高三二轮复习数学专题教案

云南省2010届高三二轮复习专题（三十二） 题目 高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用

高考要求

数学归纳法是高考考查的重点内容之一类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法

重难点归纳

(1)数学归纳法的基本形式

设P (n )是关于自然数n 的命题，若

1°P (n 0)成立(奠基)

2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等

典型题例示范讲解

例1试证明不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有a n +c n ＞2b n

命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式

知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况 技巧与方法本题中使用到结论(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a

证明(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q

b ,

c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n

q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，

则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2

c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明

①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2

(2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2

(2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时，4

1211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=4

1(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2

c a +)k +1 也就是说，等式对n =k +1也成立

由①②知，a n +c n ＞2b n 对一切自然数n 均成立

例2在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2

1成等比数列 (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列{a n }所有项的和

命题意图本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识

知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤采用的方法是归纳、猜想、证明 错解分析(2)中，S k =－3

21-k 应舍去，这一点往往容易被忽视 技巧与方法求通项可证明{

n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式

解∵a n ,S n ,S n －

2

1成等比数列， ∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－

32 由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得a 3=－15

2 同理可得a 4=－352,由此可推出a n =⎪⎩

⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立

②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)

12)(32(2--k k 成立 故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －2

1) ∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0

∴S k =

3

21,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21) .1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212

命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒

++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k 由①②知，a n =⎪⎩

⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立

(3)由(2)得数列前n 项和S n =1

21-n ,∴S =lim ∞→n S n =0

例3是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=

12)1(+n n (an 2+bn +c ) 解假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，

这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a c b a c b a c b a 于是，对n =1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n (n +1)2=

)10113(12

)1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2

设n =k 时上式成立，即S k =12

)1(+k k (3k 2+11k +10) 那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2

)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2 =12

)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24) =12

)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］ 也就是说，等式对n =k +1也成立

综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立

学生巩固练习

1已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )

A30B26C36D6

2用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )

A n =1

B n =2

C n =3

D n =4

3观察下列式子474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出________ 4已知a 1=2

1,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为________，由此猜想a n =________ 5用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *

6若n 为大于1的自然数，求证

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13212111>+++++n n n 7已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145

(1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+n

b 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试