概率论经典题目

0 < F ( x + g + u ) − F ( x + u ) < ξ ，于是 1 h ϕ ( x + g ) − ϕ ( x) = [ F ( x + g + u ) − F ( x + u )]du < ξ 2h ∫−h
由 ξ 任意性可知 lim ϕ ( x + g ) = ϕ ( x ) ，即 ϕ ( x ) 右连续.
k
即 Z 服从参数为 λ1 + λ2 的泊松分布. 3．设 F ( x ) 是分布函数，证明：对于任意 h ≠ 0 ，函数 ϕ ( x ) = 证明：作积分变换 t = x + u ，则 ϕ ( x ) =
1 x +h F (t )dt 也是分布函数. 2h ∫x −h
1 h F ( x + u )du 2h ∫−h ⑴ F ( x ) 是分布函数，于是 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 1 h 1 h ϕ ( x) = F ( x + u ) du ≥ 0du = 0 2h ∫−h 2h ∫−h 1 h 1 h ( ) ϕ ( x) = F x + u du ≤ du = 1 2h ∫−h 2h ∫−h 即 0 ≤ ϕ ( x) ≤ 1
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2 ．设 X , Y 是相互独立的随机变量，他们分别服从参数为 λ1 , λ2 的泊松分布，证明：
Z = X + Y 服从参数为 λ1 + λ2 的泊松分布.
证明： 因为
p( X = i ) =
于是
λ1i
i!
e
− λ1
(i = 0,1,2, ) ， p(Y = j ) =
λ1 j
j!
e −λ2
7．设平面区域 D 由曲线 y =
1 p( x, y ) = 2 0
( x, y ) ∈ D
则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘密度在 x = 2 处的值为
p X ( 2) = ∫ p( 2, y )dy = ∫
−∞
+∞
1 2 0
1 1 dy = 2 4
三．证明题

−∞ 0
4
= 2( 2 + 1) sin(
π
8
+ y ) sin
π
8
= 2( 2 + 1) 2 − 2 sin(
π
8
+ y ) (0 ≤ y ≤
π
4
)
1 2 及直线 y = 0, x = 1, x = e 所围成，二维随机变量 ( X , Y ) 在 x D 上服从均匀分布，则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘密度在 x = 2 处的值为＿ [解答] 区域 D 的面积为 2 ，由题意可得 ( X , Y ) 的概率密度为
1．设随机变量 X ～ B ( 2, p ) ， Y ～ B (3, p ) ，若 p ( X ≥ 1) =

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2． 已知随机变量 X 只能取 − 1,0,1,2 四个数，其相应的概率依次为
1 3 5 2 ，则 , , , 2c 4c 8c 16c
c =＿
[解答] 由
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[解答] 设圆片直径的测得值为 X ，面积为 Y ，则 Y =
π
4
X 2 ，又 X 的分布密度为
1 p( x ) = 0
由Y =
x ∈ (5,6)
π
4
X 2 ，有 y =
4
π
4
x 2 ，在 [5,6] 为单调函数，则
1 25π ≤ y ≤ 9π 4 25 π ≤ y ≤ 9π 4
x=
8 27 1 27
⑶ p = p ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + p ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + p ( A1 ∩ A2 ∩ A3 )
=
1 2 2 4 × × ×3 = 3 3 3 9
9．对圆片直径进行测量，其值在 [5,6] 上均匀分布，求圆片面积的概率分布.

∑p
k =1
∞
k
= 1 ，可得
( −1) ⋅
1 3 5 2 + 0⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 1 ，解得 c = 2 2c 4c 8c 16c
2
4．设 k 在 (0,5) 上服从均匀分布，则方程 4 x + 4kx + k + 2 = 0 有实根的概率为＿ [解答] P {方程有实根} = P{k − k − 2 ≥ 0} = P{x ≥ 2} + P{x ≤ −1} =
2
∫
5
2
1 dx = 0.6 5
c sin( x + y ) 6．已知 ( X , Y ) 联合密度为 ϕ ( x, y ) = 0
概率密度 ϕ Y ( y ) = ＿ [解答] 由 c
0 ≤ x, y ≤
π
4 ，则 c = ＿， Y 的边缘
∫ ∫ ∫
π
π
π
4 4 0 0
sin( x + y )dxdy = 1 ，可得
p( Ai ) = p{ X i > 150} = ∫
100 2 dx = 2 150 x 3
+∞
2 3 3 1 3 ⑵ p = p ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = p( A1 ) p ( A2 ) p ( A3 ) = ( ) = 3
⑴ p = p ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = p( A1 ) p ( A2 ) p ( A3 ) = ( ) =
⑶ F ( x) =
∫
x
−∞
ϕ ( x )dx
当 x < −1 时， F ( x ) =
∫
x
−∞
0dx = 0
当 − 1 ≤ x < 1 时， F ( x ) = 0dt +
−∞
∫
−1
∫
xt =
∞
1
π
arcsin x +
1 2
当 1 ≤ x 时， F ( x ) = 0dt +

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说
明
本册资料是由武汉大学,武汉理工大学研究生制作完成的,对书 中的习题我们都给出了详细的分析和计算过程(一些比较简单的填空 和选择题目则除外),所用到的解题方法都是我们在考研的过程中使 用和总结的,非常适合考研的朋友参考使用,当然,由于我们都是学生, 水平实在有限,在解题上肯定有不妥之处,希望广大的朋友能批评指 出,以便于改正.此套资料是我的第一版,第二版的一些改动我会在网 站上公布,希望您能上网查询,或者登陆我的网站和我交流! 我的联系方式: 网址: E-mail:fhwxy@ fhwxy2003@
2
, ] 上的均匀分布，则 X 的概率密度为 2 2 ≤x≤
1 p ( x) = π 0
0 0 3
8．设电子元件的寿命 X 具有密度为
ϕ ( x) = x 2
0
100
100 < x x ≤ 100
⑴三只元件中没有一只损坏的概率是多少？⑵三只元件中全损坏的概率是 问在 150 小时内， 多少？⑶只有一只元件损坏的概率是多少？ [解答] 以 X i (i = 1,2,3) 表示第 i 只电子元件的寿命， 以 Ai (i = 1,2,3) 表示事件 “在使用 150 小 ，则 时内，第 i 只电子元件损坏”
ϕ ( x) =
1 ( x − 20) 2 ),−∞ < x < +∞ exp( − 3200 40 2π
求：⑴测量误差的绝对值不超过 30 的概率. ⑵接连测量三次， 每次测量是相互独立进行的， 则至少有一次误差的绝对值不超过 30 的 概率. [解答] ⑴由题意可得 X ～ N ( 20,40 ) ，则
当x+ h > M 时
1 h 1 h F ( x + u ) du ≥ (1 − ξ )du = 1 − ξ 2h ∫−h 2h ∫−h 由 ξ 任意性可知 ϕ ( +∞ ) = 1 综上所述， ϕ ( x ) 也是分布函数. 1 ≥ ϕ ( x) =
四．计算题 2．某射手有 5 发子弹，射击一次命中率为 0.9 ，如果他命中目标就停止射击，命不中就一 直射击到用完 5 发子弹，求所用子弹数 X 的分布密度. [解答] 由题意可得 X 的分布率为
g →0 +
⑷ 因为 F ( −∞ ) = 0, F ( +∞ ) = 1 所以对 ∀ξ > 0, ∃M > 0 ，当 u < M 时， F (u ) < ξ ，当 u > M 时， F (u ) > 1 − ξ ， 于是当 x + h < − M 时

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1 h 1 h F ( x + u )du ≤ ξdu = ξ ∫ 2h −h 2h ∫−h 由 ξ 任意性可知 ϕ ( −∞ ) = 0 0 ≤ ϕ (x ) =
π
y ，则 x ′ =
πy
1 故 p( y ) = p( y ) ⋅ x ′ = πy π 0
4
10．设 X 分别为 [− [ 解 答 ] ⑴
π π
, ], [0, π ] 及 [0,2π ] 上的均匀分布，求 Y = sin X 密度函数. 2 2 X 服 从 [− −
π π π
求：⑴ 常数 c . ⑵ P( X <
x <1 x ≥1
[解答] ⑴由 ϕ ( x ) 的性质可得
1 ) 2
⑶ 分布函数 F ( x ) .
1 = ∫ ϕ ( x )dx = ∫
−∞
+∞
1
c 1− x
1 2