第2章中子慢化和慢化能谱
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' ' c 180o 时， E Emin = E 中子与靶核碰撞后不可能出现 E‘ < E的中 子，即碰撞后中子能量 E’只能分布在E至 E的区间内。 中子在一次碰撞中可能损失的最大能量与 靶核的质量数有关。 ' 对于氢核：A=1， 0, Emin 0. ' 对于重核，如238U， 0.983 , Emax 0.02E.
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第2章 中子慢化和慢化能谱
设中子的初始能量为E，碰撞后降为E’
E u ln f ( E E )dE E E E E dE ln E E E (1 )
E
( A 1) A 1 1 ln 1 ln 1 2A A 1 2 A 2 / 3
'
E 1 f ( E E ') (1 ) sin c d c sin c d c 2 2 1 f ( E E ') ，E [ E , E ] E (1 )
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A vC vl VCM vl A 1 1 VC VCM vl A 1
可以看出在C系内，中子与靶核的总动量为 零，即： mM mM pC mv C MV C vl vl 0 mM mM
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第2章 中子慢化和慢化能谱
热 堆 和 快 堆 能 谱
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第2章 中子慢化和慢化能谱
思考：为何需要知道中子能谱Φ(E) ？
知道了中子能谱 ，就可以计算Fra Baidu bibliotek 均截面。因为计 算平均截面时必 须用中子能谱作 为权重函数。
R
E2
E1
( E ) ( E ) dE
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第2章 中子慢化和慢化能谱
在 C 系内碰撞后中子散射 角在c附近dc内的概率:
dΩc f (c )dc 4 1 2 sin d sin d d 4 0 2 1 由于： E ' [(1 ) (1 ) cos c ] E 2
第2章 中子慢化和慢化能谱
3. 热堆与快堆的能谱
在快中子反应堆中，没有慢化剂，中子通 过与燃料及结构材料的非弹性散射，得到 一定程度的慢化。 在热中子反应堆里，有专门的慢化剂。快 中子主要通过与慢化剂的弹性散射，逐渐 慢化成热中子。 快中子反应堆的中子能谱要比热中子反应 堆硬得多。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
思考题
初始能量为 1MeV 的中子与氢原子核发 生弹性散射，试计算散射后中子能量小 于1keV的概率。 如果上述中子是与氘原子核发生弹性散 射，散射后中子能量小于1keV的概率是 多少？
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第2章 中子慢化和慢化能谱
第2章 中子慢化和慢化能谱
随着中子能量的减少，中子的对数能降u增 加。在一次碰撞后对数能降的增加量 u为：
E0 E0 E u u u ln ' ln ln ' E E E
'
式中u和u’分别为碰撞前后的对数能降。根 据 E’min=E 式，一次碰撞后的最大对数能 降增量 为： 1 umax ln
H 1
N c , H 18
C 0.158
N c ,C 115
U 0.0084
N c ,U 21264
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第2章 中子慢化和慢化能谱
5. 平均散射角余弦
中子与核发生弹性散射后，其运动方向将 发生改变。若散射角为，那么cos就叫作 散射角余弦。在 C 系内每次碰撞的平均散 射角余弦为：
1. 引言
堆内核燃料的裂变不断产生快中子，快 中子经与慢化剂核的弹性碰撞，逐步慢化为 热中子。因此堆内中子有着不同的能量。欲 知堆内各种能量的中子各占多少份额，就需 了解堆内中子按能量分布的规律。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
2. 中子能谱的定义
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第2章 中子慢化和慢化能谱
裂 变 谱
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第2章 中子慢化和慢化能谱
2 n ( E ) 3/2 ( kT )
E 2 E e kT m
Maxwell 谱
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第2章 中子慢化和慢化能谱
实验表明：中子能量小于 10Mev 时，其与 核发生的弹性散射在质心系中基本上是各 向同性的。即散射中子朝各个角度散射的 概率相同，按立体角的分布是球对称的，
也就是在 C 系内，碰撞后中子在任一立体
角内出现的概率是均等的。
中子数按能量的分布 n(E) 称为中子能谱。 在反应堆物理中，习惯把中子通量密度按 能量的分布 Φ(E)称为中子能谱。 我们把反应堆内的中子能量分为高能、中 能和低能三个区。已知：
高能区的快中子能谱可以用裂变谱来近似表示； 低能区的热中子的可以用麦克斯韦谱近似表示; 中间能区的超热中子能谱是怎样的？
E2 E1
( E ) dE
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第2章 中子慢化和慢化能谱
在反应堆中，中子通过与介质原子核的碰 撞，其空间位置和能量在不断地变化。即 中子的扩散和慢化是同时进行的。 现在我们首先研究中子慢化过程，暂时不 考虑中子空间位置的变化，集中精力研究 其能量的变化。
核反应堆物理
中子慢化和慢化能谱
主讲人：张 彪
2016年11月5日
第2章 中子慢化和慢化能谱
主要内容 中子的弹性散射过程 无限均匀介质内中子的慢化能谱 均匀介质的共振吸收
热中子能谱和热中子平均截面
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第2章 中子慢化和慢化能谱
一、中子能谱概念
VCM
1 (m vl MVl ) (m M )
式中： m 和 M 分别表示中子和靶核的质量； vl， Vl分别为碰撞前中子和靶核在 L系内的 速度； A=M/m，可近似看作靶核的质量数。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
设在L系内碰撞前靶核是静止的，即Vl =0， 则在C系内碰撞前中子与靶核的速度分别为：
' '2 l 2 l 2
若令：
A 1 A 1
则可得
'
2
1 E (1 ) (1 ) cos c E 2
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第2章 中子慢化和慢化能谱
' E ' Emax E c 0 时，
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第2章 中子慢化和慢化能谱
3. 弹性散射过程中能量的分布
前已述，散射后中子能量损失与散射角θ有 关。
当散射角为0时，能量损失最小， 当散射角为π时，能量损失最大。
1 E ' [(1 ) (1 ) cos c ] E 2 下面推导弹性散射后中子能量分布的更易 于使用的形式。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
2. 弹性散射过程中能量的变化
中子与靶核的弹性散射可看作两个弹性钢 球的相互碰撞，碰撞前后其动量和动能守 恒。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
根据质心的动量等于系统内中子与靶核动 量之和，求得质心的速度VCM为：
1 V vl A 1
' c
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第2章 中子慢化和慢化能谱
碰撞后 L 系中的中子 速度 vl’ 、C系中的中 子速度 vc’ 及质心速 度 VCM 的矢量关系。 由余弦定律可得：
v V
'2 l
2 CM
v 2v V
'2 c
' c CM
cosc
带入vc’ 和VCM可得： 2 2 vl ( A 2 A cos c 1) '2 vl ( A 1) 2
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第2章 中子慢化和慢化能谱
因而在 L 系中，碰撞前后中子能量之比为：
A 2 A cosc 1 E v E v ( A 1) 2
c
0
1 cosc f (c )dc cosc sin cdc 0 2 0
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' vl' cos l VCM vc cos c 1 VCM vl A 1 A ' vc vl A 1 2 A 2 A cos c 1 ' vl vl ( A 1) 2 A cos c 1 cos l A2 2 A cos c 1
2
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第2章 中子慢化和慢化能谱
思考：若中子要从能量 E1通过弹性碰撞慢 化到能量为E2需要多少次呢？ ln( E0 / E2 ) ln( E0 / E1 ) ln( E1 / E2 ) Nc 使中子能量由2 MeV慢化到0.0253 eV时分 别所需要的与 H 核、石墨核以及 235U 核的 平均碰撞次数为:
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第2章 中子慢化和慢化能谱
二、中子的弹性散射过程
1. 引言
中子与原子核的弹性散射过程，满足动 量守恒和动能守恒。可以经典力学知识，解 出碰撞后中子能量的变化。为方便起见，我 们是在所谓质心坐标系（CM系）中研究问题。 因为在质心系中，中子的散射是各向同性的。
4. 平均对数能降
为了计算方便，在反应堆物理分析中，常 用一种无量纲量，叫做“对数能降”来作 为能量变量，用u 表示，定义为： E0 u ln E E0 为 选 定 的 参 考 能 量 ， 一 般 取 E0=2MeV （裂变中子平均能量），或取 10MeV（假 定裂变中子能量上限为10MeV）
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第2章 中子慢化和慢化能谱
中子与原子核的弹性散射，是慢化中子的 主要途径。 所谓质心系，是把坐标原点放在中子－靶 核系统的质量中心，并认为质心是固定的。 在慢 化区 ， 中子的 运动速 度比原子核的 （热运动）速度快得多，故可以认为散射 前核的速度为零。
故有：
f ( E E ')dE ' f (c )dc
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第2章 中子慢化和慢化能谱
1 E (1 ) (1 ) cos c E 2 dE ' E E (1 ) sin c dE ' (1 ) sin c d c d c 2 2 sin c d c f ( c )d c 2 f ( E E ')dE ' f ( c )d c
第2章 中子慢化和慢化能谱
若用 v’ 和 V’ 分别表示碰撞以后中子与靶核 的速度，则根据碰撞前后动能与动量守恒， 有：
1 '2 1 1 2 1 '2 mv c MV c mv c MV c2 2 2 2 2
' c ' c
mv MV 0 联立求解得：
A v vl A 1
' c
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第2章 中子慢化和慢化能谱
设中子的初始能量为E，碰撞后降为E’
E u ln f ( E E )dE E E E E dE ln E E E (1 )
E
( A 1) A 1 1 ln 1 ln 1 2A A 1 2 A 2 / 3
'
E 1 f ( E E ') (1 ) sin c d c sin c d c 2 2 1 f ( E E ') ，E [ E , E ] E (1 )
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A vC vl VCM vl A 1 1 VC VCM vl A 1
可以看出在C系内，中子与靶核的总动量为 零，即： mM mM pC mv C MV C vl vl 0 mM mM
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热 堆 和 快 堆 能 谱
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第2章 中子慢化和慢化能谱
思考：为何需要知道中子能谱Φ(E) ？
知道了中子能谱 ，就可以计算Fra Baidu bibliotek 均截面。因为计 算平均截面时必 须用中子能谱作 为权重函数。
R
E2
E1
( E ) ( E ) dE
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第2章 中子慢化和慢化能谱
在 C 系内碰撞后中子散射 角在c附近dc内的概率:
dΩc f (c )dc 4 1 2 sin d sin d d 4 0 2 1 由于： E ' [(1 ) (1 ) cos c ] E 2
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3. 热堆与快堆的能谱
在快中子反应堆中，没有慢化剂，中子通 过与燃料及结构材料的非弹性散射，得到 一定程度的慢化。 在热中子反应堆里，有专门的慢化剂。快 中子主要通过与慢化剂的弹性散射，逐渐 慢化成热中子。 快中子反应堆的中子能谱要比热中子反应 堆硬得多。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
思考题
初始能量为 1MeV 的中子与氢原子核发 生弹性散射，试计算散射后中子能量小 于1keV的概率。 如果上述中子是与氘原子核发生弹性散 射，散射后中子能量小于1keV的概率是 多少？
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第2章 中子慢化和慢化能谱
随着中子能量的减少，中子的对数能降u增 加。在一次碰撞后对数能降的增加量 u为：
E0 E0 E u u u ln ' ln ln ' E E E
'
式中u和u’分别为碰撞前后的对数能降。根 据 E’min=E 式，一次碰撞后的最大对数能 降增量 为： 1 umax ln
H 1
N c , H 18
C 0.158
N c ,C 115
U 0.0084
N c ,U 21264
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5. 平均散射角余弦
中子与核发生弹性散射后，其运动方向将 发生改变。若散射角为，那么cos就叫作 散射角余弦。在 C 系内每次碰撞的平均散 射角余弦为：
1. 引言
堆内核燃料的裂变不断产生快中子，快 中子经与慢化剂核的弹性碰撞，逐步慢化为 热中子。因此堆内中子有着不同的能量。欲 知堆内各种能量的中子各占多少份额，就需 了解堆内中子按能量分布的规律。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
2. 中子能谱的定义
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裂 变 谱
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2 n ( E ) 3/2 ( kT )
E 2 E e kT m
Maxwell 谱
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第2章 中子慢化和慢化能谱
实验表明：中子能量小于 10Mev 时，其与 核发生的弹性散射在质心系中基本上是各 向同性的。即散射中子朝各个角度散射的 概率相同，按立体角的分布是球对称的，
也就是在 C 系内，碰撞后中子在任一立体
角内出现的概率是均等的。
中子数按能量的分布 n(E) 称为中子能谱。 在反应堆物理中，习惯把中子通量密度按 能量的分布 Φ(E)称为中子能谱。 我们把反应堆内的中子能量分为高能、中 能和低能三个区。已知：
高能区的快中子能谱可以用裂变谱来近似表示； 低能区的热中子的可以用麦克斯韦谱近似表示; 中间能区的超热中子能谱是怎样的？
E2 E1
( E ) dE
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第2章 中子慢化和慢化能谱
在反应堆中，中子通过与介质原子核的碰 撞，其空间位置和能量在不断地变化。即 中子的扩散和慢化是同时进行的。 现在我们首先研究中子慢化过程，暂时不 考虑中子空间位置的变化，集中精力研究 其能量的变化。
核反应堆物理
中子慢化和慢化能谱
主讲人：张 彪
2016年11月5日
第2章 中子慢化和慢化能谱
主要内容 中子的弹性散射过程 无限均匀介质内中子的慢化能谱 均匀介质的共振吸收
热中子能谱和热中子平均截面
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第2章 中子慢化和慢化能谱
一、中子能谱概念
VCM
1 (m vl MVl ) (m M )
式中： m 和 M 分别表示中子和靶核的质量； vl， Vl分别为碰撞前中子和靶核在 L系内的 速度； A=M/m，可近似看作靶核的质量数。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
设在L系内碰撞前靶核是静止的，即Vl =0， 则在C系内碰撞前中子与靶核的速度分别为：
' '2 l 2 l 2
若令：
A 1 A 1
则可得
'
2
1 E (1 ) (1 ) cos c E 2
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第2章 中子慢化和慢化能谱
' E ' Emax E c 0 时，
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第2章 中子慢化和慢化能谱
3. 弹性散射过程中能量的分布
前已述，散射后中子能量损失与散射角θ有 关。
当散射角为0时，能量损失最小， 当散射角为π时，能量损失最大。
1 E ' [(1 ) (1 ) cos c ] E 2 下面推导弹性散射后中子能量分布的更易 于使用的形式。
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2. 弹性散射过程中能量的变化
中子与靶核的弹性散射可看作两个弹性钢 球的相互碰撞，碰撞前后其动量和动能守 恒。
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第2章 中子慢化和慢化能谱
根据质心的动量等于系统内中子与靶核动 量之和，求得质心的速度VCM为：
1 V vl A 1
' c
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第2章 中子慢化和慢化能谱
碰撞后 L 系中的中子 速度 vl’ 、C系中的中 子速度 vc’ 及质心速 度 VCM 的矢量关系。 由余弦定律可得：
v V
'2 l
2 CM
v 2v V
'2 c
' c CM
cosc
带入vc’ 和VCM可得： 2 2 vl ( A 2 A cos c 1) '2 vl ( A 1) 2
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第2章 中子慢化和慢化能谱
因而在 L 系中，碰撞前后中子能量之比为：
A 2 A cosc 1 E v E v ( A 1) 2
c
0
1 cosc f (c )dc cosc sin cdc 0 2 0
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第2章 中子慢化和慢化能谱
' vl' cos l VCM vc cos c 1 VCM vl A 1 A ' vc vl A 1 2 A 2 A cos c 1 ' vl vl ( A 1) 2 A cos c 1 cos l A2 2 A cos c 1
2
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第2章 中子慢化和慢化能谱
思考：若中子要从能量 E1通过弹性碰撞慢 化到能量为E2需要多少次呢？ ln( E0 / E2 ) ln( E0 / E1 ) ln( E1 / E2 ) Nc 使中子能量由2 MeV慢化到0.0253 eV时分 别所需要的与 H 核、石墨核以及 235U 核的 平均碰撞次数为:
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第2章 中子慢化和慢化能谱
二、中子的弹性散射过程
1. 引言
中子与原子核的弹性散射过程，满足动 量守恒和动能守恒。可以经典力学知识，解 出碰撞后中子能量的变化。为方便起见，我 们是在所谓质心坐标系（CM系）中研究问题。 因为在质心系中，中子的散射是各向同性的。
4. 平均对数能降
为了计算方便，在反应堆物理分析中，常 用一种无量纲量，叫做“对数能降”来作 为能量变量，用u 表示，定义为： E0 u ln E E0 为 选 定 的 参 考 能 量 ， 一 般 取 E0=2MeV （裂变中子平均能量），或取 10MeV（假 定裂变中子能量上限为10MeV）
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第2章 中子慢化和慢化能谱
中子与原子核的弹性散射，是慢化中子的 主要途径。 所谓质心系，是把坐标原点放在中子－靶 核系统的质量中心，并认为质心是固定的。 在慢 化区 ， 中子的 运动速 度比原子核的 （热运动）速度快得多，故可以认为散射 前核的速度为零。
故有：
f ( E E ')dE ' f (c )dc
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第2章 中子慢化和慢化能谱
1 E (1 ) (1 ) cos c E 2 dE ' E E (1 ) sin c dE ' (1 ) sin c d c d c 2 2 sin c d c f ( c )d c 2 f ( E E ')dE ' f ( c )d c
第2章 中子慢化和慢化能谱
若用 v’ 和 V’ 分别表示碰撞以后中子与靶核 的速度，则根据碰撞前后动能与动量守恒， 有：
1 '2 1 1 2 1 '2 mv c MV c mv c MV c2 2 2 2 2
' c ' c
mv MV 0 联立求解得：
A v vl A 1
' c