初中数学 绝对值的化简和几何意义
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（1）先百度文库零点. ， ； ， ，零点可以将数轴分成三段．
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ．
（2）先找零点．由 得 ；由 得 或 ．
所以零点共有 ， ， 三个，故将数轴分为4个部分．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
试求 的最小值．
表示x到1，2，…，1996的距离和.中间的两点代表的数是998、999，所以当 时，原式有最小值；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值．
求 的最大值和最小值．
零点为 ，1．
当 时， ；
当 时， ，有 ；
当 时， ．
故最大值为6，最小值为 ．
【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值的作用，求最值．
规律探究和应用：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示 和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；如果表示数a和 的之间的距离是3，那么 ．
（4）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
； ；
； ；
．其中正确的有．
（1）原式= ．
（2）由于 ，故原式 ．
（3）原式 ．（4） ．
【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的化简，去绝对值．
化简：（1） （2）
（3） （4）
（1）零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
当 时，原式 ；
（3）原式 ，中位项为 ，故 ，最小值为 ．
（4）原式
，
括号里的中位项为 ，故 ，最小值为 ．
【教师备课提示】例6—例8主要考查绝对值的几何意义，数形结合的思想．
（1）已知 ，则 .
（2） ，求 ．
（3）已知 ，求 的值．
（1） ．
（2）∵ ，∴ ， ， ，则原式 ．
（3）由 ， 可知， ， ，
则 .
（1）5或1；
（2） 或 ；
（3）∵ 、 、 均为整数，∴ ， 均为非负整数，
∴只能有 ， 或者 ， ．
当 ， 时， ， ，
此时， ．
当 ， 时， ， ，
此时， ．故总有 ．
【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的双解性．
（1）化简： ___________．
（2）若 ，则 ．
（3）a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（2）若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．
（3）当a取何值时， 的值最小，最小值是多少？
（4）求 的最小值，并求出此时a的取值范围．
（1）3；5； ； 或1．
（2） ．
（3） 最小值为9，在 时取得最小值．
（4）当 时，原式有最小值，代数式的值为2500．
已知 ，求x取何值时 取最大值与最小值．
模块一绝对值的基本概念
（1）非负性： （补充： ）．
对应题型：绝对值的化简．
方法：判断“ ”里面整体的正负性．
易错点：求一个多项式的相反数．
对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数．
① 的相反数是 ；
② 的相反数是 ；
③ 的相反数 ．
（2）双解性： ，则 ．
（3）绝对值的代数意义：
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
即原式 ．
（2）零点为 ， ，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
（3）零点为1，2，3．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
（4）先找零点．由 得 ；
由 得 或 ；
由 得 ．
所以零点共有 ， ， 三个，故将数轴分为4个部分．
（1）已知 ， ，则 的值为．
（2）已知 ， ， ， ，则 ．
（1）2或10．
（2）由 知只能有 ， ， ，故原式 或 ．
（1）（树德半期）a，b，c在数轴上的位置如图3-1所示，
化简： ．
（2）已知a、b、c在数轴上的对应点如图3-2所示，化简： ．
图3-1图3-2
（1） ；（2） ．
化简：（1） （2）
（1）∵ ，∴ ， ．∴原式 ．
（2）原式 ．
（3）∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，解得 ， ，∴ ．
【教师备课提示】这道题主要讲解回顾绝对值的非负性和平方的非负性．
（1）若 ， ，且 ，求 的值是．
（2）已知 ， ，且 ，求 的值是___________．
（3）若a，b，c为整数，且 ，则 的值是___________．
我们可以取 ，原式 ．
求 的最小值及此时x的取值．
中位项为 和 ，故当 时，最小值为4．
已知 ，求 的最大值与最小值．
解法一：
根据几何意义可以得到，当 时，取最大值为5；当 时，取最小值为 ．
解法二：
找到零点3， ，结合 可以分为以下两段进行分析：
当 时， ，有最值 和5；
当 时， ；综上可得最小值为 ，最大值为5．
表示x到点1和 的距离差，
画出数轴，可得当 时两者的距离差最小为 ，即 ；
当 时，两者的距离差最大为4，即 ．
（1）求 的最小值及此时 的取值．
（2）求 的最小值及此时 的取值．
（3）求 的最小值及此时 的取值．
（4）求 的最小值及此时 的取值．
（1）中位项为 ，故 ，最小值为1．
（2）中位项为 和 ，故 ，最小值为13．
基本结论：令 ，
．
方法：直接套用几何意义画数轴．
①当n为奇数时，当 时取最小值；
②当n为偶数时，当 时取最小值．
常见变形：
① 在 时取得最小值．
② 在 时取得最小值．
③ 既有最小值也有最大值．
（1）已知 ，则 ___________．
（2）若 与 互为相反数，求 的值是．
（3）已知 ，且 ，那么 ___________．
（常用） 或
变式结论：①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
模块二零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）
零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．
方法：
寻找所有零点，并在数轴上表示；
②依据零点将数轴进行分段；
③分别根据每段未知数的范围去绝对值．
易错点：分类不明确，不会去绝对值．
化简： ．
①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
②当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
模块三几何意义
的几何意义：数轴上表示数 的点与原点的距离；
的几何意义：数轴上表示数x的点与数a的点之间的距离；
的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和．
举例：
① 表示x到 的距离．
② 表示x到 和x到 的距离之和．
③ 表示x到 和x到 的距离之差．
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ．
（2）先找零点．由 得 ；由 得 或 ．
所以零点共有 ， ， 三个，故将数轴分为4个部分．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
试求 的最小值．
表示x到1，2，…，1996的距离和.中间的两点代表的数是998、999，所以当 时，原式有最小值；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值．
求 的最大值和最小值．
零点为 ，1．
当 时， ；
当 时， ，有 ；
当 时， ．
故最大值为6，最小值为 ．
【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值的作用，求最值．
规律探究和应用：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示 和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；如果表示数a和 的之间的距离是3，那么 ．
（4）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
； ；
； ；
．其中正确的有．
（1）原式= ．
（2）由于 ，故原式 ．
（3）原式 ．（4） ．
【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的化简，去绝对值．
化简：（1） （2）
（3） （4）
（1）零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
当 时，原式 ；
（3）原式 ，中位项为 ，故 ，最小值为 ．
（4）原式
，
括号里的中位项为 ，故 ，最小值为 ．
【教师备课提示】例6—例8主要考查绝对值的几何意义，数形结合的思想．
（1）已知 ，则 .
（2） ，求 ．
（3）已知 ，求 的值．
（1） ．
（2）∵ ，∴ ， ， ，则原式 ．
（3）由 ， 可知， ， ，
则 .
（1）5或1；
（2） 或 ；
（3）∵ 、 、 均为整数，∴ ， 均为非负整数，
∴只能有 ， 或者 ， ．
当 ， 时， ， ，
此时， ．
当 ， 时， ， ，
此时， ．故总有 ．
【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的双解性．
（1）化简： ___________．
（2）若 ，则 ．
（3）a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（2）若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．
（3）当a取何值时， 的值最小，最小值是多少？
（4）求 的最小值，并求出此时a的取值范围．
（1）3；5； ； 或1．
（2） ．
（3） 最小值为9，在 时取得最小值．
（4）当 时，原式有最小值，代数式的值为2500．
已知 ，求x取何值时 取最大值与最小值．
模块一绝对值的基本概念
（1）非负性： （补充： ）．
对应题型：绝对值的化简．
方法：判断“ ”里面整体的正负性．
易错点：求一个多项式的相反数．
对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数．
① 的相反数是 ；
② 的相反数是 ；
③ 的相反数 ．
（2）双解性： ，则 ．
（3）绝对值的代数意义：
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
即原式 ．
（2）零点为 ， ，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
（3）零点为1，2，3．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
（4）先找零点．由 得 ；
由 得 或 ；
由 得 ．
所以零点共有 ， ， 三个，故将数轴分为4个部分．
（1）已知 ， ，则 的值为．
（2）已知 ， ， ， ，则 ．
（1）2或10．
（2）由 知只能有 ， ， ，故原式 或 ．
（1）（树德半期）a，b，c在数轴上的位置如图3-1所示，
化简： ．
（2）已知a、b、c在数轴上的对应点如图3-2所示，化简： ．
图3-1图3-2
（1） ；（2） ．
化简：（1） （2）
（1）∵ ，∴ ， ．∴原式 ．
（2）原式 ．
（3）∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，解得 ， ，∴ ．
【教师备课提示】这道题主要讲解回顾绝对值的非负性和平方的非负性．
（1）若 ， ，且 ，求 的值是．
（2）已知 ， ，且 ，求 的值是___________．
（3）若a，b，c为整数，且 ，则 的值是___________．
我们可以取 ，原式 ．
求 的最小值及此时x的取值．
中位项为 和 ，故当 时，最小值为4．
已知 ，求 的最大值与最小值．
解法一：
根据几何意义可以得到，当 时，取最大值为5；当 时，取最小值为 ．
解法二：
找到零点3， ，结合 可以分为以下两段进行分析：
当 时， ，有最值 和5；
当 时， ；综上可得最小值为 ，最大值为5．
表示x到点1和 的距离差，
画出数轴，可得当 时两者的距离差最小为 ，即 ；
当 时，两者的距离差最大为4，即 ．
（1）求 的最小值及此时 的取值．
（2）求 的最小值及此时 的取值．
（3）求 的最小值及此时 的取值．
（4）求 的最小值及此时 的取值．
（1）中位项为 ，故 ，最小值为1．
（2）中位项为 和 ，故 ，最小值为13．
基本结论：令 ，
．
方法：直接套用几何意义画数轴．
①当n为奇数时，当 时取最小值；
②当n为偶数时，当 时取最小值．
常见变形：
① 在 时取得最小值．
② 在 时取得最小值．
③ 既有最小值也有最大值．
（1）已知 ，则 ___________．
（2）若 与 互为相反数，求 的值是．
（3）已知 ，且 ，那么 ___________．
（常用） 或
变式结论：①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
模块二零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）
零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．
方法：
寻找所有零点，并在数轴上表示；
②依据零点将数轴进行分段；
③分别根据每段未知数的范围去绝对值．
易错点：分类不明确，不会去绝对值．
化简： ．
①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
②当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
模块三几何意义
的几何意义：数轴上表示数 的点与原点的距离；
的几何意义：数轴上表示数x的点与数a的点之间的距离；
的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和．
举例：
① 表示x到 的距离．
② 表示x到 和x到 的距离之和．
③ 表示x到 和x到 的距离之差．