高等数学积分表推导全过程

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高等数学积分公式大全

高等数学积分公式大全在高等数学的学习中，积分是一个非常重要的概念和工具。

积分公式如同数学世界中的宝库，为我们解决各种问题提供了有力的武器。

下面就为大家详细介绍一下高等数学中常见的积分公式。

一、基本积分公式1、常数积分公式∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这意味着对一个常数进行积分，结果是这个常数乘以自变量 x 再加上一个常数 C。

2、幂函数积分公式∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当 n 为正整数时，这个公式很好理解。

比如∫x² dx ＝（1/3)x³＋ C 。

3、指数函数积分公式∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。

4、对数函数积分公式∫（1/x) dx ＝ ln|x| ＋ C这是对数函数积分的基本形式。

二、三角函数积分公式1、正弦函数积分公式∫sin x dx ＝ cos x ＋ C2、余弦函数积分公式∫cos x dx ＝ sin x ＋ C3、正切函数积分公式∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C4、余切函数积分公式∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C三、反三角函数积分公式1、反正弦函数积分公式∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C2、反余弦函数积分公式∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C3、反正切函数积分公式∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2)ln(1 ＋ x²) ＋ C四、有理函数积分有理函数是指两个多项式的商。

对于形如 P(x)／Q(x) 的有理函数积分，通常需要先将其分解为部分分式，然后再利用上述基本积分公式进行积分。

五、定积分的基本性质1、线性性质∫kf(x) ＋ lg(x) dx ＝k∫f(x) dx ＋l∫g(x) dx （k，l 为常数）2、区间可加性∫a,b f(x) dx ＝∫a,c f(x) dx ＋∫c,b f(x) dx （a ＜ c ＜ b）六、换元积分法换元积分法是积分计算中的一种重要方法。

微积分基本公式推导过程

微积分基本公式推导过程
微积分的基本公式包括导数与定积分互为逆运算的关系，以及用反导数计算定积分的方法。

以导数与定积分互为逆运算为例，其推导过程如下：
对于一条连续曲线y=f(x)，其下从0到x的面积可以表示为一个面积函数A(x)。

在x和x+h 之间的曲线下面积，可以通过找到0和x+h之间的面积，然后减去0和x之间的面积来计算，即A(x+h)-A(x)。

另一方面，h*f(x)是矩形的面积，这个矩形的面积与x和x+h之间的曲线下面积大致相同。

当h趋向于0时，h*f(x)与曲线下面积的差值也趋向于0。

这就是导数与定积分互为逆运算的基本思想。

微分（导数）的过程可以看作是找出函数在某一点的切线斜率，或者说是将函数“分解”成无穷多个微小的部分；而积分（定积分）的过程则是将这些微小的部分“组合”起来，以求得整个函数在某一区间上的面积。

关于用反导数计算定积分的方法，其基本原理是牛顿-莱布尼茨公式，即定积分的值等于被积函数的原函数在积分区间两端点的函数值之差。

至于其他微积分基本公式的推导过程，例如洛伦兹因子、杜邦公式、圆的面积、三角函数公式等，由于涉及到较为复杂的数学理论和推导过程，需要深入的数学知识和专业的推导方法，因此在这里无法一一详述。

如果对某个特定的公式或推导过程感兴趣，建议查阅相关的数学教材或专业文献，以获取详细的推导过程和解释。

求积分公式大全高等数学

求积分公式大全高等数学高等数学中有很多重要的积分公式，下面是一些常用的积分公式的介绍：1.基本积分公式：(1) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1(2) ∫1/x dx = ln(，x，) + C(3) ∫e^x dx = e^x + C(4) ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C，其中a>0且a≠1(5) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(6) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(7) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(8) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(9) ∫sec(x) * tan(x) dx = sec(x) + C(10) ∫csc(x) * cot(x) dx = -csc(x) + C2.特殊函数的积分公式：(1) ∫sin^n(x) dx = (-1)^n * (1/n) * C(n, n/2) * cos((n/2)*x) + C，其中n为正整数，C(n, n/2)为组合数(2) ∫cos^n(x) dx = (1/n) * C(n, n/2) * sin((n/2)*x) + C，其中n为正整数，C(n, n/2)为组合数(3) ∫sin(mx) * cos(nx) dx = (1/2) * [(sin((m+n)x))/(m+n)] + (1/2) * [(sin((m-n)x))/(m-n)] + C(4) ∫(1+x^2) dx = x + (1/3) * x^3 + C(5) ∫(1-x^2) dx = x - (1/3) * x^3 + C(6) ∫(1+x^2)^(-1) dx = arctan(x) + C3.分部积分法：若有两个函数u(x)和v(x)，那么分部积分公式可以表示为：∫u(x) * v'(x) dx = u(x) * v(x) - ∫u'(x) * v(x) dx4.替换法（换元积分法）：若有一个复合函数u(g(x))和其导数u'(g(x))，那么替换法可以表示为：∫u'(g(x)) * g'(x) dx = ∫u'(u) du5.三重积分公式：(1) ∫∫∫f(x, y, z) dx dy dz = ∫∫g(x, y) dy dz = ∫h(x) dz = k，其中h(x)为g(x, y)的积分，g(x, y)为f(x, y, z)的积分，k为积分结果(2) ∫∫∫f(x, y, z) dx dy dz = ∫(∫(∫f(x, y, z) dx) dy) dz，即先对x积分，再对y积分，最后对z积分。

求积分公式大全高等数学

求积分公式大全高等数学在高等数学中，积分是微积分中的重要概念之一，用于求解函数的面积、体积、曲线的长度以及求解微分方程等问题。

常见的积分公式包括原函数的求法、基本积分公式、常用函数的积分公式等。

下面将介绍一些常用的积分公式。

1. 原函数的求法原函数是指对于给定函数f(x)，找到一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)。

常见的函数对应的原函数公式包括：- 常数函数的原函数：∫kdx = kx + C，其中k是常数，C是常数项。

- 幂函数的原函数：∫x^ndx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1。

- 正弦函数的原函数：∫sinxdx = -cosx + C。

- 余弦函数的原函数：∫cosxdx = sinx + C。

- 指数函数的原函数：∫e^xdx = e^x + C。

2. 基本积分公式基本积分公式是指对于一些常见函数的积分形式，可以直接根据公式进行求解。

常见的基本积分公式包括：- 幂函数积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1。

- 三角函数积分公式：- ∫sinxdx = -cosx + C。

- ∫cosxdx = sinx + C。

- ∫sec^2xdx = tanx + C。

- ∫csc^2xdx = -cotx + C。

- 指数函数积分公式：∫e^xdx = e^x + C。

- 对数函数积分公式：∫1/xdx = ln|x| + C。

3. 常用函数的积分公式除了基本积分公式外，还有一些常用函数的积分公式：- 三角函数的复合函数积分公式：- ∫sin(ax)dx = -1/as * cos(ax) + C。

- ∫cos(ax)dx = 1/as * sin(ax) + C。

- ∫sec^2(ax)dx = 1/as * tan(ax) + C。

- ∫csc^2(ax)dx = -1/as * cot(ax) + C。

高等数学积分表公式推导

x−b
（十一）含有三角函数的积分（83~112）···········································55 （十二）含有反三角函数的积分（其中 a > 0)（113~121）·······················68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）··········································73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）··········································78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）··········································80 （十六）定积分（142~147）····························································81
ax +
dx b
=
1 a3
⎡1 ⎢⎣ 2
(ax +
b) 2
−
2b (ax
+
b)
+
b2
⋅ ln
ax +
b
⎤ ⎥⎦
+C
5.
dx
1
∫ x (ax + b) = − b ⋅ ln
ax + b x
+C
证明：被积函数 f ( x ) = 1 的定义域为{x | x ≠ − b}
x ⋅ (ax+ b)
∴
∫
dx ax +
b
=
1 a
∫
1dt t
= 1 ⋅ ln t + C a

二十四个基本积分公式

二十四个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

而掌握基本的积分公式，就如同拥有了打开积分世界大门的钥匙。

接下来，让我们一起来了解这二十四个基本积分公式。

公式一：∫kdx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式之一。

无论 x 取何值，常数 k 乘以 x 再加上任意常数 C，就是 kx 的不定积分。

公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当函数为 x 的 n 次幂时，积分结果是将指数加 1 后除以新的指数，再加上常数 C 。

公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C对于反比例函数 1/x ，其积分结果是自然对数 ln|x|加上常数 C 。

这里要注意绝对值符号，因为 x 可能为负数。

公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分仍然是它本身 e^x 加上常数 C ，这是因为 e^x 的导数就是它本身。

公式五：∫a^x dx ＝（1/lna)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）对于底数为 a 的指数函数 a^x ，其积分结果是 1 除以 lna 再乘以 a^x 加上常数 C 。

公式六：∫sinx dx ＝ cosx ＋ C正弦函数 sinx 的积分是 cosx 加上常数 C 。

公式七：∫cosx dx ＝ sinx ＋ C余弦函数 cosx 的积分是 sinx 加上常数 C 。

公式八：∫tanx dx ＝ ln|cosx| ＋ C正切函数 tanx 的积分是 ln|cosx|加上常数 C 。

公式九：∫cotx dx ＝ ln|sinx| ＋ C余切函数 cotx 的积分是 ln|sinx|加上常数 C 。

公式十：∫secx dx ＝ ln|secx ＋ tanx| ＋ C正割函数 secx 的积分是 ln|secx ＋ tanx|加上常数 C 。

公式十一：∫cscx dx ＝ ln|cscx ＋ cotx| ＋ C余割函数 cscx 的积分是 ln|cscx ＋ cotx|加上常数 C 。

积分表147个公式的推导(修正版)

目录（一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有bax +的积分（10~18） (5)（三）含有22a x ±的积分（19~21） (9)（四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28） (11)（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44）.........................................15 （七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48)（十）含有或))((x b a x --的积分（79~82）...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81)附录：常数和基本初等函数导数公式 (85)bx a x --±- 1 -（一）含有b ax +的积分（1~9）Cb ax ln ab ax dx b ax t Ct ln adtta b ax dx 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++⋅+-⋅=+⋅-++++⋅=++=+-+⋅=+⋅-⋅+⋅=+⋅+⋅-⋅+⋅+⋅+⋅=--=-+⋅=+∴-+=⋅-=+=-=≥=+++⋅+-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++3222322223322243353332731432132163432326332532232522222322232)()81215(1052 )(4235301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(22)( , 2 , , )0( )()81215(1052 .12代入上式得：将则令证明：- 6 -C b ax b ax a C b ax a b b ax b ax a dx b ax x b ax t C t a b t a C t a b t a bdt a dt t a dt a t at b t dx b ax xdt a t dx abt x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x++⋅-⋅=++⋅-+⋅+⋅=++=+⋅-⋅=+⋅-⋅+⋅=-=⋅-=+∴=-=>=+++⋅-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰+)()2(32)(2)()(3223222112222, 2 , , )0( )()2(32.132222322122222222代入上式得：将则令证明：[]C b ax b abx x a a C b ax b ax b b abx b x a b ax a dx bax x b ax t C bt b t at Ct b t b t a dt t a b dt b a dt t a dtbt b t a dt a tt a b t dx bax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx bax x ++⋅+-⋅=++⋅+⋅-+++⋅+⋅=++=+-+⋅=+-+=-+=-+=⋅⋅-=+∴=-=>=+++⋅+-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)()843(152)()(1015)2(3)(152)10153(152 )3251(2 422 )2(221)(, 2 , , )0( )()843(152 .142223222232224332532323432243222222232代入上式得：将则令证明：- 7 -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+⋅->+++-+⋅=++-+⋅-=++=+-⋅-=-+=-<+++-+⋅=++=++-⋅=-=->-=⋅⋅-=+∴=-=>=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅->+++-+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)0(2)0(1 2 , 12t2 )(122 0 .211 )(122 0b .1 221, 2 , , )0( )0(2)0(1 .15222222222b C bbax arctan bb C bb ax b b ax ln b b ax x dx C bbax arctan bb ax x dx b ax t Cb arctan b dt b t dt b t b Cbb ax b b ax ln b bax x dx b ax t C b t b t ln b dt b t dt b t dtb t dta tt a b t bax x dx dt atdx a b t x t t b ax b C bbax arctan bb C bb ax b b ax ln b b ax x dx 得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：C ax ax ln a a x dx++-⋅=-⎰ 21 21 22：公式C a xarctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式- 8 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-=+++-+-=+⋅++-+-=+++-+-=+-+-=+++-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+∴++=+++=+⋅+-+-=+-b ax x dx b a bx b ax dxb ax x b a bx b ax dx b ax x b a dx b ax ax b bx b ax dx b ax x b a b ax d x b bx b ax dx b ax x b a xd b ax b dx b ax x b a dx x b ax b dx bax x b a b ax x dx b b a Bb Ba A b ax x x b ax B b ax x b ax x b ax x dx b a bx b ax bax x dx 2 121 )(2111 111 11111 1B A 10 )B( A 1 , A 1 2 .162122222于是有则设证明：2 212 )(2 2122 122 1, 122 122 2 2 22 , , )0( 2 .172222222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+⋅-+++=++=⋅-+=-+=+∴-∴-+=-+=-+-=-=⋅-=+∴=-=≥=++++=+bax x dxb b ax dx bax ab b ax b b ax dx x b ax b ax t dxt ab t b t dtbt b t dx x b ax dt bt R b dtbt b t dt b t b dt dt bt b b t dtbt t dt a t b t at dx x b ax dt atdx a b t x t t b ax bax xdx b b ax dx xb ax 代入上式得：将不能明确积分符号可正可负取值为则令证明：- 9 -（三）含有22a x ±的积分（19~21）2 2)(1 112.182122⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++-=⋅+⋅++-=+++-=+-=++++-=+-bax x dxa xb ax dx ab ax x x b ax b ax d xx b ax xdb ax dx x b ax b ax x dxa x bax dx x b ax 证明：C a x arctan a a x dx a x arctan t a xarctant tant a x C t adt at dt sec a tsec a a x dx t sec a t tan a dx a x t dt sec a tant a d dx πt πtant a x C a x arctan a a x dx 2222222+⋅=+==∴⋅=+⋅==⋅⋅=+∴=+⋅=+⋅=⋅=<<-⋅=+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰1 111 1)1(1 )( , )22( 1 .19222222222代入上式得：将则令证明：- 10 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+++++----+⋅--++⋅⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅-=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+∴+-+=+-+-+++=+-+++=+++=⋅+⋅-⋅-+=+-+=++⋅--++⋅⋅-=+122212221221222222222212212222221222222212222222122222122222222221222122222)()1(232)()1(2 )()32()()1(21)( , 1 )()12()(21)(1 )(1)()( )21( )(12)(12)( )(2)( )(2)( 2)()()( )(1 )()( )()1(232)()1(2)( .20n n n n n n n n n 2n n n n n n n n n n n nn n n n n a x dx a n n a x a n x a x dx n a x x a n a x dx n n a x dxn a x x na dx a x dx a x 2na a x x a x dx n dx a x na dx a x n a x x dx a x a a x n a x x dx a x x n a x x dx x a x n x a x x a x d x a x x a x dx a x dxa n n a x a n x a x dx 则令移项并整理得：证明：Cax ax ln a Ca x ln a a x ln a dx ax a dx a x a dx a x a x a ax dx C a x ax ln a ax dx ++-⋅=++⋅--⋅=+--=+--=-++-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰21 2121 121121 ]11[21 21 .212222证明：- 11 -（四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28）)0( 21)0( 1 2 , 1 21 121 )(11 1)(11)(11 0 .2 1 C 1 )(11 1)(1111 0b .1 )( )0( 21)0( 1 .222222222222222222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=++-+⋅--⋅⋅-=+-+--⋅⋅-=--=+∴⋅--=⋅--=+<+⋅⋅=+⋅⋅⋅=+=+∴⋅+=⋅+=+>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b C b x a bx a ln ab b C x b aarctan ab b ax dx C b x a b x a ln ab C a bx ab x ln a a b dx a bx a b ax dx a a b x a a b x b ax b C x b aarctan abx b aarctan b a a dxa b x a b ax dx a ab x a a b x b ax 0a b C b x a b x a ln ab b C x b aarctan abb ax dx 得：综合讨论，时当，时当证明：C b ax ln a b ax d b ax a dx b ax dx bax x a C b ax ln a dx bax x 22++⋅=++=+=+>++⋅=+⎰⎰⎰⎰21 )(121 121)0( 21 .23222222证明：- 12 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=⋅+=+>+-=+b ax dx a b a x dx b ax a b dx b a b dxb ax b a b dx b b ax ax a b dx bax x a b ax dx a b a x dx bax x 2222222222 11 )11( 1)0( .24证明：C 21 2121 )(12112112121])(1[21)( 11 )()(1 )(1)(121 )()( )( C 21)( .25222222222222222222++=++-=++-=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=++=+=+>++⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰bax x ln ·b Cb ax ln ·b x ln ·b b ax d bax b dx x b dxb ax b a dx x b dxb ax b a bx b ax x dx b aB bA Ab 0B Aa AbB Aa x Bx b ax A bax Bx A b ax x dxb ax x dx b ax x xb ax x dx 0a bax x lnbb ax x dx 22222222222222于是有则设：证明：- 13 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+>+--=+b ax dx b a bx dx b ax b a dx x b dx b ax b a bx b ax x dx b aB b A Ab 0B Aa Ab B Aa x Bx b ax A b ax B x A b ax x a b ax dx b a bx b ax x dx 2222222222221 111 ])(1[)( 11 )()(1 )(1 0)( 1)( .2622222于是有则设：证明：C bxx b ax ln baC b ax ln ·ba bx x ln ·ba dx bax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b a A b B Bb Ba Ab C Aa Bb x Ba Ab x C Aa Cx b ax B b ax Ax bax C x B x A b ax x dx b ax x dx b ax x xb ax x dx 0a C bx x b ax ln b a b ax x dx 222222222222+-+=+++--=+++-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴++++=++++=+++=++=+=+>+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222222222224222322244244244322223212221 2 1212112 )( 1100 )()( )()(1 )(1 )(121 )()( )( 212)( .27于是有则设：证明：- 14 -（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+⋅-<+-+⋅-=+++-++--+⋅-=+--+=--+=-++=++>+-+⋅-=+-++=-++=++<-++=++∴-++=++>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+⋅-<+-+⋅-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)4( 44 41)4(42 2 , 1 44 41 )2()4()(124 )4()(14 )()(14 4 .2 42 )2()()(124 )()(14 4 .1 )()(14 )()(41 )0( )4( 44 41)4( 42 .292222222222222222222222222222ac b C ac b b 2ax acb b 2ax ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan bac c bx ax dx Cac b b 2ax acb b 2ax ln ac b b axd ac b b 2ax a a dx ac b b 2ax a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b Cb4ac b 2ax arctan b ac b ax d b 4ac b 2ax a a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx b 4ac b 2ax ac bx ax a ac b C ac b b 2ax ac b b 2ax ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan bac c bx ax dx 2222222222222222得：综合讨论，时当，时当证明： C a x arctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式C 21 2122++-⋅=-⎰a x a x ln a a x dx ：公式21)(2 )(2121)(2)(212121)(21 )(2121121)(21 )(2121()(21 211102 2 2)(1 2)(21 21 1121 21 1121 121)( )( 21)(2)( 2822222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++-+=++++-=++-+-=+--+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅+-+⋅-=+++⋅-=+-=+>+++=+bax dx b b ax b x dxb ax b bb ax abx b b ax dx b ax b babx b ax ax dxb ax b b dx x ab b ax ax dx b ax b abx b ax ax b B bA Ab Ba Aa Abx )Ba Aa (Bax b ax A b ax B ax A b ax ax dxax b ax b ax ax ax d b ax b ax ax b ax d ax b ax dx 0a bax dxb b ax b x b ax dx .222222222222222222222222222上式于是有，则设：证明：- 15 -（六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-++⋅=++-++++=++-++++=++-+⋅=++>++-++⋅=++cbx ax dx a b c bx ax ln a dx cbx ax a b c bx ax d c bx ax a dx c bx ax b a dx c bx ax b ax a dx c bx ax b b ax a dx c bx ax x a c bx ax dx a b c bx ax ln a dx c bx ax x 222222222222 2 21 12)(121 21221 221 )0( 2 21 .30证明：C )( , 1 |AB | , |AC | B Rt 1 , 01, 22 || , ) )22(}{1 )0( C )( 31222222322222222222222222222222222122+++=+∴>+++++=+-++=+++=++=+∴=+==∴+====∠++==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a x dx 0x a x C x a x ln C lna x a x ln C a xa x ln C tant sect ln a x dx a xtant a a x cost sect a x x ,a |BC |,t ABC ΔC tant sect ln dt sect dt t sec a sect a a x dx secta a x cost sect πt π sect a a x tdt sec a tant a (d dx ,πt πtant a x R x |x ax )x (f a a x x ln C a x arsh ax dx .22 则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式- 16 -1)( |AB ||AC |sint |AB | , |AC |, || , B Rt 1cos 1 11 1)( )( , 01 , 22 ||)( , ) ( ,)22( }|{)(1)( )0( )( .3222223222222222322322322322222322C a x a x C sint a a x dx a x xa x x a BC t ABC ΔC sint a tdt a dt sect a dt t sec a t sec a a x dx t sec a a x cost sect πt πt sec a a x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x f a C ax a x a x dx 23333332++=+⋅=+∴+==∴+====∠+===⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰则中，设在则可令的定义域为被积函数证明： C a x dx a x x a x t C t dt dtat t t a t dx a x x dta t t tdt a t dx a t x t t a x a C a x dx a x x ++=++=+==-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=>=+>++=+⎰⎰⎰⎰⎰-22222222222222212222222222 2)(21 , )0( )0( .33代入上式得：将则令证明：Cax C a x a x d a x dx a x dx a x x dx a x x a C ax dx a x x ++-=++⋅-⨯=++=+=+⋅=+>++-=+----⎰⎰⎰⎰⎰2223122222322223222322322223221 )(231121 )()(21 )(21)()( )0( 1)( .34证明：- 17 -C )( 22 C)( )( 22 31)( C )( 1 39)( C )( 22 1)0( C )( 22 .35222222222222222222222222222222222222222222222222+++⋅-+⋅=+++⋅-++++⋅=+∴+++=++++⋅++⋅=++-+=+-+=+>+++-+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a a x x a x x ln a a x x ln a a x x dx a x x a x x ln x d ax a x x ln a a x x dx a x x d a x a dx a x dx a x a a x dx a x x a a x x ln a a x x dx ax x 公式公式证明：C )( )()( 1, |AB | , |AC |, || , B Rt cos 1 1 )( )( , 01 , 22 )( ) ( ,)22( }|{)()( )0( C )( )( .362222322222222222223222222222322232223222322222223222+++++-=+∴>+++-+-++=++-++=+-+=+∴+===+=∴+====∠+-+=-=-=-==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a x x dx a x x 0x a x C lna ax x x a x ln C a x xa x a x ln C sint tant sect ln dx a x x a a x cost sect ,a x tant a x x sint a x x a BC t ABC ΔC sint tant sect ln dt t dt sect dt sectdt sect dt sect t sec dt sect t tan tdt sec a t sec a t tan dx a x x t sec a t tan a x x cost sect πt π|t sec a |t tan a a x x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x x f a a x x ln ax x dx a x x 1111222323233222则中，设在，则可令的定义域为被积函数证明：C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 18 -1 )( 21 )( 21 )( 21 21 1 1 2)(21 , )0( )0( 1.3722222222222222222222222222222212222222222C x a a x ln a C x a a x ln a C a a x a a x ln a a x x dx a x t C a t a t ln a C a t a t ln a dt at dt a t t a t t a x x dx dt a t t tdt a t dx a t x t t a x a C x aa x ln a a x x dx +-+⋅=+-+⋅=+-+-+⋅=+⋅+=+--⋅=++-⋅=-=-⋅-⋅=+⋅∴-=⋅-=∴-=>=+>+-+⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则令证明：C 21 2122++-⋅=-⎰a x ax ln a a x dx ：公式bnlog b log a na = 提示： 1 11)1(211121)1(1121 1221 11111 1 , )0( 1 11 )0( .3822222222221122222222222222222222222222222C x a a x ax x dx x t C t a aC t a a t a d t a a dtt a ta a dt ta t dt a tx d a x t x t x t x da x a x x dx a C x a a x a x x dx ++-=+⋅=++⋅-=++-⋅-=++-=+-=+-=+-=+-∴=≠=+-=+⋅>++-=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则令证明：- 19 -C a x x ln 2a a x 2x dx a x a x x ln a a x x dx a x C a x x ln a dx a x a dx a x x dx a x a x x dx ax x dx a x dx a x x a x x a x d x a x x dx a x a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .22222222222222222222222222222222222222222222222222+++⋅++=+++⋅++=+++++⋅=+=+-++=+++∴+-+=+-+=+>+++⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)( )( 2 )( 1 )0( )( 391即②得，由①②又①：证法C a x x ln 2a a x 2x dx a x lna2a a x x ln 2a a x 2x |aa x x |ln 2a a x 2x |tant sect |ln a tant sect a a x tant ,a x a cost sect x a |AB |x,tant a |AC |a |BC |,t B ABC Δ ,tant a x C |tant sect |ln a 2tant sect a 2dtant sect a C |tant sect |ln sectdt sectdt a tant sect a 2dtant sect a sectdt dtant sect dt cost dt t cos cost dt t cos t cos dt t cos t sin tantdt sect tant tantdsect tantdsect a tant sect a dtant sect a tant a sectd a dx a x sect a a x tcos t sec ,2πt 2π,sect a t tan a a x 2πt 2πtant a x 0a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .222222222222222222222222222212222323222222222222222222+++⋅++⋅=+⋅-++⋅++⋅=++⋅++⋅=++∴=+==∴+=====∠∴⋅=+++⋅=++=+=-=-⋅=-==⋅⋅=-⋅===+∴=+∴>=<<-=+=+<<-⋅=>+++⋅++⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)( )( 21·21 1· Rt 11 87 )·(1 1111 )·(· · , 01·1 )( 2 )()( 39综合①②③④⑤得则，中，可设在⑤联立③④有④）（公式又③联立①②有②又①，则令：证法 t sec t tan 221 =+提示：)0( )(131>+++=+⎰a C a x x ln dx ax 2222：公式- 20 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++⋅⋅+++⋅=+∴+++⋅++⋅⋅+++=+++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅⋅=∴+===∴+====∠++⋅+⋅+⋅=+++⋅⋅=+⋅⋅==+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=-⋅=+=+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=-⋅==⋅=+∴⋅=+∴>=<<-=+<<-=∈+=>+++⋅⋅+++⋅=+Ca x x ln a a x a x x dx a x C x a x ln 83aa x 8x a 3a x a x x C a x a x ln a 83a x a a x 8a 3a x aa x a x a tant d t sec a a a x t sect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC tant sect ln a 83tant sect a 83tant t sec a tant d t sec a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect tant d t sec a dt t sec tant d sect dt sect dt t sec tant sect sectdt t sec tant sect sectdt t tan tant sect sect d tant tant sect tant d sect tant d sect a tant t sec a tant d t sec a tant d sect a tant d t sec a tant t sec a tant d sect t sec a tant t sec a tant d sect t tan a tant t sec a dt t sec t tan a tant t sec a dt tant sect t sec tant a tant t sec a t sec d tant a tant t sec a tant d t sec a tant a d t sec a dx a x tsec a a x cost sect πt πt sec a a x πt πtant a x R x x a x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x 4333333223333232332323333333333)( 83)52(8 )( )(4 4 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 41 21 21 21 21 )1( ) 3 (41 3 3 )1(3 3 3 3 ) ( )( )( , 01 , 22 ||)( ,)22( }|{)()( )0( )( 83)52(8 )( .4022422223222222222221224224223224422221444414444444444444444443223223223222242222322则中，设在联立①④得④联立②③得：③又②①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 21 -Ca x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx a x x ++=++⋅+⨯=++=+=+⋅>++=+⋅+⎰⎰⎰⎰32221122222122221222232222)(31)(211121 )()(21 )(21 )0( )(31 .41证明：- 22 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++⋅-++⋅=+⋅∴++⋅=++⋅∴>+++++⋅-++⋅=++⋅+++⋅-+⋅=++⋅⋅+++⋅-+⋅⋅=⋅∴+===∴+====∠+⋅++-⋅=⋅++-⋅⋅=-⋅⋅=--⋅=--⋅=⋅+-⋅=-⋅=-⋅=⋅⋅+=⋅⋅+=⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+=-⋅⋅+=+=+⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=+⋅∴⋅=+⋅∴>=<<-=+⋅<<-=∈+⋅=>+++⋅-++⋅=+⋅Ca x x ln a a x a x x dx a x x a x x ln a x a x ln a x a x Cx a x ln a a x a x x C a x x x a x ln a a x x a C a a x a x a a x a x ln a a a x a x a t dsec t sec tant a aa x tsect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC sect t tan a tant sect ln a tant sect a t dsec t sec tant a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect sect d tant sect d tant dt sect tant sect dt sect t tan dt sect tant sect sectdt t tan tant sect tdt sec tant sect tant d sect tant sect sect d tant t sec t tan a t dsec tant a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t sec tant a dsect tant t sec a t sec t tan a t dsec tant a dt t tan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dtan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t tan a t dsec tant a t dsec t tan tant a t dsec t sec tant a t d t sec t tan a tant d sect t tan a tant a d sect t tan a dx a x x sect t tan a a x x costsect πt π sect a t tan a a x x πt πtant a x R x x a x x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x x 23222333232333322322222)( 8)2(8 )( 88 0 8)2(8 4 88 4 88 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 48821 21 2121)1( 4 4 ) (41 3 3 )1( ) ( )( )( , 01 , 22 ||)( ,)22( }|{)( )0( )( 8)2(8 .42224222222222422422224222222232242241223342242244222214444144444244434444444444443222322222222222242222222，则中，设在联立①②得：②移项并整理得：①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 23 -)( )( 2 )( 2 21 1 2)(21 , )0( }0|{)( )0(.4322222222222222222222222222222222222222222222122222222222222C x a a x ln a a x Cxa a x ln a a x C a a x a a x ln a a x dx x a x a x t C a t a t ln a t C a t a t ln a a t dt a t a dt dt a t a a t dt a t t dt a t t a t t dx x a x dt at t tdt a t dx a t x a t t t a x x x x a x x f a C x aa x lna a x dx xa x +-+⋅++=+-+⋅++=+-+-+⋅++=++=+--⋅+=++-⋅⋅+=-+=-+-=-=-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=≠≥=+≠+=>+-+⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则且令的定义域为被积函数证明：C )( 2 , 1 C )( , 0 2. C )( 01 |AB | , |AC |, || , B Rt 1 1 1 )1( , 01 , 20 , ) ( ,)20( , 0 1. }0|{)( )0(C )( .4422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222+++++-=++++++-=+<+++++-=+∴>+++-++++-=++-++=+∴+===+=∴+====∠+-+=+=+=⋅+=⋅+=+⋅=⋅=+∴=+∴>=<<=+==<<=>≠+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x a x ln xa x dx x a x x a x ln xa x dx x a x x x a x ln x a x dx x a x x a x C lna x a x ln x a x C x a x a x a x ln dx x a x a a x cost sect ,a x tant ,ax x sint a x x a BC t ABC ΔC sinttant sect ln dsint t sin dt sect dt t sin cost dt sect dt t sin t cos cost dt sect dt t tan sect dt sect dt t tan t tan sect tdt sec a t tan a sect dx x a x t tan a sect x a x cost sect πt t tan a sect a x a x tdt sec a tant a d dx πt tant a x x x x x a x x f a a x x ln x a x dx x a x 1112222222222222得：综合讨论同理可证得：时当则中，设在，则可令时当的定义域为被积函数证明： Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式C21 2122++-⋅=-⎰a x a x ln a a x dx ：公式- 24 -（七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）2 1 || || ||1|| || 1 . 21 Rt 2)20( . 1}{ 1 1 )0( 453 C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C aa x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C |a x x |ln |a a x x |ln |t tan t sec |ln ax dx a a x |BC ||AC |t tan ,a x t cos t sec a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC |tant sect |ln sectdt dt tant a tantsect a a x dx tant a a x πt tant a 1t sec a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x ax f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x ax dx .22122522422242242242222222222222222222222222222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=-+=+=-∴-====∴-====∠++==⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅=-=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证法 C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式- 25 -2 1 || || ||1)( || 1 . 2 || . 1 }{ 1 2 )0( 45 C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C a a x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C a x x ln C 1a x a x ln C a x arch C t dt dt sht a sht a a x dx shtdt a dx ,sht a a t ch a a x a x arch t 0)(t cht a x ,a x a x a x |x ax f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x ax dx .221225224222422422422222232222122222222222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+==⋅⋅=-∴⋅=⋅=-=-=>⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，可设时当或的定义域为被积函数：证法- 26 -C a x a x a x dx ,C ax a x a x dx x μC a μa μa μμd a μμd a x dx μx ,x μa x ,a x C a x a x a x dx x a x t sin a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔCt sin a sint d t sin a dt t sin t cos a dt t sin t cos t cos a dt t tan sect a dt t tan a tant sect a a x dx t tan a a x tant πt t tan a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x f(x)a C ax a x a x dx .222222222222222222222222222222222222+-⋅-=-+-⋅-=--=+-⋅=----=-∴-=-=>--<+-⋅-=-∴-=∴-====∠+-===⋅==⋅⋅⋅=-∴⋅=-><<⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23232333232222222232333333333323)( 2 1 )( )()( 1 )()( . 2 )( Rt 1 11 111 1)( )( , 0 20 )( )20( . 1 }{ )(1 )0( )( 46得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 )(211121 )()(21 )(21 )0( .47211222221221C a x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx ax x 222222222222+-=+--⨯=--=-=->+-=----⎰⎰⎰⎰：证明- 27 -1)( 2 1 1)( 1)( 1 )()(. 2 11)( Rt 11 11 1)( )( 20 )( )20( . 1 }{ )()0( 1)( 48333333222232332333333 C ax dx a x x , C a x dx a x x x μCaμμd a μμμd a μμdx a x x μx ,x μa x ,a x Cax C a x a a dx a x x a x at cot a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC t cot a tdt csc a dt t sin a dt t tan t sec a dt tant sect a t tan a sect dx a x x t tan a sect a x x πt t tan a sect a a x x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x xf(x)a C ax dx a x x .22222222222222222222222222222222222222+--=-+--=--=+--=--=-∴-=-=>--<+--=+-⋅-=-∴-=∴-====∠+⋅-=--===⋅⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 C a x x ln a a x x dx ax x C a x x ln a a x dxa C a x x ln a a x x dx a x dxax a dx a x dx ax aa x dxax a a x dx a x x a C a x x ln a a x x dx a x x .22222222222222222222222222222222+-+⋅+-=-+∴+-+⋅=-+-+⋅--⋅=--+-=-+-=-+-=->+-+⋅+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22 45)( 53)( 221)( )0( 22 49222222222222222②得：由①公式②公式①证明：。

高数积分公式大全

高数积分公式大全高数积分公式大全在高等数学中，积分是一个重要的概念和工具。

积分公式是进行积分运算时的基本工具，掌握这些公式对于解题和推导都至关重要。

下面是一些常见的高数积分公式大全，希望对学习者有所帮助。

一、基本积分公式1. ∫xn dx = (1/n+1) xn+1 + C (n≠-1)2. ∫(1/x) dx = ln|x| + C3. ∫e^x dx = e^x + C4. ∫a^x dx = (1/ln(a)) a^x + C (a>0, a≠1)5. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C6) ∫cos(x) dx = sin(x) + C7. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C8. ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C9. ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C10. ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C11. ∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C12. ∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C13. ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C14. ∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C15. ∫cot^2(x) dx = -cot(x) - x + C二、一些特殊函数的积分公式1. ∫e^ax sin(bx) dx = (1/(a^2 + b^2))e^ax (a sin(bx)- b cos(bx)) + C2. ∫e^ax cos(bx) dx = (1/(a^2 + b^2))e^ax (a cos(bx) + b sin(bx)) + C3. ∫si n^2(x) dx = (1/2)(x - sin(x)cos(x)) + C4. ∫cos^2(x) dx = (1/2)(x + sin(x)cos(x)) + C5. ∫sin^3(x) dx = -(1/3)cos^3(x) + (1/3)cos(x) + C6. ∫cos^3(x) dx = (1/3)sin^3(x) + (1/3)sin(x) + C三、三角替换公式1. ∫√(a^2 - x^2) dx = (1/2)(x√(a^2 - x^2) +a^2arcsin(x/a)) + C2. ∫√(x^2 + a^2) dx = (1/2)(x√(x^2 + a^2) + a^2ln|x + √(x^2 + a^2)|) + C3. ∫√(x^2 - a^2) dx = (1/2)(x√(x^2 - a^2) - a^2ln|x + √(x^2 - a^2)|) + C四、分部积分公式1. ∫u dv = uv - ∫v du，其中u和v是可微的函数。

《高等数学》求积分基本运算公式

《高等数学》求积分基本运算公式高等数学是一门涉及很多抽象概念和知识点的学科，其中求积分是其中一个重要的内容，这对于很多学习者来说可能是一个比较棘手的问题。

本文将给出求积分基本运算公式，并讨论如何正确使用这些公式，以及一些实例演示，帮助读者更轻松地掌握这个概念。

一、求积分的基本运算公式首先，关于求积分的基本运算公式，最基本的应该就是对积分的定义，它是指将一个函数求和的过程，主要用来计算函数的积分，也就是将一个函数的值求和。

其中，关于求积分的基本运算公式有：1. 常数乘积公式：若f(x)为任意函数，a为任意常数，则a·∫f(x)dx=∫a·f(x)dx。

2. 加法公式：若f(x)和g(x)为任意函数，则∫f(x)dx+∫g(x)dx=∫[f(x)+g(x)]dx。

3. 积分分部公式：若f(x)和g(x)为任意函数，则∫[f(x)∙g(x)dx]=∫f(x)dx∙∫g(x)dx。

4. 对称公式：若f(x)为任意函数，a和b为任意常数，则∫a·f(x)dx+b=a·∫f(x)dx+b。

二、如何正确使用求积分基本运算公式1. 在使用求积分基本运算公式时，首先要判断函数是否符合求积分基本运算公式的条件，如果不符合，则需要使用其他方法求解。

2. 在使用求积分基本运算公式时，一定要正确计算函数的积分，特别是在复杂的情况下，更要注意不要出错。

3. 在使用求积分基本运算公式时，一定要解决函数的积分，而不是函数本身。

三、求积分基本运算公式的实例演示1. 假设函数f(x)为x^2，则要求∫f(x)dx，可以使用积分分部公式：∫f(x)dx=∫x^2dx=∫x dx∙∫x dx，然后再分别求解，即∫x dx=x^2/2+C，∫x dx=x+C，所以最终有∫x^2dx=x^3/3+C。

2. 假设函数f(x)为x^4+2x^2，则要求∫f(x)dx，可以使用加法公式：∫f(x)dx=∫[x^4+2x^2]dx=∫x^4dx+∫2x^2dx，然后再分别求解，即∫x^4dx=x^5/5+C，∫2x^2dx=2x^3/3+C，所以最终有∫x^4+2x^2dx=x^5/5+2x^3/3+C。

高等数学积分公式大全

高等数学积分公式大全在高等数学的学习中，积分是一个非常重要的概念和工具。

积分公式就像是一把把钥匙，能够帮助我们打开解决各种数学问题的大门。

接下来，让我们一起走进这个丰富多彩的积分公式世界。

一、基本积分公式1、常数的积分∫k dx ＝ kx ＋ C （其中 k 为常数，C 为积分常数）这个公式很好理解，对一个常数进行积分，结果就是这个常数乘以自变量再加上积分常数。

2、幂函数的积分∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （其中n ≠ －1）当 n 为正整数时，这个公式告诉我们幂函数积分后，指数加 1，然后除以新的指数再加积分常数。

3、指数函数的积分∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1 ／ ln a)a^x ＋ C （其中 a ＞ 0 且a ≠ 1）指数函数的积分依然是它本身，只是要加上积分常数。

4、对数函数的积分∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是一个比较特殊的公式，需要记住。

5、三角函数的积分∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫ta n x dx ＝ ln ｜cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln ｜sin x| ＋ C三角函数的积分在解决与周期性和波动性相关的问题中经常用到。

二、换元积分法相关公式1、第一类换元法（凑微分法）如果∫f(u) du ＝ F(u) ＋ C，且 u ＝φ(x) 可导，则∫f(φ(x)）φ'（x) dx ＝F(φ(x)）＋ C通过巧妙地凑出合适的微分形式，将复杂的积分转化为已知的积分形式。

2、第二类换元法设 x ＝φ(t) 是单调的、可导的函数，并且φ'（t) ≠ 0，又设f(φ(t)）φ'（t) 具有原函数，则有∫f(x) dx ＝∫f(φ(t)）φ'（t) dt常见的有三角代换、根式代换等。

三、分部积分法公式∫u dv ＝uv ∫v du这个公式常用于两个函数相乘的积分，通过合理地选择 u 和 dv，将积分转化为更容易求解的形式。

高等数学积分公式推导

-4-
（二）含有 ax + b 的积分（10~18）
10.
∫
ax + b dx =
2 ⋅ ( ax + b) 3 + C 3a
1 1
+1 1 1 1 2 2 证明： ax + b dx = ( ax + b ) d ( ax + b ) = ⋅ ⋅ ( ax + b ) +C ∫ 1 a∫ a 1+ 2 2 = ⋅ ( ax + b) 3 + C 3a
7.
∫
x 1 ⎛ b ⎞ dx = 2 ⎜ ln ax + b + ⎟+C 2 ax + b ⎠ ( ax + b) a ⎝ x b 证明：被积函数 f ( x ) = 的定义域为 { x | x ≠ − } 2 a ( ax + b ) x A B 设 = + , 则 x = A( ax + b ) + B 2 ax + b ( ax + b ) 2 ( ax + b) 即 x ⋅ Aa + ( Ab + B) = x
-2-
6.
dx 1 a ax + b = − + 2 ⋅ ln +C bx b x ( ax + b ) 1 b 证明：被积函数 f ( x ) = 2 的定义域为 { x | x ≠ − } a x ⋅ (ax + b) 1 A B C 设 2 = + 2 + , 则 1 = Ax ( ax + b) + B( ax + b) + Cx 2 ax + b x ⋅ (ax + b) x x

高数积分公式

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax bC b x +-+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x+-++的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+15．(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b -- 17．d x x ⎰＝b 18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n xx a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b+⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()xax b +⎰＝221d 2()2x x b ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x ⎰＝ln(x C +++37．1C a + 38．2C a x -+ 39．x2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x a C +44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ⎰＝ln x C +++51．1arccos aC a x+52．2C a x +53．x 2ln 2a x C +54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．d x x⎰arccos a a C x -+58．x ＝ln x C +++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x ⎰arcsinxC a-+65．1lna C a x +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-++71．x a C72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x2n 2a x b c C++++75．xn 2a x b c C-+++ 76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C --81．C()a b <82．x 2()4b a C -()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d nx x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos x a b x +⎰)2xC +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccosxx C a- 117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C a +124．e d axx x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+125．e d n axx x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a--⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln n x n x nx a x a x a a --⎰ 128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax nbx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax nbx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d axn n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln xx x ⎰＝ln ln x C +134．ln d nx x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d nx x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰136．(ln )d m nx x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n nx x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝ln ch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++（十六）定积分 142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅- （n 为正偶数），0I ＝2π。

积分公式和求导公式

积分公式和求导公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：积分公式和求导公式是微积分中非常重要的概念，它们是计算函数的导数和积分的基础。

在数学中，导数和积分分别描述了函数的变化率和函数下面积的概念。

下面我们将分别介绍积分公式和求导公式的概念、定义以及常见的应用。

一、积分公式积分是微积分中的一个重要概念，描述了曲线下面积的大小。

积分的符号通常用∫来表示，积分公式的一般形式如下：∫f(x) dx = F(x) + Cf(x)是被积函数，F(x)是积分函数，C是积分常数。

积分函数F(x)实际上是f(x)的不定积分，表示对f(x)的积分后得到的函数。

求解定积分的过程就是求解不定积分并确定积分常数的过程。

根据不定积分的性质，可以通过积分公式将一个复杂函数的不定积分转化为更简单的函数的不定积分，从而更容易求解。

在实际应用中，积分公式常用于计算曲线下面积、求解定积分、计算物理问题中的面积、体积等。

通过积分公式，可以帮助我们更准确地描述函数的性质，解决实际问题中的计算需求。

二、求导公式求导是微积分中另一个重要的概念，描述了函数在某一点处的变化率。

导数通常用f'(x)或者dy/dx表示，求导的一般形式如下：f'(x) = lim(h→0) [ f(x+h) - f(x) ] / hf(x)是原函数，f'(x)是导数。

求导的过程就是求解函数的变化率，用导数来描述函数在某一点处的斜率或者速度。

求解导数的过程就是求解导数函数的过程，根据导数的定义将原函数进行微小变化并求解极限得到导数函数。

导数函数描述了原函数在每一点处的变化率，是对原函数的一种更加精确的描述。

第二篇示例：积分和求导是微积分中非常重要的概念，它们在数学、物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。

积分公式和求导公式是微积分理论的基础，掌握这些公式能够帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。

首先我们来看一下积分公式。

在微积分中，积分是对函数的反操作，它的结果是求函数在一定区间内的面积或者曲线下的面积。

分部积分法公式推导过程

分部积分法公式推导过程分部积分法是微积分学中的一种重要积分方法，它在解决很多复杂的积分问题时都发挥着关键作用。

那咱们就来好好聊聊这个分部积分法公式的推导过程。

咱先从一个简单的例子说起。

比如说，咱想求$∫x\cos xdx$。

要是直接积分，好像有点难以下手。

这时候，分部积分法就派上用场啦。

咱们设函数$u(x)$和$v(x)$具有连续的导数。

那么，根据函数乘积的求导法则，有：$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$对这个式子两边同时积分，就得到：$uv = ∫u^\prime vdx + ∫uv^\prime dx$移项一下，就得到了分部积分法的公式：$∫uv^\prime dx = uv - ∫u^\prime vdx$咱再举个例子感受感受。

比如说求$∫x e^x dx$，咱令$u = x$，$v^\prime = e^x$，那么$u^\prime = 1$，$v = e^x$。

代入分部积分公式，就有：$∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C$在学习分部积分法的过程中，我记得有一次给学生们讲这个知识点。

有个学生特别较真儿，一直追问为什么要这样推导。

我就耐心地给他一步一步解释，从函数乘积的求导法则开始，一点点引导他理解。

最后这孩子恍然大悟，那表情别提多有成就感了。

再比如说求$∫x^2 \sin x dx$，这看起来是不是也挺复杂？咱们还是用分部积分法。

设$u = x^2$，$v^\prime = \sin x$，然后按照公式一步步来。

总之，分部积分法就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多积分难题的大门。

但要熟练掌握它，还得多做练习，多琢磨。

通过不断地练习和思考，咱们就能越来越熟练地运用分部积分法，解决各种各样的积分问题。

就像盖房子一样，每一块砖都砌好了，房子才能坚固又漂亮。

不管遇到多复杂的积分，只要咱们静下心来，分析清楚函数的特点，选择合适的$u$和$v^\prime$，然后运用分部积分法，总能找到解决问题的办法。

微积分基本公式推导过程

微积分基本公式推导过程微积分是现代数学中的一个重要分支，它主要研究连续变化的规律和性质。

微积分学最基本的内容包括微分学和积分学，而微积分基本公式则是这两个部分的核心。

微积分基本公式是微积分学习中的重要内容，它们提供了一种简洁而有效的方法来求解微积分问题，也为许多实际问题的建模和求解提供了基础。

微积分基本公式推导过程可以追溯到17世纪，当时牛顿和莱布尼兹等数学家通过不断探索和总结，形成了微积分学的基本理论和方法。

微积分基本公式包括基本微分公式和基本积分公式，它们都是从一些基本函数的微分和积分性质中得到的。

基本微分公式包括常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、三角函数等的导数求法；而基本积分公式则是对应函数的不定积分公式，可以求出函数的原函数。

在微积分学习中，要掌握微积分基本公式的推导过程是非常重要的。

首先，我们需要了解微积分符号的含义和基本规则，如微分和积分的定义、求导和求积的方法等。

在推导微积分基本公式时，需要运用这些基本知识，结合函数的性质和运算法则，逐步推导出微积分基本公式。

首先，我们从微分学开始推导微积分基本公式。

微分是研究函数的变化率的数学工具，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。

在微积分学中，常见的微分公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的微分公式。

其中，最基本的微分公式是导数的定义公式，即函数在某一点的导数定义为函数在这一点的极限。

根据导数的定义，可以得到常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数计算公式。

以幂函数为例，设f(x)=x^n，其中n为任意实数。

根据导数的定义，可以得到f'(x)=nx^{n-1}。

这就是幂函数的导数计算公式，它是微积分基本公式中的一部分。

类似地，对于指数函数g(x)=a^x，其中a>0且a≠1，其导数计算公式为g'(x)=a^x\ln(a)。

对于对数函数h(x)=\ln(x)，其导数计算公式为h'(x)=\frac{1}{x}。

高等数学积分表127个公式的推导

dx
1
1 A Aa B 0 b 有 Ab 1 B a b dx 1 a 1 1 a 1 于是 [ ]dx dx dx x (ax b) bx b ( ax b ) b x b ax b 1 1 1 1 dx d ( ax b ) b x b ax b 1 1 ln x ln ax b C b b 1 x ln C 提示： log a b 1 log a b b ax b 1 ax b ln C b x
μ 将t ax b代入上式得： (ax b) dx
3.
x 1 ax b dx a ax b b ln
2
ax b
C
证明：被积函数 f ( x )
x b 的定义域为{x | x } ax b a 1 1 令 ax b t (t 0) , 则 x t b , dx dt a a 1 t b 1 x 1 b dx a · dt 2 1 dt ax b t a t a 1 1 b 2 dt 2 dt t a a t b 2 2 ln t C a a 1 2 t b ln t C a x 1 将 t ax b 代入上式得： ax b dx a 2 ax b b ln ax b
高等数学
积分表公式推导
目
录
（一）含有 ax b 的积分（1~9） · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 （二）含有 ax b 的积分（10~18） · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 （三）含有 x 2 a 2 的积分（19~21） · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9

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１(一)含有ax+b 的积分1.C b ax ab ax d b ax a dx ++=++=+⎰⎰ln 1)(11b ax 2.()()C u a b ax b ax d a dx u uu +++=++=+⎰⎰)1()()(b ax 1b ax 3.C b ax b b ax ab ax b ax d a b dax b ax b ax a dx b ax b b ax a dx b ax ax a dx b ax x ++-+=++-++=+-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰)ln (1)(111222 4.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-++=+--+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b ax b ax d b b ax d b b ax d b ax a dx b ax b abx b ax a dx b ax x a a dx b ax x )()(2)()(12)(11232222222 C b ax b b ax b b ax a +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=ln )(2)(211223 5.()C xbax b x C a b b ax b C ax b ax b dx ax b ax b a b ax x dx ++-=++++-=+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+⎰⎰ln 1ln ln 1ln 1ln ln 111)(11 6.()()C x bab ax b a bx x dx b a b ax dx b a dx x b dx bx a b ax b a x b b ax x dx +-++-=-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=+⎰⎰⎰⎰⎰ln ln 11111222222222C xbax b a bx +++=ln 12 7.()()()()C b ax a b b ax a b ax dx a b b ax dx a dx b ax a b b ax a b ax xdx ++⋅++=+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+⎰⎰⎰⎰1ln 11122222 C b ax b b ax a +⎪⎭⎫⎝⎛+++=ln 12 8.()()()()()⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=+-+-=+--+=+C b ax b b ax b ax a b ax dx a b b ax xdx a b a x dx b ax a b a bx b ax a dx b ax x 2322222222222ln 212219.()()()()C xbax b b ax b C b x b ax b b ax b x dx b b ax dx b a b ax b adx b ax x dx ++-+=+++-+=++-+-=+⎰⎰⎰⎰ln 11ln ln 1112222222 （二）含有b ax +的积分10.()()C b ax ab ax d b ax a dx b ax ++=++=+⎰⎰3321 11.()()()()()⎰⎰⎰+-=++-+=+-++=+3232522315232521b ax b ax aC b ax a b b ax a dx b ax a b dx b ax b ax a dx b ax x C + 12.()()()⋅--+=+-+-++=+⎰⎰⎰⎰b ax aa b b ax a dx b ax a b dx b ax x a b dx b ax b ax adx b ax x23152[2722127322222()()()()C b ax b abx x a aC b ax ab b ax +++-=++-+32223332381215105232]２13.()()=++-+=++-+=+-++=+⎰⎰⎰⎰⎰C b ax ab b ax ab ax b ax d a b dx b ax a b ax dx a b dx b ax b ax a b ax xdx 232223211()C b ax b ax a++-=2322 14.()()()()+++-++=+-+-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b ax d b ax a bb ax d b ax ab ax dx a b b ax xdx a b dx b ax b ax a dx b ax x 3233222222121()C b ax b bx x a ab ax dx ab +++-=+⎰22232284315215.⎰+bax x dx 当b>0时，有C bb ax b b ax b b ax d b b ax b b ax b ax b a b ax x dx +++-+=+⎪⎭⎫⎝⎛++--++=+⎰⎰ln 1112 当b<0时，令ax+b=t,则dx=dt aa b t d1=- C b t b b t d b t b b t d b t b t d b t t a b t dta b ax x dx +--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰arctan 21121122122 C b bax b+-+-=arctan 2所以=+⎰b ax x dx ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+->+++-+0arctan 10ln 1b C b b ax bb C b b ax bb ax b 16.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-=+-++=+-++=+b a dx x b bax b b ax abxb ax x dx b a dx bx b ax b ax b ax x dx b a dx bax bx b ax b ax xdx 2222222222222⎰⎰⎰+-+-=+-'-'-=+b ax x dx b a bx b ax b ax x dx b a dx v v u v u bax x dx 22217.⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=+++=+bax x dx b b ax b ax x dx b dx b ax a dx b ax x b b ax a dx x b ax 2)(18.⎰⎰⎰⎰⎰+⋅-+-=+++=+++=+bax x dxb a b bx b ax b b ax x dx a b ax x dx b dx b ax x b b ax x a dx x b ax 21)(222３⎰⎰+++-=++bax x dxa xb ax b ax x dx a2（三）含有x 2±a 2的积分 19.⎰+22a x dx设x=atant(22ππ<<-t )那么t a a x2222sec =+ tdt a dx 2sec = 于是C axa C dt a dt t a t a a x dx +=+==+⎰⎰⎰arctan 11sec sec 2222220.()⎰+naxdx22用分部积分法，n>1时有()⎰+na xdx22()()()()()()⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++=+-++=---dx a x a a x n a x xdx a x x n a x xnn n n n 222122122222122112)1(2 即 ()()()nn n n I a I n a xxI 21122112--++=--- 于是()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=--1122232121n n nI n ax xn a I由此作递推公式并由 C a xa I +=arctan 11即可得n I ()()()()()⎰⎰--+--++-=+∴12221222221232121n n n axdxa n n a x a n a x dx21.C ax ax a dx a x a x a dx a x a x a x dx =+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-⋅+=-⎰⎰⎰ln 2111211122 (四)含有ax 2+b(a>0)的积分22.()⎰⎰⎰>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+0arctan 11111222b C x b a ab x b a x badb a b x b a dx b b ax dx()()()0ln 2111212<+-+---=⎪⎭⎫⎝⎛-+----=---+=+⎰⎰⎰b C bx a b x a ab dx b x a b x a ab b x a b x a dx b ax dx23.⎰⎰++=+=+C b ax b ax dx b ax xdx 2222ln 2121 24.()()C b ax x b C b ax a b a x b dx bax b ax bx dx x b ax ++=++⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+⎰⎰22222ln 21ln 21ln 111 25.⎰⎰⎰⎰+-=+-++=+bax dxa b a x dx b ax a b dx b ax b ax a b ax dx x 22222211 26.()⎰⎰⎰⎰++--=+-=+C b ax dx b a bx b ax dx b a bx dx b ax x dx 222221４27.()()ln 2ln 221ln 21ln 2112222222222222323b a x b a bx C b ax a b a x b a bx dx x b a b ax b x a bx b ax x dx +--=++⋅+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=+⎰⎰ C bxx b ax b a C b ax +-+=++2222221ln 2 28.()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++-+'=+++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=+b ax dxb dx b ax axu b ax u b b ax dx b dx b ax ax b b dx bax b b ax b ax b b ax dx22222222222222212212121212222ax b axu u b x u a -=-'+' b b u =' 1='u x u =()()()⎰⎰⎰⎰+++⋅=+++⋅-+'=+bax dxb b ax x b b ax dx b dx baxxax b ax x baxdx222222222121212 (五)含有)0(2>++a c bx ax的积分29.dx a ac b b a x a c bx ax dx 1222442-⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 当ac b 42<时，有 dx a ac b b a x a c bx ax dx 1222442-⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎰+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=142244222b ac a b x a dx b ac a 令2422b ac a b x a t -⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 则 dx b ac a dt 242-=则原式=C b ac a b x a b ac C t b ac t dt a b ac b ac a +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+-⋅-⎰222222422arctan 42arctan 4112444当ac b 42>时有 dx ac b a b x a b ac a c bx ax dx ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=++42414422222 令ac b a b x a t 4222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 则dx ac b a dt 422-= 则原式C acb b ax acb b ax ac b t dt a ac b ac b a +-++--+-=---=⎰4242ln 4112444222222综上所述()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+-<+-+-=++⎰)4(4242ln 41442arctan 4222222222ac b C ac b b ax ac b b ax ac b ac b C b ac b ax b ac c bx ax dx５30.()()c bx ax ac bx ax dx a b dx c bx ax b ax a c bx ax a bdx dx c bx ax a b ax c bx ax xdx ++=++-+++=++-+++=++⎰⎰⎰⎰⎰222222ln 212221222⎰++-c bx ax dx a b 22 其中 ()[]()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=++'++='++c bx ax b ax c bx ax c bx ax c bx ax 22222ln （六）含有()022>+a a x 的积分31.⎰+22a x dx 由于t t 22sec tan1=+，不妨设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么t a a x sec 22=+，tdt a dx 2sec =于是⎰+22ax dx⎰⎰==tdt dt t a ta sec sec sec 2，利用例17的结果得C t t a x dx ++=+⎰tan sec ln 22 作图可知axt =tan ，aa x t 22sec +=，且0tan sec >+tt ，因此()C a x x C a a x a xa x dx+++=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=+⎰2212222ln ln 32.()⎰+322axdx设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么t a a x sec 22=+，tdta dx 2sec =，于是()C t adt t a dt t a t a axdx+-===+⎰⎰⎰sin 1sec 11sec sec 22332322axt =tan ，txa a t cos sec 122=+=，22cos tan sin ax x t t t +=⋅= ，()C ax ax axdx++-=+⎰22232233.⎰+22a x xdx ，不妨设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x，那么t a a x sec 22=+，tdt a dx 2sec =，于是⎰+22a x xdx =⎰⎰++=+==C a x C t a tdt t a tdt a t a t a 222sec tan sec sec sec tan34.()⎰+322a xxdx设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是()C ax C t a dt t t a tdt a t a t a a xxdx++-=+-===+⎰⎰⎰222333221cos 1sec tan 1sec sec tan35.-+=+++-++++=+-+=+⎰⎰⎰2222222222222222222)ln()ln(22a x x C a x x a a x x a a x x a x dxa dx a x ax dx x ()C a x x a +++222ln 2６36.()()()()C ax x a x x axdxa ax dx dx axa a x axdxx ++-++=+-+=+-+=+⎰⎰⎰⎰22223222223222223222ln37.⎰+22a x xdx 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是C x aa x a C t t a t dt a t a t a tdt a ax x dx+-+=+-==⋅=+⎰⎰⎰22222ln 1cot csc ln 1sin 1tan sec sec38.⎰+222a x xdx设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是C x a x a C t a dt t t a t a t a tdt a a x xdx++-=+-==⋅=+⎰⎰⎰22222222222sin 1sin cos 1sec tan sec 39.⎰+dx a x 22 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是-⋅=⋅-⋅===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰t t a tdt t a t t a t td a tdt a tdt a t a dx a x tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec sec 2222232222()⎰⎰+++-⋅=-1232222tan sec ln sec tan sec 1sec sec C t t a tdt a t t adt t t a()C a x x a a x x C t t t t a dx a x +++++=++++=+∴⎰22222222ln 22tan sec ln tan sec 240.()⎰+dx a x322设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是()⎰⎰=+tdt a dx a x54322sec ⎰⎰⎰⋅-==tdt t t t t t t td tdt tan sec sec tan 3tan sec tan sec sec 2335⎰⎰⎰+-=-=tdt tdt t t tdt t t t 353233sec 3sec 3tan sec tan sec 3tan sec()13tan sec ln tan sec 21sec C t t t t tdt ++++=⎰()1535tan sec ln tan sec 23sec 3tan sec sec C t t t t tdt t t tdt +++++-=∴⎰⎰()()()axa a xa C t t t t a t t a tdt a dx a x ⋅+=++++==+∴⎰⎰33224143454224tan sec ln tan sec 83tan sec 4sec()()C a x x a a x a x x C a a x x a x a x a ++++++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++22422221222224ln 83528ln 83 41.dx a x x ⎰+22 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是７()C a xC t a t t d a tdt t a tdt a t a t a dx a x x ++=+=-==⋅⋅=+⎰⎰⎰⎰32233433322231cos 3cos cos sec tan sec sec tan42.()[]()()22222223222222222222528a x a x x dx a x a dx a xdx a x a a x a x dx a x x ++=+-+=+-++=+⎰⎰⎰⎰()()()()C a x x a a x a x x C a x x a a x x a a x x a +++-++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+++2242222222222224ln 828ln 22ln 83 43.dx x a x ⎰+22 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是ln cot csc ln cos sin cos sin cos sin sec tan sec 2222222a x a C t t a ta t dt a dt t t a t t dt a tdt a t a t a dx x a x ++=+-+=+===+⎰⎰⎰⎰⎰C xaa x +-+2244.dx x a x ⎰+222 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是C tt t t t d tdt t t dt tdt t tdt a t a t a dx x a x +-+=+====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin 1tan sec ln sin sin sec cos sin cot sec sec tan sec 2223222222 ()C xa x a x x ++-++=2222ln （七）含有()022>-a a x 的积分45.⎰-22a x dx 当a x >时，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，那么t a t a a x tan 1sec 222=-=-，tdt t a dx tan sec =，于是()()C a x x C a ax a x C t t tdt dt t a t t a a x dx+-+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=++===-⎰⎰⎰2212222ln ln tan sec ln sec tan tan sec 当a x -<时，令u x -=，那么a u >，由上段结果有()()221222222ln ln a x x C a u u au du ax dx -+--==+-+-=--=-⎰⎰()C a x x C a a x x C xa x C +---=+---=+--=+2212221221ln ln 1ln 综上所述，C a x x a x dx +-+=-⎰2222ln８46.()⎰-322a xdx，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则()t a a x33322tan =-，tdt t a dx tan sec =，于是()C ax a x C t a dt t t a dt t t a dt t a t t a a xdx+--=+-====-⎰⎰⎰⎰2222222233322sin 1sin cos 1tan sec 1tan tan sec47.⎰-22a x xdx ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是⎰⎰⎰+-=+===-C a x C t a tdt a tdt t a ta ta a x xdx 22222tan sec tan sec tan sec48.()⎰-322a xxdx,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是()⎰⎰⎰+--=+-===-C ax C t a dt t a tdt t a t a t a a xxdx222333221cot 1sin 11tan sec tan sec 49.C a x x a a x x a a x x a x dxa dx ax a x ax dx x +-++-+--=-+--=-⎰⎰⎰2222222222222222222ln ln 212 C a x x a a x x +-++-=222222ln 2250.()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+=-+-=-+--=-⎰⎰⎰⎰⎰22222232222232223222232221ln a x xa a a x x a xdxa a x dx a xdxa dx a xa x a xdxx C ax xa x x C+---+=+2222ln51.⎰-22a x xdx ,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是，当0>x 时有C xaC a t dt t t a t t a a x xdx +=+==-⎰⎰arccos tan sec tan sec 22当0<x 时有，C x aa a x xdx +-=-⎰arccos 122，综上所述，有C x a aa x x dx +=-⎰arccos 122 52.⎰-222a x xdx，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是C xa a x C t a t dt a dt t a t a t t a a x xdx+-=+==⋅=-⎰⎰⎰2222222222sin 1sec 1tan sec tan sec９53.dx a x ⎰-22,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是-++=-==⋅=-⎰⎰⎰⎰t t a t t a dt t t a tdt t a tdt t a t a dx a x tan sec ln 2tan sec 2cos cos 1tan sec tan sec tan 223222222()C a x x a a x x C t t a +-+--=++222222ln 22tan sec ln 54.()dx a x⎰-322,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是()⎰⎰⎰==-tdt t a tdt t ta a dx a xsec tan tan sec tan 4433322()⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=tdt tdt tdt tdt t dt t t sec sec 2sec sec 1sec sec tan 35224()⎰+++++=135tan sec ln tan sec 83tan sec 41sec C t t t t t t tdt ()23tan sec ln tan sec 21sec C t t t t tdt +++=⎰;⎰++=3tan sec ln sec C t t tdt()+⋅-++++=+-=∴⎰⎰⎰⎰t t t t t t t t tdt tdt tdt tdt t tan (sec 212tan sec ln tan sec 83tan sec 41sec sec 2sec sec tan 3354aa x a x a a x a x a a x a x C C C t t t t 22222233321ln 8385412tan sec ln )tan sec ln -++-⋅⋅--⋅⋅=+-++++3212C C C +-+()()Ca x x a a x a x xC a x x a a x x a a x x dx ax+-++--=+-++---=-⎰2242222224222223322ln 83528ln 8385455.dx a x x ⎰-22,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==⋅⋅=-t dt a t dt a dt t t a tdt t a tdt t a t a t a dx a x x 234342322322cos cos cos cos 1sec tan tan sec tan sec()()C a xC t a t a t d t a t a t td a +-=+=-+=-=⎰⎰3223332332331tan 3tan tan tan 1tan tan sec56.()()222224222222222222222ln 83528a x x a a x x a a x a x xdx a x adx a x ax dx a x x-⋅+-++--=-+--=-⎰⎰⎰ ()C a x x a a x a x xC a x x a +-+---=+-+-2242222224ln 828ln 257.dx x a x ⎰-22, 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是当0>x 时，有１０()C xaa x C t t a dt t a tdt a tdt t a t a t a dx x a x +--=+-=-===-⎰⎰⎰⎰arccos tan 1sec tan tan sec sec tan 222222 当0<x 时，有C x a a x dx x a x +----=-⎰arccos )(2222；综上所述，C xa a x dx x a x +--=-⎰arccos 2222 58.dx x a x ⎰-222，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，有⎰⎰⎰⎰===-t td dt tt tdt t a t a t a dx x a x sin tan sec tan tan sec sec tan 2222222，令t u sin =，则 C t tt C u u u u du u du u du u du du u u t td +-++-=+-++-=++-+-=-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin 1sin 1ln 21sin 11ln 21121121111sin tan 2222()C a x x xa x +-++--=2222ln （八）含有()022>-a a x 的积分59.C a xa x dxa x a dx +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰⎰arcsin 11222 60.()⎰-322x adx,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则()t a x a33322cos =-，tdt a dx cos =，于是()⎰⎰⎰+-=+===-C xa a xC t a t dt dt t a t a x adx2222233322tan 1cos cos cos 61.⎰-22x a dx ，令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是⎰⎰⎰+--=-=-==-C x a t a tdt a tdt a ta ta x a dx 2222cos sin cos cos sin62.()⎰-322x axdx,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则()t a x a33322cos =-，tdt a dx cos =，于是()⎰⎰⎰+-=+===-C xa C t a dt t t a tdt a t a t a x axdx222333221cos 1cos sin 1cos cos sin63.⎰-222x a dx x ,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C x a x a x a C t a t a tdt a tdt a t a t a xa dxx +--=+-===-⎰⎰⎰2222222222222arcsin 22sin 421sin cos cos sin64.()⎰-3222x a dxx ,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则()t a x a33322cos =-，tdt a dx cos =，于是()C a xxa x C t t dt t dt tdt a t a t a x adxx +--=+-=-==-⎰⎰⎰⎰arcsin tan cos cos cos sin 22233223222 65.⎰-22x a xdx ,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C x x a a a C x x a a x a C t t a dt t t a t a xa x dx+--=+--=+-==-⎰⎰2222222ln 1ln 1cot csc ln 1cos sin cos 66.⎰-222x a xdx,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C x a x a C t a t dt a t ta a tdt a xa x dx+--=+-===-⎰⎰⎰22222222222cot 1sin 1cos sin cos 67.⎰-dx x a 22,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C x a x a x a C t a t a dt t a tdt a tdt a t a dx x a +-+=++=+==⋅=-⎰⎰⎰⎰22222222222arcsin 22sin 4222cos 1cos cos cos68.()dx x a⎰-322,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则()t a x a33322cos =-，tdt a dx cos =，于是()()=++=+==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dt t a tdt a t a dt t atdt atdt a t adx xa2cos 42cos 2442cos 1coscos cos 2444244433322()=+--+-+=++++C x a x a x x a x a a x a C t a t a t a a x a 822arcsin 834sin 3282sin 4arcsin 4222222244444()C axa x a x a x ++--arcsin 832584222269.dx x a x ⎰-22,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是 ()C x aC t a t td a tdt a t a t a dx x a x +--=+-=-=⋅⋅=-⎰⎰⎰32233232231cos 3cos cos cos cos sin70.dx x a x ⎰-222,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==⋅⋅=-tdt a tdt a dt t t a tdt t a tdt a t a t a dx x a x442422422422222sin sin sin 1sin cos sin cos cos sin()⎰⎰⎰⎰+-=-+--=---=dt t a t a tdt a t a t a t a t a dt t a dt t a 24cos 1442cos 42sin 4412sin 42142cos 122cos 144244444244()C x a x a xa x a C t a t a +---=+-=222244428arcsin 84sin 32871.dx x x a ⎰-22,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++-=-=-===-C t a t t a tdt a tdta dt t t a tdt t a tdt a t a t a dx x x a cos cot csc ln sin sin sin sin 1cos cot cos sin cos 222 C x a xx a a a C a x a a x x a x a a +-+--=+-+--22222222ln ln 72.dx x x a ⎰-222,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C ax x x a C t dt t dt dt t t tdt tdt a t a t a dx x x a +---=+--=-=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin cot sin sin sin 1cot cos sin cos 22222222222 （九）含有()02>++±a c bx ax 的积分73.⎰⎰-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2222421a b a c a b x dxacbx ax dx，令t abx =+2，则dt dx = 当042>-ac b 时，则令()044222>=-u u a ac b ，则⎰⎰⎰-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2222221421ut dt aa b a c a b x dxa c bx ax dx再令r u t sec =,rdr r u dt sec tan =,r u u t tan 22=-,于是⎰⎰⎰++===-122tan sec ln 1sec 1tan sec tan 11C r r ardr a dr r u r r u a u t dt aac b b ax a ac b a bx ut r 42442sec 222-+=-+== ; acb cbx ax a u u t r r r 412cos cos 1tan 22222-++=-=-=C c bx ax a b ax a C acb c bx ax a b ax a c bx ax dx+++++=+-++++=++⎰2122222ln 1422ln 1当042<-ac b时，则令u a b ac =-242，a b x t 2+=，⎰⎰⎰+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2222221421ut dt aa b a c a b x dxa cbx ax dx令r u t tan =，rdr u dt 2sec =⎰⎰⎰++===+1222tan sec ln 1sec 1sec sec 11C r r ardr a r u rdr u a u t dt aac x a b x a b ac a b ac a b x a b ac u t u r ++-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=22222222212444244sec 1；2242242tan b ac b ax a b ac a bx u t r -+=⋅-+==C c bx ax a b ax a C b ac b ax b ac c bx ax a a c bx ax dx+++++=+-++-++=++∴⎰21222222ln 14242ln 1综上所述，C c bx ax a b ax acbx ax dx +++++=++⎰2222ln 174.dx a b ac a b x a dx c bx ax 2222442-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎰⎰ 当042>-ac b 时，令a b x t 2+=，u a ac b =-242 ⎰⎰-=++dt u t a dx c bx ax 222 ，再令r u t sec =，rdr r u dt tan sec =()C r r u a r r r r u a rdr r u a dt u t a +⋅-++⋅=⋅=-⎰⎰tan sec ln tan sec ln tan sec 21sec tan 222222--⋅++⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⋅-⋅=acb c bx ax a acb b ax a ac b aC r r u a r r u a 412422421tan sec ln 21tan sec 2122222122C c bx ax a b ax a b ac c bx ax a b ax C ac b c bx ax a b ax a ac b a +++++-++++=+-++++-23221222222ln 8442422ln 442 当042<-ac b 时，令a b x t 2+=，u ab ac =-242；⎰⎰+=++dt u t a dx c bx ax 222；再令r u t tan =，rdru dt2sec =，于是()⨯-⋅++-⋅=++⋅==++⎰⎰2222232242442tan sec ln tan sec 21sec b ac a a c x a b x a b ac a r r r r u a rdr u a dx c bx axln 84424242ln 4421423221222222ab ac c bx ax a b ax C b ac b ax b ac c bx ax a a b ac a b ac bax -++++=+-++-++-⋅+-+C c bx ax a b ax +++++222综上所述，⎰+++++-++++=++C c bx ax a b ax a b ac c bx ax a b ax dx c bx ax 2322222ln 844275.⎰⎰-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2222442a b ac a b x a xdxcbx ax xdx ；令a b x t 2+=，当0>∆时，令2244a b ac u -=122222222222ln 22121C u t t a a ba u t u t a dt ab dt u t ta dt u t a bt a cbx ax xdx+-+--=---=--=++⎰⎰⎰⎰C c bx ax a b ax aa b a c bx ax C a c x a b x a b x a a b a c x a b x a+++++-++=+++++-++=2212222ln 22ln 21当0<∆时，令abac u 242-=，于是⎰⎰⎰-+=+-=++aa b u t a tdt dt u t a a bt cbx ax xdx 222222212212222222ln 2ln 21C a c x a b x a b x aa b a a cx a b x C u t t aa bu t a u t dt +++++-++=+++-+=+⎰C c bx ax b ax aa a c bx ax +++++-++=222ln 21综上所述，C c bx ax b ax a a ba c bx ax c bx ax xdx+++++-++=++⎰2222ln 276.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛---=-+22222441a b x a ac b dxa ax bx c dx；令a bx t 2-=，2244a b ac u +=，于是C acb b ax a C t u a t u dt aax bx c dx ++-=+-=-=-+⎰⎰42arcsin 1arcsin 11222277.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛--+=-+2222244a b x a ac b a dx ax bx c ；令t a b x =-2；2244a acb u +=；于是+⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-=-+⎰⎰ax x a b a c a b x C u t a u t u a tdt t u a dx ax bx c 1221arcsin 222222222C acb b ax a a ac b ax bx c a b ax C ac b b ax a a ac b ++-++-+-=++-+42arcsin 844242arcsin 842222278.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛--+=-+22222441a b x a ac b xdxa ax bx c xdx；令a bx t 2-=；2244a b ac u +=；于是Cacb bax a a b t u a dt t u aa bdt t u t a dt t u a bt aax bx c xdx ++-+--=-+-=-+=-+⎰⎰⎰⎰42arcsin 21121212222222222C ac b b ax a a b x bx c a C ac b b ax a a b x x a b a c a++-+-+-=++-+-+-=42arcsin 2142arcsin 212222（十）含有bx ax --±或()()x b a x --的积分79.⎰--dx bx ax ；令b x a x t --=；则1--=t abt x；()dt t ba dx 21--=；于是()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰--+--=--=--=--=--t d t b a t t a b t d t a b dt t t b a dt t b a t dx b x a x 111111122 ()()()()()11121121111121--=----++-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+--=⎰⎰⎰t ta b t t d a b t t d a b t t a b t d t t b a t t a b()()()()()ax a b bx a x b x C b x a x a b a b b x a x b x a x a b C t t a b --+---=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---+--⋅---=+-+-+ln(ln 211ln 2121()()()C b x a x a b bx ax b x C b x +-+--+---=+-+ln )180.dx x b a x ⎰--；令t xb ax =--；则t a bt x ++=1；()dt t ab dx 21+-=；于是()()()()()()()C t b a t tb a t t d b a t t b a t d t b a dt t t a b dx x b a x +--+-=+--+-=+-=+-=--⎰⎰⎰⎰arcsin 1111112()()C xb ax a b x b a x x b +---+---=arctan 81.()()⎰--x b a x dx;令t a x =-；则t a x +=；dt dx =；于是()()()()⎰⎰⎰-+-=--=--ta b t dtt a b t dt x b a x dx 2()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=2224b a t ba dt；令02>=-u a b ；2ba t r -+=则()C ab ba x r u drb a t ba dt +---=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎰⎰2arcsin24222282.()()⎰--dx x b a x ；令t a x =-；则t a x +=；dt dx =；于是()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+--=--dt b a t b a dx x b a x 2224令02>=-u a b ；2ba t r -+=；则()()42arcsin 2222222b a x C u r u r u r dr r u dx x b a x --=++-=-=--⎰⎰()()()C ab ba x ab dx x b a x +----+--2arcsin 82(十一)含有三角函数的积分 83.⎰+-=C x xdx cos sin 84.⎰+=C x xdx sin cos 85.⎰⎰+-==C x dx xxxdx cos ln cos sin tan 86.⎰⎰+==C x dx xxxdx sin ln sin cos cot 87.C x x x d x x x d x x x d x dx xdx +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰⎰42tan ln 42tan 42tan 42cos 42tan 422cos 2sin 22cos sec 2πππππππππx x x x x x x x x cot csc sin cos 1sin 2sin 22cos 2sin2tan 2-=-=== ; =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰C x x xdx 2cot 2csc ln sec ππ C xx ++tan sec ln88.C x x C x x xd x x dxx x dx x dx xdx +-=+=====⎰⎰⎰⎰⎰cot csc ln 2tan ln 2tan 2tan2cos2tan 2cos 2sin 2sin csc 2 89.C x xdx +=⎰tan sec 2 90.C x xdx +-=⎰cot csc 291.⎰+=C x xdx x sec tan sec 92.⎰+-=C x xdx x csc cot csc93.C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰2sin 41222cos 1sin 2 94.C x x dx x xdx ++=+=⎰⎰2sin 41222cos 1cos 2 95.()⎰⎰⎰⎰------+-=+-=-=xdx x n x x xdx xd x x x xd xdx n n n n n n 221111cos sin 1sin cos sin cos sin cos cos sin sin ()()()()⎰⎰⎰---+-=--+-=----xdx n xdx n x x xdx x n x x n n n n n sin 1sin 1sin cos sin sin 11sin cos 21221⎰⎰---+-=∴xdx n n x x n xdx n n n 21sin 1sin cos 1sin 96.()+=-+=-==------⎰⎰⎰⎰x x xdx x n x x x xd x x x xd xdx n n n n n n n1221111cos sin cos sin 1cos sin cos sin cos sin sin cos cos()()()()⎰⎰⎰---+=-----xdx n xdx n x x xdx x n n n n n cos 1cos 1cos sin cos cos 112122⎰⎰---+=∴xdx n n x x n xdx n n n 21cos 1cos sin 1cos 97.⎰⎰⎰⎰-------++===xdx nn x x n xdx n xdx x dx n n n n n 211sin 1cos sin 1sin 1sin sin ⎰⎰--+-=--x dx n n x n x dx n n n sin 21sin cos 21sin 12 ⎰⎰----+--=∴xdxn n x x n x dx n n n 21sin 12sin cos 11sin 98.()⎰⎰⎰⎰⎰=+-=-===-----------xdx x n x x x xd x x x xd xdx xdx n n n n n n n 221111sin cos 1sin cos cos sin sin cos sin cos cos cos()()⎰⎰----+++-xdx n xdx n x x n n n cos 1cos 1sin cos21⎰⎰----++-=∴=xdx nn x x n x dx n n n 21cos 1sin cos 1cos 将n 换成2-n 有⎰⎰--+--=--x dx n n x x n x dx n n n cos 21cos sin 21cos 12 ⎰⎰----+--=∴xdxn n x x n x dx n n n 21cos 21cos sin 11cos 99.⎰⎰⎰⎰-+-++--+-+=+==x xd n x x n x xd n x xd x xdx x m n m n n m n m n m 1111111cos sin 11cos sin 11sin cos 11sin sin cos sin cos()⎰⎰-+-++=+-++=-+--++-dx x x x n m x x n xdx x n m x x n m n n m m n n m 22112211cos 1cos sin 11sin cos 11cos sin 11sin cos 11 ⎰⎰+--+-++=-+-xdx x n m xdx x m m x x n nn m n n m cos sin 11cos sin 11sin cos 11211 ⎰⎰-+-+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∴xdx x n m x x n xdx x n m n m n m nm sin cos 11sin cos 11sin cos 111211 ⎰⎰-+-+-++=∴xdx x nm m x x m xdx x n m n m nm sin cos 1sin cos 11sin cos 211 又有⎰⎰⎰⎰++-+-+++-=+-=-=x m x x m x xd m x xd x xdx x m m n m n n m n m 11111cos 11cos sin 11cos sin 11cos sin cos sin cos()⎰⎰-+-++-=+-++-=-+--++--x x x m n x x m xdx x m n x x m x d n m m n n m m n n 221122111sin 1sin cos 11cos sin 11sin cos 11cos sin 11sin⎰⎰+--+-++-=-+-xdx x m n xdx x m n x x m dx n m n m m n sin cos 11sin cos 11cos sin 11211。