算法的时间复杂度计算
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结分析
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。
第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。
而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。
算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。
因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。
算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。
而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。
一、事后统计的方法这种方法可行，但不是一个好的方法。
该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。
二、事前分析估算的方法因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。
因此人们常常采用事前分析估算的方法。
在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。
一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。
为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。
1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法算法 今天给⼤家带来⼀篇关于算法排序的分类,算法的时间复杂度,空间复杂度,还有怎么去优化算法的⽂章,喜欢的话,可以关注,有什么问题,可以评论区提问,可以与我私信,有什么好的意见,欢迎提出.前⾔: 算法的复杂度分为时间复杂度与空间复杂度,时间复杂度指执⾏算法需要需要的计算⼯作量,空间复杂度值执⾏算法需要的内存量,可能在运⾏⼀些⼩数据的时候,⼤家体会不到算法的时间与空间带来的体验. 优化算法就是将算法的时间优化到最快,将空间优化到最⼩,假如你写的mod能够将百度游览器的搜索时间提升0.5秒,那都是特别厉害的成绩.本章内容: 1,算法有哪些 2,时间复杂度,空间复杂度 3,优化算法 4,算法实例⼀,算法有哪些 常见的算法有冒泡排序,快排,归并,希尔,插⼊,⼆分法,选择排序,⼴度优先搜索,贪婪算法,这些都是新⼿⼊门必须要了解的,你可以不会,但是你必须要知道他是怎么做到的,原理是什么,今天就给⼤家讲⼀讲我们常⽤的冒泡排序,选择排序,这两个排序算法,1,冒泡排序(Bubble Sort), 为什么叫他冒泡排序呢? 因为他就像是从海底往海⾯升起的⽓泡⼀样,从⼩到⼤,将要排序的数从⼩到⼤排序,冒泡的原理: 他会⼀次⽐较两个数字,如果他们的顺序错误,就将其调换位置,如果排序正确的话,就⽐较下⼀个,然后重复的进⾏,直到⽐较完毕,这个算法的名字也是这样由来的,越⼤的数字,就会慢慢的'浮'到最顶端. 好了该上代码了,下⾯就是冒泡排序的代码,冒泡相对于其他的排序算法来说,⽐较的简单,⽐较好理解,运算起来也是⽐较迅速的,⽐较稳定,在⼯作中也会经常⽤到,推荐使⽤# 冒泡排序def bubble_sort(alist):n = len(alist)# 循环遍历，找到当前列表中最⼤的数值for i in range(n-1):# 遍历⽆序序列for j in range(n-1-i):# 判断当前节点是否⼤于后续节点，如果⼤于后续节点则对调if alist[j] > alist[j+1]:alist[j], alist[j+1] = alist[j+1], alist[j]if__name__ == '__main__':alist = [12,34,21,56,78,90,87,65,43,21]bubble_sort(alist)print(alist)# 最坏时间复杂度: O(n^2)# 最优时间复杂度: O(n)# # 算法稳定性:稳定2,选择排序(selection sort) 选择排序(selection sort)是⼀种简单直观的排序⽅法, 他的原理是在要排序的数列中找到最⼤或者最⼩的元素,放在列表的起始位置,然后从其他⾥找到第⼆⼤,然后第三⼤,依次排序,依次类,直到排完, 选择排序的优点是数据移动, 在排序中,每个元素交换时,⾄少有⼀个元素移动,因此N个元素进⾏排序,就会移动 1--N 次,在所有依靠移动元素来排序的算法中,选择排序是⽐较优秀的⼀种选择排序时间复杂度与稳定性:最优时间复杂度: O(n2)最坏时间复杂度:O(n2)算法稳定性 :不稳定(考虑每次升序选择最⼤的时候)# if alist[j] < alist[min_index]:# min_index = j## # 判断min_index索引是否相同,不相同，做数值交换# if i != min_index:# alist[i],alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]### if __name__ == '__main__':# alist = [12,34,56,78,90,87,65,43,21]# # alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]# select_sort(alist)# print(alist)# O(n^2)# 不稳定def select_sort(alist):"""选择排序"""n = len(alist)for i in range(n - 1):min_index = i # 最⼩值位置索引、下标for j in range(i+1, n):if alist[j] < alist[min_index]:min_index = j# 判断min_index ,如果和初始值不相同，作数值交换if min_index != i:alist[i], alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]if__name__ == '__main__':alist = [8,10,15,30,25,90,66,2,999]select_sort(alist)print(alist)这是⼀些算法的时间复杂度与稳定性时间复杂度,空间复杂度 接下来就要来说说时间复杂度与空间复杂度: 时间复杂度就是假如你泡茶,从开始泡,到你喝完茶,⼀共⽤了多长时间,你中间要执⾏很多步骤,取茶叶,烧⽔,上厕所,接电话,这些都是要花时间的,在算法中,时间复杂度分为 O(1)最快 , O(nn)最慢,O(1) < O(logn) <O(n)<O(n2)<O(n3)<O(2n) <O(nn) ⼀般游览器的速度都在O(n),做我们这⼀⾏,要注意客户体验,如果你程序的运⾏特别慢,估计别⼈来⼀次,以后再也不会来了下⾯给⼤家找了张如何计算时间复杂度的图⽚: 空间复杂度(space complexity) ,执⾏时所需要占的储存空间,记做 s(n)=O(f(n)),其中n是为算法的⼤⼩, 空间复杂度绝对是效率的杀⼿,曾经看过⼀遍⽤插⼊算法的代码,来解释空间复杂度的,觉得特别厉害,我就⽐较low了,只能给⼤家简单的总结⼀下我遇到的空间复杂度了, ⼀般来说,算法的空间复杂度值得是辅助空间,⽐如:⼀组数字,时间复杂度O(n),⼆维数组a[n][m] :那么他的空间复杂度就是O(n*m) ,因为变量的内存是⾃动分配的,第⼀个的定义是循环⾥⾯的,所以是n*O(1) ,如果第⼆个循环在外边,那么就是1*O(1) ,这⾥也只是⼀个了解性的东西,如果你的⼯作中很少⽤到,那么没有必要深究,因为⽤的真的很少优化算法这边带来了代码,你们在复制下来了python上运⾏⼀下,看⼀下⽤的时间与不同, ⾃然就懂了,这是未优化的算法''已知有a,b,c三个数,都是0-1000之内的数,且: a+b+c=1000 ⽽且 a**2+b**2=c**2 ,求a,b,c⼀共有多少种组合'''# 在这⾥加⼀个时间模块,待会好计算出结果import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001):for c in range(100):# 判断他主公式第⼀次,并未优化if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :# 打印print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 156.875001秒这是第⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):# 这⾥改成1001-a之后,他就不⽤再循环b了for b in range(1001-a):for c in range(100):# 判断他主公式第⼆次,优化了b,if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 50.557070秒最后⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001-a):c=1000 - a - b# 判断他主公式第三次,优化了b和cif a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 2.551449秒从156秒优化到l2秒, 基本运算总数 * 基本运算耗时 = 运算时间这之间的耗时和你的机器有着很⼤的关系今天是12⽉30⽇,明天就要跨年了,祝⼤家2019年事业有成,⼯资直线上升,早⽇脱单,。
算法的时间复杂度和空间复杂度
相关知识介绍（所有定义只为帮助读者理解相关概念，并非严格定义）：1、稳定排序和非稳定排序简单地说就是所有相等的数经过某种排序方法后，仍能保持它们在排序之前的相对次序，我们就说这种排序方法是稳定的。
反之，就是非稳定的。
比如：一组数排序前是a1,a2,a3,a4,a5，其中a2=a4，经过某种排序后为a1,a2,a4,a3,a5，则我们说这种排序是稳定的，因为a2排序前在a4的前面，排序后它还是在a4的前面。
假如变成a1,a4, a2,a3,a5就不是稳定的了。
2、内排序和外排序在排序过程中，所有需要排序的数都在内存，并在内存中调整它们的存储顺序，称为内排序；在排序过程中，只有部分数被调入内存，并借助内存调整数在外存中的存放顺序排序方法称为外排序。
3、算法的时间复杂度和空间复杂度所谓算法的时间复杂度，是指执行算法所需要的计算工作量。
一个算法的空间复杂度，一般是指执行这个算法所需要的内存空间。
功能：选择排序输入：数组名称（也就是数组首地址）、数组中元素个数算法思想简单描述：在要排序的一组数中，选出最小的一个数与第一个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小的与第二个位置的数交换，如此循环到倒数第二个数和最后一个数比较为止。
选择排序是不稳定的。
算法复杂度O(n2)--[n的平方void select_sort(int *x, int n){int i, j, min, t;for (i=0; i<n-1; i++) /*要选择的次数：0~n-2共n-1次*/{min = i; /*假设当前下标为i的数最小，比较后再调整*/for (j=i+1; j<n; j++)/*循环找出最小的数的下标是哪个*/{if (*(x+j) < *(x+min)){min = j; /*如果后面的数比前面的小，则记下它的下标*/}}if (min != i) /*如果min在循环中改变了，就需要交换数据*/{t = *(x+i);*(x+i) = *(x+min);*(x+min) = t;}}/*功能：直接插入排序输入：数组名称（也就是数组首地址）、数组中元素个数算法思想简单描述：在要排序的一组数中，假设前面(n-1) [n>=2] 个数已经是排好顺序的，现在要把第n个数插到前面的有序数中，使得这n个数也是排好顺序的。
matlab 时间空间复杂度计算
matlab 时间空间复杂度计算在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是评估算法性能的两个重要指标。
而在MATLAB中，对于算法的时间复杂度和空间复杂度的计算与其他编程语言类似。
本文将从理论和实际应用的角度，详细介绍MATLAB中时间复杂度和空间复杂度的计算方法，并探讨如何优化算法以提高性能。
时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模增长而增长的程度，通常用大O符号表示。
它描述了算法执行所需的基本操作次数，并提供了一种粗略的估计。
在MATLAB中，我们可以使用复杂度符号库来计算时间复杂度。
常见的时间复杂度包括：-常数时间复杂度O(1)：算法的执行时间不受输入规模的影响，例如直接访问数组元素。
-线性时间复杂度O(n)：算法的执行时间与输入规模n成正比，例如遍历数组或链表。
-对数时间复杂度O(log n)：算法的执行时间随输入规模n的对数增加，例如二分查找。
-平方时间复杂度O(n^2)：算法的执行时间与输入规模n的平方成正比，例如嵌套循环。
在MATLAB中，可以通过分析循环、递归和函数的调用来判断算法的时间复杂度。
具体方法如下：1.计算循环次数：分析算法中的循环结构，找出循环变量的变化规律并计算循环次数。
通常情况下，循环结构的复杂度与循环次数成正比。
2.分析递归调用：递归算法的时间复杂度可以通过递归树来计算。
根据递推关系式和递归调用的次数，可以得到递归算法的复杂度。
3.考虑函数调用开销：函数调用也会耗费一定的时间，特别是输入和输出参数的传递。
因此，在计算算法复杂度时，需要考虑函数调用的开销。
空间复杂度是衡量算法在执行过程中所需的额外内存空间的大小，通常也用大O符号表示。
它描述了算法所需的内存空间随输入规模增长而增加的程度。
常见的空间复杂度包括：-常数空间复杂度O(1)：算法所需的额外内存空间是固定的，与输入规模无关，例如只使用有限个额外变量。
-线性空间复杂度O(n)：算法所需的额外内存空间与输入规模n成正比，例如需要创建一个与输入规模相同大小的数组来存储数据。
时间复杂度详解
时间复杂度详解时间复杂度详解什么是时间复杂度•时间复杂度是一种衡量算法执行效率的方式。
•它表示算法的运行时间与输入大小的关系，为我们提供了衡量算法性能的指标。
时间复杂度的表示•时间复杂度使用大O符号（O）来表示。
•O(n)表示算法的时间复杂度与输入规模n成正比。
常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，无论输入规模的大小，算法的执行时间都保持不变。
•O(log n)：对数时间复杂度，随着输入规模的增加，算法的执行时间逐渐增长，但增长速度很慢。
•O(n)：线性时间复杂度，算法的执行时间与输入规模n成比例增长。
•O(n log n)：线性对数时间复杂度，随着输入规模的增加，算法的执行时间逐渐增长，但增长速度比O(n)慢。
•O(n^2)：平方时间复杂度，算法的执行时间与输入规模n的平方成比例增长。
•O(2^n)：指数时间复杂度，算法的执行时间随着输入规模n的增加而急剧增长。
•O(n!)：阶乘时间复杂度，算法的执行时间随着输入规模n的增加而急剧增长。
如何计算时间复杂度•首先，确定算法的基本操作。
•其次，根据算法的基本操作，分析每个操作的时间复杂度。
•最后，根据每个操作的时间复杂度，确定整个算法的时间复杂度。
如何选择合适的算法•在设计算法时，我们应该选择时间复杂度低的算法。
•当输入规模较小时，可以选用时间复杂度较高但简单易懂的算法。
•当输入规模较大时，应该尽量选择时间复杂度较低的算法。
总结•时间复杂度是一种衡量算法执行效率的方式，它表示算法的运行时间与输入规模的关系。
•常见的时间复杂度包括常数时间复杂度、对数时间复杂度、线性时间复杂度等。
•计算时间复杂度的步骤包括确定算法的基本操作、分析每个操作的时间复杂度以及确定整体的时间复杂度。
•在选择算法时，应该根据输入规模选择合适的时间复杂度。
参考资料：[腾讯课堂-计算机科学与技术](。
算法时间复杂度计算公式
算法时间复杂度计算公式算法（Algorithm）是指⽤来操作数据、解决程序问题的⼀组⽅法。
对于同⼀个问题，使⽤不同的算法，也许最终得到的结果是⼀样的，但在过程中消耗的资源和时间却会有很⼤的区别。
那么我们应该如何去衡量不同算法之间的优劣呢？主要还是从算法所占⽤的「时间」和「空间」两个维度去考量。
时间维度：是指执⾏当前算法所消耗的时间，我们通常⽤「时间复杂度」来描述。
空间维度：是指执⾏当前算法需要占⽤多少内存空间，我们通常⽤「空间复杂度」来描述。
因此，评价⼀个算法的效率主要是看它的时间复杂度和空间复杂度情况。
然⽽，有的时候时间和空间却⼜是「鱼和熊掌」，不可兼得的，那么我们就需要从中去取⼀个平衡点。
下⾯我来分别介绍⼀下「时间复杂度」和「空间复杂度」的计算⽅式。
⼀、时间复杂度我们想要知道⼀个算法的「时间复杂度」，很多⼈⾸先想到的的⽅法就是把这个算法程序运⾏⼀遍，那么它所消耗的时间就⾃然⽽然知道了。
这种⽅式可以吗？当然可以，不过它也有很多弊端。
这种⽅式⾮常容易受运⾏环境的影响，在性能⾼的机器上跑出来的结果与在性能低的机器上跑的结果相差会很⼤。
⽽且对测试时使⽤的数据规模也有很⼤关系。
再者，并我们在写算法的时候，还没有办法完整的去运⾏呢。
因此，另⼀种更为通⽤的⽅法就出来了：「⼤O符号表⽰法」，即 T(n) = O(f(n))我们先来看个例⼦：for(i=1; i<=n; ++i){j = i;j++;}通过「⼤O符号表⽰法」，这段代码的时间复杂度为：O(n) ，为什么呢?在⼤O符号表⽰法中，时间复杂度的公式是： T(n) = O( f(n) )，其中f(n) 表⽰每⾏代码执⾏次数之和，⽽ O 表⽰正⽐例关系，这个公式的全称是：算法的渐进时间复杂度。
我们继续看上⾯的例⼦，假设每⾏代码的执⾏时间都是⼀样的，我们⽤ 1颗粒时间来表⽰，那么这个例⼦的第⼀⾏耗时是1个颗粒时间，第三⾏的执⾏时间是 n个颗粒时间，第四⾏的执⾏时间也是 n个颗粒时间（第⼆⾏和第五⾏是符号，暂时忽略），那么总时间就是 1颗粒时间 + n颗粒时间 + n颗粒时间，即 (1+2n)个颗粒时间，即： T(n) = (1+2n)*颗粒时间，从这个结果可以看出，这个算法的耗时是随着n的变化⽽变化，因此，我们可以简化的将这个算法的时间复杂度表⽰为：T(n) = O(n)为什么可以这么去简化呢，因为⼤O符号表⽰法并不是⽤于来真实代表算法的执⾏时间的，它是⽤来表⽰代码执⾏时间的增长变化趋势的。
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算1.辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法是一种基于递归的算法，它通过不断地用两个数中较大的数除以较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷28=1 (21)-28÷21=1 (7)-21÷7=3 0所以最大公约数为7辗转相除法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b，a mod b 的结果为r。
- 最好情况：当b能够整除a时，时间复杂度为O(loga)，因为每次递归时a和b的值都会减少至原来的一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a/b)。
例如，当a=2n 时，每次递归的b的值都会减少至1- 平均情况：时间复杂度是O(logab)的。
2.更相减损术更相减损术是一种基于减法的算法，它通过不断地用两个数中较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-28-21=7-21-7=14-14-7=7所以最大公约数为7更相减损术的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
- 最好情况：当a和b的差值为1时，时间复杂度为O(logb)，因为每次减法操作后的差值都会减少一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a-b)。
例如，当a=2n 时，每次减法操作的差值都会减少至1-平均情况：时间复杂度为O(a-b)的。
3. Stein算法（二进制法）Stein算法是一种基于位运算的算法，它通过在两个数中同时除去2的因子，直到两个数都变为奇数。
然后，继续用较小的数减去较大的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数的2的因子。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷2=24-28÷2=14-24÷2=12现在两个数都是奇数，继续减法操作：-7-12=-5-12-7=5所以最大公约数为5Stein算法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
算法的时间复杂度和空间复杂度简单理解
算法的时间复杂度和空间复杂度简单理解时间复杂度是指执⾏算法所需要的计算⼯作量；⽽空间复杂度是指执⾏这个算法所需要的内存空间。
（算法的复杂性体现在运⾏该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度在描述算法复杂度时,经常⽤到o(1), o(n), o(logn), o(nlogn)来表⽰对应算法的时间复杂度。
这⾥进⾏归纳⼀下它们代表的含义:这是算法的时空复杂度的表⽰。
不仅仅⽤于表⽰时间复杂度，也⽤于表⽰空间复杂度。
⼀个算法的优劣主要从算法的所需时间和所占⽤的空间两个⽅⾯衡量。
⼀般空间利⽤率⼩的，所需时间相对较长。
所以性能优化策略⾥⾯经常听到空间换时间，时间换空间这样说法 O后⾯的括号中有⼀个函数，指明某个算法的耗时/耗空间与数据增长量之间的关系。
其中的n代表输⼊数据的量。
1. ⽐如时间复杂度为O(n)，就代表数据量增⼤⼏倍，耗时也增⼤⼏倍。
⽐如常见的遍历算法。
int x=1; while (x <n){ x++; } list.contains()⽅法,系统会对list中的每个元素e调⽤o.equals(e),因此⽤时间复杂度表⽰是O(n) 该算法执⾏次数是如果n=10, 执⾏次数就是10，n是个变量，⽤时间复杂度表⽰是O(n)。
2. 再⽐如时间复杂度O(n^2)，就代表数据量增⼤n倍时，耗时增⼤n的平⽅倍，这是⽐线性更⾼的时间复杂度。
⽐如冒泡排序，就是典型的O(n^2)的算法，对n个数排序，需要扫描n×n次。
for (i = 0; i < n; i++){ for (j = 0; j < n; j++){ //... } } 如果两层循环,该算法for循环，最外层循环每执⾏⼀次，内层循环都要执⾏n次，执⾏次数是根据n所决定的，最⼤时间复杂度是O（n^2），如果内层循环在某种场景⼀次就跳出,其实也可以退化成o(n), 通常我们计算时间复杂度都是计算最多情况.由此类推，如果是三层循环，最⼤时间复杂度就是 O（n^3）.⽐如冒泡、选择等等 3. O(1)就是最低的时空复杂度了，也就是耗时/耗空间与输⼊数据⼤⼩⽆关，⽆论输⼊数据增⼤多少倍，耗时/耗空间都不变。
哈夫曼算法时间复杂度
哈夫曼算法时间复杂度哈夫曼算法是一种常用于数据压缩的算法，在计算机科学领域有着广泛的应用。
本文将对哈夫曼算法的时间复杂度进行整理，以帮助读者更好地理解其运行原理和性能特点。
1. 算法的概述哈夫曼算法是一种基于贪心思想的编码算法。
它的主要思想是将频率较高的字符采用较短的编码，频率较低的字符采用较长的编码，从而使得整个编码的长度尽量短。
在哈夫曼算法中，通常采用一棵哈夫曼树来表示最优编码方案，其中树的叶子节点代表各个字符，而从根节点到叶子节点的路径上的编码则代表该字符的编码。
2. 算法的原理在哈夫曼算法中，首先需要针对输入的字符集合计算每个字符的出现频率，然后将每个字符视为一个独立的节点，构建一棵有权二叉树（即哈夫曼树）。
构建哈夫曼树时，需按照节点的权值从小到大进行排序，然后选择两个权值最小的节点进行合并，形成新节点，其权值为两个节点的权值之和。
重复上述过程，直到所有节点都合并成为树的根节点为止。
在构建哈夫曼树的同时，需要记录每个字符的编码，规则是左子树标记为0，右子树标记为1。
最后，将每个字符的编码保存下来，即构造出了一个编码表。
3. 时间复杂度分析在哈夫曼算法中，计算每个字符的出现频率的时间复杂度为O(n)，其中n为字符集的大小。
而构建哈夫曼树的过程中，需要进行n-1次节点合并，每次合并需要找到权值最小的两个节点，因此需要对节点进行排序。
若采用堆来实现排序操作，则排序的时间复杂度为O(nlogn)。
在节点合并过程中，每个节点最多会被访问一次，因此哈夫曼树的构建时间复杂度为O(nlogn)。
而编码的时间复杂度为O(kn)，其中k为编码的平均长度。
由于哈夫曼编码是一种前缀编码，因此平均长度不超过log2n，所以编码的时间复杂度为O(nlogn)。
总的时间复杂度为O(nlogn)。
4. 算法的优化在实际应用中，为了进一步提高哈夫曼算法的效率，可以采用以下优化措施：（1）对于节点的排序，采用基数排序或桶排序等更高效的排序算法；（2）在构建哈夫曼树的过程中，可以使用堆来维护节点集合，从而避免对整个集合进行排序；（3）在编码过程中，采用位运算等更高效的技术来实现编码操作。
算法时间复杂度怎么算
算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
计数排序时间复杂度计算方法
计数排序时间复杂度计算方法计数排序是一种非比较排序算法，适用于一定范围内的整数排序。
它的时间复杂度可以通过以下步骤进行计算。
1. 算法步骤回顾首先，我们先回顾一下计数排序的算法步骤：1.找出待排序数组中的最大值，记为max。
2.创建一个计数数组count，长度为max+1，并将所有元素初始化为0。
3.遍历待排序数组，统计每个元素出现的次数，并将其存入计数数组相应的位置。
4.对计数数组进行部分求和操作，使得每个位置存储的值为其对应元素在排序结果中的最终位置。
5.创建一个与待排序数组相同长度的结果数组result。
6.遍历待排序数组，将每个元素根据计数数组中的值，放入结果数组相应的位置。
7.将结果数组的内容复制回待排序数组，完成排序。
2. 时间复杂度分析计数排序的时间复杂度取决于两个因素：待排序数组的长度n和待排序数组中的最大值max。
(1) 初始化计数数组在计数排序的第二步中，需要创建一个计数数组count，并将所有元素初始化为0。
这个操作的时间复杂度为O(k)，其中k为max+1，即计数数组的长度。
因为计数数组的长度与待排序数组的最大值有关，所以这个操作的时间复杂度可以看作是O(max)。
(2) 统计元素出现次数在计数排序的第三步中，需要遍历待排序数组，统计每个元素出现的次数，并将其存入计数数组相应的位置。
这个操作的时间复杂度为O(n)，其中n为待排序数组的长度。
(3) 求和操作在计数排序的第四步中，需要对计数数组进行部分求和操作，使得每个位置存储的值为其对应元素在排序结果中的最终位置。
这个操作的时间复杂度为O(k)，其中k为计数数组的长度，即O(max+1)。
(4) 生成排序结果在计数排序的第六步中，需要遍历待排序数组，将每个元素根据计数数组中的值，放入结果数组相应的位置。
这个操作的时间复杂度为O(n)，其中n为待排序数组的长度。
(5) 复制结果数组在计数排序的第七步中，需要将结果数组的内容复制回待排序数组，完成排序。
时间复杂度为2的n次方的算法
时间复杂度为2的n次方的算法算法是计算机科学中非常重要的一个概念，也是各行各业广泛应用的技术。
其中，时间复杂度是衡量算法效率的一种指标，而时间复杂度为2的n次方的算法则是一种具有高度计算复杂度的算法。
时间复杂度是指算法执行所需的时间随各种问题规模的增长而增长的趋势。
这种趋势通常用“大O记号”表示，例如 O(n)、O(n^2)等。
而时间复杂度为2的n次方的算法，就是指当问题规模为n时，所需要执行的时间约为2的n次方（2^n）。
在实际应用中，很多算法的时间复杂度都是难以计算的，需要通过实验或者理论推算得出。
而时间复杂度为2的n次方的算法，由于具有明显的指数增长趋势，因此往往可以轻易地被识别出来。
那么，时间复杂度为2的n次方的算法具体是怎样的呢？我们可以通过以下步骤来深入了解：1. 假设我们需要对一个包含n个元素的集合进行全排列操作。
这个集合可以是一个字符串、数组、列表等等。
2. 对于一个n元素的集合，其全排列数量为n的阶乘，即n!。
这个数量随着n的增长迅速增加。
3. 如果我们使用暴力枚举的方法进行全排列操作，需要对n个元素进行n次选择，每次选择出一个元素作为排列的一部分。
同时，每次选择之后，还需要对剩下的n-1个元素进行全排列操作。
这样下去，直到无法选择任何元素为止。
4. 假设我们使用递归函数来实现全排列操作。
在每次选择元素之后，将剩余元素的所有全排列结果传递到下一层递归中，然后在下一层递归中再次选择一个元素并进行全排列操作。
直到递归层数达到了n-1层，我们得到了所有元素的全排列结果。
5. 显然，这种方法需要进行n层递归，每层递归需要进行n次选择操作并传递n-1个元素的全排列结果。
因此，总时间复杂度为O(n!)，即O(2的n次方)。
6. 当n的值很小时，这种算法的性能还是可以接受的。
但是，随着n的增长，计算时间将呈指数级增长，很容易就超出了计算机的承受能力。
综上所述，时间复杂度为2的n次方的算法是一种具有较高计算复杂度的算法，需要在实际应用时慎重考虑。
迪克斯特拉算法时间复杂度
迪克斯特拉算法时间复杂度
迪克斯特拉算法是一种用于图形中的最短路径搜索的算法。
它能够找到两个节点之间的最短路径，并且该路径的长度最小。
迪克斯特拉算法的时间复杂度是O（E + V log V），其中E是边的数量，V 是节点的数量。
这个时间复杂度的计算基于使用堆排序的优先队列来维护未访问的节点。
在每次循环中，堆排序需要将未访问的节点按照它们到源节点的距离进行排序。
因此，这个算法的时间复杂度完全取决于堆排序的复杂度。
在最坏情况下，堆排序的复杂度为O（V log V），其中V是节点的数量。
因此，迪克斯特拉算法的时间复杂度为O （E + V log V）。
总而言之，迪克斯特拉算法是一种非常有效的寻找最短路径的算法，并且已被广泛应用于许多实际问题中。
虽然它的时间复杂度较高，但在实践中，它通常表现出非常良好的性能。
- 1 -。
数据结构与算法（一）时间复杂度、空间复杂度计算
数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。
2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。
可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。
2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。
递归方程时间复杂度计算
递归方程时间复杂度计算递归方程是一种常见的数学形式，用于描述函数自身的定义。
在计算机科学中，递归方程也常用于分析算法的时间复杂度。
通过理解递归方程的含义和解法，我们可以计算出算法的时间复杂度，从而评估算法的效率。
递归方程通常包含两部分：基本情况(base case)和递归情况(recurrence case)。
基本情况是当问题达到最小规模时，可以直接求解的情况。
递归情况是将问题分解为规模更小的子问题，并使用相同的算法求解。
在计算递归算法的时间复杂度时，我们通常采用递归树(recursion tree)的方法。
递归树是通过绘制递归调用的调用树来描述递归算法的执行过程。
每个节点表示一个递归调用，边表示递归调用之间的依赖关系。
要计算递归算法的时间复杂度，我们需要考虑每个递归调用的时间复杂度和递归调用的次数。
基本情况的时间复杂度通常是常数时间复杂度，而递归情况的时间复杂度通常与递归调用的次数和每次调用的规模有关。
下面以几个常见的递归方程为例，介绍如何计算它们的时间复杂度。
1.线性递归方程线性递归方程是指递归只进行一次的情况，形式为T(n)=a*T(n-b)+f(n)，其中a为递归调用的次数，b为每次递归调用时规模的减少量，f(n)为除了递归调用之外的其他操作的时间复杂度。
例如，计算斐波那契数列的算法可以表示为T(n)=T(n-1)+T(n-2)+O(1)。
其中a=2，b=1，f(n)=O(1)。
通过绘制递归树，我们可以看到每个递归调用需要O(1)的时间复杂度，而递归调用的次数为斐波那契数列的第n项，即O(2^n)。
因此，该算法的时间复杂度为O(2^n)。
2.分治递归方程分治递归方程是指递归将问题分解为规模更小的子问题，并使用同样的算法求解的情况。
形式为T(n)=a*T(n/b)+f(n)，其中a为递归调用的次数，b为每次递归调用时规模的减少比例，f(n)为除了递归调用之外的其他操作的时间复杂度。
例如，归并排序的递归方程可以表示为 T(n) = 2 * T(n/2) + O(n)。
哈希算法的时间复杂度
哈希算法的时间复杂度哈希算法是一种常用的数据处理方法，它通过将输入数据转化为指定长度的哈希值，实现了数据的快速查找和存储。
在计算机科学领域，哈希算法被广泛应用于密码学、数据校验、散列函数等方面。
本文将讨论哈希算法的时间复杂度，并对其性能进行评估和比较。
一、哈希算法概述哈希算法是一种将任意长度的数据映射为固定长度的数据的方法。
它最重要的特点是，对于相同的输入数据，无论重复运行多少次哈希算法，得到的哈希值都是相同的。
哈希算法常用于快速查找和存储数据，比如在散列表中存储键值对数据。
二、哈希算法的时间复杂度1. 哈希函数计算的时间复杂度哈希算法的核心是哈希函数，它将输入数据映射为哈希值。
哈希函数的计算过程通常较为简单，时间复杂度为O(1)。
这是因为哈希函数仅对输入数据进行有限的操作，如位运算、求余运算等。
因此，哈希函数的时间复杂度不会随输入数据的规模增长而变化。
2. 哈希表查找的时间复杂度在使用哈希算法进行查找时，我们首先需要通过哈希函数计算出待查找数据的哈希值，然后在哈希表中进行查找。
哈希表通常是通过数组和链表来实现的。
在哈希表中，查找操作的时间复杂度主要取决于解决哈希冲突的方法。
常见的解决冲突的方法有开放定址法、链地址法和再哈希法等。
- 开放定址法：当发生哈希冲突时，继续往下一个位置进行查找，直到找到空闲位置或者找遍整个哈希表。
平均情况下，开放定址法的查找时间复杂度为O(1)。
- 链地址法：将相同哈希值的数据存储在同一个链表中，发生哈希冲突时，将数据添加到链表的末尾。
链地址法的查找时间复杂度主要取决于链表的长度，平均情况下为O(1+k)，其中k为链表的平均长度。
- 再哈希法：使用不同的哈希函数解决哈希冲突，直到找到空闲位置为止。
再哈希法的查找时间复杂度不确定，取决于选择的不同哈希函数。
三、哈希算法的性能分析哈希算法的性能主要受以下因素影响：1. 哈希函数的质量：好的哈希函数应该满足均匀分布、低冲突率等特点，这样才能更好地发挥哈希算法的性能。
弗洛伊德算法时间复杂度
弗洛伊德算法时间复杂度
弗洛伊德算法，也称为Floyd-Warshall算法，是一种用于解决
所有点对最短路径问题的动态规划算法。
该算法的时间复杂度为
O(n^3)，其中n代表顶点数。
具体来说，该算法使用一个n×n的二维数组来存储每对顶点之
间的最短路径长度。
初始化时，数组的每个元素都初始化为两个顶点之间的直接距离（如果两个顶点之间有边相连），或者设为无穷大（如果两个顶点之间没有边相连）。
接下来，算法使用动态规划的思想，逐步更新数组中的元素，以获得更准确的最短路径长度。
具体来说，算法使用一个三重循环来遍历所有可能的中间顶点，对于每对起始顶点和终止顶点，计算通过该中间顶点的路径是否比直接连接起始顶点和终止顶点的路径更短，如果是，则更新数组中的元素为更小的值。
由于该算法需要遍历所有可能的中间顶点，时间复杂度为O(n^3)。
然而，该算法可以处理具有负权边的图，并且可以同时计算所有点对之间的最短距离，因此在实际应用中非常有用。
- 1 -。
算法复杂度的计算方法
算法复杂度的计算方法算法复杂度的计算方法什么是算法复杂度算法复杂度是衡量一个算法执行效率的指标，常用来评估算法的时间和空间消耗情况。
它能够帮助我们选择更加高效的算法，在解决问题时更有效地利用计算资源。
时间复杂度常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间是固定的，不随问题规模的增加而变化。
例如，查找数组中某个元素的索引。
•O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈对数增长。
例如，二分查找算法。
•O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈线性增长。
例如，遍历数组求和。
•O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈平方增长。
例如，多次嵌套循环遍历二维数组。
•O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈指数增长。
例如，解决旅行商问题的暴力穷举法。
如何计算时间复杂度通常情况下，通过分析算法中的循环次数或者递归调用次数，可以推导出算法的时间复杂度。
以下是一些常见的情况和计算方法：•单条语句执行：如果算法中只包含一条语句，那么它的时间复杂度为O(1)，即常数时间复杂度。
•顺序执行：如果算法中包含多条语句，并且按照顺序执行，那么算法的时间复杂度取决于耗时最长的那条语句的复杂度。
•循环语句：根据循环的次数和循环体内的代码复杂度，可以推导出循环语句的时间复杂度。
•递归调用：递归算法的时间复杂度和递归调用的次数以及每次调用的复杂度有关。
空间复杂度常见的空间复杂度•O(1)：常数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗是固定的，不随问题规模的增加而变化。
•O(n)：线性空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而线性增长。
•O(n^2)：平方空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而平方增长。
•O(2^n)：指数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而指数增长。
如何计算空间复杂度空间复杂度的计算方法与时间复杂度类似，但要注意算法中需要额外使用的空间。
算法的时间复杂度分析
算法的时间复杂度分析算法分析算法分析即指对⼀个算法所需要的资源进⾏预测内存，通信带宽或者计算机硬件等资源偶尔是我们关⼼的通常，资源是指我们希望测度的计算时间RAM模型分析⼀个算法之前，需要建⽴⼀个实现技术的模型，包括描述所⽤资源及其代价的模型RAM模型：单处理器，随机存取RAM指令⼀条接⼀条地执⾏，没有并发操作（单处理器）包含真实计算机中的常见指令：算术，数据移动，控制每条指令所需时间为常量数据类型为整型和浮点型灰⾊领域：真实计算机包含的其他指令，不是常量时间的那种。
没有对存储器层次进⾏建模。
算法运⾏时间运⾏时间取决于输⼊的内容相同规模n,不同的序列有不同的运⾏时间，⽐如逆序序列或者顺序序列运⾏时间取决于数据的规模n越⼤，时间⾃然越多⼀般来说，算法所需时间与输⼊规模同步增长，因此⼀个程序的运⾏时间是其输⼊的函数通常我们关⼼运⾏时间的上限(最坏情况)注：我们分析时间时要使⽤机器独⽴的时间单位，即不考虑机器不同带来的影响。
插⼊排序时间分析假设每⾏每次执⾏的时间为常量c ifor j: 2 to length[A]:do key = A[j]i = j-1while i>0 and A[i]>keydo A[i+1] = A[i]i = i-1A[i+1] = key1. cost:c1;times:n (包含跳出循环的那次)注：for 循环是刚刚进⼊循环时就要判断⼀次条件，然后再执⾏j--，再判断条件，直到判断条件不满⾜，不进⼊循环。
假设循环n个元素，实际执⾏n+1 次⽐较2. cost:c2;times:n−13. cost:c3;times:n−14. cost:c4;times:n∑j=2t j,t j为⼀次for循环中while循环的判断次数5. cost:c5;times:n∑j=2(t j−1),6. cost:c6;times:n∑j=2(t j−1)7. cost:c7;times:n−1t j取决于与序列排序情况有关，如果已经排好序了，A[j−1]总是⼩于key了，所以每次for循环只算判断了⼀次while，总共n−1次，如果是逆序，前⼀个总⽐后⼀个⼤，满⾜while条件，每次for循环中while判断次数为t j=j−1+1=j，总共n ∑j=2t j次。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
for(k=1;k<=j;k++)
x++;
它的时间复杂度是多少？
自己计算了一下，数学公式忘得差不多了，郁闷；
（1）时间复杂性是什么？
时间复杂性就是原子操作数，最里面的循环每次执行j次，中间循环每次执行
a[i]=1+2+3+...+i=i*(i+1)/2次，所以总的时间复杂性=a[1]+...+a[i]+..+a[n];
a[1]+...+a[i]+..+a[n]
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n)
=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+n*(n-(n-1))
=n+2n+3n+...+n*n-(2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1))
=n(1+2+...+n)-(2*(2-1)+3*(3-1)+4*(4-1)+...+n*(n-1))
=n(n(n+1))/2-[(2*2+3*3+...+n*n)-(2+3+4+...+n)]
=n(n(n+1))/2-[(1*1+2*2+3*3+...+n*n)-(1+2+3+4+...+n)]
=n(n(n+1))/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
所以最后结果是O(n^3)。
【转】时间复杂度的计算
算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，
下面我们就这个问题给各位考生进行分析。
首先了解一下几个概念。
一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。
前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。
当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。
但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。
以保证算法的运行时间不会比它更长。
常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。
下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。
1、设三个函数f,g,h分别为f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn
请判断下列关系是否成立：
（1）f(n)=O(g(n))
（2）g(n)=O(f(n))
（3）h(n)=O(n^1.5)
（4）h(n)=O(nlgn)
这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。
"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。
这么一来，就好计算了吧。
◆(1)成立。
题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。
◆（2）成立。
与上同理。
◆（3）成立。
与上同理。
◆（4）不成立。
由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，
故不成立。
2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。
(1) i=1; k=0
while(i<n)
{ k=k+10*i;i++;
}
解答：T(n)=n-1，T(n)=O(n)，这个函数是按线性阶递增的。
(2) x=n; // n>1
while (x>=(y+1)*(y+1))
y++;
解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)，最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。
(3) x=91; y=100;
while(y>0)
if(x>100)
{x=x-10;y--;}
else x++;
解答：T(n)=O(1)，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n 没有? 没。
这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。
-----------------------------------------------------------
1.1 大O表示法
上学的时候就学习了大O表示法表示一个算法的效率，也大概明白怎么回事，知道如果没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n^2)? （我用^2表示平方，同理^3表示立方）。
但是一直对于严格的定义和用法稀里糊涂。
1.1.1 定义
设一个程序的时间复杂度用一个函数T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下：
int seqsearch( int a[], const int n, const int x)
{
int i = 0;
for (; a[i] != x && i < n ; i++ );
if ( i == n) return -1;
else return i;
}这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。
在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。
对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为:
f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n)
这就是传说中的大O函数的原始定义。
1.1.2 用大O来表述
要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。
对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法（注意，这里用的是“一般提法”）是：当且仅当存在正整数c和n0,使得T(n) <= c*f(n)对于所有的n >= n0 都成立。
则称该算法的渐进时间复杂度为T(n) = O(f(n))。
这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。
这里f(n) = (n+1)/2, 那么c * f(n)也就是一个一次函数。
对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。
1.1.3 加法规则
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) )
1.1.4 乘法规则
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))
1.1.5 一个特例
在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝O(c)，c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ).
也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。
1.1.6 一个经验规则
有如下复杂度关系
c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、log2N 、n 、n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高，如果是2^n , 3^n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。
本文来自CSDN博客，转载请标明出处：/liyan622/archive/2009/11/26/4876194.aspx。