2019高考数学概率：几何概型
资料专用2019版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型课件 文.ppt
解析答案
(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝ 3 ，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的 概率. 解 因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°. 在 Rt△ABD 中，AD＝ 3，∠B＝60°， 所以 BD＝tanAD60°＝1，∠BAD＝30°. 记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”， 则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生. 由几何概型的概率公式，得：P(N)＝3705°°＝25.
答案
2.几何概型的概率计算公式 一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一
d的测度 个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝ D的测度 . 3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个 ； (2)等可能性：每个结果的发生具有 等可能性 .
第十一章 概 率
§11.3 几何概型
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
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知识梳理
1.几何概型的概念 设D是一个可度量的区域(例如 线段 、 平面图形 、立体图形 等)，每个 基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到 的机会 都一样 ；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的 某个指 定区域d中的点 .这时，事件A发生的概率与d的测度(长度 、 面积 、体积 等)成正比，与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称 为几何概型.
考点52几何概型-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过
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（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
（2）了解几何概型的意义
.
一、几何概型
1．几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2．几何概型的特点
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.
（2）每个基本事件发生的可能性相等.
3．几何概型的概率计算公式
()P A
A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
. 4．必记结论 （1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；
（3）与体积有关的几何概型.。
核按钮(新课标)2019高考数学一轮复习第十章概率10.3几何概型课件文
x2＋y2＜1，
在第一象限所围的平面部分(图中阴影部分)．∴点 P 到原点距离小
于 1 的概率为：14·π1· 2 12＝π4.
点拨： ①以面积为度量的几何概型概率计算公式：P＝ 整个试验事的件全A构部成结区果域构的成面区积域的面积 . ② 解 此 类 问 题 的 主 要
解：由已知得 f′(x)＝1－x2lnx，故 f′(x)>0⇔1－x2lnx>0，解得 0<x<e，故由几何概型可得所求事件的概率为3e－－22＝e－2.故填 e －2.
类型二 以面积为度量的几何概型
(1)如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点
P(x，y)．
①求△APB 的面积大于14的概率；
自查自纠：
1．均等的 2．长度 面积 体积 几何概率模型 几何概型
构成事件A的区域的长度（面积或体积） 3.试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）
(2013·福建)利用计算机产生 0～1 之间的均
匀随机数 a，则事件“3a－1<0”发生的概率为( )
1
1
2
5
A.3
B.2
Hale Waihona Puke C.3D.61
解：3a－1<0，即 a<13，∴所求概率 P＝13＝13.
②求点 P 到原点的距离小于 1 的概率．
解：①如图，取线段 BC，AO 的中点 E，F，连接 EF，则当 点 P 在线段 EF 上时，S△APB＝14，故满足条件的点 P 所在的区域
为矩形 OFEC(阴影部分)．
故所求概率为SS正矩方形形OOFAEBCC＝12.
【助力高考】2019年高考数学专题复习第67讲《几何概型》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第67讲 几何概型★★★核心知识回顾★★★1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 ． 2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式 P (A )＝ .3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 ； (2)等可能性：每个结果的发生具 ． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是： ①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； ②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ； ③计算频率f n (A )＝ 作为所求概率的近似值．★★★高考典例剖析★★★考点一、与长度、角度有关的几何概型例1： 某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 B解析 如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型， 得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.1.如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．2．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．考点二、与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2： (2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．答案 π8解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3： 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为______． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝⎛⎭⎫－12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率 P ＝S 四边形OACDS △OAB＝S △OAB －S △BCDS △OAB＝2－142＝78.命题点3 与定积分交汇命题的问题例4： 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝3211(4)|3x x -＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.3．(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn4．(2017·石家庄调研)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0<2x0”，那么事件A发生的概率是()A.14 B.34C.13 D.235．如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．考点三、与体积有关的几何概型例5：如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD的体积小于16的概率为________．答案12解析过点M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M —ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M —ABCD 的体积等于16，只要M 在截面以下即可小于16，当V M —ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.6．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.147．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B.π12C.π4D ．1－π128．在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．9．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78★★★知能达标演练★★★一、选择题1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A.12 B.13 C.14D．12．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π44.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是()A.π3B．πC．2π D．3π5．设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.34＋12π B.14－12πC.12－1π D.12＋1π6．(2018·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.23 D.127.已知函数f (x )的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计ʃ10f (x )d x 的值约为( )A.61100B.39100C.10100D.1171008．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x ≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.149．(2017·武昌质检)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π11．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1二、填空题12．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.13．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则|AM |>|AC |的概率为________．14．(2017·江苏)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．15.如图，在面积为S 的矩形ABCD 内任取一点P ，则△PBC 的面积小于S 4的概率为________．16.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．17.正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入到正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是______．三、解答题18．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，求函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率．19．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．20．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．21．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第67讲 几何概型★★★核心知识回顾★★★1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值．★★★高考典例剖析★★★考点一、与长度、角度有关的几何概型 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 1.答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.2．答案 23解析 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.考点二、与面积有关的几何概型 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 3．答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.4．答案 B 解析 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0<2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.5．答案2e 2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.考点三、与体积有关的几何概型 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 6．答案 A解析 当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知， P ＝1－18＝78.7．答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.8．答案33解析 ∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ， 则所求概率为33a a ＝33.9．答案 C解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.★★★知能达标演练★★★一、选择题 1．答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.2．答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )． 3．答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.4.答案 D解析 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得S S ′＝13，则S ＝3π. 5．答案 B解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为 P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.6．答案 D解析 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0， 所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12，故选D.7.答案 D解析 ʃ10f (x )d x 表示阴影部分的面积S . 因为S 3＝39100，所以S ＝117100.8．答案A解析 由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率 P ＝32－02－0＝34.9．答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为4(sin cos )d x x x ππ⎰－＝4(cos sin )|x x ππ－－＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.10.答案 A解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.11．答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥12”表示的平面区域如图(1)阴影部分S 1，事件“|x－y |≤12”表示的平面区域如图(2)阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的平面区域如图(3)阴影部分S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型公式可得p 2<p 3<p 1.二、填空题 12．答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.13．答案 16解析 设事件D 为“作射线CM ，使|AM |>|AC |”． 在AB 上取点C ′使|AC ′|＝|AC |， 因为△ACC ′是等腰三角形， 所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°， 构成事件总的区域μΩ＝90°， 所以P (D )＝μD μΩ＝15°90°＝16.14．答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ，由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.15.答案 12解析 如图，设△PBC 的边BC 上的高为PF ，线段PF 所在的直线交AD 于点E ，当△PBC 的面积等于S 4时，12BC ·PF ＝14BC ·EF ，所以PF ＝12EF .过点P 作GH 平行于BC 交AB 于点G ，交CD 于点H ，则满足条件“△PBC 的面积小于S4”的点P 落在矩形区域GBCH 内．设“△PBC 的面积小于S 4”为事件A ，则构成事件A 的区域的面积为S2，而试验的全部结果所构成的区域面积为S ，所以由几何概型概率的计算公式得P (A )＝S2S ＝12.所以△PBC 的面积小于S 4的概率是12.16.答案 16解析 因为1A A BD V －＝1A ABD V －＝13AA 1×S △ABD＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体， 故所求概率为1A A BDV －V 长方体＝16. 17.答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－⎝⎛⎭⎫－23＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.三、解答题18．解 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2.事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 19．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部． 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152. 20．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个． 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}． 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图象如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.21．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba ≤1，即2b ≤a .如图所示，事件的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83， 故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第67讲 几何概型★★★核心知识回顾★★★1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值．★★★高考典例剖析★★★考点一、与长度、角度有关的几何概型例1： 某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 B解析 如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型， 得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.1.如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.2．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．答案 23解析 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.考点二、与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2： (2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．答案 π8解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题 :例3： 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为______． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝⎛⎭⎫－12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率 P ＝S 四边形OACDS △OAB＝S △OAB －S △BCDS △OAB＝2－142＝78.命题点3 与定积分交汇命题的问题例4： 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝3211(4)|3x x -＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.3．(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n 答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.4．(2017·石家庄调研)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14 B.34 C.13 D.23答案 B解析 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0<2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.5．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案2e 2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.考点三、与体积有关的几何概型例5： 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M —ABCD 的体积小于16的概率为________．答案 12解析 过点M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M —ABCD 的高，显然点M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M —ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M —ABCD 的体积等于16，只要M 在截面以下即可小于16，当V M —ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.6．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是( )A.78B.34C.12D.14 答案 A解析 当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知， P ＝1－18＝78.7．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B.π12C.π4 D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.8．在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________． 答案33解析 ∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ， 则所求概率为33a a ＝33.9．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.★★★知能达标演练★★★一、选择题1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4 答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.4.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )A.π3 B ．π C ．2π D ．3π答案 D解析 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得S S ′＝13，则S ＝3π.5．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π 答案 B解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为 P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.6．(2018·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是()A.14B.13C.23D.12 答案 D解析 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0， 所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12，故选D.7.已知函数f (x )的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计ʃ10f (x )d x 的值约为( )A.61100B.39100 C.10100 D.117100答案 D解析 ʃ10f (x )d x 表示阴影部分的面积S . 因为S 3＝39100，所以S ＝117100.8．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14 答案 A解析 由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率 P ＝32－02－0＝34.9．(2017·武昌质检)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为4(sin cos )d x x x ππ⎰－＝4(cos sin )|x x ππ－－＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1π C.2π。
【配套K12】全国版2019版高考数学一轮复习第10章概率第3讲几何概型学案
第3讲 几何概型板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 几何概型 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点考点2 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[必会结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零. ( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)×2．[2017·全国卷Ⅰ]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.3．[2018·重庆一中模拟]在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )A.25B.14C.35D.45 答案 D解析 由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.4．[2018·衡水中学调研]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.π4 B.π8 C.π6 D.π12答案 C解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m n D.2mn答案 C解析 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1，构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn.故选C.板块二 典例探究·考向突破 考向与长度有关的几何概型例 1 (1)[2016·全国卷Ⅱ]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P ＝2540＝58.故选B.(2)[2017·江苏高考]记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．【变式训练1】 (1)[2018·辽宁模拟]在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45 答案 C解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x ) cm ，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为812＝23.故选C.(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案 35解析 本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A ＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P (A )＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.考向与面积有关的几何概型命题角度1 与平面图形面积有关的问题例 2 [2015·陕西高考]设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12π B.12＋1π C.14－12π D.12－1π答案 C解析 ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作图如右：∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12.故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.命题角度2 与线性规划交汇的问题例 3 [2018·湖北联考]在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.619D.34 答案 D解析 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.命题角度3 随机模拟估算例 4 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32 答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 触类旁通利用落在椭圆内的黄豆数落在矩形内的黄豆数＝椭圆的面积矩形的面积求解．考向与体积有关的几何概型例 5 有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 圆柱的体积V 柱＝πR 2h ＝2π， 半球的体积V 半球＝12×43πR 3＝23π.∴圆柱内一点P 到点O 的距离小于等于1的概率为13.∴点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【变式训练2】 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析 设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78.考向与角度有关的几何概型例 6 [2017·鞍山模拟]过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD <AC 的概率．解 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE (如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD <AC .易知∠ACE ＝67.5°，∴AD <AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度.(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．【变式训练3】 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.核心规律几何概型中的转化思想(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可．(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型．(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．满分策略几何概型求解中的注意事项(1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．(2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果． (3)几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”“角度”“面积”“体积”等，但要注意求概率时作比的上下“测度”要一致.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列11——转化与化归思想解决几何概型的应用问题[2018·珠海模拟]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)解题视点 先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域，最后根据面积型几何概型求概率．解析 设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示．则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.答案932答题启示 本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解.跟踪训练[2018·海口调研]张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．答案 78解析 以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A 发生，所以P (A )＝1×1－12×12×121×1＝78.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B解析 将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13. 2．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.23 答案 D解析 依题意可知∠AOC ∈[15°，75°]，∠BOC ∈[15°，75°]，故OC 活动区域为与OA ，OB 构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P (A )＝OC 活动区域的圆心角度数∠AOB 的度数＝60°90°＝23.3．[2018·山东师大附中模拟]设x ∈[0，π]，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13. 4．[2018·湖南长沙联考]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.故选A.5．[2018·福建莆田质检]从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )A.π8 B.π4 C.12 D.34答案 B解析 任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝π4×121×1＝π4.6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×4π3×13＝2π3，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－2π38＝1－π12.7．[2018·铁岭模拟]已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.8．[2018·绵阳模拟]在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．答案 34解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”．即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34.9．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由题意知m >0，当0<m <2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －(－m )4－(－2)＝56，解得m＝52(舍去)；当2≤m <4时，所求概率为m －(－2)4－(－2)＝56，解得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不合题意，故m ＝3.10．[2018·保定调研]在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x －1的概率是________．答案 78解析 点(x ，y )分布在如图所示的正方形区域内，画出x －y －1≤0表示的区域，可知所求的概率为1－124＝78.[B 级 知能提升]1．[2018·郑州模拟]分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A.4－π2 B.π－22 C.4－π4 D.π－24答案 B解析 设AB ＝2，则S 阴影＝2π－4.∴所求概率P ＝2π－44＝π－22，故选B 项．2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC 内，则该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12 答案 D解析 由PB →＋PC →＋2PA →＝0，得PB →＋PC →＝－2PA →，设BC 边中点为D ，连接PD ，则2PD →＝－2PA →，P 为AD 中点，所以所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，即该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是12.故选D.3．[2018·山东模拟]在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为________．答案 34解析 不等式－1≤log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 12 2≤log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 12 12，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.4．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.5．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x <24,0≤y <24且y －x >4或y －x <－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或y －x <－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2或y －x >4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜24，0≤y ＜24，y －x >4或x －y >2.P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。
几何概型概率
几何概型概率（实用版）目录1.几何概型概率的定义与性质2.几何概型概率的计算方法3.几何概型概率的应用举例正文一、几何概型概率的定义与性质几何概型概率是概率论中的一种概率类型，它是研究随机现象在几何空间中的分布规律。
几何概型概率具有以下性质：1.有限性：试验结果的数量是有限的。
2.等可能性：每个试验结果发生的可能性相等。
二、几何概型概率的计算方法几何概型概率的计算方法通常使用概率公式：P(A) = 满足条件 A 的试验结果数 / 所有可能的试验结果数。
例如，从 n 个不同元素中任选 2 个进行组合，可以得到的组合数为C(n, 2)，那么组合的概率为 P(C(n, 2)) = C(n, 2) / C(n, n) = (n*(n-1)) / (2*1) = n*(n-1) / 2。
三、几何概型概率的应用举例几何概型概率在实际应用中有很多例子，下面举两个常见的例子：1.投针问题：在平面上随机投掷一根针，求针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率。
解答：假设针的长度为 1，投针点距离 x 轴正半轴的距离为 d，则根据三角函数的性质，有 d = 2 * sin(θ/2)。
因为针的长度为 1，所以投针点在以原点为圆心、半径为 1 的圆内。
因此，针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率为θ/2。
2.随机分割问题：将一个边长为 1 的正方形随机分割成两个三角形，求分割后两个三角形的面积比值小于等于 k 的概率。
解答：假设分割线段的长度为 x，其中一个三角形的面积为 S1 = (1-x)^2/2，另一个三角形的面积为 S2 = x^2/2。
因此，S1/S2 = (1-x)^2 / x^2 = (1-2x+x^2) / x^2 = 1 - 2x/x^2 + x^2/x^2 = 1 - 2/x + 1/x^2。
要求S1/S2 <= k，即 1 - 2/x + 1/x^2 <= k，解得 x >= 2/sqrt(k) 或x <= -2/sqrt(k)。
2019版高考数学一轮复习第10章概率10.3几何概型课件文
4π 81－4π 1
8
A.81 B. 81 C.27 D.27
解析 由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正 方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率 为 P＝1333＝217.故选 C.
典例2 已知正三棱锥 S－ABC 的底面边长为 4，高
为
3，则在正三棱锥内任取一点 7
P，则点
解析 ∵|z|≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，表示以 M(1,0)为圆心，1 为半径的圆及其内部，该圆的面积为 π.易知直线 y＝x 与圆 (x－1)2＋y2＝1 相交于 O(0,0)，A(1,1)两点，如图： ∵∠OMA＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12. 故所求的概率 P＝SS⊙阴M影＝π4－π 12＝14－21π.故选 B.
构成事件A的区域长度面积或体积
P(A)＝_试__验__的__全__部__结_果__所__构__成__的__区__域__长__度__面__积__或__体__积__ .
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有 关．( × ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几 何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相 等．( √ ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、 立体图形．( √ )
2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以 角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代 替，这是两种不同的度量手段．见冲关针对训练 2.
冲关针对训练
1．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和
绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该
2019届高考数学一轮复习第九章概率第三节几何概型课件
高考·导航
C
目 录
ONTENTS
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业
高考· 导航
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义．
主干知识 自主排查
几何概型 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度 (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模
4π 解析：由题意知球的半径为1，其体积为V球＝ ，正方体的体 3 积为V正方体＝23＝8， 4π 3 π 则这一点不在球内的概率P＝1－ ＝1－ . 8 6
易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果 的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数 是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
答案：C
4．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30° 角的终边 上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为 ________．
解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所 60° 1 以OA落在∠yOT内的概率为 ＝ . 360° 6
1 答案： 6
思维升华
1．与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直 接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的 大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替， 这是两种不同的度量手段．
题组练通
1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫 升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( A．0.008 C．0.002 B．0.004 D．0.005 )
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果 有无限个，属于几何概型，设取出2毫升水样有大肠杆菌为事 件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的 2 区域体积是400毫升，则P(A)＝ ＝0.005. 400 答案：D
2019版高考数学总复习第九章概率9.3几何概型课件文
[自主练透型]
1．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是 AB 的中 点，一只蝴蝶在几何体 ADF－BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体 F －AMCD 内的概率为( )
A.34 B.23 11
C.3 D.2
解析：因为 VF－AMCD＝13×SAMCD×DF＝14a3，VADF－BCE＝12a3，所 以它飞入几何体 F－AMCD 内的概率为1412aa33＝12.
解析：由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则 D＝[－2,3]，则所 求概率为35－－－－24＝59.
答案：59
2．(2018·辽宁大连双基检测)在区间[0，π]上随机地取一个数 x，
则事件“sinx≤12”发生的概率为( )
3
2
1
1
A.4
B.3 C.2
D.3
解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x∈0，6π∪56π，π时， sinx≤12，所以所求概率为π6－0＋ππ－56π＝13，故选 D.
＝1－12×
55a×2 2a2
5
5a＝190.
答案：190
悟·技法 与体积有关的几何概型 对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计 算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.
考向三 与面积有关的几何概型
[分层深化型] [例] (1)(2017·新课标全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形 来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关 于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自 黑色部分的概率是( B )
答案：D
2．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1， D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合)，且 EH∥A1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1 相交，交点分别为 F，G.设 AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E ＝2B1F.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 内随机选取一点，则该点取自于 几何体 A1ABFE－D1DCGH 内的概率为________．
2019届高考数学一轮复习 第十章 概率 10-3 几何概型课件 文
[解析] (1)由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则 D＝[－2,3]， 则所求概率为35－－－－24＝59.
(2)由直线 kx－y＝0 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交可知，圆心(5,0) 到直线 kx－y＝0 的距离小于半径 3，即 1|5＋k|k2<3，整理并解得－
34<k<34.又 k∈[－1,1]，所以由几何概型概率公式可知，所求概率为 3
P＝22＝34.
[答案]
5 (1)9
3 (2)4
求解与长度有关的几何概型的两点注意 (1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面 积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示 的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示 所确定的线段的长度．
1
＝12，所以点 P 恰好落在第二象限的概率为SS△△AAOBCD＝29＝29.
[答案]
2 9
4
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 与长度有关的几何概型——偶考点 (1)(2017·江苏)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为
D.在区间[－4,5]上随机取一个数 x，则 x∈D 的概率是__________． (2)(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直
[温馨提示] (1)几何概型与古典概型的区别与联系 ①共同点：基本事件都是等可能的． ②不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基 本事件的个数是有限的．基本事件可以抽象为点，对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据等 可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该 区域的位置和形状无关．
2019届高考数学(北师大版文)大一轮复习讲义第十一章 概率 第3讲 几何概型.3 Word版含答案
§ 几何概型．几何概型向平面上有限区域(集合)内随机地投掷点，若点落在子区域的概率与的面积成正比，而与的形状、位置无关，即(点落在)＝，则称这种模型为几何概型．比．之长度之比或体积．几何概型中的也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是可以估计随机事件发生的概率．模拟方法．借助题组一 思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)()几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)()在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)()随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)()与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)()从区间[]内任取一个数，取到的概率是＝.(×)题组二 教材改编．在线段[]上任投一点，则此点坐标小于的概率为()． 答案解析坐标小于的区间为[)，长度为，[]的区间长度为，故所求概率为.．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案解析∵()＝，()＝，()＝，()＝，∴()>()＝()>()．．设不等式组(\\(≤≤，≤≤))表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是()答案解析如图所示，正方形及其内部为不等式组表示的平面区域，且区域的面积为，而阴影部分表示的是区域内到坐标原点的距离大于的区域．易知该阴影部分的面积为－π.因此满足条件的概率是，故选.题组三易错自纠．在区间[－]上随机地取一个数，若满足≤的概率为，则＝.答案解析由≤，得－≤≤.当<≤时，由题意得＝，解得＝，矛盾，舍去．当<<时，由题意得＝，解得＝.．在△中，∠＝°，过直角顶点作射线交线段于点，则>的概率为．答案解析设事件为“作射线，使>”．在上取点′使′＝，因为△′是等腰三角形，所以∠′＝＝°，。
几何概型 2019高考绝密资料
几何概型主标题：几何概型副标题：为学生详细的分析几何概型的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：几何概型，几何概型公式难度：2重要程度：4考点剖析：1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义.命题方向：以选择题或填空题形式考查几何概型，可与二元一次不等式组所表示的平面区域、定积分、向量等知识交汇考查基本概念，基本运算、难度中等.规律总结：1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．知识梳理几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．(3)公式：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：导数，极值，最值，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2.(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)．令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0，∴x >ln 2或x <0.令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2.因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)；递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．(2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )．∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立．∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立．由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号．因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．考点二 利用导数研究函数的极值【例2】 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．审题路线 (1)由f ′(1)＝0⇒求a 的值．(2)确定函数定义域⇒对f (x )求导，并求f ′(x )＝0⇒判断根左，右f ′(x )的符号⇒确定极值．解 (1)由f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，∴f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，∴该切线斜率为0，即f ′(1)＝0.从而a －12＋32＝0，∴a ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，∴f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，f (x )无极大值．【备考策略】 (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．考点三 利用导数求函数的最值【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．审题路线 (1)⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16⇒a ，b 的值； (2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16.化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表： x－3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x )＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 9＋c 极大值 极小值 －9＋c由表知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。
2019年高考数学考点突破——概率：几何概型
几何概型【考点梳理】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.【考点突破】考点一、与长度(角度)有关的几何概型【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45(2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．[答案] (1) C (2) 13[解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2<x <10，故所求概率P ＝10－212＝23. (2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧D 'B 交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′. 依题意，点P ′在D 'B 上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在C ''B 上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝C Dl l ''B 'B ＝π6·1π2·1＝13.【类题通法】1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34[答案] B[解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM <AC 的概率为________．[答案] 34[解析] 过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM <AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.考点二、与面积有关的几何概型【例2】如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )A ．117B ．217C ．317D ．417[答案] B[解析] ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217.【例3】在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．14 [答案] C[解析] 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.∵a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P＝1－12×1×121×1＝34.【类题通法】1．与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 【对点训练】1．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1 B ．1π C ．1－1πD ．2π[答案] A[解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1.2．从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2mn[答案] C[解析] 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知P ＝S 扇形S 正方形＝14πR2R ＝π4，又P ＝m n ，所以π4＝m n ，故π＝4mn.考点三、与体积有关的几何概型【例4】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.[答案] 16[解析] 因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为V A －A 1BDV 长方体＝16. 【例5】有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．13B ．23C ．34D ．14 [答案] B[解析] 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1， 由几何概型，得P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13. 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23.【类题通法】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．【对点训练】1．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A ．18B ．16C ．127D ．38 [答案] C[解析] 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.2．在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6[答案] B[解析] 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π2＝1－π12.。
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几何概型
【考点梳理】
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式
P (A )＝
构成事件A 的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
.
【考点突破】
考点一、与长度(角度)有关的几何概型
【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，
CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )
A ．16
B ．13
C ．23
D ．45
(2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．
[答案] (1) C (2) 1
3
[解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2<x <10，故所求概率P ＝
10－212＝2
3
. (2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧D 'B 交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′. 依题意，点P ′在D 'B 上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点
P ′在C ''B 上发生”．
又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π
6
.
故所求事件的概率P ＝
C D
l l ''B 'B ＝π6·1π2
·1＝13
.
【类题通法】
1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．
2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】
1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A ．1
3 B ．12 C ．23 D ．34
[答案] B
[解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1
2
.故选
B.
2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与
AB 交于点M ，则AM <AC 的概率为________．
[答案] 3
4
[解析] 过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，
AM <AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝
67.5°90°＝3
4
.
考点二、与面积有关的几何概型
【例2】如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )
A ．117
B ．217
C ．317
D ．4
17
[答案] B
[解析] ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝2
17
.
【例3】在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 2
无零点的概率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．14 [答案] C
[解析] 要使该函数无零点，只需a 2
－4b 2
<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.∵a ，b ∈[0，1]，a
＋2b >0，∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪
⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P
＝1－12×1×1
21×1＝34
.
【类题通法】
1．与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.
2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 【对点训练】
1．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )
A ．4
π－1 B ．1π C ．1－1
π
D ．
2π
[答案] A
[解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2
－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝
4－π，又因为圆的面积等于π×12
＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π
－1.
2．从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到
的圆周率π的近似值为( )
A ．4n m
B ．2n m
C ．4m n
D ．2m n
[答案] C
[解析] 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知P ＝S 扇形S 正方形＝14πR
2R 2＝π4，又P ＝m n ，所以π4＝m n ，故π＝4m
n
.
考点三、与体积有关的几何概型
【例4】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为
________.
[答案] 1
6
[解析] 因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝1
6V 长方体，故所求概率为V A －A 1BD
V 长方体
＝
1
6
. 【例5】有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A ．13
B ．23
C ．34
D ．14 [答案] B
[解析] 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1， 由几何概型，得P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13
π×12×2＝1
3.
故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝2
3.
【类题通法】
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解． 【对点训练】
1．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A ．18
B ．16
C ．127
D ．38 [答案] C
[解析] 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127
.
2．在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A ．π12
B ．1－π
12
C ．π6
D ．1－π6
[答案] B
[解析] 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .
则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13
×12＝23π.
∴P (A )＝23
－23π
23
＝1－π
12.。