教材矩阵习题
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
线性代数矩阵习题课
4
线性代数习题课（一）
3 0 1 5、设 A 1 1 0
0 1 4
且 AX=A+2X, 求矩阵X.
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5
线性代数习题课（一）
解: 因为 AX=A+2X, 所以(A–2E)X=A,
1 0 1 而 A 2E 1 1 0,
0 1 2
又
1 0 1 1 0 0 (A2E| A)1 1 0 0 1 0
1122
10、计算行列式
D=
3 2
-1 2
-1 1 1 -1
1230
5 5 4 0 5 5 4 -20 5 4
解：D=
5 2
1 2
00
1 -1 =
1230
5 1
1 2
0=
3
0 -9
10 23
-20 4
= -9 3 =24
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14
线性代数习题课（一）
11、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: (1) 若| A | = 0, 则| A* | = 0; (2) |A*| = | A | n–1.
102
B= 0 2 0 , 则 r(AB)= 2
-1 0 3
k1 1 1
10、设A=
1 1
k 1
1 k
1 1
, 且r(A)=3,则 k = -3
11 1 k
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31
线性代数习题课（一）
α
β
11、设三阶矩阵A= γ1 ,
γ2
B= γ1
γ2
,
且|A|=2 , |B|=3, 则|3A|= 54
003
0 0 1/4
设A= 0 1 0 , 则 A-1= 0 1 0
矩阵及其运算练习题
第二章 矩阵及其运算 习题 2.1 矩阵及其运算 【基本题】
1 2 1 0 1 4 一、设 A= 3 1 4 ，B= 2 1 3 ，求 0 -1 2 1 2 1
(1) 2A-B； (2) 2A+3B； (3) 满足 A+X=2B 的 X.
9. 设 A, B, C 均为 n 阶方阵， 且 A 可逆， 则下列结论必成立的是 （ ） . (A) 若 AC=BC，则 A=B； (C) 若 BA=CA，则 B=C； (B) 若 BA=O，则 A=O 或 B=O； (D) 若 A1B CA1 ，则 B=C.
A B 10. 设 M ，其中设 A,B,C,D 为 n(n>1)阶方阵，则 MT=（ ）. C D A A C (A) ； (B) T B D B AT CT ； (C) T D B AT CT (D) T ； DT C BT . DT
（1）A T +B; （2）AB;
（3）BA.
二、将矩阵适当分块后计算
2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 4 0 1 0 1 1 1 1 1 1 . 1 0 0 1
(3) 设 A 为 3 阶方阵且 A 3 ，求 3 A1 2 A ；
( 5A )1 ；
1 1 1 (4) 设 A1 1 2 1 ，求 ( A )1 ； 1 1 3
线性代数习题集
0 0 1 2 3 0 (5) 设 A 0 4 5 0 0 6
1 3 0 （ 2） 2 6 1 . 0 1 1
线性代数练习题-矩阵
线性代数练习题——矩阵一、 填空题1、 设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1032A ，则1−A = 2、设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3−=B ，则=−12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=−13A4、 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。
6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。
7、 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。
二、 单项选择题1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ）（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ）（A ）||||||||A B B A ⋅=⋅（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(3． 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+221211111λ的秩为2，则=λ（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×（D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵（A ）1)(−AB （B ）11−−B A （C ）AB （D ）B A −6． 初等矩阵（ ）（A ）相乘仍为初等矩阵 （B ）都可逆 （C ）相加仍为初等矩阵 （D ）以上都不对7． 已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10113121A ，则=A （ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0113 （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1301 （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3110 （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1031 8． 设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（ ）（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A（C ）0=A 或0=B（D ）A +0=B 9． 若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A −=−+则必有（ ）（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵10． 已知B 为可逆阵，则11[()]T B −−=（ ） （A ）B（B ）T B （C ）1−B （D ）TB )(1− 三、 计算题 1、⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=520012121A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=413212B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=401223C 求C AB T −； 2、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412711310A 求1−A ；3、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；4、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=A ，求行列式1*)2(3−−A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵的练习题
矩阵的练习题矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的基本知识和运算规则对于学习和应用线性代数都非常重要。
在这篇文章中，我将为大家提供一些矩阵的练习题，帮助大家巩固对矩阵的理解和运算能力。
练习一：矩阵的基本操作1. 将以下实数写成矩阵的形式：a) 34b) -2 50 12. 计算以下矩阵的和与差：A = 1 2B = 3 43 4 5 63. 计算以下矩阵的积：A = 2 3B = 1 44 5 2 6练习二：矩阵的特殊运算1. 计算以下矩阵的转置：3 42. 计算以下矩阵的逆矩阵：A = 1 23 43. 对以下矩阵进行对角化：A = 2 10 3练习三：矩阵的线性组合1. 给定矩阵 A = 1 23 4求 2A + 3A的结果。
2. 矩阵 B = 4 56 7求 C = 2A - 3B的结果。
练习四：方阵的特征值与特征向量1. 对以下矩阵求特征值与特征向量：A = 3 12. 判断以下矩阵是否为对称矩阵：A = 1 22 3练习五：矩阵的高阶运算1. 计算矩阵的 k 次方 A^k。
A = 2 11 3其中，k为正整数。
2. 解以下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 13以上就是关于矩阵的练习题，希望能够帮助大家加深对矩阵的理解和应用。
矩阵运算可以通过反复的练习来掌握，在实际应用中能够更好地解决问题。
继续努力学习，加油！。
矩阵计算习题及答案
4．输入矩阵a=123456789，使用全下标方式提取元素3，使用单下标方式提取元素8，取出后两行子矩阵块，使用逻辑矩阵提取1379。
5．输入a为3×3的魔方阵，b为3×3的单位阵，将他们生成3×6的大矩阵c、6×3的大矩阵d，将d的最后一行提取生成小矩阵e。
6．矩阵a=123456789用flipud、fliplr、rot90、diag、triu和tril进行操作。并求其转置、秩、逆矩阵、矩阵的行列式值及三次幂。
16）有一个2行2列的元胞数组c ，则c（2）是指 D 。 A. 第1行第2列元素内容 B. 第2行第1列元素内容 C. 第1行第2列元素 D .第2行第1列元素 17）以下运算中哪个运算级别最高 B 。 A. * B. ^ C. ~= D. / 18）运行命令bitand（20，15）的结果是 C 。 A. 15 B. 20 C. 4 D. 5 19）使用检测函数isinteger（15）的结果是 B 。 A. 1 B. 0 C. true D. fales 20）计算三个多项式s1、s2和s3的乘积，则算式为 C 。 A. conv(s1,s2,s3) B. s1*s2*s3 C. conv(conv(s1,s2),s3) D. conv(s1*s2*s3) 以下写出MATLAB命令序列，并给出结果 2.复数向量a=2+3i，b=3-4i，计算a+b,a-b,c=a*b,d=a/b，并计算变量c的实部、虚部、模和相角。 3．用 from:step:to的方式和linspace函数分别得到0~4π步长为0.4π的变量x1，0~4π分成10个点的变量x2。
11．矩阵a=123456789，使用数组信息获取函数求其行列数、元素个数，是否为稀疏矩阵、是否为字符型。
矩阵相关练习题
矩阵相关练习题矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
下面将给出几道矩阵相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用矩阵的性质和运算。
1. 矩阵的基础运算给定矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]，求矩阵A的转置。
2. 矩阵的乘法设矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，矩阵C = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]，求矩阵B和矩阵C的乘积BC。
3. 矩阵的逆给定方阵D = [[2, 1], [4, 3]]，求矩阵D的逆。
4. 矩阵的行列式设矩阵E = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵E的行列式。
5. 矩阵的特征值与特征向量给定矩阵F = [[3, -1], [4, -2]]，求矩阵F的特征值与特征向量。
6. 矩阵的奇异值分解给定矩阵G = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，对矩阵G进行奇异值分解。
7. 矩阵的广义逆设矩阵H = [[1, -2], [3, -6]]，求矩阵H的广义逆。
8. 矩阵的转置与共轭转置给定复数矩阵I = [[1+2i, 3-4i], [5+6i, 7-8i]]，求矩阵I的转置和共轭转置。
9. 矩阵的正交性给定矩阵J = [[1, 0], [0, -1]]，判断矩阵J是否是正交矩阵。
10. 矩阵的对称性设矩阵K = [[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 6]]，判断矩阵K是否是对称矩阵。
这些练习题可以帮助读者巩固对矩阵性质和运算的理解，并提升解决实际问题时的能力。
希望读者能够认真思考并合理应用矩阵的知识，进一步拓展线性代数的应用领域。
线性代数习题册(第二章矩阵及其运算参考答案)
⇔ αTα = 1
单元 6 逆矩阵、分块矩阵
一、判断题（正确的打√，错误的打×）
1. 可逆矩阵一定是方阵.
（√）
2. 若 A 、 B 为同阶可逆方阵，则 AB 可逆.
（√）
3. 设 A, B 均为可逆矩阵，则 AB 也可逆且 ( AB)−1 = A−1B−1 .
（X）
4. 若 A 可逆，则 AT 也可逆.
分析： |
r1 A|
↔
r2
− | B |，所以
A
+
B
= 0 。
20.
设
A
=
a11 a21
a12 a22
a13 a23
，
B
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 1 0
，
P1
=
1
0
0
a31 a32 a33
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
0 0 1
( A) kA∗
(B) k n−1 A∗
(C ) k n A∗
( D) k −1 A∗
分析：题中对可逆矩阵也要成立，所以不妨设 A 可逆时进行分析。
( ) = (kA)∗ | kA | (= kA)−1 k n | A | ⋅ 1 A−1 = k n−1 | A | A−1 = k n−1 A* k
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
r1
↔
r2
a21 a11
a31 + a11
a22 a12 a32 + a12
a23
a13
矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵练习题参考答案1. 解: (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=218016226AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=434014004321212113101012111BA ∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-244002222BA AB (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++++++=c b a c b a c b a ac b ac c b a ac b ac c b a c b a AB 322222222222111111a c a b c a ac c b ab c c a c BA b b c b a a bc b b b b c ab b c a a c a b bc a c ac a ⎛⎫++++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222222222232b aca b c b ab cb a ac cAB BA c bcac b a b c b ab c a c c bcb ac ⎛⎫-++----+-⎪∴-=--++--- ⎪ ⎪----⎝⎭2．解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433341255122100131132100131132100131132.(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--84234421042544212423242335. (3) .0,0010,10112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛B B B E 其中因为B 与E 的乘积可交换, 所以 .101)(1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nB E B E nn(4)∵()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θϕθϕθϕθϕθθθθϕϕϕϕcos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ϕϕϕϕϕϕϕϕn n n n ncos sin sin cos cos sin sin cos(5) ()()11231(5)2,3,112310,12,3,1231.11231-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=-+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(6) 原式=()1112122122221112221112,,1222a x a y b x y a x a y b a x a xy a y b x b y c b x b y c ++⎛⎫⎪++=+++++ ⎪ ⎪++⎝⎭(7)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=1111111111111111A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4000040000400042A ∴122221n nn E n k A A n k -⎧==⎨=+⎩时时 (8) .0,000000100,000100010,32=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=B B B B E A 其中λ因为λE 与B 可交换,所以.002)1(0)(12122211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+++=+=-----nn nn n nn n n n n n n n n n n EB C EB C E B E A λλλλλλλλλλ3．(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101521142801121311222A()2613513803813221222f A A A E E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪∴=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭(2) 222175331512A --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴()01215573522=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+-=A E A A A f4.解：(1) 设,,,a b a c b d a a b X A X X A c d cdc cd +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由0A X X Ac =⇒=，a b bd a d +=+⇒= ∴0a b X a ⎛⎫=⎪⎝⎭,a b 任取。
线性代数练习题（矩阵）
线性代数练习题（矩阵）线性代数练习题（矩阵）A一、填空题 1、1330,,2112A B AB BA ==-=-2、()312321?? ?= ? ?3、431712325701-= ??? ???????4、13121400121134131402??-?? ?= ? ?--??-??5、2546,1321X X -==6、已知221()53,33f x x x A -??=-+= ?-??，则()f A =二、选择题1、21234-??=（）1451010039161510A B C D --???? ? ?????2、000000na b c ??= ? ???（）000000()0000000000n nn n a A B abc C D b c ??3、矩阵1132-??的标准型是（）1110011101A B C D ???? ? ?????4、矩阵023*********-?? ?- ? ?--??的最简型矩阵是（）0105010000130 01300000001100011000010000000000000A B C D5、矩阵1234124511012??- ? ???的秩是（）1243A B C D6、,A B 均为n 阶方阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（）A AB B A EC AB BAD BE ====7、设,A B 均为n 阶方阵，且AB O =，则必有（）000A AB B A B OC A O B OD A B ==+===+=或或8、,A B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充要条件是（）0A A B B C AB D AB BA ≠=可逆可逆9、11,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆矩阵，则111()A B ---+=（）1111()()A A B B A B C A A B B D A B ----++++线性代数练习题（矩阵）B一、填空题1、设A 是m n ?阶矩阵，B 是s m ?阶矩阵，则TTA B 是阶矩阵。
矩阵习题及答案
矩阵习题一、选择题1、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×4、，下列运算( )有意义.(A). ABC (B). AB-C (C). A+B(D).BC-A.2、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×3、D3×3、，下列运算( )无意义.(A). |AB|(B). |BA|(C). |AB|=|A|⋅|B|(D). |CD|=|C|⋅|D| .3、设|A|≠0，下列结论( )无意义.(A). |A*|≠0 (B). |A－1|=|A|－1(C). A对称⇔ A－1对称(D). A－1=1/A.4、若同阶方阵A、B满足(A+B)(A－B)=A2－B2，则( ).(A). A=B (B).A=E (C). AB=BA (D).B=E.5、设A,B为同阶方阵，满足AB=O，则( )有意义.(A). |A|=0或| B|=0 (B).A+B=O (C). A=O或B=O (D). |A|+| B|=0.6、若A*为A的伴随矩阵，则|A*|=( ).(A). |A|n-1(B). |A|n-2(C)|A|n (D). |A| .7、设A,B为同阶对称阵，则AB对称的充要条件为( ).(A).A可逆(B). B可逆(C). |A B|≠0 (D). AB=BA.8、若A、B为n阶方阵，则( ).(A). |A+ B|=|A|+| B| (B). |A B|=| B A |(C). AB=BA (D). (A+B)－1 =A－1+B－1.9、若A、B、A+B为n阶可逆阵，则(A－1+B－1)－1 = ( ).(A). A－1+B－1(B). A+ B (C). B (A+B)－1 A (D). (A+B)－110、若A*为A的伴随矩阵，则(A*)*=( ).(A). |A|n-1 A (B). |A|n+1 A (C).|A|n-2 A. (D). |A|n+2 A .11、若A、B为n阶可逆阵，则 ( )(A). (AB)T=A T B T(B). (A+B)T=A T+ B T(C). (AB)－1 =A－1B－1(D). (A+B)－1 =A－1+B－1.12、设A、B为n阶矩阵，满足(AB) 2=E，则等式( )不成立.(A). A= B－1(B). ABA= B－1(C). BAB =A－1(D). (BA) 2=E .13、设A、B都可逆，且AB=BA，则等式( )不成立。
数学课程矩阵运算练习题及答案
数学课程矩阵运算练习题及答案矩阵运算是数学中的一个重要概念，涉及到矩阵的相加、相减、相乘等操作。
通过练习题的方式，可以巩固和提升对矩阵运算的理解与应用能力。
以下是一些常见的矩阵运算练习题以及它们的答案，供大家参考。
1. 矩阵相加已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9) 和矩阵B = (9 8 7; 6 5 4; 3 2 1)，求A + B。
解答：将同一位置上的元素相加，得到：A +B = (1+9 2+8 3+7; 4+6 5+5 6+4; 7+3 8+2 9+1) = (10 10 10; 10 10 10; 10 10 10)2. 矩阵相减已知矩阵A = (1 2; 3 4) 和矩阵B = (5 6; 7 8)，求A - B。
解答：将同一位置上的元素相减，得到：A -B = (1-5 2-6; 3-7 4-8) = (-4 -4; -4 -4)3. 矩阵相乘已知矩阵A = (2 1 -3; 0 -2 1) 和矩阵B = (4 -1; 3 2; -2 1)，求A × B。
解答：矩阵A的行数与矩阵B的列数相等，因此可以进行矩阵相乘。
按照矩阵相乘的规则，计算得到：A ×B = (2×4+1×3-3×-2 2×-1+1×2-3×1; 0×4-2×3+1×-2 0×-1-2×2+1×1) = (15 -2; -7 -1)4. 矩阵数量乘法已知矩阵A = (2 4; 6 8)，求2A。
解答：将矩阵A中的每个元素乘以2，得到：2A = (2×2 2×4; 2×6 2×8) = (4 8; 12 16)5. 矩阵的转置已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，求A的转置矩阵AT。
解答：将矩阵A的行与列互换得到其转置矩阵：AT = (1 4 7; 2 5 8; 3 6 9)6. 矩阵的逆已知矩阵A = (1 2; 3 4)，求A的逆矩阵A-1。
矩阵论习题
Amε + mε m−1A = (m +1) A
即 k = m +1时结论成立.故对一切 k > 1 结论成立. 二、提高题：
1、证明:可逆变换是双射.
6) 在 P3 中, A 定义如下:
⎧ Aη = (−5, 0,3)
⎪ ⎨
1
Aη2
=
(0, −1, 6)
⎧η = (−1,0,2)
其中
⎪ ⎨
1
η2
=
(0,1,1)
⎪ ⎩
Aη3
=
(−5,
−1, 9)
⎪⎩η3 = (3,−1,0)
求 A 在基 ε1 =(1,0,0), ε 2 =(0,1,0), ε 3 =(0,0,1)下的矩阵;
证 用数学归纳法.
当 k = 2 时, A2B − BA2 = ( A2B − ABA) + ( ABA − BA2 ) = A( AB − BA) + ( AB − BA) A = Aε + ε A = 2 A
结论成立.
假设 k = m 时结论成立,即 AmB − BAm = mAm−1 则当 k = m +1时,有
Aε1 = (x +1) − x = ε0
……
Aε n−1
=
(x
−1)x…[x − (n (n −1)!
−
3)]
−
x(x
−1)…[x − (n (n −1)!
矩阵_练习题
矩阵 练习题1、设 f (x) = x 2 - 3x + 2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3121A ，求 f (A ) 。
2、计算下列矩阵的乘积（其中 m ，k ，n 均为正整数）：nk m⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110010001101010001100011001。
3、已知矩阵 A = BC ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121B ，C = ( 2, -1, 2 ) ，求 A 100 。
4、设向量 α = ( 1 , 2 , 3 , 4 )，β = ( 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 )，且 A = αT β，求 A 10 。
6、求矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001001101111111A 的逆矩阵。
7、设三维列向量 α = ( 1 , 0 , -1 )T ，三阶方阵 A = 3E - ααT，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 A -1 。
8、（1）设分块矩阵 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A B H 0可逆，其中 A 、 B 分别为 m 阶、n 阶可逆矩阵，求 H -1 ；（2）利用（1）的结果，计算下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31132225110012H 。
9、当 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2/12/32/32/1A 时，A 6 = E ，求 A 11 。
13、求解矩阵方程 AX = B ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121112110A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100142B 。
14、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101410311A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120002011B 。
求矩阵方程 X - XA = B 。
15、已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102210011，三阶矩阵X 满足A 2 X = 2E + AX ，求矩阵X 。
16、已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A ，且 A 2 - AB = E （其中 E 为三阶单位矩阵），求矩阵B 。
习题
定理:用初等矩阵左乘矩阵A，相当于对A进 行相应的初等行变换；
用初等矩阵右乘矩阵A，相当于对A进行相 应的初等列变换。
作业：已知矩阵方程AX B,其中
a11 a12 a13 a11 a12 a13
A a21
a22
a23
B
12
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，此行列式为范德蒙行列式．
例 设四阶行列式
a1 a2 a3 p
D b1
b2
b3
p ,
c1 c2 c3 p
d1 d2 d3 p
则其第1列元素的代数余子式之和
0 A11+A21+A31+A41=_____.
行和或列和相等的行列式
0333 3:计算: D 3 0 3 3
3
2
,
求An
解：由于An PQ PQ PQPQ
P(QP)(QP)(QP)Q
计算QP
2 1
32
2
1
3 2
1 0
0 1
E
故An PnQ
而n
E, n是偶数 ，n是奇数
故An
PQ E，n是偶数
(5)EA A AE. OA O AO.
若A2
O,
A不一定是O矩阵，如
1 1
1 1
但如果AAT O,则A O,
所以如果A2 O,且A对称，则A O
教材P13：已知A PQ,其中
2 P 1
3 1 2, 0
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教材矩阵习题及答案2 3 -2 -3-2 -3\^2/ d 丿答案你彳 +a…x； +如3疋 +2U..X.X. +2a^x.x 3 +2a^x,x 3⑴初=34吗？ 解 AB^BA a因为R, BA=(j 劲 ⑵(A + B)2 = A ，+2A3 + B2 吗? 解 (A + B)2^A 2+2AB + B2习题2.1K4、21.设人= 答案 12 4 、2 37 1 -3 10 0 017 10 155\0 ,求A + B y 2A + 3B 5>2・求(1 13) 2 , -1 (2 3 kb I j丿1)3 1 )(2 1 4 0) 0 -1 211-13 4；1 -3 1u 0 —2丿3. 答案6 -7 20 -58 -6•11z (\ -23zd 5.答案（13）,1 ]-1 -b因为A+B=25 221解A2=‘11<1 2 8.设4 = 01-1 、B = -1 -2U一1 ］丿23 -4 ,分别求 A T B, B T A, A TBT, (AB)T O(Z)吨现鈞=( A- + 2AB + B~=C^ fJ+( (3) (A + B)(A -B) = A 2-B 2吗？ 解(A +B)(A_B)H A?"因为A +B =G 剤,A-B=Q 寻G4+B)(A_B)=G 缢 I 3 2)=(?A 2-B 2 = 2 8)L 7f6举反列说明下列命题是错误的： (1)若 A 2 = 0» 贝ijA = 0o 0 1) o or解取冶= ⑵若 A2 = A,则 A = E,或4 = 0。
1uo o 丿⑶若 AX=AY,且A HO,则X=Y 。
解取解取4 =，求A\A ・・・Ao7•设 A =1 1) 0 JA 3=A 2A=(1 0丫1 1 0) ⑵1人；I 1丿一⑶1/0 0 -1 ,011如果矩阵A3均为n 阶方阵.且AB = BA,求证:(1) (A-B)2 =A 2-2AB + B 2； (2) (A + B)(A-B) = A 2-B 2； (3) (A - B)3 =A 3 -3A 2B + 3AB 2 - B 2Q习题2.21. 试证：两个上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵。
2. 如果A 为实对称矩阵，且A'=O,那么A = O 。
3. 设矩阵AB 均为”阶方阵，且人为对称矩阵，证明B‘ AB 也是对称矩阵。
4. 设均为兀阶对称矩阵，试证AB + BA 也是对称矩阵。
5. 设均为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是AB = 34 °6. 设A 为反对称矩阵，B 为对称矩阵试证： （1） 是对称矩阵，A’是反对称矩阵。
（2） AB — BA 是对称矩阵，AB + BA 是反对称矩阵。
（3） AB 是反对称矩阵的充要条件是A3 = 34。
习题2・3<1 44、 1'1 0 P5 -5 1、/ 答案"B 二 0 -2 -2,B TA =4-2 4 ,A T BT =0 1 1,(AB)T =<14 5,<4 -2 5 丿J -2 1J\-1-4-5 9.设4 = (-1 0 9 2 34 0 0 2 2 06 5 0 ，求|-3外卜叭，同+冋答案 405,-600,25 10•设A 为〃阶实方阵，且人4丁=E,证明 |A| = ±lo0 0 -1,0（\1.用分块矩阵计算Q10 2 0 2 10 0、丿5 2 0 0则3238-25-zr1\3285n-、——丿解2512-325-25-AB852152(2)<1 2 0 0 0、3 5 0 0 00 0 4 0 00 0 0 2 0<o 0 0 3 4丿..\oOoOo3•设c阶矩阵川及s阶矩阵万都可逆，求则AooccAB/i\-Xu/GC4A-oOB-----GQGG厂L—丿、o&----GqGAY _（o 沪） o ） _1肝 o \人、・•• （备易……人都不为0）的逆矩阵。
5・解下列矩阵方程：⑴（阶州 解F 釦d 有訓卄（疋\|311 11--4O-211-4\)/O2、 丿1 O1 4 z /fl \-、— ——111 1 -22 1z r25 28-314-132-1z f l \X1 -Z /H KOJ/IX所以4・求<40丫丫1 -4 3丫16.利用逆矩阵解下列线性方程组:X 1 + 2X 2+3X 3 = 1(I )< 2Xj+2x 24-5x 3 = 2；3西+5无+召=3方程组可表示为(\2(3(x i“2*1< =0.^=0X 1-X 9-X 3 = 2 (2) 2X 1-X 2-3X 3=1 .3X }+2X 2-5X 3=07. 求证：（1）如果4是可逆的上（下）三角矩阵，那么4"也是上（下）三角矩阵。
（2）如果A 是可逆的对称（反对称）矩阵，那么q"也是对称（反对称）矩阵。
8. 设矩阵A 可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且（加尸=（A"）*°0 1 解 X= 1 0(0 0 (0 1=1 0,0 0 11丿2 0-10 1-2 ° 丿(0 o or*Yi o o'(2 —1 0 \ 0 0 1 —— 1 3 -4 Ao 1 0 丿1 0 -2, X /\fl 2 3) -i⑴—2 2 5 2 = 0 /<3 5 1；3I 3从而有 解故有2证明 由人一1=丄人貧得月心zl < 所以当月可逆时，有\A\I =才，| = | 川 ~工0,从而力*也可逆.因为A*=\A\A~\所以（力*） ~'=\A\ ~lA.又 A=J -^[J （A-,）*=IAI （A-1）*,所以（力*） - = | I~'A = H HI （肝）*= U -1） *•习题2・41.把下列矩阵化为行最简形矩阵:-1 1 3 -r1 (下一步：r ：+ (-2)r b 芯+(-3)IY )5-3 02 -1 -2-r 3 6丿(下一步：22-(-1), r 3-(-2).) 2 -1、 1 -312 -八1 -3 （下—步：耳-2r :.） 0 °丿0 0 0（下—步：匕- 12.）A 7 3 8 6 0 ---1 4 8 6 0 - 1 3 4 3 5 --- -1O o O（下—步：匕*（一4），少（一3）,厂*（一5）.）（下一步: ri 一3匕，r-r z.)-1 0 2 -3 0 1 -2 20 00 0 2 3 1 -3 -7(0 2 -3 1) ⑵ 0 3—43 (0 4 -7 -1J(0 2 -3 l\ 解 0 3 -4 3 (下一步：匕x2+(-3)岛匕+(-2)乩)(0 4 -7 -1J(0 2 -3 1、0 0 1 3 (下一步：r 3+r ：,匕+3匕.) ,0 0 -1 —3丿(0 2 0 10)0 0 13 (下一步：竝-2.) (0 0 0 0丿fl -1 3 -4 3) 3-35-4 1 2-23-2 0,3 -3 4 -2 一1丿 fl -1 3 -4 3) 3-35-4 1 2-23-2 0 (3 -3 4 -2 -1J\ /5 3 0 O 1 O 1 o O o o O zr L\(下一步：zt-3ri ? z^-2r ：, n-3ri.-1 3 -4 3、 0 1-22 0 1-220 1 —2 2丿1 2 0-2-4 3-28 3 0 _3 7 43丿22.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:（3 2 1） （1） 3 1 5 ； （ 3 2 3丿[3 2 1 1 0 0、(3 2 1 1 0 0]解 3 15 0 100-14-1 1 03 2 3 0 0 k10 0 2 -1 0 12 3 1 1 2 0 3-2 8 -3 7 -3 —7) -2 -4 3 04 3丿（下一步：r-2r z ,匕-3吃厂-2花.fo -11 2 0 -8 (0-7-4 12(下一步：r ：+2ri, r 5-8r b ri-7r ：.) (0 -1 1 1 1)2 0 -2 )1 4 )1 4丿(下一步：2102^, 2sX (-l), UF.f 1 0 2 0 01-1-1 0 0 0 1 ,0 0 0 0-2\ -1 4 （下一步:r ：+r 3.）2」4 O 1 O o O o O o O m\\27/2 2 -9/2> 2/21/211oO 1 0 4 0/ 11 -21 3/ 2/3-1O/6-1(3 01°fl 0〔故逆矩阵为、3 -221-2 -r3 -2 0 -1 1 0 0 0] 解0 2 2 1 0 1 0 0 1 -2 -3 -20 0 1 01 2 10 0 0 1丿<1 -2 - A -2 0 0 1 02 010 0 0 10 41 0 -3 020 1 0 01-2-3 -20 12 1 0 0 11 f 0 -2 -1提示:设AX =B,(A\B)^(E\X)Q0 23 2-3 010 z r l x2)[10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 \故逆矩阵为 111 1 0 1 -1 -12 1 -4-1OJ 11-3・试用初等行变换解矩阵方程: 14 0 --10 3 64 J6 O -1 1 3、<4 0 2、-1 1 2 X = 2 -1 1 、1 0 b25 b0 0 0 0 1 0 0 10 14 2 --10 3 0<-1 -4 0、答案-7 -23 -1<4 9 1 >复习题与答案一、单项选择题1.对于”阶可逆矩阵A , B,则下列等式中( )不成立.(A) |(AB)_,|=|A-,|-|B-,|(B) | = (1 /\A~1 |)-(1 /\B~1 I)(C) |(AB)-,| = |A|-，-|B|_，(D) |(AB)-'| = 1/|AB|答案B2..设A是上(下)三角矩阵，那么A可逆的充分必要条件是q的主对角线元素为( ).(A)全都非负(B)不全为零(C)全不为零(D)没有限制答案C^21 “22^23、"0 1 O' 3.设A =（s）»3，B =a1 0 0u a\2 a\i<a3\ +"11 a i2 +a\2°33 +53 丿0 L ‘10 0、P2 = 0 1 0 ,那么（）.<1 0 L(A) AP l P2=B (B) AP,P{ =B (C) P{P2A = B (D) P2P l A = B答案C4.如果A为三阶方阵，且|A|=2,则卜［=( )。