17.1 勾股定理(第一课时)

17．1 勾股定理

第1课时勾股定理

01 课前预习

要点感知勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 预习练习在Rt△ABC中，若两条直角边长分别是5 cm、12 cm，则斜边长为(B) A．17 cm B．13 cm

C．7 cm D．12 cm

02 当堂训练

知识点1 利用勾股定理进行计算

1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C) A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2

C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b2

2．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2的值为(B)

A．18B．9

C．6 D．无法计算

3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则正方形ABCD的面积为(C)

A．48

B．60

C．100

D．140

4．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为(D)

A.10 B．2.5 C．7.5 D．310

5．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2 3 cm，则另一条直角边的长是(C) A．4 cm B．4 3 cm

C．6 cm D．6 3 cm

6．(柳州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝4．

7．(玉溪中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2＝4，S3＝6，则S1＝2．

8．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.

(1)若b＝2，c＝3，求a的值；

(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a、c的值．

解：(1)∵a2＋b2＝c2，

∴a＝c2－b2.

∴a＝ 5.

(2)设a＝3x，c＝5x，

∵a2＋b2＝c2，

∴(3x)2＋322＝(5x)2.解得x＝8.

∴a＝24，c＝40.

知识点2 勾股定理的证明

9．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2.

03 课后作业

10．(荆门中考改编)如图，△A BC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BD 的长为(C)

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

11．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AC ＝3，BC ＝4，则CD 的长为(C )

A ．5

B .52

C .125

D ．2

12．(株洲中考改编)如图，以直角三角形的三边a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，等腰直角三角形和正方形，上述三种情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3图形个数有(D )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为

14．如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2_017

．

15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 中点，求证：AB 2

＋3BC 2

＝4BD 2

.

证明：在Rt △BDC 中，根据勾股定理，得BD 2

＝CD 2

＋BC 2

，∴CD 2

＝BD 2

－BC 2

.

在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2

. ∵D 是AC 的中点，∴AC ＝2CD. ∴4CD 2

＋BC 2

＝AB 2

.∴CD 2

＝AB 2

－BC

2

4

.

∴BD 2

－BC 2

＝AB 2－BC 2

4

，即AB 2＋3BC 2＝4BD 2

.

16．(益阳中考)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

作AD⊥BC于D ，设BD ＝x ，用含x 的代数表示CD.→根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.

解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，∴CD ＝14－x. 由勾股定理，得AD 2

＝AB 2

－BD 2

＝152

－x 2

， AD 2

＝AC 2

－CD 2

＝132

－(14－x)2

， ∴152

－x 2

＝132

－(14－x)2

.解得x ＝9. ∴AD ＝12.

∴S △ABC ＝12BC·AD＝1

2×14×12＝84.

挑战自我

17．(温州中考)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a 2

＋b 2

＝c 2

.

证明：连接DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a. ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋1

2ab ，

又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋1

2a(b －a)，

∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋1

2a(b －a)． ∴a 2

＋b 2

＝c 2

.