2020届高三10月联考 数学(理)试题

2019年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考 理科数学试题命题学校：荆州中学 命题人： 审题人：本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1.设集合{}R x y y A x∈==,3，{}R x x y x B ∈-==,21，则=B A I （ ）.A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21.B )1,0(.C )21,0(.D ]21,0(2.函数⎩⎨⎧≤+>-=0,6log 0,23)(3x x x x f x 的零点之和为（ ） .A 1-.B 1.C 2- .D 23.若2ln =a ， 215-=b ，dx x c ⎰=20cos 21π，则,,a b c 的大小关系（ ）.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D b c a <<4.下列四个结论：①若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则552sin =α； ②命题“存在0,0200>-∈x x R x ”的否定是“对于任意的R x ∈，02≤-x x ； ③若函数)(x f 在)2020,2019(上有零点，则0)2020()2019(<⋅f f ； ④“0log >b a （0>a 且1≠a ）”是“1,1>>b a ”的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是（ ）.A 0个.B 1个 .C 2个.D 3个5.已知)cos(2)2cos(απαπ+=-，且31)tan(=+βα，则βtan 的值为（ ） .A 7-.B 7.C 1 .D 1-6.已知121()(sin )221x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（ ）7.若函数axm x f )3()(+=),(R a m ∈是幂函数，且其图像过点)2,2(，则函数)3(log )(2-+=mx x x g a 的单调递增区间为（ ）.A )1,(--∞.B )1,(-∞ .C ),1(+∞ .D ),3(+∞8.将函数)62sin()(π+=x x f 的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数)(x g 的图象，则下列说法正确的是（ ） .A 函数)(x g 的图象关于点)03(，π-对称； .B 函数)(x g 的最小正周期为2π； .C 函数)(x g 的图象关于直线6π=x 对称； .D 函数)(x g 在区间]32,6[ππ上单调递增9.已知定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x ∈都有0)1()1(=-++x f x f 成立，且函数)1(+x f 的图像关于直线1-=x 对称，则=)2019(f （ ）.A 0.B 2 .C 2- .D 1-10.已知函数)(sin )(a x e x f x-=有极值，则实数a 的取值范围为（ ）.A )1,1(- .B ]1,1[-.C ]2,2[- .D )2,2(-11.设函数]1,1[,cos 2)(2-∈+=x x x x f ，则不等式)2()1(x f x f >-的解集为（ ）.A )1,31(-.B )31,0[.C ]21,31(.D ]21,0[12.已知函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，若函数)(x f 满足：0)]()()[1(<-'-x f x f x ，x e x f x f 22)()2(-=-，则下列判断一定正确的是（ ）.A )0()1(ef f < .B )2()1(f ef < .C )3()0(3f f e > .D )4()1(5f f e <-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数32ln )(x x x x f +=,则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是 ． 14．已知函数1)1(log )(223++++=x x ax x f )(R a ∈且3)1(-=f ，则=-)1(f ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且满足a C b =sin ，ac b c a 58222=-+，则=C tan ．16．若函数kx x k e x f x+-=22)(在[]2,0上单调递增，则实数k 的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，设内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且BCb c a cos cos 2=-. （I ）求角B 的大小； （II ）求2cos 2sin 2cos 32AA C -的取值范围.18.（本小题满分12分）湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入)(x G （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤<-=20,)1(9000200070200,2180)(x x x x x x x G . （I ）写出年利润)(x W （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （II ）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.19.（本小题满分12分）已知在多面体ABCDE 中，AB DE //，BC AC ⊥，42==AC BC ，DE AB 2=，DC DA =且平面⊥DAC 平面ABC .（I ）设点F 为线段BC 的中点，试证明⊥EF 平面ABC ； （II ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为ο60，求二面角C AD B --的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，过点)0,2(P 作两条直线2=x 和)0(2:>+=m my x l 分别交抛物线x y 22=于B A , 和D C ,（其中C A ,位于x 轴上方），直线BD AC ,交于点Q .（I ）试求D C ,两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2-=x 上； （II ）若PBDPQC S S ∆∆=λ，求λ的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数)(21)cos (sin )(R a x x x x a x f ∈--=，)()(x f x g '=（)(x f '是)(x f 的导函数），)(x g 在]2,0[π上的最大值为21-π. （I ）求实数a 的值；（II ）判断函数)(x f 在),0(π内的极值点个数，并加以证明.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为第19题图第20题图0sin 4cos 2=-θθρ，P 点的极坐标为)2,3(π，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为060.（I ）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（II ）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PBPA 11+的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|5|f x x =-，()5|23|g x x =--. （I ）解不等式()()f x g x <；（II ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，求实数a 的取值范围.2019年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考理科数学参考答案一． 选择题：二、填空题13． 057=--y x 14． 5 15． 3- 16． ],1[2e - 三、解答题： 17．解：（1）由B C b c a cos cos 2=-得到BCB C A cos cos sin sin sin 2=- 即)sin(cos sin 2C B B A +=，即A B A sin cos sin 2= 又ΘA 为三角形内角，0sin ≠∴A ，所以1cos 2B = ，从而3B π= . -----------------------5分 （2）A C A A C sin 21)1(cos 232cos 2sin 2cos 32-+=-23)32sin(21cos 23+--=C C π 23sin 41cos 43+-=C C 23)6cos(21++=πC --------- 8分 320π<<C Θ 6566πππ<+<∴C ， --------------------------------------------- 9分 23)6cos(23<+<-∴πC 所以 43323)6cos(2143<++<πC . --------------- 11分 所以2cos 2sin 2cos 32A A C -的取值范围为)433,43(. -----------------12分 18．解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧>++--≤<-+-=--=,20,19501900010,200,5010025080)()(2x x x x x x x x xG x W ， -----------------4分 （Ⅱ）当200≤<x 时1200)25(2501002)(22+--=-+-=x x x x W ，1150)20()(max ==∴W x W . -----------------------7分当20>x 时1960)19001(10)(++++-=x x x W 19601900)1(210++⨯+⨯-≤x x 1360=当且仅当19001+=+x x 即29=x 时等号成立，1360)29()(max ==∴W x W . -----------11分 11501360>Θ，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元. --------------------12分19．（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接OF EF ,.Θ在∆DAC 中DC DA =，∴AC DO ⊥.∴由平面⊥DAC 平面ABC ，且交线为AC 得⊥DO 平面ABC . ------------------------------2分F O ,Θ分别为BC AC ,的中点，AB OF //∴，且OF AB 2=.又AB DE //，DE AB 2=，DE OF //∴，且DE OF =.∴四边形DEFO 为平行四边形.DO EF //∴⊥∴EF 平面ABC . ----------------------------------------6分（Ⅱ）解：⊥DO Θ平面ABC ，BC AC ⊥∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系. 则)0,0,1(A ，)0,0,1(-C ，)0,4,1(-B . -------------------------------------------------7分⊥EF Θ平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为ο60=∠EBF .3260tan ===∴οBF EF DO . )32,0,0(D ∴. -------------------8分可取平面ADC 的法向量)0,1,0(=m ， --------------------------9分 设平面ADB 的法向量),,(z y x n =，)0,4,2(-=AB ，)32,0,1(-=AD ，则⎩⎨⎧=+-=+-032042z x y x ，取1=z ，则3,32==y x .)1,3,32(=∴n ， ----------------------11分43,cos =>=<∴nm n m n m ， ∴二面角C AD B --的余弦值为43. -----------------------12分20.解：（Ⅰ）将直线l 的方程2+=my x 代入抛物线x y 22=得：0422=--my y . 设点),(),,(2211y x D y x C 则421-=y y . ---------------------------2分由题得)2,2(),2,2(-B A ，直线AC 的方程为)2(2221-+=-x y y ，直线BD 的方程为)2(2222--=+x y y ，消去y 得4)(2212121+-+-=y y y y y y x ， 将421-=y y 代入上式得2-=x ，故点Q 在直线2-=x 上. ------------------6分（Ⅱ）Θ2)2(2111+=+=∆x x AP S PQC ，222)2(21x x BP S PBD -=-=∆， ----------7分 又441622222121==⋅=y y x x ，)2(2)2(422221111121-+=-+=-+==∴∆∆x x x x x x x S S PBDPQC λ. ----------------9分 令)0(,21>-=t x t 则3223422)4)(2(+≥++=++=tt t t t λ，当且仅当22=t 即2221+=x 时λ取到最小值322+. --------------12分 21．解:（Ⅰ）21sin )()(-='=x ax x f x g ， )cos (sin )(x x x a x g +='. ----------1分 当0=a 时21)(-=x g ，不合题意，舍去. 当0<a 时0)(<'x g ∴)(x g 在]2,0[π上单调递减，2121)0()(max -≠-==∴πg x g ，不合题意，舍去. 当0>a 时0)(>'x g ∴)(x g 在]2,0[π上单调递增，21212)2()(max -=-==∴πππa g x g ，解得1=a ∴综上：1=a ---------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21sin )(-=x x x g ，x x x x g cos sin )(+=' 当]2,0(π∈x 时，)(x g 在]2,0(π上单调递增，021)0(<-=g ，0212)2(>-=ππg ， )(x g ∴在]2,0(π上有且仅有一个变号零点； --------------------------------------7分当),2(ππ∈x 时，0sin cos 2)(<-=''x x x x g ，∴)(x g '在),2(ππ上单调递减. -------------8分 又0)(,01)2(<-='>='πππg g),2(0ππ∈∃∴x 使0)(0='x g 且当),2(0x x π∈时0)(>'x g ，当),(0πx x ∈时0)(<'x g ， ∴)(x g 在),2(0x π上单调递增，在),(0πx 上单调递减. -----------------------10分又0212)2(>-=ππg ，0)2()(0>>πg x g ，021)(<-=πg ，)(x g ∴在),2(ππ上有且仅有一个变号零点.)(x g ∴在]2,0(π和),2(ππ上各有一个变号零点，)(x f ∴在),0(π上共有两个极值点. -------------12分22.解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =， ------------------------------2分P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P --------------------------3分（Ⅱ）直线l 的参数方程为cos ,33sin ,3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1,23,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数) ----------------5分将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有0∆>，则121248,t t t t ⋅=-+=， --------------------------------------------7分1212121248,PA PB t t t t PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=+=+=-==，所以11PA PB PA PB PA PB ++==⋅ -----------------10分 23.解：（Ⅰ）原不等式即|5||23|5x x -+-<,∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩，所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<, ∴原不等式的解集为(1,3). -------------------------------------------- 5分（Ⅱ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，则)()(2x g x f -的最小值小于或等于a53210232552)()(2--+-=-+--=-x x x x x g x f 25)32(102=----≥x x .当且仅当]5,23[∈x 时取等号，)()(2x g x f -∴的最小值为2.2≥∴a . ----------------------------------------------- 10分。