非线性方程解的稳定性
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则方程的定态解是稳定的。
• （2）如果对于方程组存在李雅普诺夫函数V(x)，其全导数V.
是负定的（即除V. (0)
0
外，对于D中所有其他点
.
V
0），
则方程的定态解是渐进稳定的。
• （3）如果对于方程组存在李雅普诺夫函数V(x)，其全导数V. 也是正半定的（即除远点外，V. 0 ），则方程的定态解是
李雅普诺夫第二法（直接法）：仿照力学平衡 中用能量判断平衡态的稳定性一样，不求解方 程，利用类似力学中能量的函数直接做出判断。
定义
• （1）设V(x)为在相空间坐标原点的临域D中的连续函数， 而且V是正定的，即除V(0)=0外，对所有D中别的点V(x)>0, 我们称这样的函数为李雅普诺夫函数。
•
（2）V沿方程
x
f
i
(
x
)
j
的解x(t)的全导数为
. dV n V n V
V x x dt i1
i i1
fi
i
标量函数的符号性质
•设V(x)为由n维向量x所定义的标量函数，x，且在x=0处， 恒有V(x)=0。对所有在域中的任何非零向量x，如果成立：
(1)V(x)>0，称V(x)为正定的
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义
• 从直观物理意义的角度,也非常易于理解。
由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律 可知,物体的能量将随物体运动减少,
即其导数(变化趋势)为负。
f
x
v
h
mg
h0
f
h
v
mg
渐近稳定 平衡态
不稳定 平衡态
李雅普诺夫第二法三个定理
• （V(x1)），如其果全对导于数微V. 是分负方半程定组的x （ f即i (x对j) 于存D在中李所雅有普点诺V.Leabharlann Baidu夫 0函）数，
稳定与不稳定
所谓描述系统运动方程的解是稳定的，是指系统即使 是在这些不可避免的扰动下偏离此解所表征的状态， 它仍将自动返回此状态，即系统长期稳定的处于此状 态，或至少不会偏离此状态太远。
稳定
渐近稳定
稳定与不稳定
所说的方程的解是不稳的， 是指在不可避免的扰动下 系统一旦稍许偏离此状态， 它将不能返回此状态，而 是更加偏离此状态。这表 示系统即使某一时刻处于 此状态，它也会自动的偏 离此状态而达到其他状态， 此状态自然是不稳定的。
李雅普诺夫第一法
• 李雅普诺夫第一法的基本结论是:
若线性化系统的状态方程的系统矩阵的所有特征值都具 有负实部,则原非线性系统的平衡态渐近稳定,而且系统 的稳定性与高阶项无关。
若线性化系统的系统矩阵的特征值中至少有一个具有正 实部,则原非线性系统的平衡态不稳定,而且该平衡态的 稳定性与高阶项无关。
非线性方程解的稳定性
稳定性的意义
•由非线性方程解的分类可以看出，非线性方程解的形式 或性质与其定态解是否稳定有重要关系。从实际情况可 以看出，解特别是定态解的稳定性有着十分重要的意义。
线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与 系统的初始条件及外界扰动的大小无关。非线性系统的 稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。
该平衡态渐近稳定
半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)
该平衡态稳定 但非渐近稳定
正定(>0)
该平衡态不稳定
半正定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
该平衡态不稳定
• 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统
的n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函
数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义
• 从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为 零,即运动变化的趋势为零)的状态。 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
不稳定的。
• 虽然对于简单或者特殊的方程组有求李雅普诺夫函数的方 法，但至今没有普适的求李雅普诺夫函数的方法。
补充：李雅普诺夫函数第一法
• 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究稳定性的一种方 法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡 态（定态、奇点）附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征 值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定 系统在零输入情况下的稳定性。
定义
• （2）如果x0(t)是稳定的，且
lim x (t) x0 (t) 0 t
则称此解是渐近稳定的。 • （3）不满足李雅谱诺夫稳定的解称为不稳定解。
李雅普诺夫定理
李雅普诺夫对方程解的稳定性研究的贡献突出表现 是提出了判断稳定性的两种方法。
李雅普诺夫第一法（间接法）：先把非线性方 程在奇点附近线性化，然后利用线性方程判断 定态的稳定性。
4) 非正定函数
2 x22
(x1 2x2 )2
3x12
(x1 2x2 )2
李雅普诺夫第二法
• 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的 能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能 量达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收 能量,其储存的能量将越来越大。
若线性化系统的系统矩阵除有实部为零的特征值外,其余 特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态的稳定性 由高阶项决定。
• 李雅普诺夫稳定性的判定方法小结
V(x)
正定(>0) 正定(>0)
正定(>0) 正定(>0) 正定(>0)
V’(x)
结论
负定(<0)
该平衡态渐近稳定
半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
(5)V(x)>0或V(x)<0，称V(x)为不定的 V (x) x1 x2
例子
• 下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、
负定函数等的例子。
1) 正定函数
2) 负定函数 3) 非负定函数
x12 2x22 x12 2x22
(x1 2x2 )2 x22 (x1 2x2 )2 5x12
V (x) x12 2x22
(2)V(x)0，称V(x)为半正定(或非负定)的 V (x) (x1 x2 )2
(3)V(x)<0，称V(x)为负定的
V (x) ( x12 2x22 )
(4)V(x)0，称V(x)为半负定(或非正定)的
V (x) ( x1 x2 ) 2
不稳定
定义
•
（1）设t=t0时方程
x
f
i
(x
)
j
i，j=1,2,3......n
的解为
X
0
(t
)
0
（用X代替Xi），另一受扰动偏离它的解为
X
(t
)
0
如果对于任意小的Ɛ>0,总有一小数ƞ（Ɛ，t0）>0存在，使得
x
(t
)
0
x0
(t
)
0
必有
x (t) x0 (t)
t0<t<∞
则称x(t)是在李雅普诺夫意义下稳定，简称李雅普诺夫稳定 或者稳定的。
• （2）如果对于方程组存在李雅普诺夫函数V(x)，其全导数V.
是负定的（即除V. (0)
0
外，对于D中所有其他点
.
V
0），
则方程的定态解是渐进稳定的。
• （3）如果对于方程组存在李雅普诺夫函数V(x)，其全导数V. 也是正半定的（即除远点外，V. 0 ），则方程的定态解是
李雅普诺夫第二法（直接法）：仿照力学平衡 中用能量判断平衡态的稳定性一样，不求解方 程，利用类似力学中能量的函数直接做出判断。
定义
• （1）设V(x)为在相空间坐标原点的临域D中的连续函数， 而且V是正定的，即除V(0)=0外，对所有D中别的点V(x)>0, 我们称这样的函数为李雅普诺夫函数。
•
（2）V沿方程
x
f
i
(
x
)
j
的解x(t)的全导数为
. dV n V n V
V x x dt i1
i i1
fi
i
标量函数的符号性质
•设V(x)为由n维向量x所定义的标量函数，x，且在x=0处， 恒有V(x)=0。对所有在域中的任何非零向量x，如果成立：
(1)V(x)>0，称V(x)为正定的
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义
• 从直观物理意义的角度,也非常易于理解。
由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律 可知,物体的能量将随物体运动减少,
即其导数(变化趋势)为负。
f
x
v
h
mg
h0
f
h
v
mg
渐近稳定 平衡态
不稳定 平衡态
李雅普诺夫第二法三个定理
• （V(x1)），如其果全对导于数微V. 是分负方半程定组的x （ f即i (x对j) 于存D在中李所雅有普点诺V.Leabharlann Baidu夫 0函）数，
稳定与不稳定
所谓描述系统运动方程的解是稳定的，是指系统即使 是在这些不可避免的扰动下偏离此解所表征的状态， 它仍将自动返回此状态，即系统长期稳定的处于此状 态，或至少不会偏离此状态太远。
稳定
渐近稳定
稳定与不稳定
所说的方程的解是不稳的， 是指在不可避免的扰动下 系统一旦稍许偏离此状态， 它将不能返回此状态，而 是更加偏离此状态。这表 示系统即使某一时刻处于 此状态，它也会自动的偏 离此状态而达到其他状态， 此状态自然是不稳定的。
李雅普诺夫第一法
• 李雅普诺夫第一法的基本结论是:
若线性化系统的状态方程的系统矩阵的所有特征值都具 有负实部,则原非线性系统的平衡态渐近稳定,而且系统 的稳定性与高阶项无关。
若线性化系统的系统矩阵的特征值中至少有一个具有正 实部,则原非线性系统的平衡态不稳定,而且该平衡态的 稳定性与高阶项无关。
非线性方程解的稳定性
稳定性的意义
•由非线性方程解的分类可以看出，非线性方程解的形式 或性质与其定态解是否稳定有重要关系。从实际情况可 以看出，解特别是定态解的稳定性有着十分重要的意义。
线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与 系统的初始条件及外界扰动的大小无关。非线性系统的 稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。
该平衡态渐近稳定
半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)
该平衡态稳定 但非渐近稳定
正定(>0)
该平衡态不稳定
半正定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
该平衡态不稳定
• 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统
的n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函
数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义
• 从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为 零,即运动变化的趋势为零)的状态。 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
不稳定的。
• 虽然对于简单或者特殊的方程组有求李雅普诺夫函数的方 法，但至今没有普适的求李雅普诺夫函数的方法。
补充：李雅普诺夫函数第一法
• 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究稳定性的一种方 法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡 态（定态、奇点）附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征 值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定 系统在零输入情况下的稳定性。
定义
• （2）如果x0(t)是稳定的，且
lim x (t) x0 (t) 0 t
则称此解是渐近稳定的。 • （3）不满足李雅谱诺夫稳定的解称为不稳定解。
李雅普诺夫定理
李雅普诺夫对方程解的稳定性研究的贡献突出表现 是提出了判断稳定性的两种方法。
李雅普诺夫第一法（间接法）：先把非线性方 程在奇点附近线性化，然后利用线性方程判断 定态的稳定性。
4) 非正定函数
2 x22
(x1 2x2 )2
3x12
(x1 2x2 )2
李雅普诺夫第二法
• 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的 能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能 量达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收 能量,其储存的能量将越来越大。
若线性化系统的系统矩阵除有实部为零的特征值外,其余 特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态的稳定性 由高阶项决定。
• 李雅普诺夫稳定性的判定方法小结
V(x)
正定(>0) 正定(>0)
正定(>0) 正定(>0) 正定(>0)
V’(x)
结论
负定(<0)
该平衡态渐近稳定
半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
(5)V(x)>0或V(x)<0，称V(x)为不定的 V (x) x1 x2
例子
• 下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、
负定函数等的例子。
1) 正定函数
2) 负定函数 3) 非负定函数
x12 2x22 x12 2x22
(x1 2x2 )2 x22 (x1 2x2 )2 5x12
V (x) x12 2x22
(2)V(x)0，称V(x)为半正定(或非负定)的 V (x) (x1 x2 )2
(3)V(x)<0，称V(x)为负定的
V (x) ( x12 2x22 )
(4)V(x)0，称V(x)为半负定(或非正定)的
V (x) ( x1 x2 ) 2
不稳定
定义
•
（1）设t=t0时方程
x
f
i
(x
)
j
i，j=1,2,3......n
的解为
X
0
(t
)
0
（用X代替Xi），另一受扰动偏离它的解为
X
(t
)
0
如果对于任意小的Ɛ>0,总有一小数ƞ（Ɛ，t0）>0存在，使得
x
(t
)
0
x0
(t
)
0
必有
x (t) x0 (t)
t0<t<∞
则称x(t)是在李雅普诺夫意义下稳定，简称李雅普诺夫稳定 或者稳定的。