多自由度系统动力学方程

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自由度机械系统动力学分析

06
结论与展望
研究成果总结
01
02
03
04
自由度机械系统动力学分析在理论和实践方面取得了重要进展，为复杂机械系统的动态性能分析和优化设计提供了有力支持。
自由度机械系统动力学分析在理论和实践方面取得了重要进展，为复杂机械系统的动态性能分析和优化设计提供了有力支持。
自由度机械系统动力学分析在理论和实践方面取得了重要进展，为复杂机械系统的动态性能分析和优化设计提供了有力支持。
自由度机械系统动力学分析
目
CONTENCT
录
• 引言 • 自由度机械系统基础 • 自由度机械系统动力学分析方法 • 自由度机械系统动态特性分析 • 自由度机械系统优化设计 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
机械系统在工业、航空航天、交通运输等领域广泛应用，其动力学性能对系统的稳定性和性能至关重要。
结合人工智能、大数据等先进技术，开展自由度机械系统动力学分析与优化设计，实现智能化、自动化的动态性能预测和优化设计。
拓展自由度机械系统动力学分析的应用领域，特别是在智能制造、新能源、生物医学工程等新兴领域，发挥其在技术创新和产业升级中的作用。
THANK YOU
感谢聆听
稳定性分析
线性稳定性分析
通过判断系统的线性化方程的解的稳定性，确定系统的稳定性。常用的方法有特征值法和Lyapunov直接法。
非线性稳定性分析
研究非线性系统的稳定性，需要考虑系统的非线性特性，常用的方法有分岔理论和混沌理论。
振动特性分析
固有频率和模态分析
通过求解系统的运动微分方程，得到系统的固有频率和模态，即系统自由振动的频率和振型。
02

结构动力学之多自由度体系的振动问题

3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然后，系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1

0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

机械原理与机械设计 (上册) 第4版第11章机械系统动力学

k
qi
δW Fe1δq1 Fe2δq2
P Fe1q1 Fe2q2
(i 1,2)
3. 动力学方程
J11q1
J12q2
1 2
J11 q1
q12
J11 q2
q1q 2
J12 q2
1 2
J 22 q1
q22
Fe1
J 12 q1
J 22q2
J12 q1
1 2
J11 q2
q12
J 22 q1
q1q 2
dt
等效驱动力矩
等效阻力矩
若 me 与 Je 为常数，则
Fed Fer M ed M er
me Je
dv dt
d
dt
能量形式（积分形式）
s2 s1
Fedds
s2 s1
Ferds
1 2
me 2 v22
1 2
me1v12
阻抗功
损耗功
总耗功
输入功
Wd (Wr Wf ) Wd Wc E2 E1
终止动能
起始动能
第二节多自由度机械系统的动力学分析(简介）
机械系统的动力学方程:外力与运动参数（位移、速度等）之间的函数关系式
一、拉格朗日方程
动能
势能
自由度
d dt
E qi
E qi
U qi
Fei
(i 1,2,, N)
J1 1
m2 vc2 Jc2 2
m3v3
d
1 2
J112
1 2
m2vc22
1 2
J
2
c2 2
1 2
m3v32
(M11
P3v3
)dt

第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解

k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制（此系统有一、两千个自由度（3D实体单元））
Z Y
X
第二章：多自由度系统的运动微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系

动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法

3 4
则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法三种情形)。时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统

多自由度机械系统动力学

机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
机械动力学
Chapter4
多自由度机械系统动力学
2021年6月18日
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
本章解决的主要问题及内容
解决的问题：解决两自由度机械系统的动力学问题。采用方法为拉格朗日方程的分析方法。
主要的内容：
一、拉格朗日方程；
工程中的非自由质点系，受到的约束大多是稳定的完整约束（约束方程仅与质点系的位置有关）。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度数。
对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独
立坐标。其自由度为 N=3n-s 。
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
例：铅直平面内摆动的双摆。
▼确定A、B两点位置（平面问题）需四个独立坐标 ▼系统受两个完整约束，其约束方程：
x12 y12 a2 , (x2 x1)2 ( y2 y1)2 b2
▼系统的自由度：N=2n-s=4-2=2
★两个自由度, 取广义坐标，
Qk 0 (k 1,2,, N )
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
以广义坐标表示的质点系的平衡条件：
Qk
n
(Xi
i 1
xi qk
Yi
yi qk
Zi
zi ) 0 qk
(k 1,2,, N)
解决质点系的平衡问题的关键是如何计算广义力
※广义力的计算
方法1：计算广义力 Qk 的步骤
N
xi

结构动力学多自由度系统振动

运用功旳互等原理可知，刚度矩阵是对称阵，即有kij＝kji，于是上述刚度矩阵为：
k1 k2
k2
K 0
0
0
k2 k2 k3
k3 0
0
0 k3 k3 k4 k4
0
0 0 k4 k4 k5 k5
0
0
0
k5
k5
⒉ 柔度法柔度系数aij定义为：
在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生旳位移。
K12 k2 K22 k2 k3
K32 k3 K42 0 K52 0
K13 0 K23 k3 K33 k3 k4 K43 k4 K53 0
K14 0 K24 0 K34 k4 K44 k4 k5 K54 k5
K15 0 K25 0 K35 0 K45 k5 K55 k5
(a) m1 mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
(a) m1
mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
于是：若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产
2
2
2
1 Mx 2 1 m[x 2 2Lx cos L2 2 ] 1 kx2 mgL(1 cos)
2
2
2
d dt

六关节机械臂拉格朗日动力学方程

六关节机械臂拉格朗日动力学方程六关节机械臂是一种多自由度机械结构，常见于工业制造、医疗器械等领域，具有灵活、高精度的特点。

在进行机械臂运动控制时，拉格朗日动力学方程是一种重要的数学工具，可以描述机械臂的运动学和动力学特性。

本篇文章将详细介绍六关节机械臂拉格朗日动力学方程的推导过程和应用。

**一、机械臂的构造**六关节机械臂由6个关节连接而成，每个关节可以进行转动运动。

机械臂的末端往往安装有工具或夹具，用于完成各种任务。

机械臂上的每个关节都有一个旋转轴和一个驱动器，通过控制驱动器的运动来控制机械臂的姿态和位置。

**二、运动学分析**在进行动力学分析之前，首先需要对机械臂的运动进行数学建模，得到机械臂各关节的运动学方程。

常用的方法是使用旋转矩阵和欧拉角来描述机械臂的姿态。

将机械臂的姿态表示为旋转矩阵，可以得到机械臂末端位姿与各个关节角度之间的关系。

**三、拉格朗日动力学方程的推导**拉格朗日动力学方程是用于描述机械系统的运动学和动力学特性的重要数学工具。

其基本思想是从系统的运动学模型出发，推导出系统的动力学模型。

1.定义广义坐标和广义速度：根据机械臂的运动学模型，引入广义坐标和广义速度来描述系统的状态，广义坐标用于表示机械臂各关节的角度，广义速度用于表示机械臂各关节的角速度。

2.动能和势能的计算：根据机械臂的构造和运动特点，可以计算出机械臂的动能和势能。

机械臂的动能可以分解为各个关节的动能之和，势能可以表示为机械臂的重力势能。

3.拉格朗日函数的建立：定义拉格朗日函数为系统的动能减势能，即L = T - V。

4.拉格朗日方程的推导：根据拉格朗日函数的定义，可以通过对拉格朗日函数求导来得到系统的运动方程，即拉格朗日方程。

拉格朗日方程描述了系统的动力学特性，包括系统的运动学关系和动力学关系。

**四、应用**通过求解六关节机械臂的拉格朗日动力学方程，可以得到机械臂的运动方程。

这些方程可以用于机械臂的运动规划、轨迹跟踪、运动控制等领域。

机械动力学-多自由度系统

j =1
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化规律，即有着相同的时间函数。规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3））
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10）） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11）） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12））系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式系统的特征行列式，方程（方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程，）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程是 λ或阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只）可见，决定于系统的物理参数，是系统固有的。决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的，对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程，代入动能和势能方程，有

第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425

船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。

141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。

完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。

不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。

具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。

151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。

梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。

的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移：位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义：系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在。

机械系统动力学第四章固有频率的实用计算方法

2 ( I Mu ) 0
2 I M 0
特征方程
对于二个自由度系统：
2 2 1 - m m 1 1 1 1 2 2 0 2 2 21m -22m 1 1 2
展开整理

1 m m 1 1 1 2 22 2 m m ( )0 12 1 1 2 2 1 2 2 1 4
U 带入公式 T m a x m a x 得：
T { u } K{ui } 2 i ni {ui }T M {ui }
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。例如例4-2-1所给出的振动问题，若取 u 1 1 1 代入式4-2-7进行试算：
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2

振动系统固有频率：
k a2 k a2 3 k a2 n 3 1 Jo m l 3 m l 3
第4章固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法原理：对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振 d (T U ) 0 。在静平衡动，系统 T Uc o n s t或 dt U 0 ,T T 位置，势能为0，动能达到最大，即： m a x。在最大位移处，动能为0，势能达到最大， U U ,T 0 即：。所以有： m a x
其点矩阵形式的动力方程为为第n段单元对转轴的转动惯量图434扭转振动单元状态向量表示gigd第4章固有频率的实用计算方法432传递矩阵法分析圆轴的扭转振动传递矩阵法的计算第n段单元的传递矩阵系统的传递矩阵的计算公式仍然可以表示为第4章固有频率的实用计算方法432传递矩阵法分析圆轴的扭转振动算法流程图图435a所示的一端固定一端自由的圆轴作扭转自由振动其中材料的切变模量为g密度为用传递矩阵法计算一阶固有频率

三自由度动力学模型

三自由度动力学模型简介三自由度动力学模型是一种用于描述物体在三维空间中运动的模型。

它可以用来研究机器人、飞行器、汽车等复杂系统的运动行为和控制策略。

本文将介绍三自由度动力学模型的基本概念、数学表示和应用领域。

一、基本概念1. 动力学动力学是研究物体运动及其原因的学科。

在三自由度动力学模型中，我们主要关注物体的运动规律和所受的力和力矩。

2. 自由度自由度是指描述物体运动所需独立参数的数量。

在三自由度动力学模型中，物体可以绕三个轴进行旋转，因此具有三个自由度。

3. 动力学模型动力学模型是用来描述物体运动的数学模型。

它通过建立物体的运动方程来预测物体的运动状态和受力情况。

二、数学表示1. 位移和速度在三自由度动力学模型中，我们通常使用欧拉角来描述物体的姿态。

欧拉角包括俯仰角、偏航角和滚转角，分别表示绕x轴、y轴和z轴的旋转角度。

物体的位移可以用三个欧拉角表示。

物体的速度可以通过对位移关于时间的导数来得到。

例如，物体在x轴上的速度可以表示为dx/dt。

2. 加速度和力矩物体的加速度可以通过对速度关于时间的导数来得到。

例如，物体在x轴上的加速度可以表示为d²x/dt²。

物体受到的力可以通过牛顿第二定律来描述。

力矩可以通过对力关于时间的导数来得到。

例如，物体绕x轴的力矩可以表示为dLx/dt，其中Lx是绕x轴的力矩。

3. 动力学方程动力学方程是描述物体运动行为的方程。

在三自由度动力学模型中，动力学方程可以表示为：M * a = F其中，M是质量矩阵，a是加速度向量，F是力和力矩向量。

三、应用领域三自由度动力学模型在许多领域都有广泛的应用，下面以机器人和飞行器为例进行介绍。

1. 机器人三自由度动力学模型可以用于研究机器人的运动和控制。

通过建立机器人的动力学模型，可以预测机器人在不同工作状态下的运动行为，并设计相应的控制策略。

2. 飞行器三自由度动力学模型可以用于研究飞行器的姿态控制和稳定性分析。

多自由度系统的振动、响应和求解

E
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为

结构动力学-多自由度系统振动

k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。

多自由度系统的动力学方程

得： T T M DT M C
T T K DT K C
m 0 MC 0 I C
me m 验证： M D 2 me I me C
me 1 e m 0 1 0 m e 1 me I me2 0 1 0 I C C
C C C C C
X D [ xD , D ]T
X C [ xC , C ]T
FD [ PD , M D ]T
FC [ PC , M C ]T
1 e T 1 T F ( T ) FC X D TX C F T F T D C D 0 1 将 X D TX C 代入D点的方程，并左乘 T T ： T T K TX T T F F T T M DTX C D C D C
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
φ [1 2 n ]T
X φsin( t )
2
φ 0 代入振动方程： ( K M )
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
矩阵形式： D k1 k 2 me x k 2 a2 k1a1 xD PD m me I me2 k a k a k a 2 k a 2 M C 2 2 D D D 2 2 1 1 1 1
1/ 2
？
(K M ) φ 0
2
Kφ Mφ
2

多自由度系统振动

有限元方法需要建立系统的离散化模型，并选择合适的单元类型和边界条件，计算精度和计算效率取决于离散化的的传递矩阵来描述系统动态特性
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参数和边界条件的准确性，对于复杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值计算方法，通过将系统的振动表示为一系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控制和智能控制技术，提高系统振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用于实际工程领域，解决重大装备和结构的振动问题，提高其稳定性和安全性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
它涉及到多个振动子之间的相互作用和耦合，其动力学行为比单自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词

多自由度系统

03
仿真与实验研究
通过仿真和实验手段，验证了所提出的多自由度系统建模与控制方法的
有效性和可行性，为实际应用提供了有力支持。
未来发展趋势预测
智能化控制
随着人工智能技术的不断发展，未来多自由度系统的控制将更加智能化，如基于深度学习的控制策略、强化学习算法等将得到广泛应用。
柔性化与可穿戴化
随着新材料技术和机械设计技术的不断进步，未来多自由度系统将更加柔性化和可穿戴化，以适应各种复杂环境和任务需求。
可分为液压驱动、电动驱动和人力驱动等多自由度系统。
运动学描述
运动学是研究物体运动规律的科学，包括位置、速度和加速度等
运动参数。
在多自由度系统中，运动学描述涉及多个坐标和多个运动参数，需要采用多维向量和矩阵等数学
工具进行描述。
运动学方程是多自由度系统运动学描述的基础，通过求解运动学方程可以得到系统各部分的运动
车辆悬挂系统优化
悬挂系统建模
建立车辆悬挂系统的动力学模型，考虑轮胎、悬挂元件等非线性因素。
控制策略设计
针对车辆悬挂系统的特点，设计主动或被动控制策略，提高车辆的行驶平顺性和稳定性。
性能评价与优化
通过仿真和实验手段，评价悬挂系统性能，采用优化算法对控制策略进行优化，提高系统性能。
07
总结与展望
多模态运动规划与控制
针对多自由度系统复杂多变的运动需求，未来研究将更加注重多模态运动规划与控制方法的研究，如基于优化算法的运动规划、多模态切换控制等。
多机器人协同控制
针对多个多自由度系统之间的协同控制问题，未来研究将更加注重多机器人协同控制方法的研究，以实现多个机器人之间的协同作业和智能交互。
THANK YOU

有题目——多自由度振动-拉格朗日方程

m1
m2
k3
m3
1、选定广义坐标 x1， x2， x3
2、动能和势能分别为：
1 1 1 2 2 12 m2 x 2 3 T m1 x m3 x 2 2 2 V V1 V2 V3 V4 V5 V6 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 V1 k1 x12 ,V2 k 2 x 2 x1 ,V3 k 3 x3 x 2 ,V4 k 4 x3 ,V5 k 5 x 2 ,V6 k 6 x 2 2 2 2 2 2 2
多自由度系统振动
姓名: 何江波
学院: 机械工程学院
邮箱：445875183@
2016/12/18
教学内容
拉格朗日方程多自由系统的无阻尼自由振动
2
拉格朗日方程
k5 k1
F1(t) m1 F2(t)
k6
F 3 ( t) m3
k2
m2
k3
k4
对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。
m1 0 0 m 2 0 0
0 x1 k1 k 2 0 x2 k 2 m3 x3 0
k 2 k 2 k3 k5 k 6 k 3
0 x1 F1 k 3 x 2 F2 k 3 k 4 x3 F3
14
谢谢
15
( x2 , y2 )
也可选 (1 , 2 ) 作为广义坐标。
6
拉格朗日方程
拉格朗日方程（ Lagrange 方程）:
d L L Q j dt q j q j
广义坐标: q1 ,q2 ,, qk ；拉格朗日函数: L＝T-V；