分式方程和二次根式试题和答案

分式方程和二次根式专项讲解

一．知识框架

二．知识概念

1、分式：形如B

A

，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式。其中A

叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

二次根式：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a ＞0时，√a 表示a 的算

数平方根,其中√0=0 2、分式有意义的条件：分母不等于0

3、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C 为整式，且C≠0） 5、最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.

6、分式的四则运算：①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加 减.用字母表示为：

c

b

a c

b

c a ±=

± ②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：

bd

bc

ad d c b a ±=± ③分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：

bd

ac

d c b a =

* ④分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

bc ad d c b a =÷(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数: c

d b a d c b a *=÷ 7、 理解并掌握下列结论： （1）()0≥a a 是非负数； （2）

()()02

≥=a a a ； （3）

()02≥=a a a ；

三、知识讲解

【例1】（2009年黔东南州）当x_____时，

1

1

+x 有意义．（1-≠x ）

★直通中考：1、（2009年漳州）若分式

1

2

x -无意义，则实数x 的值是 x=2 ． 2、（2009年天津市）若分式222

21

x x x x --++的值为0，则x 的值等于 x=2 ．

3、（2010安徽芜湖）要使式子

a ＋2

a

有意义，a 的取值范围是（ B ） A ．a ≠0 B ．a ＞－2且a ≠0 C ．a ＞－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠0 4、已知

有意义，则在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）位于第 __四__ 象限．

【例2】(2009年成都)分式方程21

31

x x =

+的解是 x=2 ★直通中考：1、(2009年潍坊)方程31

23

x x =

+的解是 ．（x=9） 2、(2009宁夏)解分式方程：1233x x x +=--．

（3

7

=x ） 【例3】（2009 年佛山市）化简：22

11xy

x y x y x y

⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ （y 2）

★直通中考：1、（2009年湖南长沙）分式

11

1(1)

a a a +++的计算结果是（ C ） A ．

11

a + B ．

1a a +

C ．

1a

D ．

1

a a

+ 2、（2009年佳木斯）计算21111a a a ⎛

⎫+

÷ ⎪

--⎝⎭= （1

+a a

） 3、(2009年成都)化简：2222

1369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ （y

x y -2） 4、（2010广东广州）若a ＜1，化简2(1)1a --＝（ D ）

A ．a ﹣2

B ．2﹣a

C ．a

D ．﹣a

5、已知2＜x ＜5，化简2

(2)x -+2

(5)x -＝________.（3） 【例4】(2009年内江市)已知25350x x --=，则22

1

52525x x x x --

--＝__________．（5

28） ★直通中考：1、（2009烟台市）设0a b >>，2

2

60a b ab +-=，则a b

b a

+-的值等于．（2） 2、（2009年枣庄市）已知a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111

a b +++，则P = Q （填“＞”、“＜”或“＝”）．

3、(2011·呼和浩特)若x 2

－3x ＋1＝0，则x 2

x 4＋x 2＋1的值为________．（8

1）

4、(2011·乐山)若m 为正实数，且m －1m ＝3，则m 2－1

m

2＝________.（53）

5、（2010四川广安）若|2|20x y y -++=，则xy 的值为（ A ） A ．8 B ． 2 C ．5 D ．6-

6、已知522+-+-=

x x y ，则

x y =________．（5

2） 【例5】(2009年河北)已知a = 2，1-=b ，求2221a b a ab --+÷1

a

的值．

解：化简后1++b a ，代入可得2112=+-

★直通中考：1、（2009年莆田）先化简，再求值：22442

42

x x x x x x +++÷---，其中1x =．

解：化简后x -，代入可得-1

2、（2009年衡阳市）先化简，再求值：2

12)14(-÷

-+-a a a a a ，其中31

=a ．

解：化简后13-a ，代入可得013

1

3=-⨯

3、(2011年中考)已知x 是一元二次方程0132

=-+x x 的实数根，求代数式

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--+÷--252633

2x x x x x 的值．

解：化简后)3(31+x x ，因为0132

=-+x x 可化为1)3(=+x x ，故原式可得3

1

4、（2009湖北省荆门市）已知x =2＋3，y =2-3，计算代数式221

1()()x y x y x y x y x y

+----+的值．

解：化简后xy 4

-

，代入可得()()

34-3

2324-=-+