得出结论.【详解】3cos 2α - 8cos α = 5,得 6cos 2 α -8cos α -8 = 0 ,2α - 4 cos α - 4 = 0 ,解得cos α = -cos α = 2（舍去）,即 3cos 2或35又 α ∈(0,π ),∴sin α = 1- cos 2 α =.3故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.A ,B ,C 为球O的球面上的三个点,⊙OABC 的外接圆,若⊙O的面积为4π10.已知为A ,11AB = BC = AC = OO 1 ,则球O的表面积为（）A. 64πB.48πC.36πD. 32π【答案】A 【分析】【分析】由已知可得等边A ABC 的外接圆半径,进而求出其边长,得出OO1的值,根据球截面性质,求出球的半径,即可得出结论.【详解】设圆Or 半径为,球的半径为 R ,依题意,1得πr = 4π,∴r = 22,由正弦定理可得 AB = 2r sin 60︒ = 2 3 ,∴OO = AB = 2 3 ,根据圆截面性质OO ⊥平面 ABC ,11∴OO ⊥ O A ,R = OA = OO 2+ O 1A 2 = OO 12 + r 2 = 4,111∴球O 的表面积 = πS 4 R 2 64π .=故选：A【点睛】本题考查球的表面积,应用球的截面性质是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.11.已知⊙M ： x 2线PA , PB ,切点为 A , B ,当| PM | ⋅| AB |最小时,直线 AB 的方程为（2x - y -1= 0 2x + y -1= 02x - y +1= 0+y 2 −2x −2y −2 =0,直线：l 2x +y +2 =0, P 为上的动点,过点 P 作⊙M 的切l ）2x + y +1= 0D.A. B. C.【答案】D 【分析】【分析】A , P ,B ,M ⊥由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点共圆,且 AB MP ,根据PM ⋅ AB MP PM ⋅ AB = 2S △PAM = 2 PA MP ⊥ l时,可知,当直线最小,求出以为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线 AB 的方程．2⨯1+1+ 2【详解】圆的方程可化为(x 1) (y 1)-2+-2= d == 5 > 24 ,点 M 到直线的距离为l 22+12l,所以直线与圆相离．A , P ,B ,M ⊥依圆的知识可知,四点四点共圆,且 AB MP ,所以1PM ⋅ AB = 2S △PAM = 2⨯ ⨯ PA ⨯ AM = 2 PA PA = MP 2- 4,而,2当直线 MP ⊥ l 时,MP = 5PA =1,此时 PM ⋅ AB ,最小．min min ⎧1212⎪ y = x +⎧x = -1⎩y = 01112MP : y 1-= ( - ) y = x +x 1⎨⎨∴即,由解得,．22⎪⎩2x + y + 2 = 0所以以 MP 为直径的圆的方程为(x -1 x +1 + y y -1 = 0)()(),即x 2+ y 2 - y -1= 0,2x + y +1= 0两圆的方程相减可得：,即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题．2a+ log 2 a = 4b + 2 log 4 b,则（12.若）A. a > 2bB. a < 2bC. a > b 2D. a < b 2【答案】B 【分析】【分析】设 f (x ) = 2x + log 2 x ,利用作差法结合 f (x ) 的单调性即可得到答案.f (x ) 为增函数,因为2a+ l og 2 a = 4b+ 2 l og 4 b = 22b + l og 2 b【详解】设 f (x ) = 2x + log 2 x ,则1f (a ) - f (2b ) = 2a + log 2 a - (22b + log 2 2b ) = 22b + log 2 b - (22b + log 2 2b ) = log 2 = -1< 0所以所以,2f (a ) < f (2b ) a < 2b ,所以.f (a ) - f (b 2 ) = 2a log 2+ a -(2b 2+2= 22b + log 2 b - (2b 2 + log 2 b 2 ) = 22b - 2b 2 - log 2 b log 2b ),当b =1时, f (a ) - f (b 2 ) = 2 > 0,此时 f (a ) > f (b 2 )a >b 2,有当b = 2 时, f (a ) - f (b 2 ) = -1< 0,此时 f (a ) < f (b 2 )a <b 2,有,所以C .D 不正确.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用,涉及到构造函数,利用函数的单调性比较大小,是一道中档题.二.填空题：本题共4小题,每个小题5分,共20分。

2020 新高考数学开放性试题题型专练(解析版110页)

{ } （2）在（1）的条件下，当 k =
2
时，设 anbn
=
2n+1 4n2 −1
，求数列
bn
的前 n 项和 Tn ．
【解析】（1）①③不能使{an} 成等比数列．②可以：由题意 f (an ) = 4 + (n −1) × 2 = 2n + 2 ，
即 logk
an
= 2n + 2 ，得 an
= k 2n+2 ，且 a1
为椭圆，则 e = 1 = 3 ；当 a = −3 时，曲线为 y2 − x2 = 1，曲线为双曲线， e = 5 = 10 ，
33
23
22
则离心率为： 3 或 10 ．故选：BC． 32
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an } 称为“斐波那契数列”，记 Sn 为数列{an } 的前 n 项和，则下列结论正确的是
1 读万卷书行万里路
2．已知三个数1, a, 9 成等比数列，则圆锥曲线 x2 + y2 = 1 的离心率为 a2
旗开得胜
A． 5
B． 3 3
C． 10 2
D． 3
【答案】BC
【解析】由等比数列的性质求出 a ，再判断曲线类型，进而求出离心率
由三个数 1, a, 9 成等比数列，得 a2 = 9 ，即 a = ±3 ；当 a = 3 ，圆锥曲线为 x2 + y2 = 1，曲线 32
（1）在下列条件中选择一个________使数列{an} 是等比数列，说明理由；
{ } ①数列 f (an ) 是首项为 2，公比为 2 的等比数列；

新高考数学复习考点知识与题型专题练习6---等式性质与不等式性质(解析版)

新高考数学复习考点知识与题型专题练习6 等式性质与不等式性质一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（）A ．41000.5x ⨯≥ B ．41000.5x ⨯≤ C ．41000.5x ⨯> D ．41000.5x ⨯< 【答案】C 【解析】导火索燃烧的时间0.5x 秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⨯m ．由题意可得41000.5x ⨯>．故选：C.2．下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A ．若x =y ，则x +5=y +5B ．若a =b ，则ac =bcC ．若a b c c=，则a =b D ．若x =y ，则x y a a = 【答案】D【解析】对于选项A ，由等式的性质知，若x =y ，则x +5=y +5，A 正确；对于选项B ，由等式的性质知，若a =b ，则ac =bc ，B 正确；对于选项C ，由等式的性质知，若a b c c=，则a =b ，C 正确；对于选项D ，由等式的性质知，若x =y ，则x y a a =的前提条件为a ≠0，D 错误．故选：D3．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（）A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝0【答案】B【解析】a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴ a ＝1时，等号成立．故选：B.4．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（）A ．4a b >B ．()(4200)4a b ++=C ．4(4)(4)200a b a b >⎧⎨++=⎩D ．44200a b ab >⎧⎨=⎩【答案】C 【解析】解：由题意知4a b >，根据面积公式可以得到()(4200)4a b ++=.故选:C ．5．若a ，b ，R c ∈，a b >，则下列不等式恒成立的是（）A ．11a b C ．a c b c >D ．2211a b c c >++ 【答案】D【解析】解：对于A ，若0a b >>，则11a b>，故A 错误；对于B ，取1a =，2b =-，则22a b <，故B 错误．对于C ，若0c 时，||||a c b c =，故C 错误；对于D ，因为211c +>，所以2101c >+，又a b >，所以2211a b c c >++，故D 正确；故选：D ．6．设A ＝12x x ++，B ＝34x x ++，则A 与B 的大小关系是（） A ．A <BB ．A >BC ．仅有x >0时，A <BD ．以上结论都不成立【答案】D【解析】A －B ＝12x x ++－34x x ++＝()()224x x -++，令A －B <0，得x <－4或x >－2，令A －B >0，得－4<x <－2，所以A ，B 的大小不确定．故选：D7．若0a b <<，则下列不等式错误的是（）.A ．11a b> B ．11a b a >- C ．||||a b >D ．22a b >【答案】B【解析】解：对A ，0a b <<，11a b ∴>，故A 正确；对B ，0a b <<，0b ∴->，即0a a b <-<，11a a b∴>-，故B 错误；对C ，0a b <<，0a b ∴->->，即||||a b ->-，即||||a b >，故C 正确，对D ，0a b <<，0a b ∴->->，即22()()a b ->-，即22a b >，故D 正确.故选：B.8．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（）A ．a ＋c ≥b －cB ．ac >bcC ．2c a b- >0 D ．(a －b )c 2≥0 【答案】D【解析】解：由a ，b ，R c ∈，且a b >，可取2a =，1b =，3c =-，可得a b b c +<-，故A 错误；由0c ，可得22ac bc =，故B 错误；由0c ，2a =，1b =，可得20c a b=-，故C 错误；由a b >，可得0a b ->，20c ，即有2()0a b c -，故D 正确．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．设01b a <<<，则下列不等式不成立的是（）A ．ab =，所以A 错误，对于B ，取11,49a b ==1123=>=，所以B 错误，对于C ，因为01b a <<<，所以10ab>，所以11b a ab ab ⋅<⋅，即11a b <，因为01a <<，所以1101a a a <⋅<⨯，即11a <，综上111a b<<，所以C 正确，对于D ，取11,23a b ==，则21164ab a =<=，所以D 错误，故选：ABD 10．下列说法中正确的是（）A ．若a >b ，则2211a b c c >++ B ．若-2<a <3，1b >0，m >0，则m m a b< D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd【答案】AC【解析】对于A ，因c 2+1>0，于是有211c +>0，而a >b ，由不等式性质得2211a b c c >++，A 正确；对于B ，因为1b >0，所以11a b <，又因为m >0，所以m m a b<，C 正确；对于D ，12->-且23->-，而(1)(2)(2)(3)-⋅-<--，即ac >bd 不一定成立，D 错误.故选：AC11．已知,,a b c ∈R ，若a b c >>，且230a b c ++=，则下列不等关系正确的是（）A ．ac bc C ．c c a c b c >--D ．()2a bc a b c +>+【答案】ACD【解析】230a b c ++=，a b c >>，0c ∴<，0a >，对于A ，a b >，0c <，ac bc ∴<，A 正确；对于B ，当0b =时，满足a b c >>，此时0a b c b ==，B 错误；对于C ，a b c >>，0a c b c ∴->->，11a c b c ∴<--，又0c <，c c a c b c∴>--，C 正确；对于D ，a b >，0a b ∴->，()()a a b c a b ∴->-，即2a ab ac bc ->-，整理可得：()2a bc ac ab a b c +>+=+，D 正确.故选：ACD.12．若110a b<<，则下列结论中正确的是（） A ．a 2|a ＋b | 【答案】ABC 【解析】解：因为110a b<<，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab 、<、=）【答案】>【解析】11221221(+)a b a b a b a b +-112221(-)+=(-)a b b a b b1212=(-)(-)b b a a ，∵1212a a b b <<，，∴1212--00b b a a <<，，即1212(-)()0-b b a a >，∴11221221++a b a b a b a b >．故答案为：>14．已知24a <<，35b <<，那么2M a b =+的取值范围是________. 【答案】{}713M M <<【解析】由已知可得428a <<，又因为35b <<，所以，7213a b <+<.因此，2M a b =+的取值范围是{}713M M <<. 故答案为：{}713M M <<.15．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g ，4g ，3g ，乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4g ，5g ，5g ．已知每天使用原料分别为奶粉3600g 、咖啡2000g 、糖3000g ，设每天配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，则满足上述所有不等关系的不等式组为________________．【答案】943600452000353000x y x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，，，，【解析】设每天配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，其中每天使用原料分别为奶粉3600g 、咖啡2000g 、糖3000g ，可得所有不等关系的不等式组为943600452000353000x y x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩. 故答案为：943600452000353000x y x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩. 16．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是___________.【答案】②③【解析】①当c 2=0时不成立；②因为0a b >≥，所以22a b >，即22a b >，所以②一定成立；③当a >b 时，3322()()a b a b a ab b -=-++223()24b a b a b ⎡⎤⎛⎫=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0成立； ④当b <0时，不一定成立.如：|2|>-3，但22<（-3）2.故答案为：②③.四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．比较大小.（1）比较221x y ++与()21x y +-的大小；（2）0a b >>，0m >，比较a b 与a m b m++的大小. 【答案】（1）()22121x y x y ++>+-；（2）a a m b b m+>+. 【解析】（1）因为()()()()2222211111x y x y x y ++-=-+--++，又()()2210,10x y -≥-≥，所以()()222101x y x y +--++>，所以()22121x y x y ++>+-；（2）因为()()()()ab am ab bm a b m a m b m b b m b b b m a +-+-+==+-++，又0a b >>，0m >，所以()()0a b m a m b m b b m a b --+=>++，所以a a m b b m+>+. 18．设a b c >>，求证：222222bc ca ab b c c a a b ++<++．【答案】证明见解析【解析】()()()()()()()()()()22222222220.bc ca ab b c c a a bb c a b a c ac a c b a c c a b c a ac c a c a c b b a ++---=-+-+-=+-----=---<19．已知a >b >0，c <d <0，比较b ac -与a bd -的大小．【答案】a b b d a c >--. 【解析】∵c <d <0，∴－c >－d >0．又a >b >0，∴a －c >b －d >0， ∴110b d a c>>--，又a >b >0，∴a b b d a c>--. 20．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初高中班级数量)所满足的条件是什么？【答案】203028581800x y x y ≤+≤⎧⎨+≤⎩，．【解析】设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有203028581800x y x y ≤+≤⎧⎨+≤⎩，． 21．（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c d d+；（2）已知a >b >c ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a >ab 2＋bc 2＋ca 2．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明（1）∵bc －ad ≥0，bd >0，∴bc ≥ad ，1bd>0， ∴c d ≥a b ，∴c d＋1≥a b ＋1，即c d d +≥a b b +，即a b b +≤c d d +．（2）a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2)＝(a 2b －bc 2)＋(b 2c －ab 2)＋(c 2a －ca 2)＝b (a 2－c 2)＋b 2(c －a )＋ca (c －a )＝(c －a )(b 2＋ca －ba －bc )＝(c －a )(c －b )(a －b )．∵a >b >c ，∴c －a <0，c －b <0，a －b >0，∴(c －a )(c －b )(a －b )>0，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2)>0， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a >ab 2＋bc 2＋ca 2．22．（1）已知a ，b 均为正实数．试比较33+a b 与22a b ab +的大小；（2）已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小．【答案】（1）3322a b a b ab ++，（2）当0a =时，111a a =+-；当1a <且0a ≠时，111a a >+-；当1a >时，111a a <+-．【解析】（1）a ，b 均为正实数，332222222()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b ∴+--=---=--=-+，即3322a b a b ab ++，（2）21(1)11a a a a-+=--． ①当0a =时，201a a=-，∴111a a =+-． ②当1a <且0a ≠时，201a a>-，∴111a a >+-． ③当1a >时，201a a<-，∴111a a <+-．综上所述，当0a =时，111a a=+-；当1a <且0a ≠时，111a a>+-；当1a >时，111a a<+-．。

新高考全国 I卷：2020年[数学]考试真题与答案解析

A．20°B．40°C．50°D．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与(e )rt I t =R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则的取值范围是（）AP AB ⋅A ．B ．()2,6-()6,2-C ．D ．()2,4-()4,6-8．若定义在的奇函数f (x )在单调递减，且f (2)=0，则满足的x 的取值范R (0),-∞(10)xf x -≥围是（）A ．B ．[)1,1][3,-+∞ 3,1][,[01]--C ．D ．[)1,0][1,-+∞ 1,0]3][[1,- 二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．已知曲线.22:1C mx ny +=A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为m y xn=±-A ．B ．πsin(3x +）sin(为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天100空气中的和浓度（单位：），得下表：PM 2.52SO 3μg/m 2SO PM 2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；PM 2.5752SO 150（2）根据所给数据，完成下面的列联表：22⨯2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓99%PM 2.52SO 度有关？附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.8416.63510.82820．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21．（12分）17．解：方案一：选条件①．由和余弦定理得．6C π=222322a b c ab +-=由及正弦定理得．sin 3sin A B =3a b =于是，由此可得．222233223b b c b +-=b c =由①，解得．3ac =3,1a b c ===因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．1c =方案二：选条件②．由和余弦定理得．6C π=222322a b c ab +-=由及正弦定理得．sin 3sin A B =3a b =于是，由此可得，，．222233223b b c b +-=b c =6B C π==23A π=由②，所以．sin 3c A =23,6c b a ===因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．23c =方案三：选条件③．由和余弦定理得．6C π=222322a b c ab +-=由及正弦定理得．sin 3sin A B =3a b =于是，由此可得．222233223b b c b +-=b c =由③，与矛盾．3c b =b c =因此，选条件③时问题中的三角形不存在．18．解：（1）设的公比为．由题设得，．{}n a q 31120a q a q +=218a q =解得（舍去），．由题设得．12q =-2q =12a =所以的通项公式为．{}n a 2nn a =（2）由题设及（1）知，且当时，．10b =122n n m +≤<m b n =D C B则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),Q a由（1）可设(,0,1)设是平面的法向量，则即(,,)x y z =n QCD 0,0,DQ DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 0,0.ax z y +=⎧⎨=⎩可取．(1,0,)a =-n 所以．21cos ,||||31PB a PB PB a ⋅--〈〉==⋅+n n n 设与平面所成角为，则．PB QCD θ223|1|32sin 13311a aa a θ+=⨯=+++因为，当且仅当时等号成立，所以与平面所成角的正弦值的最大23261313a a +≤+1a =PB QCD 值为．6321．解：的定义域为，．()f x (0,)+∞11()e x f x a x-'=-（1）当时，，，e a =()e ln 1xf x x =-+(1)e 1f '=-曲线在点处的切线方程为，即．()y f x =(1,(1))f (e 1)(e 1)(1)y x -+=--(e 1)2y x =-+直线在轴，轴上的截距分别为，．(e 1)2y x =-+x y 2e 1--2因此所求三角形的面积为．2e 1-（2）当时，．01a <<(1)ln 1f a a =+<当时，，．1a =1()e ln x f x x -=-11()e x f x x -'=-当时，；当时，．(0,1)x ∈()0f x '<(1,)x ∈+∞()0f x '>所以当时，取得最小值，最小值为，从而．1x =()f x (1)1f =()1f x ≥当时，．1a >11()e ln ln e ln 1x x f x a x a x --=-+≥-≥综上，的取值范围是．a [1,)+∞22．解：（1）由题设得，，解得，．22411a b +=22212a b a -=26a =23b =所以的方程为．C 22163x y +=（2）设，．11(,)M x y 22(,)N x y若直线与轴不垂直，设直线的方程为，MN x MN y kx m =+代入得．22163x y +=222(12)4260k x kmx m +++-=于是．①2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++由知，故，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=可得．221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=将①代入上式可得．22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++整理得．(231)(21)0k m k m +++-=因为不在直线上，所以，故，．(2,1)A MN 210k m +-≠2310k m ++=1k ≠于是的方程为.MN 21()(1)33y k x k =--≠所以直线过点.MN 21(,)33P -若直线与轴垂直，可得.MN x 11(,)N x y -由得.0AM AN ⋅=1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=又，可得.解得（舍去），.2211163x y +=2113840x x -+=12x =123x =此时直线过点.MN 21(,)33P -令为的中点，即.Q AP 41(,)33Q 若与不重合，则由题设知是的斜边，故.D P AP Rt ADP △122||||23DQ AP ==若与重合，则.D P 1||||2DQ AP =综上，存在点，使得为定值.41(,)33Q ||DQ。

备战2020年山东新高考新题型专练(作图题)热力环流与天气系统(解析word版)

备战2020年山东新高考新题型专练（作图题）（解析版）热力环流与天气系统1．某学生利用自己制作的学具，模拟演示“热力环流”过程。

实验开始前，学生观察到木盒中间悬挂的锡纸条没有明显的摆动，如图甲所示。

实验开始后，学生点燃蜡烛，并在、纸杯中放入冰块，逐渐观察到两张锡纸条有明显的摆动，如图乙所示。

多次重复实验，学生发现结果相同。

读图回答下列问题。

根据实验过程绘制与乙一致的热力环流示意图，并标出近地面气压的高低状况。

（4分）1.【答案】如图2.阅读图文资料，完成下列要求。

绿洲指在大尺度荒漠背景基质上，以小尺度范围，但具有相当规模的生物群落为基础，构成能够相对稳定维持的、具有明显小气候效应的异质生态景观。

由于绿洲与荒漠的下垫面性质不同，在两者之间存在热力环流。

下图为我国西北局部区域图，图示区域荒漠广布，森林、草原分布极少，除绿洲外，主要分布在山地。

请在下图线段上用箭头表示出夏季夜间的热力环流，在方框中填注近地面的气压状况，并说明近地面气流的（湿度和温度）性质。

（5分）2.【答案】画出气流方向（2分）标注出气压（1分）湿度低；温度低（2分）3.阅读图文资料，完成下列要求。

山谷风是在天气晴朗的山地区域，风向昼夜间发生反向转变的风。

下图示意某时段山谷等压面分布。

根据热力环流原理用箭头绘出气流的运动方向，并分析判断的依据。

3.【答案】中间两组箭头向上，两侧箭头向下。

依据山谷等压面分布图可知，图示山谷与山坡同一水平面相比，山谷处等压线向下弯曲，说明山谷处气压低，气温高，山坡处气压高，气温低，可以判断为夜晚，夜晚吹山风。

【知识拓展】在等压面图上判断气压高低的方法：垂直方向上：随着高度增加气压降低。

水平方向上：同一水平面上，等压面上凸处气压高，下凹处气压低。

4．下图为鲁尔工业园区和沪宁杭工业区的局部区域图，左上方为鲁尔工业园区A地月平均气温曲线和降水量柱状图。

表1为沪宁杭工业区B地四个年份主要经济指标表。

2010年春季B地冷锋频繁过境，气温较常年偏低。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习8---二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)

新高考数学复习考点知识与题型专题练习 8 二次函数与一元二次方程、不等式一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若26(8)0kx kx k -++≥（k 为常数）对一切x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤ B ．01k <<C ．01k <≤D ．0k <或1k >【答案】A【解析】由已知得，当0k =时，原不等式为80≥，显然恒成立；当0k ≠时，需满足2364(8)0k k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩，解得01k <≤，所以k 的取值范围是01k ≤≤. 故选：A2．若0<m <1，则不等式(x －m )1()x m-<0的解集为（） A ．{}x m 或}x m > C ．{x∣x m >或1x m ⎫>⎬⎭D ．1|x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为1x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选：D ． 3．与不等式302x x-≥-同解的不等式是（） A ．()()320x x --≥B ．021x <-≤C ．203xx -≥- D ．()()320x x -->【答案】B【解析】302x x -≥-，即()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得23x <≤， A 项：()()320x x --≥，解得23x ≤≤，不正确； B 项：021x <-≤，解得23x <≤，正确； C 项：203xx -≥-，即()()32030x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得23x ≤<，不正确； D 项：()()320x x -->，解得23x <<，不正确，故选：B.4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（） A ．{}1016x x ≤，所以1520x <<，这批台灯的销售单价x 的取值范围是{}1520x x <<，故选：C.5．不等式222x x x --->0的解集为（）A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2}【答案】A【解析】解析原不等式可化为()()10210202x x x x x +>-+⎧>⇒⎨-≠-⎩，解得x >－1且x ≠2．故选：A ．6．关于x 的不等式ax －b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －3）>0的解集是（）A ．{1x <-或}3x >B ．{x |－1<x <3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x <1或x >3}【答案】A【解析】由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以（ax ＋b ）（x －3）＝a （x ＋1）（x －3）>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}. 故选：A7．若关于x 的不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．{}|2a a ≤- B ．{}|2a a ≥- C ．{}|6a a ≥- D ．{}|6a a ≤-【答案】A【解析】不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解等价于14x ≤≤时，2max (42)a x x ≤--.当14x ≤≤时，()2max422x x --=-，所以2a ≤-.故选：A.8．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（） A ．{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭B ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{}21x x -<<D ．{2x x <-或}1x >【答案】A【解析】由题意可知：-1、2是关于x 的二次方程220ax bx ++=的两根，由韦达定理可得21212a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，不等式220x bx a ++>即为2210x x +->，解得1x <-或12x >．因此，不等式220x bx a ++>的解集为{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．在一个限速40km/h 的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲､乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲=0.1x +0.01x 2，S 乙=0.05x +0.005x 2.则下列判断错误的是（） A ．甲车超速 B ．乙车超速 C ．两车均不超速 D ．两车均超速【答案】ACD【解析】设甲的速度为1x 由题得0.1x 1+0.0121x >12，解之得140x <-或130x >；设乙的速度为2x ，由题得0.05x 2+0.00522x >10. 解之得x 2<-50或x 2>40.由于x >0，从而得x 1>30km /h ，x 2>40km /h . 经比较知乙车超过限速. 故选：ACD10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】BCD【解析】解：当a ＝0时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x ≤0，解得0≤x ≤4，有5个整数解，∴A 错；当a ＝1时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +1≤0解得2x ≤2有3个整数解“1，2，3”，∴B 对；当a ＝2时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +2≤0，解得2x ≤22，有3个整数解“1，2，3”，∴C 对；当a ＝3时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +3≤0，解得1≤x ≤3，有3个整数解“1，2，3”，∴D 对；故选：BCD ．11．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>【答案】BCD【解析】解：对A ，不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，即0a <，故A 错误；对B ，C ，由题意知：2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>，又0a <，故0,0bc >>，故B ，C 正确；对D ，1ca=-，0a c ∴+=，又0b >，0a b c ∴++>，故D 正确.故选：BCD.12．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，则能使不等式21()12()a x b x c ax ++-+<成立的x 可以为（） A ．{}|03x x < D ．{|2x x <-或}1x >【答案】BC【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，所以1-和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，所以121,122b ca a-=-+==-⨯=-. 则,2b a c a =-=-.由21()12()a x b x c ax ++-+<，得230ax ax -<，因为0a <，所以230x x ->，解得0x <或3x >，所以不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0x x <或3}x >. 故选：BC三、填空题：本题共4小题．13．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．【答案】{x |100<x <400} 【解析】解析5%<4%2007%200x x ⋅+⋅+<6%，解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．故答案为：{x |100<x <400}．14．一元二次不等式的一般形式：ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，其中a ，b ，c 均为____ 【答案】常数【解析】根据一元二次不等式的一般形式的相关概念可知，式中的参数a b c ，，均为常数故答案为：常数. 15．在R 上定义运算：b a b c da d c =-．若不等式1211x a a x--≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．【答案】32【解析】由题意可知，()()()121211x a x x a a a x--=---++，不等式1211x a a x--≥+恒成立即()()()1211x x a a ---+≥恒成立，()()()1211x x a a ---+≥，()()2121x x a a --≥-+，因为221551244x x x ⎛⎫--=--≥- ⎪⎝⎭，所以()()5214a a -≥-+，即2304a a --≤，解得1322a -≤≤，则实数a 的最大值为32，故答案为：32. 16．在一个限速40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．这次事故的主要责任方为________．【答案】乙车【解析】解:由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10．分别求解，得 x 甲<－40或x 甲>30． x 乙<－50或x 乙>40．由于x >0，从而得x 甲>30km /h ，x 乙>40km /h ．经比较知乙车超过限速，应负主要责任．故答案为:乙车.四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知关于x 的不等式23208kx kx +-<.（1）若不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值；（2）若不等式23208kx kx +-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）18k =；（2）{}|30k k -<≤.【解析】（1）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以0k ≠，且32-和1时关于x 的方程23208kx kx +-=的两个实数根，则338122k--⨯=，解得18k =. （2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<恒成立，所以0k =或22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，即0k =或30k -<<，则实数k 的取值范围为{}|30k k -<≤.18．232(,,)y ax bx c a b c R =++∈，若0,(32)0a b c a b c c ++=++>.求证：（1）方程2320ax bx c ++=有实数根；（2）若21b a -<<-，且12,x x 是方程2320ax bx c ++=1223x x ≤-<. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）若0a =，又0a b c ++=，则b c =-，2(32)0a b c c c ∴++=-≤，与已知矛盾，0a ∴≠.方程2320ax bx c ++=的判别式22(2)434(3)b a c b ac ∆=-⋅⋅=-，又知0a b c ++=，即()b a c =-+，22222134(3)4()4[()]024b ac a c ac a c c ∴∆=-=+-=-+>，故方程2320ax bx c ++=有实数根. （2）由题意得，12122,333b c a bx x x x a a a++=-==-， ∴22221212122244()43()()4(3)939b a b b b x x x x x x a a a a+-=+-=+=++22433431[()]()924923b b a a =++=++， 21b a -<<-，21214()39x x ∴≤-<，1223x x ≤-<. 19．设函数2y x mx n =++，已知不等式0y <的解集为{}|14x x <<. （1）求m 和n 的值；（2）若y ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）5,4m n =-=；（2）1a ≤-.【解析】（1）有题意得121,4x x ==是关于x 的方程20x mx n ++=的两个根，所以12125,4m x x n x x -=+==⋅=，故5,4m n =-=；（2）由（1）得254y x x =-+，则254x x ax -+≥对任意0x >恒成立，即45a x x≤+-，对任意0x >恒成立.又因为44x x +≥=（当且仅当2x =时，等号成立），所以451x x+-≥-，所以1a ≤-.20．已知关于x 的不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M . （1）当M 为空集时，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求2251m m m +++的最小值；（3）当M 不为空集，且{}|14M x x ⊆≤≤时，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}|12m m -<<；（2）4；（3）18|27m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）因为M 为空集，所以2244(2)02012m m m m m ∆=-+<⇒--<⇒-<<. 所以m 的取值范围为{}|12m m -<<；（2）由（1）可知12m -<<，则013m <+<，所以2225(1)4414111m m m m m m m ++++==++≥=+++，当且仅当4111m m m +=⇒=+等号成立，所以2252m m m +++的最小值为4.（3）设函数222y x mx m =-++，当M 不为空集时，由{}|14M x x ⊆≤≤，得22244(2)012201827482014m m m m m m m m ⎧∆=-+≥⎪-++≥⎪⇒≤≤⎨-++≥⎪⎪≤≤⎩. 所以实数m 的取值范围18|27m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.21．已知二次函数22y ax bx a =+-+.（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}|13x x -<<.求实数,a b 的值；（2）若2,0b a =>，解关于x 的不等式220ax bx a +-+>. 【答案】（1）1a =-，2b =；（2）答案见解析.【解析】（1）因为关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}|13x x -<< 所以1-和3是方程220ax bx a +-+=的两根，所以13213b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，（2）当2b =时，220ax bx a +-+>即2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>，因为0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ 所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为1-和2a a -，当21a a--<即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a -⎫>⎬⎭，当21a a--=即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当21a a -->即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-，综上所述：当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a -⎫>⎬⎭. 22．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】{m |0<m ≤3}.【解析】p ：－2≤x ≤10. q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为q 是p 的充分不必要条件，所以{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，故12110mmm-≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得03m<≤.所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．。

2020年高考数学真题汇编答案及解析

2020年高考数学真题汇编答案及解析(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是( )A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{3}【解析】若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}；若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3}若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D.【答案】 D2．(2020全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有( )A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A.【答案】 A3．(2020年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A．3个B．2个C．1个D．无穷多个【解析】M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个．【答案】 B4．给出以下集合：①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}；②N＝{x|－x2＋x－2＞0}；③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}；④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}，其中一定是空集的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0⇔x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B.【答案】 B5．如右图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，y∈R，A={x|y= }，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}【解析】依据定义，A#B就是将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．对于集合A，求的是函数y＝2x－x2的定义域，解得：A＝{x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y＝3x(x＞0)的值域，解得B＝{y|y＞1}，依据定义得：A#B＝{x|0≤x≤1或x＞2}．【答案】 D6．定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈(A∪B)，且x∉(A∩B)}，设M＝{x||x|＜2}，N＝{x|x2－4x＋3＜0}，则M⊗N所表示的集合是( )A．(－∞，－2]∪[1,2)∪(3，＋∞)B．(－2,1]∪[2,3)C．(－2,1)∪(2,3)D．(－∞，－2]∪(3，＋∞)【解析】M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以M∩N ＝{x|1＜x＜2}，M∪N＝{x|－2＜x＜3}，故M⊗N＝(－2,1]∪[2,3)．【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则a的值为________．。

2020年新高考天津卷数学(解析版)

2020年新高考天津卷数学（解析版）本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{－3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{－3,3}B ．{0,2}C ．{－1,1}D ．{－3，－2，－1,1,3}解析选C.∁U B ＝{－2，－1,1}，∴A ∩(∁U B )＝{－1,1}．故选C. 2．设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析选A.由a 2>a ，得a 2－a >0，解得a >1或a <0， ∴“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A. 3．函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )解析选A.令f (x )＝4xx 2＋1，则f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－4x x 2＋1＝－f (x )，因此，函数为奇函数，排除C ，D.当x ＝1时，f (1)＝42＝2，排除B.故选A.4．从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为( )A ．10B ．18C ．20D ．36解析选B.因为直径落在区间[5.43,5.47]内的频率为0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以个数为0.225×80＝18.5．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π解析选C.由题意知球的直径2R ＝(23)2＋(23)2＋(23)2＝6，∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π.故选C.6．设a ＝30.7，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a 30＝1，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8＝30.8>30.7，c ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1，所以b >a >c .故选D.7．设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1解析选D.由题意知抛物线的焦点为F (1,0)，直线l 的斜率k l ＝b －00－1＝－b ＝－ba ，解得a ＝1.又∵ba ·(－b )＝－1，∴b ＝a ＝1，∴双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.故选D. 8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.给出下列结论：①f (x )的最小正周期为2π；②f ⎝⎛⎭⎫π2是f (x )的最大值；③把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象．其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①③ C ．②③D ．①②③解析选B.T ＝2π1＝2π，故①正确．当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误．y ＝sin x 的图象错误!y ＝sin 错误!的图象，故③正确．故选B.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x ，x <0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(22，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0,22) C ．(－∞，0)∪(0,22) D ．(0，－∞)∪(22，＋∞)解析选D.方法1：注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝f (x )|x |恰有3个实根即可．令h (x )＝f (x )|x |，即y ＝|kx －2|与h (x )＝f (x )|x |的图象有3个交点．h (x )＝f (x )|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，1，x <0.当k ＝0时，此时y ＝|kx －2|＝2，如图①，y ＝2与h (x )＝f (x )|x |的图象有1个交点，不满足题意；当k <0时，如图②，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝f (x )|x |的图象恒有3个交点，满足题意；当k >0时，如图③，由y ＝kx －2与y ＝x 2联立，得x 2－kx ＋2＝0，令Δ>0，得k 2－8>0，解得k >22或k <－22(舍去)，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝f (x )|x |的图象有3个交点．综上，k 的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞)．故选D.方法2：由方法1知y ＝|kx －2|与h (x )＝f (x )|x |的图象有3个交点，令k ＝－12，检验知符合题意，可排除选项A ，B ；令k ＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.故选D.方法3：函数g (x )有4个零点，即y ＝f (x )与y ＝|kx 2－2x |的图象有4个交点，函数y ＝f (x )的图象如图④.①若k ＝0，则y ＝|kx 2－2x |＝|－2x |＝|2x |，两函数图象不可能有4个交点，∴k ≠0. ②若k >0，令y ＝|kx 2－2x |＝0，解得x ＝0或x ＝2k ，如图⑤.当x <0时，－x ＝kx 2－2x 无解，此时两函数图象无交点．当x >2k 时，由kx 2－2x ＝x 3，得x 2－kx ＋2＝0.由Δ>0，得k 2－8>0，解得k >22或k <－22(舍去)，此时有两实根x 1,2＝k ±k 2－82.∴当k >22时，两函数图象有2个交点．当0≤x ≤2k 时，由－kx 2＋2x ＝x 3，得x (x 2＋kx －2)＝0，此时有两实根x 1＝0，x 2＝－k ＋k 2＋82，两函数图象有2个交点．因此，当k >22时，两函数图象有4个交点，排除B ，C.③若k <0，取k ＝－13验证，如图⑥，两函数图象有4个交点．排除A.故选D.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分)10．i 是虚数单位，复数8－i2＋i＝__________.解析 8－i 2＋i ＝(8－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝16＋i 2－10i 5＝15－10i 5＝3－2i.答案 3－2i11．在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是__________．解析 ∵T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝2r C r 5x 5－3r ，令5－3r ＝2，得r ＝1，∴T 2＝2C 15x 2＝10x 2，∴x 2的系数是10. 答案 1012．已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为__________．解析设圆心为O (0,0)，圆心到直线的距离d ＝|0－3×0＋8|1＋3＝4.取AB 的中点M ，连接OM (图略)，则OM ⊥AB .在Rt △OMA 中，r ＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝5. 答案 513．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________．解析甲、乙两球都落入盒子的概率P ＝12×13＝16；事件A ：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是A ：“甲、乙两球都不落入盒子”，P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝13，所以P (A )＝1－13＝23.答案 16 2314．已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________．解析因为a >0，b >0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案 415．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为__________．解析因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.答案 16 132三、解答题(本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13. (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值； (3)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．解析 (1)解：在△ABC 中，由余弦定理及a ＝22，b ＝5，c ＝13，有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)解：在△ABC 中，由正弦定理及C ＝π4，a ＝22，c ＝13，可得sin A ＝a sin C c ＝21313.(3)解：由a <c 及sin A ＝21313，可得cos A ＝1－sin 2 A ＝31313，进而sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝2cos 2 A －1＝513.所以sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4 ＝1213×22＋513×22＝17226.17．(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，CC 1＝3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD ＝1，CE ＝2，M 为棱A 1B 1的中点． (1)求证：C 1M ⊥B 1D ；(2)求二面角B B 1E D 的正弦值；(3)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．解析依题意，以C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,3)，A 1(2,0,3)，B 1(0,2,3)，D (2,0,1)，E (0,0,2)，M (1,1,3)．(1)证明：依题意，C 1M →＝(1,1,0)，B 1D →＝(2，－2，－2)，从而C 1M →·B 1D →＝2－2＋0＝0，所以C 1M ⊥B 1D .(2)解：依题意，CA →＝(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量，EB 1→＝(0,2,1)，ED →＝(2,0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面DB 1E 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB 1→＝0，n ·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋z ＝0，2x －z ＝0.不妨设x ＝1，可得n ＝(1，－1,2)．因此有cos 〈CA →，n 〉＝CA →·n |CA →||n |＝66，于是sin 〈CA →，n 〉＝306.所以，二面角B B 1E D 的正弦值为306.(3)解：依题意，AB →＝(－2,2,0)．由(2)知n ＝(1，－1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝－33.所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为33. 18．(本小题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． (1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程．解析 (1)解：由已知可得b ＝3.记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3.又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18.所以，椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. (2)解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 218＋y 29＝1，消去y ，可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝12k2k 2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1.因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6k 2k 2＋1，－32k 2＋1.由3OC →＝OF →，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1.又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1.所以，直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3.19．(本小题满分15分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 5＝5(a 4－a 3)，b 5＝4(b 4－b 3)．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n ＋2<S 2n ＋1(n ∈N *)；(3)对任意的正整数n ，设c n＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a n－2)bna n a n ＋2，n 为奇数，an －1b n ＋1，n 为偶数.求数列{c n }的前2n 项和．解析 (1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝1，a 5＝5(a 4－a 3)，可得d ＝1，从而{a n }的通项公式为a n ＝n .由b 1＝1，b 5＝4(b 4－b 3)，又q ≠0，可得q 2－4q ＋4＝0，解得q ＝2，从而{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)证明：由(1)可得S n ＝n (n ＋1)2，故S n S n ＋2＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，S 2n ＋1＝14(n ＋1)2(n ＋2)2，从而S n S n ＋2－S 2n ＋1＝－12(n ＋1)(n ＋2)<0，所以S n S n ＋2<S 2n ＋1. (3)解：当n 为奇数时，c n ＝(3a n －2)b n a n a n ＋2＝(3n －2)2n －1n (n ＋2)＝2n ＋1n ＋2－2n －1n ；当n 为偶数时，c n ＝a n －1b n ＋1＝n －12n .对任意的正整数n ，有∑k ＝1nc 2k －1＝∑k ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫22k 2k ＋1－22k －22k －1＝22n 2n ＋1－1，和∑k ＝1nc 2k ＝∑k ＝1n2k －14k ＝14＋342＋543＋…＋2n －14n.① 由①得14∑k ＝1n c 2k ＝142＋343＋…＋2n －34n ＋2n －14n ＋1.②①－②得34∑k ＝1n c 2k ＝14＋242＋…＋24n －2n －14n ＋1＝24⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14－14－2n －14n ＋1，从而得∑k ＝1nc 2k ＝59－6n ＋59×4n.因此，∑k ＝12nc k ＝∑k ＝1nc 2k －1＋∑k ＝1nc 2k ＝4n2n ＋1－6n ＋59×4n －49. 所以，数列{c n }的前2n 项和为4n 2n ＋1－6n ＋59×4n －49.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3＋k ln x (k ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)当k ＝6时，①求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； ②求函数g (x )＝f (x )－f ′(x )＋9x的单调区间和极值；(2)当k ≥－3时，求证：对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1>x 2，有f ′(x 1)＋f ′(x 2)2>f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2.解析 (1)①解：当k ＝6时，f (x )＝x 3＋6ln x ，故f ′(x )＝3x 2＋6x .可得f (1)＝1，f ′(1)＝9，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝9(x －1)，即y ＝9x －8. ②解：依题意，g (x )＝x 3－3x 2＋6ln x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)．从而可得g ′(x )＝3x 2－6x ＋6x －3x 2，整理可得g ′(x )＝3(x －1)3(x ＋1)x 2.令g ′(x )＝0，解得x ＝1.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以，函数g (x )g (1)＝1，无极大值．(2)证明：由f (x )＝x 3＋k ln x ，得f ′(x )＝3x 2＋kx.对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1>x 2，令x 1x 2＝t (t >1)，则(x 1－x 2)(f ′(x 1)＋f ′(x 2))－2(f (x 1)－f (x 2))＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫3x 21＋k x 1＋3x 22＋k x 2－2⎝⎛⎭⎫x 31－x 32＋k ln x 1x 2＝x 31－x 32－3x 21x 2＋3x 1x 22＋k ⎝⎛⎭⎫x 1x 2－x 2x 1－2k ln x 1x 2＝x 32(t 3－3t 2＋3t －1)＋k ⎝⎛⎭⎫t －1t －2ln t .① 令h (x )＝x －1x－2ln x ，x ∈[1，＋∞)．当x >1时，h ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2>0，由此可得h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以当t >1时，h (t )>h (1)，即t －1t－2ln t >0. 因为x 2≥1，t 3－3t 2＋3t －1＝(t －1)3>0，k ≥－3，所以x 32(t 3－3t 2＋3t －1)＋k ⎝⎛⎭⎫t －1t －2ln t ≥(t 3－3t 2＋3t －1)－3⎝⎛⎭⎫t －1t －2ln t ＝t 3－3t 2＋6ln t ＋3t－1. ②由(1)②可知，当t >1时，g (t )>g (1)，即t 3－3t 2＋6ln t ＋3t >1，故t 3－3t 2＋6ln t ＋3t－1>0. ③ 由①②③可得(x 1－x 2)(f ′(x 1)＋f ′(x 2))－2(f (x 1)－f (x 2))>0，所以，当k ≥－3时，对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1>x 2，有f ′(x 1)＋f ′(x 2)2>f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2.。

精品解析：2020年北京市高考数学试卷(解析版)

绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）． A. 12i + B. 2i -+C. 12i -D. 2i --【答案】B 【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在52)的展开式中，2x 的系数为（）．A. 5-B. 5C. 10-D. 10【答案】C 【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】()52x -展开式的通项公式为：()()()55215522r rrrr r r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 63B. 623+C. 123+D. 123+【答案】D 【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞ 【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c =，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，()22215PD =-+=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.51-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()()22cos sin 1f x x ϕϕθ=+++，可得()22cos sin 12ϕϕ++=，即可解出.【详解】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③ 【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)8222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin 816A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；（Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19.已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ){}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(Ⅱ){}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*）由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设()22131,1a a q a a qq ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q ===，即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <，与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾；若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾；若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，同理可得：455161,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。

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项．
( ) 对 D，斐波那契数列总有 an+2 = an+1 + an ，则 a12 = a2a1 ， a22 = a2 a3 − a1 = a2a3 − a2a1 ，
( ) ( ) a32 = a3
a4 − a2
=
a3a4
−
a2a3 ，……，
a2 2018
=
a2018
a2019 − a2017
= a a 2018 2019 − a a 2017 2018 ，
因为 q + 0.4 + 0.1+ 0.2 + 0.2 = 1，所以 q = 0.1，故 A 正确；
又 EX = 0× 0.1+1× 0.4 + 2× 0.1+ 3× 0.2 + 4× 0.2 = 2 ，
DX = (0 − 2)2 × 0.1+ (1− 2)2 × 0.4 + (2 − 2)2 × 0.1+ (3 − 2)2 × 0.2 + (4 − 2)2 × 0.2 = 1.8，故 C 正确；因为Y = 2 X +1，所以 EY = 2EX +1 = 5 ， DY = 4DX = 7.2 ，故 D 正确，故选：ACD．
a2 2019
= a2019a2020
− a a 2019 2018
a12 + a22 + a32 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a22019 = a a 2019 2020 ，故 D 正确；
故选：ABCD．
4．设离散型随机变量 X 的分布列为
X
0
1[来源:学科网 ZXXK]
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
5．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧 AB 和其所对弦 AB 围成的图形，若弧田的弧 AB 长为 4π，弧所在的圆的半径为 6，则弧田的弦 AB 长是，弧田的面积是．
【答案】6 3 ，12π﹣9 3
【解析】∵如图，弧田的弧 AB 长为 4π，弧所在的圆的半径为 6，
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2．已知三个数1, a, 9 成等比数列，则圆锥曲线 x2 + y2 = 1 的离心率为 a2
旗开得胜
A． 5
B． 3 3
C． 10 2
D． 3
【答案】BC
【解析】由等比数列的性质求出 a ，再判断曲线类型，进而求出离心率
由三个数 1, a, 9 成等比数列，得 a2 = 9 ，即 a = ±3 ；当 a = 3 ，圆锥曲线为 x2 + y2 = 1，曲线 32
为椭圆，则 e = 1 = 3 ；当 a = −3 时，曲线为 y2 − x2 = 1，曲线为双曲线， e = 5 = 10 ，
33
23
22
则离心率为： 3 或 10 ．故选：BC． 32
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an } 称为“斐波那契数列”，记 Sn 为数列{an } 的前 n 项和，则下列结论正确的是
6．设函数 f (x) = 1 ，则 f（1）＝；若 f (f (x)) = 1 ，则 x＝．
x+2
3
1
【解答】，﹣1
3
【解析】
f
(1)
=
1 1+ 2
=
1 3
；由
f
(f
(x))
=
1 3
，
即
f
1 (x) +
2
=
1 3
，得
f（x）＝1，由
x
1 +
2
=
1，解得
x＝﹣1．故答案为
1 3
，﹣1
7．在① sn = 2bn −1, ② − 4bn = bn−1(n ≥ 2), ③ bn = bn−1 + 2(n ≥ 2) 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的 k 存在，求出 k 的值；若 k 不存在，说明理由．
新高考开放性试题题型专练 01
旗开得胜
1．由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业
整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接
带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测．结合下图，下列说法正确的是
A． a6 = 8
B． S7 = 33
C． a1 + a3 + a5 + ⋅⋅⋅ + a2019 = a2020
D． a12
+ a22 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a22019 a2019
= a2020
【答案】ABCD
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旗开得胜
{ } 【解析】由题意可得数列 an 满足递推关系 a1 = 1, a2 = 1, an = an−2 + an−1(n ≥ 3) ，对照四个选
若离散型随机变量Y 满足Y = 2 X +1，则下列结果正确的有
A． q = 0.1
B． EX = 2 ， DX = 1.4
3
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C． EX = 2 ， DX = 1.8
D． EY = 5 ， DY = 7.2
旗开得胜
【答案】ACD
【解析】先计算 q 的值，然后考虑 EX 、 DX 的值，最后再计算 EY 、 DY 的值．
A．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD 【解析】本题结合图形即可得出结果．由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故 C 项表达错误．故选：ABD．
项可得正确答案．
对 A，写出数列的前 6 项为1,1, 2,1+ 2 + 3 + 5 + 8 +13 = 33，故 B 正确；对 C，由 a1 = a2 ， a3 = a4 − a2 ， a5 = a6 − a4 ，……， a2019 = a2020 − a2018 ，可得： a1 + a3 + a5 + ⋅⋅⋅ + a2019 = a2020 ．故 a1 + a3 + a5 + ⋅⋅⋅ + a2019 是斐波那契数列中的第 2020
∴α＝∠AOB＝ 4π ＝ 2π ，可得∠AOD＝ π ，OA＝6，
63
3
∴AB＝2AD＝2OAsin
π 3
＝2× 6 ×
3 ＝6 2
3，
4
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∴弧田的
面积
S＝S
扇形
OAB﹣S△OAB＝
1 2
×
4π×6﹣
1 2
×
6
3 × 3 ＝12π﹣9
3．
旗开得胜
故答案为：6 3 ，12π﹣9 3 ．

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