非线性耦合系统的变分迭代算法_何吉欢

参 考 文 献
1 D avenpor t A G. 风载和风效应. 国外高层建 筑抗风译文集. 上海: 上海科学技术文献出版社, 1979 2 Dav enpor t A G . Ho w ca n we simplify and g eneralize w ind lo ading? , J. Wind Eng. Indust. A ero dy n. , 1995,
u( x , t) = x 2f ( t )
( 13)
把( 13) 代入( 12) 式得
f ′( t ) + f 2 - 1 = 0, f ( 0) = 0
( 14)
解上述方程得
f ( t ) =
1-
2 1 + e2t
( 15)
于是我们得以下精确解
( 下转第 16 页)
16 振 动 与 冲 击 1999 年第 18 卷
远比平移小得多。这说明该体系中桩的竖向阻抗函数起了抵抗上部荷载产生的弯矩的主要作用。同 时也说明在上海这样的软土地基地区, 桩-土-超高层结构在风荷载的作用下, 桩的抗侧移能力不 强。故应当采取适当的技术措施以提高体系的抗侧移能力( 如采用埋置较深的箱形基础, 对上层土 进行加固处理等) 。
6 结 论
通过对上海某大厦在脉动风荷载作用下的响应分析可以得出如下的结论: ( 1) 由于考虑桩-土-结构相互作用, 体系的第一共振频率将降低, 但共振峰值会增加, 这一现 象与地震响应情形不同, 应当引起注意。 ( 2) 在脉动风荷载作用下, 由于地基会耗散部分振动能, 致使体系本身的弹性变形减少。但由 于地基的变形, 结构的总位移将会明显加大。 ( 3) 对于软土地基而言, 在超高层建筑受风荷载作用时其抗侧移能力不强, 即使是脉动风荷载 也能使基础产生较大的水平位移, 故应采取有效措施提高这种体系的抗侧移能力。 ( 4) 超高层建筑承受脉动风荷载作用时, 由风荷载引起的力矩几乎完全由桩的垂直阻抗承担。
在 t 方面上的校正泛函可表示为:
∫t
un+ 1 ( x , t ) = un( x , t) + 0
un ( ) - x 2 +
1 4
u~n ( ) 2 d
( 11)
式中非线性项作为限制变分量, 从而我们可以非常方便地识别拉氏乘子: = - 1 , 因此我们
可得以下 t 方向的变分迭代公式:
54/ 55: 657- 669 3 张相庭. 结构风压和风振计算. 上海: 同济大学出版社 , 1985 4 周 印, 顾 明, 项海帆. 高层建筑顺风向风荷载研究 . 第九届全国结构风效应学术会议论文集, 庐山, 1997 5 Jennings P C, Bielak J. Dy nam ics o f Building -So il Int eraction, Bulletin of the Seismolo gical Society of A meri-
上述系统 A domian[ 8] 曾用分裂算法分析过。
第 2 期 何吉欢: 非线性耦合系统的变分迭代算法 2 5
及 v 的校正泛函可分别写成:
∫ n+ 1( t) =
n( v n, t ) +
t 0
d n( d
)
24 振 动 与 冲 击 1999 年第 18 卷
我们用齐次方程的解作为初始近似:
由( 7) 式可得 y 0 = co s t
( 8)
∫ y 1( t ) = cos t +
1
t
sin (
- t ) { - A sin
can, 1973, 63( 1) : 9- 48 6 中华人民共和国国家标准, G BJ9- 87 建筑结构荷载规范, 北京: 计划出版社, 1990 7 陈 溶, 陈竹昌, 薛松涛, 栗田哲. 横观各向同性层状场地对入射 SH 波的响应分析, 上海力学, 1998, 19( 3)
( 上接第 25 页)
t 0
g2 V
-
g s in
g V
-
g3 3 3V 3
+
O( g / V) 3
d
∫ = V +
t
g s in
0
g V
-
g3 3 3V 3
+
O( g
/V) 3
d
∫ = V +
t 0
g
(
g V
-
g3 2V
3 3
)
+
O( g / V ) 3
d
= V +
V
+
g2 t2 2V
+
O( gt/ V ) 3
∫ 2( t ) =
gt V
-
t 0
g V
-
[V +
g g 2 2 / ( 2V ) +
O( g
/
V
)
3]
co
s(
g V
)
d
∫ =
t g[ 1 0 [V +
g2 g2
2 / ( 2V 2 ) + 2 / ( 2V ) +
2 He J H. V ar iational I tera tion M et hod for Dela y Differential Equat ions, Co mmunica tio ns in N inlinear Sciences & N umer ical Simulation. 1997, 2( 4) : 235- 236
对于线性方程, 应用( 2) 式, 一次迭代即可得到精确解。如
y ″+ y ( 0)
2y = A sin t + Bsint = 1, y ′( 0) = 0
( 3)
其校正泛函可表示成
∫t
y n+ 1( t ) = y n ( t) + { y ″ n ( ) + 2 y n( ) - A sin - B sin } d 0
参 考 文 献
1 He J H. A N ew A ppro ach to N onlinear P art ial Differ ential Equations, Co mmunicat ions in N o nlinear Sciences & N umer ical Simulation. 1997, 2( 4) : 230- 235
正泛函, 然后用变分理论最佳识别。这种方法对 初始近似不敏感, 也没有“小参数”的限制, 可广泛应用于 非线性振动问题。
关键词: 非线性, 变分迭代算法, 拉氏乘子 中图分类号: O24. 82, O 322
0 概 述
变分迭代算法可以非常有效地求解各类非线性问题, 详细请参考文献[ 1- 5] , 或作者其它的文
第 18 卷第 2 期
振 动 与 冲 击 JO U RN A L O F V IBRA T IO N A N D SHO CK
V ol. 18 N o. 2 1999
非线性耦合系统的变分迭代算法
何 吉 欢
( 上海大学 上海市应用数学和力学研究所 200072)
摘 要 本文提出了求解非线性 耦合系统的一种迭 代算法, 这种 方法是应用广义拉 氏乘子构造校
( 4)
令上述校正泛函取驻值, 注意到 y ( 0) = 0 , 我们可得以下驻值条件:
y n∶ ″( ) + 2 ( ) = 0
y ′ n∶ ( ) = t = 0
( 5)
y n∶1 - ′( ) = t = 0
拉氏乘子可方便地识别得
= 1 sin ( - t)
u( x , t) =
x2( 1 -
1
2 +
e2t
)
( 16)
1 非线性耦合系统的变分迭代算法
本文将考虑下面的非线性耦合系统:
d d
t
-
g v
cos
=
0
( 17)
dv dt
-
g s in
=
0
( 18)
初值条件为 ( 0) = 0 及 v( 0) = V 。
n( v n, t ) -
t 0
d n( d
)-
g vn(
) cos
n(
)
d
∫ vn+ 1 ( t) = vn ( vn+ 1, t ) -
t 0
dvn( d
)
-
gsin n+ 1 ( )
d
设初始近似为 0( t) = 0 及 v0( t) = V , 由上述迭代公式, 我们有:
∫ u2( x , t ) = x 2t -
t
x2 - x2 +
0
1 4
(
2x
)2
d
=
x2t -
1 3
x
2 t3
u3 ( x , t ) = x 2( t -
1 3
t3
+
125t 5)
上述结果和用 A domian 方法[ 8] 得到的结果完全一致。由上述各式, 我们可以设:
章。这种方法有别于一般的传统方法, 即没有“小参数”限制, 对于线性问题, 只需迭代一次即可得到
精确解, 而对于非线性问题, 由于拉氏乘子的近似识别, 需要不断迭代, 但其收敛速度很快, 并且总
能收敛于真解。如对于下面的非线性方程
L y ( x ) + N y ( x ) = 0
- B sin } d
0
=
cos
t-
A 2
tcos
t+
B 2-
1( sint +
sin
t)
( 9)
这就是精确解。而对于非线性方程, 由于拉氏乘子是近似识别的, 所以必须通过迭代得到近似
解, 如
u t
=
x2 -
1 4
(
u x
)
2
( 10)
u( x , 0) = 0
-
g
～
cos
~ n
(
)
v n( )
d
∫ vn+ 1 ( t) = vn ( vn+ 1, t ) +
t 0
d vn( d
)-
gs in~n+ 1(
)
d
式中上标‘～’表示限制变分量。
( 19a) ( 19b)
我们可以非常方便地识别拉氏乘子, 于是可得以下变分迭代公式:
∫ n+ 1( t) =
O O(
(g g
/
/ V) 3 V ) 3]
]
d
∫ =
g V
t
[1-
0
2g2 2 / ( 2V 2) +
O( g / V ) 3] d
=
g V
(
t
-
g 2t3 3V 2
)
+
O( gt/ V ) 3
∫ v2( t) =
V+
g 2t20 2V
-
+
g 4t4 8V 3
+
…
2 结 论
我们应用变分迭代算法非常方便地得到了近似的级数解, 并且这种方法可以直接应用数学软 件( M AT HEM AT ICA) 求解。我们也可以应用这种方法非常方便地得到其近似的周期解析解, 这 方面将另文详述。把该方法也可以非常方便地推广到其他非线性耦合问题, 这里不再详细介绍。
( 6)
于是可得以下迭代公式
∫ y n+ 1 ( t) = y n( t ) +
1
t
sin (
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- t ) { y ″ n( ) +
2y n ( ) - A sin
- Bsin } d
0
( 7)
收稿日期: 1998- 01- 13 修改稿收到日期: 1998- 06- 20 作者 何吉欢 男, 博士, 讲师, 1965 年 3 月生。
( 20a) ( 20b)
∫ 1( t ) = 0 -
t
(0-
0
g v0
)
d
=
gt V
∫t
v1( t) = V - ( 0 - gsin( g / V ) ) d 0
∫t
= V + ( g 2 / V + O( g / V ) 2) d 0
=
∫ un+ 1( x , t ) = un( x , t) -
t 0
un( ) - x 2 +
1 4
un( )
2
d
( 12)
设初始近似为其初值: u0 = 0 , 由上述迭代公式, 我们可以得到以下近似:
∫t
u1 ( x , t ) = 0 - ( - x 2) d = x 2t 0
g2 t2 2V
-
g4t 4 8V 3
+
O( gt/ V ) 4
从而我们得到了二阶近似 2 ( t) 和 v2( t) 。A dom ian 用分裂算法[ 8] 得到的结果, 经分析 v2 ( t) 可
能存在印刷错误, 其结果如下[ 8] :
v2( t) =
V
1+
g2t 2 2V 2
( 1)
式中, L 为线性算子, N 为非线性算子。
我们可以构造以下校正泛函
∫ y n+ 1( x ) = y n( x ) + x { L y n ( ) + N y~n ( ) } d
( 2)
0
式中 为广义拉氏乘子[ 6] , y~n 为限制变分量[ 7] , 即 y~n = 0 。