第5章_量纲分析与Π定理

1）雷诺（Reynolds）数：
Re
=
UL υ
=
ρ UL µ
（5.8）
2
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
其中υ = µ ，µ：粘性系数，ν：运动学粘性系数。 ρ
来源：特征惯性力/特征粘性力＝Re，即：
( ) O ⎡⎣ V ⋅ ∇ w⎤⎦
ρ0u 2 r0
⋅ µL ρ0ur0
=
C
uµL r02
原先确定 ∆p 的函数有 5 个自变量，应用π定理使未知函数ϕ2只含有一个自变量，大大减少
了用实验确定函数关系时所作实验的次数。
2. 可用π定理来简化实验数据的处理 作 a（f）曲线改为作π（ϕ）曲线。
３． 可用π定理来简化方程，求解析解
例 2：设初始时刻（t=0）有一强度为Γ的无限长的直涡线，求以后各时刻涡度的空间分布（即无 界粘性流体中直涡线的扩散问题）。
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
第五章 量纲分析与π定理
§1. 相似概念与相似判据
§2. 量纲分析，π定理 §3. π定理的应用
本章重点: 量纲分析，Π 定理及其应用
§1.相似概念与相似判据
1. 流体相似 流体力学实验多在实验室条件下进行，模型流动与原型流动要求相似（物理本质完全一样），流体
由量纲齐次性原理，则有：
（5.18）
a = π a a a a m+1
r11 r12 r13 11 2 3
r1m m
（5.19）
π = a 其中 a a a 1
m+1
r11 r12 r13 12 3
a r1m m
（5.20）
5
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
流运动（划分层流和湍流）：Re<Rec，运动是层流；Re>Rec，运动是湍流。
另外，Re数 还用来讨论流 动不稳定和湍
2）弗劳德（Froude）数：
Fr
=
U2 gL
（5.10）
( ) 来源：Fr＝特征惯性力/特征重力，即是：
O
⎡ ⎣
V ⋅∇
O(g)
w⎤⎦
=
U2 g
L
=
Fr
物理意义：反映重力作用在运动方程中的相对重要性。
2. 动力相似判据
2.1 定义 由特定方程进行无量纲化，得到的一组特征无量纲数，只有无量纲数相等时，两流场才相似，
故将这些无量纲数称为（动力）相似判据。因为等式的两端皆为无量纲（没有物理单位），称为无 量纲数。
2.2 常见的动力学相似判据
流体力学中常见的动力学相似判据有：
St
=
l tu
——斯特劳哈勒（Strouhal）数
∆p
L r0
ρ0u
2
=
ϕ1
⎛ ⎜
பைடு நூலகம்
⎝
µ ρ0ur0
⎞ ⎟ ⎠
令阻力系数 CD
=
1 2
∆p ρ0u 2
（=
压力梯度力，或＝ 压力能
水平惯性力
水平动能
），则有：
CD
=
2ϕ1
⎛ ⎜ ⎝
1 Re
⎞ ⎟ ⎠
= ϕ2
(Re
)
进一步，可根据实验结果设： CD
∝
1 Re
即：
CD
=
C
⋅
1 Re
（其中 C 为常数）
∆p
=C
2. π定理
设有物理关系式：
a = f (a1, a2, , an )
（5.15）
其中 a 为待定量， a1, a2 , , an 为主定量。对应常见习惯的函数形式 y = f ( x1, x2 , , xn ) 。
π定理的主要思路：根据量纲分析的原理，可以将物理关系式化为无量纲形式，并减少函数中自
Fr = u2 gl ——弗劳德（Froude）数 Eu = ∆p ρu2 —欧拉（Euler）数
Re
=
ul υ
——雷诺（Reynolds）数
(5.4) (5.5) (5.6) (5.7)
3. 特征无量纲参数
除作为动力相似判据外，特征无量纲数还有很多应用。流体力学中常见的、具有特定物理意义的无
量纲参数有：
1. 量纲分析 1.1 基本概念：
1）物理量：有量纲量（与测量单位有关），无量纲量（与测量单位无关）。 2）物理单位：①基本单位；②导出单位。 3）量纲是由用一个或几个基本量或其幂次式的乘积来表示的。
4
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
π 同理有：
am+2
= 2
r21 r22 r23
a a a 1 2 3
a r2m m
…………
π = a a aa n−m
rn−m ,1 1
rn−m ,2 2
n rn−m ,3 3
a rn−m,m m
（5.21）
设待定量 a 的量纲也可以用 a1, a2 , , an 的量纲来表示，故有：
π=
a
a a a r1 r2 r3 12 3
已知涡度扩散规律满足方程：
∂Ω ∂t
=
υ r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂Ω ∂r
⎞ ⎟⎠
r：各空间点离涡线的垂直距离；Ω：涡度；υ：运动学粘性系数υ = µ ρ
8
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
应用π定理，可将解偏微分方程化为求解常微分方程。从物理关系的分析知：与涡度Ω有关的
4）马赫（Mach）数：
Ma
=
U Cs
＝特征风速/声速
反映空气可压缩性对流动过程的影响。
(5.12）
<<
亚音速运动，空气近似为不可压流体
Ma
1
>>
超音速运动，必须考虑空气的压缩性
5）努森数：
Kn
=
l L
＝分子自由程/宏观线尺度
Kn<<1 时，连续介质假设成立。
（5.13）
6）理查逊数：
Ri
=
g T
⎛ ∂T ⎜⎝ ∂z
基本量的量纲以规定的符号来表示。 导出量的量纲以基本量的量纲的幂次式的乘积来表示。 4） 有量纲量又分为： ①量纲独立量（其中任一量的量纲不能以其它各量的量纲的幂次项组合而成）； ②量纲不独立量（可以由其它各量(量纲独立量)的量纲的幂次项组合而成）。
1.2 量纲分析原则： 1）最大量纲独立量的数目不超过基本（单位）量的数目； 2）量纲齐次性原理：物理方程中各项的量纲必须相同；不同量纲的量，不能作为单项同列于物理 方程中；以物理方程中任意一项除其它各项，则方程化为无量纲形式。
a rm m
（5.22）
其中π1,π 2 , π n−m，π 均为无量纲数
将（5.15）式代入（5.22）式有：
π = f (a1, a2 ,
a a a r1 r2 r3 12 3
) , an ( a rm
m
=
f1
a1, a2 ,
, am;π1,π 2 ,
) π n−m
（5.23）
左端为无量纲数，根据量纲齐次性原理，其右边也应为无量纲数，故函数f1中不应含有量纲量的
r11 1
r12 2
r13 3
a r1m m
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a = a a a m+2
r21 1
r22 2
r23 3
a r2m m
……………
（5.16） （5.17）
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a = a a a rn−m,1
rn−m ,2
rn−m ,3
n
1
2
3
a rn−m,m m
力学中的相似分为：
Q
P b
a
c
图 5.1 模拟实验
1.1 几何相似：模型流场跟原型流场的“边界”几何形状要求相似，即它们各对应的夹角相等，尺寸 大小成常数比例。
a2 = b2 = c2 = const a1 b1 c1
（5.1）
1.2 运动（流场）相似：在模型流场与原型流场之间相对应点（如 P、Q），两者的流速分量满足关系
L r0
则由π定理：
π = ϕ (π1,π2 )
∆p ρ0u 2
=
ϕ
⎛ ⎜
⎝
µ ρ0ur0
,L r0
⎞ ⎟ ⎠
根据经验或实验， ∆p 与L成正比、与粘性系数µ成正比，即π与π2成正比，则;
∆p ρ0u 2
=
L r0
ϕ1
⎛ ⎜ ⎝
µ ρ0ur0
⎞ ⎟ ⎠
即：
7
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
（主定）变量的数目（即尽量用基本量表示），从而有利于实验处理和求分析解。
设在 n 个主变定量中，最多可用 m 个量纲独立的量 a1, a2 , , am 表示（m<n），则其余各量(n-m) 个
均可用这 m 个量纲独立的量的量纲表示，即
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a = a a a m+1
1.3 动力相似：在两流场相应点上各动力学变量成同一常数比例。如力，加速度，ζ，D。即要求：
ζ ( P2 ) ζ ( P1 )
=
D ( P2 ) D ( P1 )
=ζ ζ