电动力学习题解答6

第六章 狭义相对论

1. 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 证明：根据题意，不妨分别取固着于两参考系的直角坐标系，且令t =0时，两坐标系对应

轴重合，计时开始后，'∑系沿Σ系的x 轴以速度v 作直线运动，根据伽利略变换有：

vt x x -='，y y ='，z z ='，t t ='

1）牛顿定律在伽利略变换下是协变的

以牛顿第二定律22dt d m x F =为例，在Σ系下，22dt

d m x

F =

Θvt x x -='，y y ='，z z ='，t t ='

∴''

']',','[],,[222

22222F x x F ==+===dt

d m dt z y vt x d m dt z y x d m dt d m 可见在'∑系中牛顿定律有相同的形式2

2'

'dt d m x F =，所以牛顿定律在伽利略变换下

是协变的。

2）麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的

以真空中的麦氏方程t ∂-∂=⨯∇/B E 为例，设有一正电荷q 位于O 点并随'∑系运动，在'∑系中q 是静止的，故:

r r q

e E 2

0'

4'πε=

， （1）

0'=B （2）

于是方程'/'''t ∂-∂=⨯∇B E 成立，将（1）写成直角分量形式：

])'''(')'''(')'''('[4''2

3

222'23222'2

32220z y x z y x z z y x y z y x x q e e e E ++++++++=πε 由伽利略变换关系，在∑中有：

y x z y vt x y

z y vt x vt x q

e e E 2

3

2222

32220])[(])[({4++-+++--=

πε }])[(2

3

222z z y vt x z

e ++-+ ])()()[(])[(3

42

3

2220z y x y vt x vt x z z y z y vt x q e e e E --++-+-++--=⨯∇∴πε

可见E ⨯∇不恒为零。又在Σ系中观察，q 以速度x v e 运动，故产生电流x qv e J =，于是

有磁场R qv πμ2/0=B ，（R 是场点到x 轴的距离）此时，有0/=∂∂-t B ，于是

t ∂-∂≠⨯∇/B E 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。

2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是

)/1/(2'22c v v v += （1）

∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为

220/'1c v l l -= （2）

将（1）代入（2）即得：

)/1/()/1(22220c v c v l l +-= （3）

此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。 3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。

解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S ’，于是相对于地面参考系S ，车长为

220/1c v l l -=， （1）

车速为v ，球速为

)/1/()(200c v u v u u ++= （2）

所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁

l t v t u +∆=∆

所以

)/(v u l t -=∆ （3）

将（1）（2）代入（3）得：2

2

0200/1)/1(c

v u c v u l t

-+=

∆ （4）

4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。

解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参 考系'∑。

取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。

在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左

右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为

)

/1(/1/1'2

2

02

2

0c v c v l c v vt l x --=

--=

右

)/1(/1/1'2

20

2

20c v c

v l c v vt

l x +--=

---=

左

即：)/1(/1'220c v c v l d --=

右,)/1(/1'2

20

c v c

v l d +--=左 时间差为

2220/12''c

v c vl c d c d t -=-=

∆右左

5. 有一光源S 与接收器R 相对静止，距离为0l ,S-R 装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射

率n ）中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。