第3章数值分析曲线拟合

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数值分析Ch3函数逼近与曲线拟合

与正交，权函数等概念。
正交，这就需要引进范数与赋范线性空间，内积
3．1 函数逼近的基本概念
• 定义设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元素 x1 , x2 , , xn S ，若存在不全为零的数 1 , 2 , , n P ，使得 1 x1 2 x2 n xn 0 则称 x1 , x2 , , xn 线性相关，否则，若仅对
数值分析
Computational Method
Chapter 3 函数逼近
第三章函数逼近与曲线拟合设函数 y f x 的离散数据（有误差）为
x y
，
x0 y0
x1 y1
x2 y2

xn yn
希望找到简单函数 Px 整体上有是某度量， 0 是指定精度。
f x Px
1 x1
2 x2 x 2 , 1 1 1 , 1 x , x , 3 2 2 3 x3 3 1 1 2 , 2 1 , 1
xn , 1 xn , 2 xn , n1 1 2 n1 n xn 1 , 1 2 , 2 n1 , n1 k 1 xk , i i ( k 1,2,, n) 简写为: k x xk i 1 i , i
，
x

2
。
（连续） f x Ca, b
b
常见范数：
f x 1 f x dx • 1范数： a ，
• 2-范数：
f x 2
2 f x dx a b
1 2
f x max f x • 范数：， a ,b

数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。

设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。

都对应于 xy 平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。

显然Nm 时，参数不能确定。

在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

3.4 离散数据的曲线拟合——数值分析课件PPT

4
(P0 , P0 ) i P02 (xi ) 5 i0
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
由此得从而有
4
(P1, P1) i P12 (xi ) 0.625 i0
aj j (x)存在唯一；
j0
(b) p *(x)
n
aj j (x)的系数
a
j
n 可由法方程组
j0
j0
(0 ,0 ) (1 ,0 )
(n ,0 )
(0 ,1 ) (0 ,n ) a0 ( f ,0 )
(1 ,1 )
(1
,n
)
a1
( f
,1
)
(n ,1 )
(n ,n )an
i1
m
xi
i 1
m
xi2
i 1
m
xi3
i 1
m
xi
2
m
yi
i1 m
xi
3
a0
a1
i 1
m
xi yi
i1 m
xi 4
a2
i1
i1
m
xi
2
yi
i1
例 3.4.1 用多项式拟合表3-4中的离散数据。
表3-4
i
1
2
3
45
xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96
(
f
,
n
)
或Ga
d

数值分析之曲线拟合

xi 强度 ¿ Ç È ¶ yi
5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
9
纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近
因此可以认为强度 y与拉伸倍数x的主要关系应是线性关系
8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y( x) 0 1 x
即
[ a ( x ) ( x ) f ( x )] 0
i 0 j 0 n j j i k i i k i
m
n
a ( x ) ( x ) f ( x )
i 0 j 0 j j i k i i 0 i k i
m
m
a ( x ) ( x ) f ( x )
定义2 设 ψn(x) 是[a,b]上首项系数 an≠0 的 n次多项式,ρ(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列满足关系式:
则称为多项式序列为在[a,b]上带权ρ(x)正交，称ψn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式。
只要给定区间[a,b]及权函数ρ(x), 均可由一族线性无关的幂函数 { 1 , x , … , xn , … } 利用逐个正交化手续(Gram-Schmidt正交化方法)：
j 0
n
* 2 称为最小二乘解的平方误差
在确定了拟合函数 S( x)后, 如何求拟合系数 a j ( j 0,1,, n)
使得S *( x ) a* j j ( x ) 满足拟合条件(3)呢？
j 0 n
2
三、法方程组
由
S ( x ) a j j ( x )

数值分析第3章函数逼近与曲线拟合)

在[a, b]上一致成立。
定理：设X为一个内积空间,u1,u2,…,un∈X,矩阵
(u1, u1) (u2 , u1)
G
(u1, u2
(u1, un
) )
(u2 , u2 )
(u2 , un )
(un , u1)
(un , u2 )
(un
, un
)
称为格拉姆矩阵,则G非奇异的充分必要条件是 u1,u2,…,un线性无关。
n1(x) (x an )n (x) n n1(x)
(n 0,1,...)
其中 0 (x) 1, －1(x) 0, n (xn (x),n (x)) /(n (x),n (x)), n (n (x),n (x)) /(n1(x),(n1(x))
(n 1,2,.....)
并且(
中找一个元素 * (x) 使 f (x) *(x) 在某种意义下
最小.
3、范数的定义
设S为线性空间,x∈S,若存在唯一实数 || || 满足条件：
(1)‖x‖≥0;当且仅当x＝0时,‖x‖＝0; (正定性)
(2)‖αx‖＝|α|‖x‖,α∈R; (齐次性)
(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x,y∈S. (三角不等式)
类较简单的便于计算的函数类B中，求函数 P(x) B , 使P(x)与f(x)
之差在某种度量意义下最小” . 函数类A通常是区间[a，b]上的连续函数，记作C[a，b]；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式．
2、函数空间数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予
集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
1 2n n!
dn dxn
{(

第三章(曲线拟合)

因为x0≠x1,所以a,b可唯一确定,且有
y1 y0 a x1 x0 y1 y0 b y0 x0 x1 x0
第4章插值法
代入式(4―3)得
y1 y0 P ( x1 x0 ) 1 ( x ) y0 x1 x0
《计算方法》
(4―4)
图 4.1
第4章插值法
A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x),见图
4.2。
第4章插值法
《计算方法》
图 4.2
第4章插值法
§3 代数多项式插值的存在唯一性
《计算方法》
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。对于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次的代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (4―9)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《计算方法》
(4―6) (4―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(4―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
第4章插值法
10 9
《计算方法》
§ 曲线拟合法
§ 数值微分
§
8
§ 7 牛顿前差和后差插值多项式
§ 6 牛顿均差插值多项式
§
5
§ 4 代数多项式的余项
§ 3 代数多项式插值的存在唯一性

数值计算3-插值和曲线拟合

数值计算．．．．．．．．．．．3．－．插值和曲线拟合插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。

在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。

当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。

用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。

寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。

φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。

函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。

在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。

根据测量数据的类型：1．测量值是准确的，没有误差。

2．测量值与真实值有误差。

这时对应地有两种处理观测数据方法：1．插值或曲线拟合。

2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。

MATLAB中提供了众多的数据处理命令。

有插值命令，有拟合命令，有查表命令。

一维插值插值定义为对数据点之间函数的估值方法，这些数据点是由某些集合给定。

当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具。

例如，当数据点是某些实验测量的结果或是过长的计算过程时，就有这种情况。

interp1(x,y,xi,method)x和y为既有数据的向量，其长度必须相同。

xi为要插值的数据点向量。

method插值方法,‘nearest’/‘linear’/‘cubic’/‘spline’之一，分别为最近点插值/线性插值/分段三次Hermite插值/三次样条插值。

例x=[1.0 2.0 3.0 4.0 5.0]; %输入变量数据xy=[11.2 16.5 20.4 26.3 30.5]; %输入变量数据yx1=2.55; %输入待插值点xy11=interp1(x,y,x1,'nearest') %最近点插值方法的插值结果y12=interp1(x,y,x1,'linear') %线性插值方法的插值结果y13=interp1(x,y,x1,'cubic') %三次Hermite插值方法的插值结果y14=interp1(x,y,x1,'spline') %样条插值方法的插值结果y11 =20.4000y12 =18.6450y13 =18.6028y14 =18.4874plot(x,y)或许最简单插值的例子是MATLAB的作图。

数值分析曲线拟合

第三章实验作业由物理实验得到下列一组数据：x i 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 y i 33.40 79.50 122.65 159.05 189.15 214.15 238.65 252.50 267.55 280.50 296.65 x i 6.5 7 7.5 8y i 301.65 310.40 318.15 325.15用抛物线2cx bx a y ++=做曲线拟合。

1.N-S 图;C语言程序：#include "stdio.h"#include "conio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 15//N个节点#define M 2//M次拟合#define K 2*Mvoid zhuyuan (int k,int n,float a[M+1][M+2]) {int t,i,j;float x,y;x=fabs(a[k][k]);t=k;for (i=k+1;i<=n;i++)if (fabs(a[i][k])>x){x=fabs(a[i][k]);t=i;}for (j=k;j<=n+1;j++){y=a[k][j];a[k][j]=a[t][j];a[t][j]=y;}}void xiaoyuan(int n,float a[M+1][M+2]){int k,i,j;for(i=0;i<n;i++){zhuyuan(i,n,a);for (j=i+1;j<=n;j++)for (k=i+1;k<=n+1;k++)a[j][k]=a[j][k]-a[j][i]*a[i][k]/a[i][i];}}void huidai(int n,float a[M+1][M+2],float x[M+1]) {int i,j;x[n]=a[n][n+1]/a[n][n];for (i=n-1;i>=0;i--){ x[i]=a[i][n+1];for (j=i+1;j<=n;j++)x[i]=x[i]-a[i][j]*x[j];x[i]=x[i]/a[i][i];}}void main(){float x_y[N][2],A[N][K+1],B[N][M+1],AA[K+1],BB[M+1],a[M+1][M+2],m[M+1]; int i,j,n;printf("请输入%d个已知点：\n",N);for(i=0;i<N;i++){printf("(x%d y%d):",i,i);scanf("%f %f",&x_y[i][0],&x_y[i][1]);}for(i=0;i<N;i++){A[i][0]=1;for(j=1;j<=K;j++)A[i][j]=A[i][j-1]*x_y[i][0];for(j=0;j<=M;j++)B[i][j]=A[i][j]*x_y[i][1];}for(j=0;j<=K;j++)for(AA[j]=0,i=0;i<N;i++)AA[j]+=A[i][j];for(j=0;j<=M;j++)for(BB[j]=0,i=0;i<N;i++)BB[j]+=B[i][j];for(i=0;i<M+1;i++){a[i][M+1]=BB[i];for(j=0;j<=M;j++)a[i][j]=AA[i+j];}n=M;xiaoyuan(n,a);huidai(n,a,m);printf("拟合曲线方程为:\ny(x)=%g",m[0]);for(i=1;i<=n;i++){printf(" + %g",m[i]);for(j=0;j<i;j++){printf("*X");}}}C语言结果：组员：李遨蔚，杨切，肖天，蒋智慧，陈前广，王爽。

数值分析法--曲线拟合法、插值建模法

数值分析法相关知识在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y 间的函数关系()y f x =有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。

当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数()y x ϕ=，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数()y x ϕ=有很多方法。

根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。

（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。

（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。

曲线拟合法已知离散点上的数据集1122{(,),(,),,(,)}n n x y x y x y ，即已知在点集12{,,,}n x x x 上的函数值12{,,,}n y y y ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使()f x 在原离散点i x 上尽可能接近给定的i y 值，这一过程称为曲线拟合。

曲线拟合的一般步骤是先根据实验数据，结合相关定律，将要寻求的最恰当的拟合曲线方程形式预测出来，再用其他的数学方法确定经验公式中的参数。

对于事先给定的一组数据，确定经验公式一般可分为三步进行：(1)、确定经验公式的形式：根据系统和测定的数据的特点，并参照已知图形的特点确定经验公式的形式。

（2）、确定经验公式中的待定系数：计算待定系数的方法有许多常用的法有图示法、均值法、差分法、最小二乘法、插值法等。

（3）、检验：求出经验公式后，还要将测定的数据与用经验公式求出的理论数据作比较，验证经验公式的正确性，必要时还要修正经验公式。

关于确定经验公式的形式，可从以下几个方面入手：（1）、利用已知的结论确定经验公式形式，如由已知的胡克定律可以确定在一定条件下，弹性体的应变与应力呈线性关系等。

（2）、从分析实验数据的特点入手，将之与已知形式的函数图形相对照，确定经验公式的形式。

数值分析实验报告--实验3--函数逼近与曲线拟合

数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合1曲线逼近方法的比较1.1问题描述曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。

考虑实验2.1中的著名问题。

下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。

x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);hold on;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);hold off;实验要求：(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。

(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。

1.2算法设计对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用Matlab的polyfit函数，可以根据需要选用不同的拟合次数。

然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。

本实验的算法比较简单，此处不再详述，可以参见给出的Matlab脚本文件。

1.3实验结果1.3.1多项式拟合1.3.1.1多项式拟合函数polyfit和拟合次数N的关系1 / 13首先使用polyfit函数对f(x)进行拟合。

为了便于和实验2.1相比较，这里采取相同的参数，即将拟合区间[-1,1]等分为10段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。

分别画出拟合多项式的次数N=2、3、4、6、8、10时，f(x)和多项式函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment3_1_1.m。

Figure 1 多项式拟合与拟合次数N的关系可以看出，拟合次数N=2和3时，拟合效果很差。

增大拟合次数，N=4、6、8时，拟合效果有明显提高，但是N太大时，在区间两端附近会出现和高次拉格朗日插值函数类似的龙格现象。

第3章数值分析曲线拟合

3.1函数逼近
一、问题的提出: (1)函数关系有明确表达式,但比较复杂,不易计算,需要简单表达式; (2)函数关系是通过实验、观察得出的数据给出,只能得出区间上离
散点对应的函数值,要得到区间上整体表达式.
二、问题的解决 (1)函数逼近
f (x) A c[a,b],求p(x) B(n次多项式),使得min{ f (x), p(x)}
P74定义7.哈尔条件
13
非线性模型举例
1 线性 x x0 x1 y y0 y1

xn
设拟合曲线

yn
y c0 c1x
0 ( x)1
1( x)x
(
i
n 0
1)

c0
n
(
i0
xi ) c1

n i0
yi
(
i
n 0
1
xi
)

c0
xi2 1) c2
n
yi
i0
i0
i0
i0
n
n
( 1 xi ) c0 (
n
xi xi ) c1 (
xi2 xi ) c2
n
(xi yi )
i0
i0
i0
i0
n
(
n
1 xi2 ) c0 (
x1

xn
y a bx5
有Y a bX
x 与y具有线性关系 y1 yn 令Y Y ,X x5 5
x05 x15 xn5
y0 y1 yn
16
练习:观察物体直线运动,得以下数据
时间t 0 0.9 1.9 3 3.9 5

数值分析ppt第3章_函数逼近与曲线拟合

则称(u, v) 为X上u与v的内积，对应了内积的线性空间称为内积空间. 定义中(1)当K为实数域R时为 (u, v)＝(v, u) .
上页下页
如果(u, v)=0，则称u与v正交(记为u⊥v)，这是向量相互垂直概念的推广. 关于内积空间有以下重要定理. 定理2 设X为一个内积空间,对任意u, v∈X有如下不等式成立
上页下页
如果x, y∈ Cn，带权内积定义为
( x , y ) i xi yi
i 1பைடு நூலகம்
n
(14)
这里{ωi}仍为正实数序列. 在C[a, b]上也可以类是定义带权内积，为此先给出权函数定义.
上页
下页
定义4 设[a, b]是有限或无限区间，在[a, b]上的非负函数ρ(x)满足条件：
( u, v ) ( u, u)( v , v ).
它称为柯西－施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.
2
上页
下页
证明当v=0时,显然成立. 设v≠0，则 (v, v)>0,
且对任何数t 有(这里设为实空间)
0 ( u tv, u tv) ( u, u) 2t ( u, v ) t (v , v ).
上页
下页
3.1.3 内积与内积空间
在线性代数中，Rn上的两个向量 x＝(x1,x2,…,xn)T
与y＝(y1,y2,…,yn)T的内积定义为
(x, y)= x1 y1 +x2 y2 +…+xn yn. 若将它推广到一般的线性空间X，则有下面的定义.
上页
下页
定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对任意u,v∈X，有K中一个数与之对应，记为(u, v)，它满足以下条件：

数值分析曲线拟合与线性最小二乘问题PPT学习教案

对y ，Rn 令y z
Ay b 22
A( z) b 2 2
(x, x) x 2 2
A b 2 Az 2 2( Az)T ( A b)
2
2
A b 2 Az 2 2zT AT ( A b)
2
2
A b 2 2
Az
2 2
A b 2 2
第15页/共75页
必要性设 [1,2 ,是方,程n ]组T 的最小二乘解
第13页/共75页
, Fgn ]
又r rank( A) rank(FG) rank(G)
rank(G) r.
(满秩分解)
❖对任何秩为 r 的矩阵，存在排列阵P ，使得 AP 的前列 r 线性无关，从而由知 AP F1G1
其中：F1 Rmr , G1 Rrn , rank(F1) rank(G1) r
证明：
解
法方程组可写成：GT F T FGx GT F T b
可以验证 x GT (GGT )1(F T F )1 F T b
是法方程组的一个解，故是原方程组的一个最小二乘解
第17页/共75页
推论7.1.2 若 rankA ，r则方n程组
Ax b
有无穷多个最小二乘解。
Def 2 方程组 Ax b 的所有最小二乘解中2-范数最小
令 y 1 a bx c 1
y
x
a b1 其中 a ;b ;c
c cc
y a bx c 1 x
1( x) 1;
2(x)
x;
3(x)
1 x
第11页/共75页
三、最小二乘问题解的存在性、唯一性
Def 1 设 A R，m若n 存在 x 精R确n地满足
Ax b ，则称该方程组是相容的 Th7.1.1方程组。Ax b相容的充要条件

数值分析函数逼近与曲线拟合

y
f (x)
P1 ( x)
E1
a
x2
bx
最佳一次逼近多项式例题1(继续)
最佳一次逼近多项式例题2(返回)
切比雪夫定理图示(定理)
E2
P2 (x) f (x)
E3
E4
P4 (x) f (x)
P3 (x) f (x)
最佳平方逼近问题(返回)
法方程的建立(特例)
C[0,1]上的最佳平方逼近(例题)
C[0,1]上的最佳平方逼近例题(返回)
用正交函数做最佳平方逼近(返回)
最佳平方逼近多项式(例题)
最佳平方逼近多项式例题(返回)
线性模型例题(返回)
线性模型图例(返回)
指数模型例题(返回)
指数模型图例(返回)
双曲模型图例(返回)
S-曲线模型图例(返回)
§3.6最佳平方三角逼近与FFT(返回)
§3.2 正交多项式(返回)
正交函数族与正交多项式正交多项式的性质勒让德(Legendre)多项式切比雪夫(Chebyshev)多项式其他正交多项式
§3.3 最佳一致逼近多项式(返回)
偏差与偏差点最佳一致逼近多项式切比雪夫定理最佳一致逼近多项式的构造最佳一次逼近多项式
T0
T0
T3
T2 T3
TT11
T2
偏差与偏差点(返回)
最佳一致逼近多项式(返回)
切比雪夫定理(返回)
最佳一致逼近多项式的构造(例题)
切比雪夫多项式与零的偏差(定理)
最佳一致逼近例题(继续)
最佳一致逼近例题(返回)
最佳一次逼近多项式(例题)
最佳一次逼近多项式图示(返回)
哈尔(Haar)条件(法方程)

数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告

数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告篇一：数值分析设计曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi??i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y?F?x?。

由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点xi上误差而只要求所在所有给定点xi上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。

若记????0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。

2T 作为误差度量的标准。

F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。

如果F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。

最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。

这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。

线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。

用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式。

这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。

为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的? 22 都考虑为加权平方和22 ? ????xi???S?xi??f?xi??? i?0 m 2 这里??xi??0是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。

?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。

数值分析拟合实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析方法对一组已知数据点进行拟合，掌握线性插值、多项式插值、样条插值等方法的基本原理和实现过程，并学会使用MATLAB进行数值拟合。

二、实验内容1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，适用于数据点分布较为均匀的情况。

其基本原理是通过两个相邻的数据点，利用线性关系拟合出一条直线，然后通过该直线来估算未知的值。

2. 多项式插值多项式插值是一种较为精确的插值方法，通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。

其基本原理是利用最小二乘法求解多项式的系数，使得多项式在已知数据点上的误差最小。

3. 样条插值样条插值是一种更灵活的插值方法，通过构造一系列样条曲线来逼近已知数据点。

其基本原理是利用最小二乘法求解样条曲线的系数，使得样条曲线在已知数据点上的误差最小。

三、实验步骤1. 线性插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`linspace`生成插值点：xi = linspace(1, 5, 100);（3）使用MATLAB内置函数`interp1`进行线性插值：yi = interp1(x, y, xi, 'linear');（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');2. 多项式插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`polyfit`求解多项式系数：p = polyfit(x, y, 3);（3）使用MATLAB内置函数`polyval`进行多项式插值：yi = polyval(p, xi);（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');3. 样条插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`spline`进行样条插值：yi = spline(x, y, xi);（3）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');四、实验结果与分析1. 线性插值线性插值方法简单易行，但精度较低，适用于数据点分布较为均匀的情况。

数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

6。对，定义问它们是否构成内积。解：令（C为常数，且）则而这与当且仅当时，矛盾不能构成上的内积。若，则 ,则若，则 ,且即当且仅当时，. 故可以构成上的内积。 7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。解：若，则令，则，且，故又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且是在上带权的正交多项式。又 8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式解：若，则区间上内积为定义，则其中 9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权的正交多项式。证明：若令，可得当时，当时，又，故得证。 10。证明切比雪夫多项式满足微分方程证明：
若且，则则法方程组为解得故关于的最佳平方逼近多项式为 17。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式：解：若且，则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且，则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且，则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且则有则法方程组为从而解得故关于最佳平方逼近多项式为 18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。解：按勒让德多项式展开则从而的三次最佳平方逼近多项式为 19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
切比雪夫多项式为从而有得证。 11。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？解：在闭区间上连续存在，使取则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。由切比雪夫定理知 P为的零次最佳一致逼近多项式。 12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一？解：令则在上为奇函数又的最高次项系数为1，且为3次多项式。与0的偏差最小。从而有 13。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解：于是得的最佳一次逼近多项式为即误差限为 14。求在上的最佳一次逼近多项式。解：于是得的最佳一次逼近多项式为 15。求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。解：令，则且令，则若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足当时，多项式与零偏差最小，故进而，的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为 16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。解：

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