平面向量的加减法

(2)平行四边形法则： 已知两个不共线向量a，b，作 OA ＝a OB ＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则以O为 起点 的对角线 OC 就是a与b的和，如图．这种作两个向量 和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝ 0 ＋ a ＝a .
二、向量加法的运算律 问题1：数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？
例题讲解
[例 2] 如图所示，O 是四边形 ABCD 内任一点，试根据图中 给出的向量，确定 a、b、c、d 的方向(用箭头表示)，使 a＋b ＝ BA ，c－d＝ DC ，并画出 b－c 和 a＋d.
[精解详析] 因为 a＋b＝ BA ，c－d＝ DC ， 所以 a＝ OA ，b＝ BO ，c＝ OC ，d＝ OD ；如图所示，作
例题讲解
[例 3] 已知任意四边形 ABCD，E 是 AD 的中点，F 是 BC 的中点，求证： AB － EF ＝ EF － DC ，
[精解详析] 如图， 在四边形 CDEF 中， EF ＋ FC ＋ DC ＋ DE ＝0， ∴ EF － DC ＝ CF ＋ ED ， 在四边形 ABFE 中， AB ＋ BF ＋ FE ＋ EA ＝0，
量相当于加上这个向量的 相反向量
．
(2)几何意义：以O为起点，作向量 OA ＝
a， OB ＝b，则 BA ＝a－b，如图所示，即a－b可表示从
向量b的终点
指向 向量a的终点
的向量．
深化理解
1．向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算， 可以相互转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反 向量．
2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法 则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，
解析：a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ＝－f； b＋c＝ BC ＋ CD ＝ BD ＝－e； c－d＝ CD － AD ＝ DA － DC ＝ CA ＝f； a＋b＋c－d＝ AB ＋ BC ＋ CD － AD ＝ AD － AD ＝0.
答案：－f －e f 0
3．化简：( AB ＋ PC )＋( BA － QC )． 解：法一：原式＝( AB ＋ BA )＋( PC ＋CQ )＝0＋ PQ ＝ PQ . 法二：原式＝ AB ＋ PC ＋ BA － QC ＝( OB － OA )＋( OC － OP )＋( OA － OB )－( OC － OQ ) ＝OQ － OP ＝ PQ .
解：1 PB ＋ OP ＋ OB ＝( OP ＋ PB )＋ OB ＝ OB ＋ BO ＝0. 2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM ＝ AB ＋ BO ＋ OM ＋ MB ＝ AO ＋ OB ＝ AB .
例题讲解
[例 3] 船在静水中的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船 行进的方向．
跟踪练习
1．正方形 ABCD 的边长为 1，则| AB ＋ AD |为
A．1
B. 2
C．3
D．2 2
解析：正方形 ABCD 中， AB ＋ AD ＝ AC
∴| AB ＋ AD |＝| AC |＝ 2.
答案：B
()
2．化简下列各式： (1) PB + OP ＋ OB 2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM
AC ＝ AB ＋ BC (三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平 行四边形法则时应注意两向量起点相同．
(4)三角形法则可以推广为多边形法则，即对于几个向量， 有 A0 A1 A1A2 A2 A3 An1An A0 An ，这可以称为向量加法 的多边形法则．
平行四边形 OBEC，平行四边形 ODFA，根据平行四边形法则 可得：b－c＝ EO ，a＋d＝ OF .
跟踪练习
1．如图，已知正方形 ABCD 的边长等于 1， AB ＝a， BC ＝b， AC ＝c，试作以下 向量并分别求模． (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
解：(1)如图，由已知得：a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ，又 AC ＝c， 延长AC到E， 使| CE |＝| AC |. 则a＋b＋c＝ AE ，且| AE |＝2 2. (2)作 BF ＝ AC ，连接CF， 则D、C、F共线， 则 DB ＋ BF ＝ DF ， 而 DB ＝ AB － AD ＝a－ BC ＝a－b， ∴a－b＋c＝ DB ＋ BF ＝ DF 且| DF |＝2.
答案：4 km/h
2．如图，一架飞机从 A 地按北偏西 30°的方向飞行 300 km 后 到达 B 地， 然后向 C 地飞行．已知 C 地在 A 地北偏 东 60°的方向处，且 A，C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方 向及 B、C 两地的距离．
解：根据题意可知∠BAC＝90°，| AB |＝| AC |＝300 km，则可得 | BC |＝300 2 km. 又由于∠ABC＝45°，A 地在 B 地东偏南 60°的方向处，可知 C 地在 B 地东偏南 15°的方向处． 即飞机从 B 地向 C 地飞行的方向是东偏南 15°，B、C 两地的距 离为 300 2 km.
，b＝ ，仍是零向量
a
(－a)＋a
－b
－a
0
向量减法的定义和法则
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？ 提示：是零向量． 问题2：根据向量加法，如何求作a－b? 提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法则进行．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向
跟踪练习
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
B． AC
C． DA
D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
答案：C
()
2．如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____， a＋b＋c－d＝____.
法二：如图 2 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝a， OB ＝b，OC ＝c，以 OA、OB 为邻边作▱OADB，连接 OD，则 OD ＝ OA ＋ OB ＝a＋b.
再以 OD、OC 为邻边作▱ODEC，连接 OE，则 OE ＝ OD ＋ OC ＝a＋b＋c 即为所 求．
跟踪练习
2．在向量加法的三角形法则中，可得|a|＋|b|≥|a＋b|.其 中，“＝”在有一者为零向量或两个向量共线且方向相同时取 得．
例题讲解
[例1] 如图所示， 已知向量a，b，c试作出向量a＋b＋c. [精解详析] 法一：如图 1 所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝ a，再作向量 AB ＝b，则得向量 OB ＝a＋b； 然后作向量 BC ＝c，则向量 OC ＝(a＋b)＋c ＝a＋b＋c 即为所求．
问题4：在问题3中，物体为什么没沿水平或垂直方向运动？ 提示：力的合力不在这两个方向上．
一、向量加法的定义和法则
1．向量加法的定义
求
的运算，叫做向量的加法．
2．求向量和两的个方向法量和
(1)三角形法则： 已知非零向量a、b，在平面上任取一点A，
作 AB ＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做a与 b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角 形法则．
1．如图，已知平行向量 a、b，求作 a＋b.
解：作 OA ＝a，AB ＝b，则 OB ＝a＋b 就是求作的向量．
2．小船向正东方向行驶了 10 km，又沿北偏东 30°方向行驶 了 15 km，作出小船两次的合位移．
解：用 AB 表示向正东行驶 10 km 的位移， BC 表示沿北偏东 30°方向行驶了 15 km
法二：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝ AB ＋ DC － AC － DB ＝( AB － AC )＋( DC － DB )＝ CB ＋ BC ＝0. 法三：( AB － CD )－( AC － BD )＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA )－( OD － OC )－( OC － OA )＋( OD － OB ) ＝ OB － OA － OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
||＝1200＝12，
∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成 120°的角．
故船行进的方向与水流的方向成 120°的角．
跟踪练习
1．一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水 流的原因，船的实际航行速度的大小为 4 5 km/h，则水流 速度的大小为________．
解析：由题意可知，水流速度的大小为 4 52－82＝ 4 (km/h)．
2.2.2 平面向量的减法
新课讲解
问题1：一个数a的相反数是什么？ 提示：－a. 问题2：一个向量有相反向量吗？ 提示：有，向量a的相反向量是－a.
相反向量
与a
的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零长向度量相的等相பைடு நூலகம்反方向向量相反
；
(2)－(－a)＝ ；
(3)a＋(－a)＝
＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝ a＋b＝ .
的位移，则 AC 表示小船两次的合位移(如 图)．
例题讲解
[例 2] 化简或计算： (1) CD ＋ BC ＋ AB ； (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA .
[精解详析] (1) CD ＋ BC ＋ AB ＝( AB ＋ BC )＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD . (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA ＝( AB ＋ BC )＋( CD ＋ DF )＋ FA ＝ AC ＋ CF ＋ FA ＝ AF ＋ FA ＝0.
和向量是起点与它们的起点重合的那条 对角线所对应的向量( AC )，而差向量是 另一条对角线所对应的向量( DB )，方向是从减向量的终点指 向被减向量的终点；用三角形法则时，把减向量与被减向量的 起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终 点．
例题讲解
[例 1] 化简：( AB － CD )－( AC － BD )． [精解详析] 法一：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝ AB ＋ DC ＋ CA ＋ BD ＝( AB ＋ BD )＋( DC ＋ CA ) ＝ AD ＋ DA ＝0.
提示：满足． 问题2：你能验证向量也满足结合律吗？
提示：如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(1)向量加法的交换律：a＋b＝
；
(2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝
.
b＋a a＋(b＋c)
深化理解
1．对两种求向量和的方法的理解． (1)两个法则的使用条件不同． 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法 则只适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示： AC = AB ＋ AD （平行四边形法则，
平面向量的加减法
2.2.1 平面向量的加法
新课讲解
问题1：向量能进行运算吗？请举例说明． 提示：能，如力的合成． 问题2：如果两个力F1，F2作用于同一个物体上，当物体静止时，说明了什么？ 提示：F1＋F2＝0.
问题3：做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗？在竖直方向上有速度吗？ 提示：有．
[精解详析] 作 AB ＝υ 水，AD ＝υ 船，以 AB ，AD 为 邻边作▱ABCD，
则 AC＝υ 实际，如图 由题意可知∠CAB＝90°，在 Rt△ABC 中，
| AB |＝|υ 水|＝10 m/min，
| BC |＝| AD |＝|υ 船|＝20 m/min，
∴cos
∠ABC＝| |
AB BC
2．如图所示，O 为△ABC 内一点， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c.求作 b＋c－a. 解：法一：如图①以 OB 、OC 为邻边作▱OBDC，连接 OD、AD， 则 OD ＝ OB ＋ OC ＝b＋c， AD ＝ OD － OA ＝b ＋c－a. 法二：如图②作 CD ＝ OB ＝b，连接 AD，则 AC ＝ OC － OA ＝ c－a， AD ＝ AC ＋ AC ＝c－a＋b＝b＋c－a.