各种各样的代数运算
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1) 若g1, g2∈G, 则g1g2∈G.
(2) 若g∈G, 则g–1∈G.
定义3.6 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群.
今日无作业
下周一再见！
则称为A×B到C的一个代数运算.
特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算.
注：代数运算可以满足结合律, 交换律, 分配律中的某一个或 者全部.
定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数 系统的科学.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
有形形式式的集合, 更有各种各样的代数运算. 比如, 实数集R上的加(减)法、乘(除)法都是R上的代数运算. 比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是F×V到V的一个 代数运算. 比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算.
(1). 封闭性. 即a,b G, 有abG. (2). 乘法满足结合律 . 即a,b,c G, 有a(bc) (ab)c. (3). 存在单位元. 即e G, 使得a G, 有ae ea a. (4). 存在逆元. 即a G, a1 G, 满足aa1 a1a e.
定理3.2 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件. (1). a,b H , 有ab H. (2). 若a H , 则a1 H.
证明. 只要由上述(1), (2)推出H对于G的乘法满足群的4个条 件(严格证明将来见《近世代数》课程).
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
教师归纳好， 学生照搬套， 习惯用技巧， 不会去思考。
www.dy161.net 161电影网整理发布
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
定义3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称 为射影仿射变换.
定理3.1 射影变换 3 xi' aij x j j 1
注1 定义中的运算是称为乘法, 未必是通常的乘法.
注2 群中的乘法不一定满足交换律. 若满足交换律, 可以将这 种乘法称为加法, 这样的群称为交换群或加法群或Abel群.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为 乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记 作G.
齐次坐标表达式称为射影正交变换.
注：正交变换作用于欧氏平面上, 而射影正交变换则作用于 射影仿射平面上.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
以下这些概念都将在《近世代数》课程中学习, 我们仅承认 并应用.
定义 (代数运算)设A, B, C为集合, 为A×B到C的一个对应.
i 1,2,3,| aij | 0, 0
(3.1)
保持l∞：x3=0不变a31=a32=0. 证明：(略, 见教材).
显然, 射影仿射变换形如
x1' x2'
Baidu Nhomakorabea
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a13x3 a23x3
x3'
a33 x3
称(3.3)决定的变换为仿射变换, 作用于一般仿射平面上.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
2、正交变换
定义3.2 在仿射变换
x' y'
a1x a2 x
b1 y b2 y
c1 c2
| A|0
(3.3)
中, 如果矩阵A为正交阵, 即满足AA'=E, 则称为正交变换, (3.3)的
a33 A33 0, 0
(3.2)
作用于射影仿射平面(拓广平面课上件). 作者：南京师大数科院周兴和
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
显然, 射影仿射变换形如
x1' x2'
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a13x3 a23x3
例1 设Q*表示全体非零有理数的集合, 则Q*对于数的乘法构 成群.
例2 设M表示实数域上全体n阶可逆方阵的集合, 则M对于矩 阵的乘法构成群.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
定义3.4 (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上 的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群.
x3'
a33 x3
a33 A33 0, 0
(3.2)
作用于射影仿射平面(拓广平面上). 将(3.2)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式), 得
x' y'
a1x a2 x
b1 b2
y y
c1 c2
| A | a1 b1 0 a2 b2
(3.3)
定义3.5 (群的同构)两个群G, G'之间的一个能够保持乘法运 算的双射称为G与G'之间的一个同构映射.
如果群G与G'之间存在一个同构映射, 则称G同构于G', 记作
GG'.
定理3.3 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构 成群. 称为集合S上的全变换群.
定理3.4 非空集合S上若干个一一变换的集合G对于变换的乘 法构成群
比如, sin不是一个代数运算, 而sincos是一个代数运算.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为 乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记 作G.
(1). 封闭性. 即a,b G, 有abG. (2). 乘法满足结合律 . 即a,b,c G, 有a(bc) (ab)c. (3). 存在单位元. 即e G, 使得a G, 有ae ea a. (4). 存在逆元. 即a G, a1 G, 满足aa1 a1a e.
(2) 若g∈G, 则g–1∈G.
定义3.6 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群.
今日无作业
下周一再见！
则称为A×B到C的一个代数运算.
特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算.
注：代数运算可以满足结合律, 交换律, 分配律中的某一个或 者全部.
定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数 系统的科学.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
有形形式式的集合, 更有各种各样的代数运算. 比如, 实数集R上的加(减)法、乘(除)法都是R上的代数运算. 比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是F×V到V的一个 代数运算. 比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算.
(1). 封闭性. 即a,b G, 有abG. (2). 乘法满足结合律 . 即a,b,c G, 有a(bc) (ab)c. (3). 存在单位元. 即e G, 使得a G, 有ae ea a. (4). 存在逆元. 即a G, a1 G, 满足aa1 a1a e.
定理3.2 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件. (1). a,b H , 有ab H. (2). 若a H , 则a1 H.
证明. 只要由上述(1), (2)推出H对于G的乘法满足群的4个条 件(严格证明将来见《近世代数》课程).
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
教师归纳好， 学生照搬套， 习惯用技巧， 不会去思考。
www.dy161.net 161电影网整理发布
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
定义3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称 为射影仿射变换.
定理3.1 射影变换 3 xi' aij x j j 1
注1 定义中的运算是称为乘法, 未必是通常的乘法.
注2 群中的乘法不一定满足交换律. 若满足交换律, 可以将这 种乘法称为加法, 这样的群称为交换群或加法群或Abel群.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为 乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记 作G.
齐次坐标表达式称为射影正交变换.
注：正交变换作用于欧氏平面上, 而射影正交变换则作用于 射影仿射平面上.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
以下这些概念都将在《近世代数》课程中学习, 我们仅承认 并应用.
定义 (代数运算)设A, B, C为集合, 为A×B到C的一个对应.
i 1,2,3,| aij | 0, 0
(3.1)
保持l∞：x3=0不变a31=a32=0. 证明：(略, 见教材).
显然, 射影仿射变换形如
x1' x2'
Baidu Nhomakorabea
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a13x3 a23x3
x3'
a33 x3
称(3.3)决定的变换为仿射变换, 作用于一般仿射平面上.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
2、正交变换
定义3.2 在仿射变换
x' y'
a1x a2 x
b1 y b2 y
c1 c2
| A|0
(3.3)
中, 如果矩阵A为正交阵, 即满足AA'=E, 则称为正交变换, (3.3)的
a33 A33 0, 0
(3.2)
作用于射影仿射平面(拓广平面课上件). 作者：南京师大数科院周兴和
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
显然, 射影仿射变换形如
x1' x2'
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a13x3 a23x3
例1 设Q*表示全体非零有理数的集合, 则Q*对于数的乘法构 成群.
例2 设M表示实数域上全体n阶可逆方阵的集合, 则M对于矩 阵的乘法构成群.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
定义3.4 (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上 的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群.
x3'
a33 x3
a33 A33 0, 0
(3.2)
作用于射影仿射平面(拓广平面上). 将(3.2)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式), 得
x' y'
a1x a2 x
b1 b2
y y
c1 c2
| A | a1 b1 0 a2 b2
(3.3)
定义3.5 (群的同构)两个群G, G'之间的一个能够保持乘法运 算的双射称为G与G'之间的一个同构映射.
如果群G与G'之间存在一个同构映射, 则称G同构于G', 记作
GG'.
定理3.3 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构 成群. 称为集合S上的全变换群.
定理3.4 非空集合S上若干个一一变换的集合G对于变换的乘 法构成群
比如, sin不是一个代数运算, 而sincos是一个代数运算.
第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例 二、群与变换群
定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为 乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记 作G.
(1). 封闭性. 即a,b G, 有abG. (2). 乘法满足结合律 . 即a,b,c G, 有a(bc) (ab)c. (3). 存在单位元. 即e G, 使得a G, 有ae ea a. (4). 存在逆元. 即a G, a1 G, 满足aa1 a1a e.