一次函数之全等三角形存在性
专题08 一次函数与几何综合的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
专题08一次函数与几何综合的五种考法类型一、等腰三角形存在性问题(1)求直线CB的解析式；(2)点E在x轴上，【答案】(1)12y x =+(2)(4,0)、(16,0)-、当10BE AB ==时，1E 点的坐标为(4,0)，2E 点的坐标为当AB AE =时，点B 与点E 是关于y 轴对称，E 当EA EB =时，设点E 坐标为(,0)x ，则2228(6)x x +=+，解得：73x =4E 点的坐标为7(,0)3，(1)当点P 在线段BO 上时，①求证：AOP BOQ ≌△△；②若点P 为BO 的中点，求△(2)在点P 的运动过程中，是否存在某一位置，的坐标；若不存在，请说明理由．当点P 在线段OB 上时，若OC OQ =，由于OP OQ =，则有在OCP △中，OPC AOP ∠=∠+OC OP ∴>，即OC OQ =不可能；若CQ OQ =，由于OP OQ =，则有过点C 作CH x ⊥轴于点H ，显然即CQ OQ =不可能，∴当COQ 是等腰三角形时，只有当点P在BO的延长线上时，同理可得：(0,424)P--，综上所述：(0,424)P-或P【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，图形是解题的关键．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交于点B、A，点P为y(1)求点A、B的坐标；(2)当点P在y轴负半轴上，且ABP的面积为6时，求点(3)是否存在点P使得ABP为等腰三角形?若存在，求出点设()()0,0P n n <，则2PA =-所以()22224PA n n n =-=-+所以224416n n n -+=+解得3n =-，所以此时点P 的坐标为(0,3-综上所述，存在点P 使得ABP 例．如图，直线24y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 是OB 的中点．(1)求点C 的坐标：(2)在x 轴上找一点D ，使得ACD ABC S S = ，求点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使得ABP 是直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,2C (2)点D 的坐标为()4,0-或()0,0(3)存在，满足条件的P 点的坐标为()0,0或()8,0(1)填空：b =，m =，k =；(2)如图2，点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)8，2-，12-(2)①45；②点E 的坐标为()0,4219-；③点D 的坐标为()20，或()254,0-【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点A 作AH y ⊥轴于点H ，作AG x ⊥轴于点G ，根据勾股定理得到()222262480AE AC ==++=，于是得到结论；②利用勾股定理求出219HE =，可得2194OE =-，即可得答案；③分两种情况讨论，当90EDF ∠=︒时，求出135ADC ∠=︒，得45ADO ∠=︒，得DG AD ==得点D 坐标；当90DFE ∠=︒时，设DF x =，则8DE DC x ==-，由勾股定理得：()()2228454x x -=+-，求出DF ，得点D 坐标．【详解】（1）解：把()40B -，代入2y x b =+，∵()024b =⨯-+，∴8b =，∴直线AB ：28y x =+，把()4A m ，代入28y x =+，∴2m =-，∵ACD 翻折得到AED△∴()222262480AE AC ==++=，∴45AE =②当E 点落在y 轴上时，在Rt AHE △中，∵222AE AH HE -=∴222802HE AE AH =-=-=∴2194OE HE OH =-=-，∴点E 的坐标为()04219-，；③如下图，当90EDF ∠=︒时，由翻折得ADC ∠∴1359045ADO ∠︒︒=-=︒，∵4AG =，∴4DG AG ==，∴422OD DG OG =-=-=，∴点D 的坐标为()20，；如下图，当90DFE ∠=︒时，80AE AC ==设DF x =，则8DE DC x ==-，在Rt DEF △中，由勾股定理得：(解得：252x =-，∴254OD DF OF =-=-，∴点D 的坐标为()254,0-，综上，点D 的坐标为()20，或(2【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．(1)如图1，求出AOP 的面积；(2)如图2，已知点C 是直线85y x =上一点，若APC △是以AP 为直角边的等腰直角三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)AOP 的面积为40(2)点C 的坐标为()1016，或162,⎛⎫⎪∵直线l x ∥轴，点B ∴8PH OB ==，∴12AOP S OA PH == 故答案为：40；（2）设点(),8P n (n ≠过点P 作直线FE ，交APC 为等腰直角三角形，则90APE FPC ∴∠+∠=︒，APE FCP ∴∠=∠，90PEA CFP ∠=∠=︒ ，(AAS)PEA CFP ∴ ≌，同理可得：(AAS)AMP ANC ≌AM AM ∴=且MP NC =，8|10|m ∴=-或8105n m -=解得：2565m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或181945m n =⎧⎪⎨=⎪⎩(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与在直线CD 上存在点P ，使得A △的坐标．【答案】(1)142y x =-+∴90DPE A PB ''∠=∠=︒，∴A PD B PE ''∠=∠，∵90A FP CEB ''∠=∠=︒，∴A FP CEB '' ≌，∴4,PE PF A F B E ''===，此时点P 的坐标为()44--，；如图，若以点P 为直角顶点时，过点同理此时点P 的坐标为()44-，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点P 作同理A OB B GP ''' ≌，∴44OB PG OF t '====+，B '∴8t =-或0（舍去），∴8B G OA ''==，∴12OG =，∴此时点P 的坐标为()412--，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点B '作B M CD '⊥轴于点M ，则4B M OF '==，OB MF '=，同理PB M A B O ''' ≌，∴44B M B O t ''===+，82PM OA t '==+，∴0=t （舍去）；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4482t t --=---，解得：8t =-，∴8PF =，此时点P 的坐标为()48-，；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4824t t --=++，解得：163t =-，∴83PF =，∴此时点P 的坐标为84⎛⎫--，；(1)①A 的坐标是_____________②求直线AB 的表达式；(2)点P 是直线y =(3)当ABP 为等腰直角三角形时，请直接写出【答案】(1)①(0,3【分析】（1）把x（3）解：如图1，当点P 为顶点时，过点P 作PE x ⊥轴，过点A 作AF 垂直于PE 的延长线于点F ，∵ABP 是等腰直角三角形，AP PB ∴=，APB ∠=90︒，=90FAP APF +∠︒ ，=90APF BPE ∠+∠︒，=FAP BPE ∴∠∠，在AFP 和PEB △中，F E FAP EPB AP PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFP PEB AAS ∴≅ ，AF PE ∴=，BE PF =，===90O F E ∠∠∠︒ ，∴四边形AOEF 是矩形，==AF PE OB BE ∴+，===AO FE FP PE BE PE ++，==2AO BE OB BE BE OB +++，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，21=3BE ∴+，=1BE ∴，==31=2PE AO BE --，==11=2OE OB BE ∴++，∴点P 的坐标为()2,2；如图2，当点B 为顶点时，过点P 作PG x ⊥轴，ABP 是等腰直角三角形，AB BP ∴=，=90ABO OAB ∠+∠︒ ，=90ABO PBG ∠+∠︒，=OAB PBG ∴∠∠，在AOB 和BGP 中，O PGB OAB PBG AB BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB BGP AAS ∴≅ ，=PG OB ∴，BG AO =，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，==13=4OG OB BE ∴++，=1PG ，∴点P 的坐标为()4,1；如图3，当点A 为顶点时，过点P 作PM y ⊥轴，PAB △是等腰直角三角形，PA AB ∴=，=90PAB ∠︒，90MAP OAB ∠+∠=︒ ，90MAP MPA ∠+∠=︒，=MPA OAB ∴∠∠，在PMA △和AOB 中，M O MPA OAB AP AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA AOB AAS ∴≅ ，=MP AO ∴，=MA OB ，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，3MP ∴=，==13=4OM MA AO ++，∴点P 的坐标为()3,4，故答案为：()2,2；()4,1；()3,4．【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质和矩形的性质及全等三角形的性质的判定，熟练求一次函数的解析式和构造全等三角形是解题的关键．类型四、全等问题(1)点A坐标为________，点B坐标为(2)当BOP△的面积是4时，求点(3)在y轴上是否存在点Q，使得以接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由．【答案】(1)(3,0)，(0,4)，12 5(2)4(2,)20(2,)125OM OQ ==，12(0,)5Q 或12(0,)5-，6(5P ，12)5或24(5，12)5-；②如图3，图4，当OMP PQO ≌△△时，125PQ OM ∴==，12(5P ∴-，36)5或12(5，4)5；综上所述：P 点坐标为(65，12)5或24(5，12)5-或12(5-，36)5或12(5，4)5．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．【变式训练1】如图，一次函数364y x =+的图象与于点C ，点P 在直线AB 上运动，点Q 在(1)求点A ，B 的坐标；(2)求OC 的长；(3)若以O ，P ，Q 为顶点的三角形与【答案】(1)()8,0A -，(B (3)Q 的坐标为120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或0,⎛ ⎝则OC PQ=，∴245PQ =，∴245m=-，∴33241266 4455m⎛⎫+=⨯-+=⎪⎝⎭，∵PQ OC=，∴245 PQ=．∴245=m，∴33244866 4455m+=⨯+=，∴48 0,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；则245 OQ OC==，∴240,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，Q的坐标为12 0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1)求点B 的坐标及直线BC 的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【答案】(1)点B 的坐标为(0，3)，33y x =-+；(2)图见解析，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【分析】（1）将点点(3A -，0)代入解析式得出3b =，继而得出点B 的坐标为(0，3)，根据:3:1OB OC =得出1OC =，即点C 的坐标为(1，0)，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵直线AB ：y x b =+过点(3A -，0)，03b ∴=-+，3b ∴=．当0x =时，3y x b b =+==，∴点B 的坐标为(0，3)，即3OB =．OB ：3OC =：1，1OC ∴=．点C 在x 轴正半轴，∴点C 的坐标为(1，0)．设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将(0B ，3)、(1C ，0)代入y kx c =+，得：30c k c =⎧⎨+=⎩，解得：33k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的函数表达式为33y x =-+．（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况考虑：如图①：①当BAD ABC ≌时，3OA OB == ，45BAC ∴∠=︒．BAD ABC ≌，45ABD BAC ∴∠=∠=︒，4BD AC ==，BD ∴∥AC ，∴点D 的坐标为(4-，3)；②当ABD ABC ≌时，45BAD BAC ∠=∠=︒，4AD AC ==，90DAC ∴∠=︒，∴点D 的坐标为(3-，4)．如图②当ABD BCA ≌时，4BD AC ==，1OD ∴=，∴点D 的坐标为(0，1)-．综上所述，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．【变式训练3】如图①，已知直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，以OA OC ，为边在第一象限内作长方形OABC ．类型五、角度之间关系过点P 作EF y ⊥轴于点E ，过点H 作∴45POG ∠=︒，∵()3,1P ，∴1,3EP OE ==∵OA OB =，45AOB ∠=︒∴AOB 是等腰直角三角形，∵45APO EOP ∠+∠=︒，PQO APO∠=∠∴45PQO EOP ∠+∠=︒又∵9045EOP GOQ POG ∠+∠=︒-∠=∴GOQ GQO∠=∠∴GQ GO =，即点G 在OG 的垂直平分线上，∵90OEP PFH OPH ∠=∠=∠=︒，∴90OPE FPH PHF ∠=︒-∠=∠，(1)求直线AB的关系式；(2)连接PD，当线段PD AB⊥时，直线AD上有一点动M∴1284,2525S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵45,DKR DAO KT RK ∠=∠=︒⊥∴45DKR DKT ∠=︒=∠，∴KT KP =，∴P ，T 关于直线AD 对称，连接TS 交AD 于M ，交x 轴于N 4y x =-+12x =-得y =∵3,4OB OA ==，∴34PH PH AH HW==，设3PH t =，则4AH HW t ==∴5PW t OW ==，∵4OW HW AH OA ++==，∵12POA BAO ∠=∠，∴2POA APO POA ∠+∠=∠∴APO POA ∠=∠，∴4AO AP ==，∵34PF OB AF AF ==，∴165AF =36(1)求直线BC 的函数解析式；(2)设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线于点Q ．①若PQB △的面积为83，求点M 的坐标．②连接BM ，如图2，在点M 的运动过程中是否存在点P ，使∠求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．则113(3)22PQ m m m =-+-+=，则PQB ∆的面积21122PQ BD m =⋅=故点M 的坐标为43(3，0)或4(-②如图，当点M 在y 轴的左侧时，点C 与点A 关于y 轴对称，AB BC ∴=，BAC BCA ∴∠=∠，BMP BAC ∠=∠ ，BMP BCA ∴∠=∠，90BMP BMC ∠+∠=︒ ，90BMC BCA ∴∠+∠=︒(1)求点A，B的坐标；(2)若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点(3)在y轴上是否存在点P，使以求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(−1，0)；B(0，2)(2)1.25；(3)y轴上存在点P，使以A，当BA＝BP时，BP＝∴点P1的坐标为(0，当PB＝PA时，设OP ∴(2−x)2=1+x2，解得：∴点P3的坐标为(0，当AB＝AP时，OP＝∴点P4的坐标为(0，综上所述：y轴上存在点标为(0，2+5）或(0(1)填空：=a ______，b =______；(2)在射线CD 上有一动点E ，过点E 作EF 平行于y 轴交直线AB 时，求点E 的坐标；(3)点M 为直线AB 上一点，且45CDM ∠=︒，求点M 的坐标．【答案】(1)1，2-1112132⎛⎫∴90QCP QPC ∠+∠=︒，∵CP CD ⊥，∴90QCP DCL ∠+∠=︒∴QPC DCL ∠=∠，∴QPC LCP ≌△△，∵()1,1C -，()0,2D -，∴CG HK =，GH KD =，∵()1,1C -，()0,2D -，设(,H c d ∴2c =-，1d =-，∴()2,1H --，可得直线DH 的解析式为联立12213y x ⎧=--⎪⎪⎨，解得721x ⎧=-⎪⎪⎨(1)求点C的坐标；∥轴交AB于点(2)如图2，过点C作直线CD x①求线段CD的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M DC≌△BDC时，当△1M和点B关于直线则点1M的坐标为：（-1∴点1M CD≌△BDC时，当△2。
一次函数综合—线段和差、存在性问题
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。
连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B 的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(0,0)B．4(0,)7C．5(0,)7D．4(0,)5的值最大 .【原理4】作法作图原理在直线l 上求一点P，使的值最大 .作B 关于l 的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B＇ .PB PA－PB PA－PB PA－★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)B-，在x轴上存在点P到A，B两点的A，点(2,1)距离之和最小，则P点的坐标是．★★☆练习2．如图，直线34120+-=与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限x y内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PC PD+的长最小时点P的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3∆的周长最小时，求点E OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDEOA=，4的坐标()A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(3,0)★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A，(2,3)B-，点P为x轴上一点，当||PA PB-最大时，点P 的坐标为()A．1(,0)2B．5(,0)4C．1(,0)2-D．(1,0)★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A、(2,1)B，x轴上有一点P，要使PA PB-最大，则P点坐标为★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,0)，点P在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。
全等三角形定义与证明
全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SSS”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“AAS”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“HL”角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。
轴对称一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。
能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线短两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
点（X,Y）关于X轴对称的点的坐标为（X,-Y）点（X,Y）关于Y轴对称的点的坐标为（-X,Y）两条边是相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，三个角都是相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半实数如果一个正数x 的平方等于a ，即x²=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
一次函数中(特殊三角形)的存在性问题优秀教学设计
辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。
2、教法
演示法：通过几何画板演示两圆一中垂线和外K全等，使学生直观、形象的感知因动点的移动，在何时会出现等腰三角形和等腰直角三角形，思考在没有几何画板的时候，我们自己该如何作图，快速确定动点的位置。
《一次函数中特殊三角形的存在性问题》教学设计
【教学目标】
1、知识与技能
（1）使学生体会定点与动点之间的关系，做到以静制动。
（2）通过数形结合，利用几何法和代数法求一次函数中特殊三角形的存在性问题。
2、过程与方法
（1）借助几何画板探究一次函数中特殊三角形的存在性问题，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。
①设点：设点P（0，m）A（3，0），B（0，4）
②表示三条边：
③列方程：
三、小组讨论
已知A（2，0），B（0，4），在第一象限内是否存在一点P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
讨论目标：①这样的动点P可能有多少个？如何分类？
②你能不能画出等腰直角三角形？
等腰三角形可以是两条边相等或者两个角相等，在我们所学的知识中，是边好表示，还是角好表示呢？
探究一：用几何法确定动点的位置——两圆一中垂线
例1、已知，A（3，0），B（0，4），在y轴上是否存在一点P，使得△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
探究二：用代数法确定动点的位置——设点法
实验法：让学生自己动手、在探究过程中，自己发现动点的规律
一次函数与全等
一次函数与几何全等问题
学习目标：1.能利用几何条件构造全等
2.能将几何问题转化为代数问题
学习重难点：重点：1.利用已知条件，找三角形全等
2.将线段转化为点坐标，利用一次函数求解
难点：构造全等，将几何问题转化为代数问题
学习过程：
一．知识回顾
1．待定系数法求直线解析式
2．直线与x 轴、y 轴的交点坐标
3．相交直线求点坐标
二．例题讲解
如图，直线y=2x －4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y=21x 交于点C ，E 为射线CO 上一点，且y 轴平分∠EBC ，求点E 的坐标。
三．练习
如图，在正方形OBAC 中，A （－2,2），B 、C 分别在x 轴、y 轴上，D （0,1），CE ⊥BD 于E ，求E 点的坐标。
x
y A O E C B
四．拓展
如图，直线y=－x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，且C（－2,0），直线y=kx－k 与x轴交于点D，交AB于F，交BC的延长线于E，若DE=DF。
（1）求直线BC的解析式及点D的坐标；
（2）求k的值Array五．小结：
几何图形→线段→点坐标→一次函数。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是______．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．(1)求正方形ABCD的面积；(2)求点C和点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13 NP．（1）b=；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．（1）若一次函数y＝﹣12x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H 的坐标．8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．10．如图，四边形OABC 和四边形ODEF 都是正方形，点F ，O ，A 在一条直线上，点D 在OC 边上，以FA 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线132y x =+经过点B ，E ．（1）求正方形OABC 和正方形ODEF 的边长；（2）若点P 是BE 的中点，试证明：点C ，P ，A 三点在同一条直线上．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，0），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y =k （x +3）．（1）点D 的坐标是 ；（2）当直线l 经过D 点时，求k 的值；（3）该直线l 一定经过一个定点，其坐标是 ；（4）当直线l 与正方形的四边有两个交点时，求k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．答案与解析【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM 于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________．【答案】-3＜b＜3【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1），∴D（1，4），B（4，1）当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3，当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3．∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3．故答案是：-3＜b＜3．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．【答案】﹣2【分析】根据正方形的对称性得到点B坐标，代入直线解析式即可求出k．【解答】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∴点B坐标为（1，1），∵点B在直线y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查了正方形的对称性，一次函数的性质，熟知相关知识点，求出点B的坐标是解题关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ．(1)求正方形ABCD 的面积；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在点M ，使△MDB 的周长最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5(2)C (-1，3)，D (-3，2)(3)()1,0M -，理由见解答【分析】（1）由一次函数112y x =+，可求出A 和B 点坐标，即得出OA 和OB 的长，再根据勾股定理求出AB 的长，最后由正方形面积公式计算即可；（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，即得出2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，从而可求出3OE =，3OF =，即得出C 、D 两点坐标； （3）找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，根据轴对称的性质可知此时BMD 周长最小．由B (0，1)，得出B '(0，-1)，利用待定系数法可求出直线B D '的解析式为=1y x --，从而可求出M 点坐标．（1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =-， ∴A (-2，0)，B (0，1)，∴在Rt AOB △中，2OA =，1OB =，∴根据勾股定理得：22215AB =+=，∴正方形ABCD 面积为5；（2）如图，作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，∴90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒， ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ∴BAO ADF CBE ∠=∠=∠，∴(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，∴2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，∴213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ∴C (-1，3)，D (-3，2)；（3）如图，找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，则此时BMD 周长最小． ∵B (0，1)，∴B '(0，-1)设直线B D '的解析式为(0)y kx b k =+≠，把B '与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩， 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线B D '的解析式为=1y x --．对于=1y x --，令0y =，得到=1x -，∴M (-1，0)．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24．【分析】（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长；（2）证明△CDE和△ADE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠DCM＝∠MAF，等量代换得∠MAF＝∠EAM；（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF转换为CF即可求出△AEF的周长．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣125x+12的图象交x轴、y轴与A、B两点，∴当x=0，则y=12，故B(0，12)，当y =0，则x =5，故A (5，0)，即OA ＝5，OB ＝12，∴AB ＝22OA OB +＝22512+＝13，故AB ＝13；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝AD ，∵BD 是正方形的对角线，∴∠CDE ＝∠ADE ，在△CDE 和△ADE 中，CD AD CDE ADE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△ADE （SAS ），∴∠DCE ＝∠DAE ，设FC 与AD 交点为M ，∵∠EMD ＝∠AMF （对顶角相等），∠DCM +∠EMD ＝∠MAF +∠AMF ，∴∠DCM ＝∠MAF ，∴∠MAF ＝∠EAM ，∴AD 平分∠EAF ；（3）过点C 作y 轴垂线交y 轴于点N ，如图所示：∵∠CBN +∠NCB =∠CBN +ABO =90°，∴∠NCB =∠ABO ，在△CNB 和△BOA 中，90NCB OBA CNB BOA CB BA ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CNB ≌△BOA （AAS ），∴BN =AO =5，CN =BO =12，又∵CF ⊥x 轴，∴CF =BO +BN =12+5=17，∴C 的坐标为(12，17)；∵△CDE ≌△ADE ，∴AE =CE ，∴AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，∴C △AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24．【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，以及三角形内角和的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b 的图象过点A （0，3），点p 是该直线上的一个动点，过点P 分别作PM 垂直x 轴于点M ，PN 垂直y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取：PC=13MP ，MB=13OM ，OE=13ON ，ND=13NP ． （1）b= ；（2）求证：四边形BCDE 是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b 上是否存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形？若存在，请求出所有符合的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为（3）设P 点坐标（x ，y ），当△OBE ≌△MCB 时，四边形BCDE 为正方形，OE=BM ，当点P 在第一象限时，即13y=13x ，x=y ． P 点在直线上，132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 解得22x y =⎧⎨=⎩， 当点P 在第二象限时，﹣x=y132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩， 解得66x y =-⎧⎨=⎩在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形，P 点坐标是（2，2）或（﹣6，6）． 点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.6．在平面直角坐标系中，直线y ＝2x+4与两坐标轴分别交于A ，B 两点．（1）若一次函数y ＝﹣12x+m 与直线AB 的交点在第二象限，求m 的取值范围；（2）若M 是y 轴上一点，N 是x 轴上一点，直线AB 上是否存在两点P ，Q ，使得以M ，N ，P ，Q 四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M ，N 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜4；（2）M （0，87），N （﹣47，0）或M （0，﹣83），N （43，0）或M （0，﹣4），N （﹣163，0）； 【分析】（1）根据题意联立一次函数解析式与直线AB 的解析式，据此进一步用m 表示出x ，最后根据第二象限的点的坐标特征加以分析即可；（2）首先求出A 、B 两点坐标，然后根据题意分图1、图2、图3共三种情况结合相似三角形性质进一步分析求解即可.【解答】（1）联立24y x =+与12y x m =-+，得：1242x x m +=-+， ∴()245x m =-， ∵交点位于第二象限，∴()2405m -<， ∴4m <；（2）当0x =时，244y x =+=，∴A （0，4），当0y =时，024x =+，即：2x =-，∴B （2-，0），∴OA ＝4，OB ＝2．如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，∵MN ∥AB ，∴△NMO~△BAO ，∴12ON OB OM OA ==， 设ON ＝a ，则OM ＝2a ，∵∠MNQ ＝90°，∴∠QNH+∠MNO ＝∠MNO+∠NMO ＝90°，∴∠QNH ＝∠NMO ，在△QNH 和△NMO 中，∵∠QNH ＝∠NMO ，∠QHN=∠NOM ，QN=MN ，∴△QNH ≅△NMO （AAS ），∴QH＝ON＝a，HN＝OM＝2a，易得：△BQH~△BAO，∴12 BH OBQH OA==，∴BH＝12a，∵OB＝BH+HN+ON，∴2＝122a a a++，解得47a=，∴M（0，87），N（47-，0）；如图2，过点P作PH⊥x轴于H，易证△PNH~△BAO，∴12 PH OBOH OA==，设PH＝b，则NH＝2b，同理证得△PNH≅△NMO，∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，∴OH＝HN−OH＝b，易得：△BPH~△BAO，∴12 BH OBPH OA==，∴BH＝12 b，∵OB＝BH+OH，∴2＝12b+b，解得b＝43，∴M（0，83-），N（43，0）；如图3，过点P作PH⊥x轴于H，PE⊥y轴于E，QF⊥y轴于F，易得：△PAE~△BAO，∴12 PE OBAE OA==，设PE＝c，则AE＝2c，同理证得△PNH≅△PME，∴PH＝PE＝OE＝c，则AE＝2c，∵OA＝AE+OE，∴4＝2c+c，解得c＝43，∵△MQF≅△PME，∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，∴EM＝OF＝FQ，设EM＝OF＝FQ＝m，则Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，∴NO＝NH+OH＝163，∴N（163-，0），∵OF＝m＝4，∴M（0，﹣4）．综上所述M（0，87），N（47-，0）或M（0，83-），N（43，0）或M（0，﹣4），N（163-，0）．【点评】本题主要考查了一次函数与相似三角形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．【答案】（1）y＝x+4；（2）BQOP的值不变，理由见解析；（3）点H的坐标为(42243,22)----或(0,0)或(628,22)-．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），∴22 37k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．理由：连接BM，设PB交OM于G．∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵四边形POMN是正方形，∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，∴∠AOP＝∠BOM，∵OA＝OB，∴△AOP≌△BOM（SAS），∴∠OPG＝∠GMB，∵∠OGP＝∠BGM，∴∠GBM＝∠GOP＝90°，∴QM＝QP，∴QB＝QP＝QM，∵△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝2QP，∴22 BQ PQOP OP==．（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，∵BH 垂直平分线段PN ，BH 垂直平分线段OM ，∴BM ＝OB ＝4，∴M （﹣22，4+22），∴P （﹣4﹣22，﹣22），∴BN ＝BP ＝()()2242242243++-=，∴PH ＝BN ＝43，∵QB ＝QN ＝OQ ，∴∠NBO ＝90°，∴BN ∥OA ∥PH ，∴H （﹣4﹣2243-，﹣22）．如图2﹣2中，当点P 与A 重合时，得到四边形PNMO 是正方形（是菱形），此时H 与原点O 重合，H （0，0）．如图2﹣3中，当四边形PBNH 是菱形时，设PH 交OB 于J ，在JO 上取一点F ，使得PJ ＝JF ．∵BP ＝BN ，∴∠BPN ＝∠BNP ＝22.5°，∵∠OPN ＝90°，∠P AO ＝45°，∴∠APO ＝67.5°，∴∠AOP ＝67.5°，∴∠POJ ＝22.5°，∵∠PFJ ＝∠FPO +∠POF ＝45°，∴∠FPO ＝∠POF ＝22.5°，∴PF ＝OF ，设PJ ＝BJ ＝JF ＝x ，则PB ＝BN ＝PF ＝OF ＝2x ，∴2x +2x ＝4，∴x ＝4﹣22，∴BN ＝PH ＝42﹣4，P （22﹣4，22），∴H （62﹣8，22），综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣4﹣22﹣43，﹣22）或（0，0）或（62﹣8，22）．【点评】本题考查的是一次函数与几何的综合，难度系数较大，第三问比较容易忽略的点在于当点P 与A 重合时．得到四边形PNMO 是正方形，此时是特殊的菱形.8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(5，0)，(4，2)(2)见解析(3)①5；②存在，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A 的坐标，又点D 的坐标，利用待定系数法可求出直线OD 的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M 的坐标；（2）过点C 作CQ ⊥x 轴于点Q ，利用勾股定理可得出OC =5，又点C ，D 的坐标可得出CD =5，CD ∥x 轴，结合点A 的坐标，可得出CD =OA ，进而可得出四边形OADC 为平行四边形，再结合OC =OA ，即可证出四边形OADC 是菱形；（3）①过点M 作MN ⊥y 轴于点N ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P 的坐标，结合点M 的坐标可得出MN ，PN 的长，再利用勾股定理，即可求出MP 的长；②存在，分OA 为边及OA 为对角线两种情况考虑，（i ）当OA 为边时，点E 与点P 重合，利用正方形的性质可求出点F 的坐标；（ii ）当OA 为对角线时，点E 在线段AP 的中点，结合点A ，P 的坐标可得出点E 的坐标，再利用正方形的性质，即可求出点F 的坐标．（1）解：当y=0时，-2x+10=0，解得：x=5，∴点A的坐标为（5，0）；设直线OD的解析式为y=kx（k≠0），将D（8，4）代入y=kx，得：4=8k，解得：k=12，∴直线OD的解析式为y=12x．联立两函数解析式得：21012y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩，∴点M的坐标为（4，2），故答案为：（5，0）；（4，2）；（2）证明：过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图1所示．∵点C的坐标为（3，4），∴OQ=3，CQ=4，∴OC= 222234OQ CQ+=+=5．∵点C的坐标为（3，4），点D的坐标为（8，4），∴CD=5，CD∥x轴，即CD∥OA．∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5=CD，∴四边形OADC为平行四边形，又∵OA=OC=5，∴四边形OADC是菱形；（3）解：①过点M作MN⊥y轴于点N，如图2所示．当x=0时，y=-1×0+5=5，∴点P的坐标为（0，5）．∵点M的坐标为（4，2），∴MN=4，ON=2，∴PN=5-2=3，∴MP=2222+=+=5.34PN MN故答案为：5；②存在，分两种情况考虑，如图3所示．（i ）当OA 为边时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴点E 与点P 重合，∴点F 的坐标为（5，5）；（ii ）当OA 为对角线时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴△AOP 为等腰直角三角形，又∵四边形AEOF 为正方形，∴点E 为线段AP 的中点，∴点E 的坐标为（52，52）， ∴点F 的坐标为（0+5-52，0+0-52），即（52，-52）． ∴在平面直角坐标系中存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出直线OD 的解析式；（2）利用邻边相等的平行四边形为菱形，证出四边形OADC 是菱形；（3）①利用勾股定理，求出MP 的长；②分OA 为边及OA 为对角线两种情况，求出点F 的坐标．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．【答案】y x=【分析】分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.【解答】解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,∵四边形ABCD为正方形，∴BE=AE,且∠AEB=90°，∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,∴∠BEG=∠AEF,又∠BGE=∠AFE=90°，∴△BEG≌△AEF（ASA）,∴EF=EG.所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),代入可得a=ak,解得k=1,∴过,O E两点的直线的解析式是为y=x.故答案为：y=x.【点评】本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.10．如图，四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在OC边上，以FA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系xOy，直线132y x=+经过点B，E．（1）求正方形OABC和正方形ODEF的边长；（2）若点P是BE的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．【答案】（1）6和2；（2）见解答【分析】（1）设B（a，a），A（-b，b），代入132y x=+，即可求解；（2）先写出P（2，4），A（6，0），C（0，6），从而求出直线AC的解析式，把P的坐标代入AC的解析式，即可得到答案．【解答】解：（1）设正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：a，b，∴B（a，a），A（-b，b），∵直线132y x=+经过点B，E，∴132132a ab b⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：62ab=⎧⎨=⎩，∴正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：6和2；（2）∵B（6，6），A（-2，2），点P是BE的中点，∴P（2，4），∵A（6，0），C（0，6），设AC的解析式为：y=kx+b，∴606k bb+=⎧⎨=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，∴AC的解析式为：y=-x+6，∵x=2时，y=-2+6=4，∴P点在直线AC上，即点C，P，A三点在同一条直线上．【点评】本题主要考查一次函数的性质和图像以及正方形的性质，掌握待定系数法，是解题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=k（x+3）．（1）点D的坐标是；（2）当直线l经过D点时，求k的值；（3）该直线l一定经过一个定点，其坐标是；（4）当直线l与正方形的四边有两个交点时，求k的取值范围．【答案】(1)(4，7)；(2) k=1；(3)(-3,0)；(4)4 0k3 <<【分析】（1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D 的坐标；（2）把D的坐标代入解析式即可求出k的值；（3）y=k（x+3）是经过（-3，0）的直线系，故经过定点（-3，0）；（4）把A的坐标代入求出k的值，即可得出答案．【解答】解：(1)如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED=∠1+∠2=90°.在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB.∴∠1+∠3=90°，12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．(1)当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C -，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C -，()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC -的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC -的“相关点”当M 与点()2,0B -重合时，此时M x 取得最小值，为2-，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =-+联立224y x y x =-+⎧⎨=+⎩ 解得2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23- 223M x ∴-≤<- (2)点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨-+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=-+⎩，12e f m =-⎧⎨=+⎩∴直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()23,1F m --， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m -=--+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()25,1F m --，代入直线AC 解析式，可得()1252m m -=--++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，0m <或8m >．【点评】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．【答案】(1)483y x =+ (2)122455M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)4607G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()02G -，【点评】本题考查了用待定系数法求解析式、正方形的性质、一次函数的图像与解析式等知识，涉及到了分类讨论的思想方法，解题关键是能正确进行面积转化以及通过作辅助线构造全等三角形对图中的线段进行数量关系上的转化．。
一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)问题详解
1．如图1，直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC〔1〕求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．〔2〕如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，假如AD=AC，求证：BE=DE．〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，直线AC交x轴于M，P〔，k〕是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？假如存在，请求出点N的坐标；假如不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；〔2〕同〔1〕的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；〔3〕依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C〔﹣3，1〕，由A〔0，2〕，C〔﹣3，1〕可知，直线AC：y=x+2；〔2〕如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；〔3〕如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P〔，k〕是线段BC上一点，∴P〔﹣，〕，由y=x+2知M〔﹣6，0〕，∴BM=5，如此S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，如此BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N〔﹣，0〕．点评：此题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是〔﹣8，0〕，点A的坐标为〔﹣6，0〕〔1〕求k的值．〔2〕假如P〔x，y〕是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围．〔3〕当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
一次函数背景下的存在性问题
2021年第02期总第495期数理化解题研究一次函数背景下的存在性问题王帅兵(河南省郑州市孜文教育信息咨询有限公司450000)摘 要：一次函数是八年级数学的学习内容，在平面直角坐标系中，研究点和直线的动态特征，以及在动 态情境下产生的几何图形存在性问题，是考察学生思维能力的有效载体，已成为考试的重难点.本文将结合具 体题目，从不同方面探讨存在性问题的解法.关键词：一次函数;存在性；对称；两圆一线；弦图中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)02 -0017 -02一、两定一动型，注意好“一上一下”两定一动型,是指在给定两个点的情况下,另一点在一条线上运动所产生的面积问题,解决这类问题，要做好 题目分析,有一边与坐标轴平行时直接求解;没有边与坐 标轴平行时，用好“铅锤法”(或“割补法”)，同时注意好 “ 一一上 —下”.例1如图1所示,一次 函数y 二2% +4的图像与坐标 轴分别交于点A 、B ,在一次函数的图象上是否存在一点P , 使得A AOP 的面积为3？思路分析由题设条件，易求出点A 和点0坐标分别为(-2,0)和(0,0),点P 为直 图1线上一动点，不妨设其坐标为(%,y ),当点P 位于%轴上方时,S △A0P 二2 ； y 二3 ,解得y 二3,代入表达式y 二2% + 4 可得点P 坐标为(-1 /2,3).由于坐标系中的对称性，点 P 也可以位于%轴下方，此时可求出点P 的坐标为 (-7/2,-3).综上，点 P 坐标为(-1/2,3)或者(-7/2, -3).一例2如图2所示，直线y 二1 /2%与直线y 二-% + 3 相交于点A ,点B 是直线y 二1 /2%上的一个点，且横坐标 为4.如果点P 是直线y 二-% +3上的一个动点，且满足 △ABP 的面积为9,那么点P 的坐标为 .思路分析 如图2,易求出点A 和点B 坐标分别为(2,1) 和(4,2).如图3,过点P 向%轴做垂线交直线AB 于点F ,设点P ( a , - a +3),那么点F 坐标为(a , ； a )，则A ABP 的面积为："F x ( %B 一 ％a)(3 -a - 2 a )(4 -2)-----------「 - 9.解得 a 二-4,点P 的坐标为(-4,7).同理，如图4时,可得点P 的坐标 为(8,-5).综上，点P 的坐标为(-4,7)或(8,-5).二、等腰三角形，用好“两圆一线”在一次函数的背景下,等腰三角形的存在性问题可 以借助图形的基本性质来解,利用同端点、等长度作圆和 线段垂直平分线.例 3 如图 5 所示, 直线 y - % + 4 与坐标轴交于点 A 和点B ，在%轴上是否存在点P ,使得A ABP 为等腰三角 形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标.图5 图6思路分析如图6所示,分别以点A 和点B 为圆心 作圆，同时作出线段AB 的垂直平分线，可得与%轴的4个 交点：P ］、戶2、P 3和P 4.分别求解,可得其坐标分别为P 1( -4-4 2 ,0)、P 2(0,0)、P s (4 2 -4,0)心4,0).三、直角三角形，利用顶点来分类对于直角三角形的存在性,可以利用顶点来分类，然 后结合具体条件求解.例4如图7所示,在平面直角坐标系％oy 中，三角收稿日期：2020 -10 -15作者简介：王帅兵(1988. 7 -)，男，河南省鲁山人，本科，从事数学教学研究.17数理化解题研究2021年第02期总第495期板的直角顶点P的坐标为(2,2),一条直角边与兀轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当MA为直角三角形时，请求出所有满足条件的点B的坐标.思路分析分析题设条件可得，乙POA二45°,不可能为直角，'FOA的另两个角可以是直角.如图8,当OA丄AP时，可求出点B的坐标为(0,2);如图9,当OP丄PA时，点B和点O重合，点B坐标为(0,0).综上所述，点B的坐标为(0,2)或(0,0).图7图8图9四、等腰直角三角形，借助弦图轻松解等腰直角三角形的分类问题，可以在构造基本直角的情况下，借助弦图求解.例5如图10所示，直线y二-2兀+4与坐标轴交于点A和点B,在第一象限内是否存在点P,使得A ABP为等腰直角三角形？思路分析由题设条件易得,A(2,0)、B(0,4),OA二2,OB二4.利用心A AOB作弦图，如图11所示,其中P】、P2、戶3是满足条件的点.利用弦图中的全等三角形的性质,以及线段长与坐标的相互转化,可得三点的坐标分别为:P1(4,6)、P2(6,2)、P3(3,3).五、全等三角形，对应后综合求解全等三角形的存在性问题,要注意好顶点的对应，然后借助多种基本方法解题.例6如图12所示，在平面直角坐标系中作矩形OABC,点B坐标为(4,8),将A ABC对折,使点A与点C 重合,折痕交AB于点D,坐标系内是否存在点P(除点B 外),使A APC与A ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.思路分析由题设条件易得点A与点C的坐标分别为(4,0)、(0,8),直线AC表达式为:y二-2%+8.由矩形性质可得A AOC=△CBA,此时点P与点O重合,坐标为(0,0).由翻折性质可得△ADB'^A CDB',此时,如图13, 18可以延长CP，过点A作CP丄AP于点P,利用等面积法可得点P坐标为(；，?)•如图14,作A ABC关于直线AC 的对称图形，此时，过点P作PQ丄y轴于点Q,利用等面积法可得点P坐标为(-12,24).六、等距离轨迹问题,借助坐标轴三角形构造相似在一次函数背景下的等距离轨迹问题，可以借助一次函数图像与坐标轴的交点,构造相似图形,求出点的坐标，进而找到点所在直线的表达式.例7如图15所示，直线y二2%+6与坐标轴分别交于点A和点B，在平面直角坐标系中是否存在一点,使得点P到直线AB的距离等于25，若存在，请求出点P所在轨迹的表达式;若不存在，请说明理由.思路分析到直线AB距离等于25的点的集合是与直线AB平行的两条直线.由题设条件易得，点A和点B 的坐标分别为(-3,0)和(0,6).如图16,过点B作直线AB的垂线-，在直线-上分别截取BP】二BP?二25,再分别过点P1和点P2作垂直于直线z1的直线z2和z3,直线12和人即为点P的轨迹.因为直线J和厶与直线AB平行,要求其表达式，只要求出点P1和点P2的坐标即可,此时,过点P1作P1Q1丄y轴于点Q1，则△P1Q1B^△BOA,可得P1Q1二4,BQ1二2,可得点P1坐标为(4,4),可求出心:y二2%-4.同理可求出厶：y二2%+16.综上,解决一次函数的存在性问题，一定要研究好背景图形，调用基本技巧和方法,构图确定位置，画图解答.参考文献：[1]王玉新.学好一次函数，善于梳理总结是关键[J].数学学习与研究，2019(19)：135.[2]王淑艳.一次函数解初中几何动点问题[J].理科爱好者，2019(4)：147.[责任编辑:李璟]。
一次函数与三角形存在性问题
一次函数与三角形的存在性问题1．如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于A、与y轴交于B，点C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AC的解析式；（2）点D为直线AC与y轴的交点，请求出△ABD和△BCD的周长差；（3）点E是线段AC上一动点，是否存在点E，使△COE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，34OBOA，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。
（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时，△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A （0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），动点P、Q分别从原点O、点B 同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1的单位长度的速度向C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒），直线PQ与直线AB交于点D．（1）直接写出线段AB的长为；（2）求直线AB的函数表达式；（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．。
一次函数之存在性问题(一)(讲义及答案).
3一次函数之存在性问题（一）（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为．2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．1➢知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查．2.存在性问题的处理思路：①分析不变特征分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类．②分类画图求解分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③结果验证回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等．3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例：两定一动连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB4．OA 3点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y=2x+3 与y 轴交于点A，与直线x=1 交于点B．（1）求点A，B 的坐标．（2）在直线x=1 上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC ，OA 分 别与 x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠BCO =45°，BC = 4 ，点 C 的坐标为(-6，0)，直线 BD 交 y 轴正半轴于点 D ，且 OD =2．（1） 求直线 BD 的表达式．（2） 若 P 是直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线y =1x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是2直线y =1x + 2 上的一个动点，过点P 作直线AB 的垂线，分2别交x 轴、y 轴于点E，F，是否存在点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=-x+2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 是直线y=-x+2 上的一个动点（不与点A 重合）．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D，是否存在点C，使△BCD 与△AOB 全等？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5 5 2 2 2 2 2 【参考答案】➢ 课前预习 1. (0，2)或(0，-2) 2. 4➢ 知识点睛1. 运动的结果 ➢ 精讲精练1. （1）点 C 的坐标为(6，4)；（2）存在，点 P 的坐标为( -2 0)或( 13，0).3，0)，( 2，0)，(12，2. （1）点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(1，5)； （2）存在，点 P 的坐标为(1，5 + )，(1，5 - )，(1，1)或(1， 15).43. （1）直线 BD 的表达式为 y = -x + 4 ；（2）存在，点 P 的坐标为(2，0)，( ，2 - )，( - ， 2 + 2 )或(1，1).4. 存在，点 P 的坐标为( - 12 ， 4 )或( 4 ， 12)5 5 5 55. 存在，点 C 的坐标为( - ，2 + )，( 2 ，2 - )或(-2，4).13 13 2。
10 专题十：一次函数与全等三角形存在性问题(方法专题)
1．如图，点E，F在线段BC上，ABF∆与DCE∆全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE 交于点M，则(DCE∠=)A．ABF∠B．BAF∠C．EMF∠D．AFB∠【答案】A．2．如图，ABC∆的顶点分别为(0,3)A，(4,0)B-，(2,0)C，且BCD∆与ABC∆全等，则点D坐标可以是( )A．(2,3)--B．(2,3)-C．(2,3)D．(0,3)【答案】A．3．如图，直线1:33y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A、B，AOB∆与ACB∆关于直线l对称，则点C的坐标为．【答案】3(2，3)．专题导入一次函数与全等存在性全等三角形存在性问题的处理流程：分析不变特征： 从顶点入手，分析定点、动点，在两个三角形中逐层分析确定的角、边长，把公共边作为对应边. 分析形成因素：根据分析得到的不变特征，结合两个三角形全等的判定，同时考虑两个三角形出现的对应关系，综合在一起分析.画图求解：根据上面的分析，画出符合题意的图形，结合图形特征，设计方案.结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证.例1、如图，ABC ∆的顶点分别为(0,3)A ，(4,0)B -，(2,0)C ，且BCD ∆与ABC ∆全等，则点D 坐标可以是______________．【答案】解：如图所示，BCD ∆与ABC ∆全等，点D 坐标可以是(2,3)-或(2,3)--或(0,3)-． 故答案为：(2,3)-或(2,3)--或(0,3)-．专题精析解法点睛【举一反三】1．线段AB 的两端点的坐标为(0,3)A ，(2,0)B -，现请你在坐标系中（不能在坐标轴上）找一个格点P ，使得以P 为顶点且与AOB ∆共一边的三角形与AOB ∆全等，则满足条件的P 点的坐标是 ________ （写出所有情况）【答案】解：如图所示：1(2,3)P-，2(2,3)P ，3(2,3)P --， 故答案为：(2,3)-、(2,3)、(2,3)--．2．如图，直线24y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点A 和点B ，如果线段CD 两端点在坐标轴上滑动(C 点在y 轴上，D 点在x 轴上），且CD AB =．（1）当COD ∆和AOB ∆全等时，求C 、D 两点的坐标；（2）是否存在经过第一、二、三象限的直线CD ，使CD AB ⊥？如果存在，请求出直线CD 的解析式；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意，得(2,0)A ，(0,4)B ，即2AO =，4OB =．①当线段CD 在第一象限时，点(0,4)C ，(2,0)D 或(0,2)C ，(4,0)D ．②当线段CD 在第二象限时，点(0,4)C ，(2,0)D -或(0,2)C ，(4,0)D -．③当线段CD 在第三象限时，点(0,4)C -，(2,0)D -或(0,2)C -，(4,0)D -．④当线段CD 在第四象限时，点(0,4)C -，(2,0)D 或(0,2)C -，(4,0)D（2）(0,2)C ，(4,0)D -．直线CD 的解析式为122y x =+．例2、在平面直角坐标系中，点A 的坐标(0,4)，点C 的坐标(6,0)，点P 是x 轴上的一个动点，从点C 出发，沿x 轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t 秒，点B 在x 轴的负半轴上，且3AOC AOB S S ∆∆=．（1）求点B 的坐标；（2）若点D 在y 轴上，是否存在点P ，使以P 、D 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等？若存在，直接写出点D 坐标；若不存在，请说明理由（3）点Q 是y 轴上的一个动点，从点A 出发，向y 轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P 、Q 分别从C 、A 两点同时出发，求：t 为何值时，以P 、Q 、O 三点构成的三角形与AOB ∆全等．【答案】解：（1）点A 的坐标(0,4)，点C 的坐标(6,0)，4OA ∴=，6OC =，11641222AOC S OC OA ∆∴==⨯⨯=， 3AOC AOB S S ∆∆=．4AOB S ∆=，设(,0)B x ，点B 在x 轴的负半轴上，OB x ∴=-，11()4422AOB S OB OA x ∆∴==⨯-⨯=， 2x ∴=-，(2,0)B ∴-；（2）P 在x 轴上，D 在y 轴，90POD AOB ∴∠=∠=︒，以P 、D 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，∴①POD AOB ∆≅∆，2OD OB ∴==，(0,2)D ∴或(0,2)-②DOP AOB ∆≅∆，4OD OA ∴==，(0,4)D ∴或(0,4)-， 即：满足条件的D 的坐标为(0,4)，(0,4)-，(0,2)，(0,2)-．（3）P 在x 轴上，Q 在y 轴，90POQ AOB ∴∠=∠=︒，由运动知，2CP t =，2AQ t =，|26|OP t ∴=-，|24|OQ t =-，当02t <<时，62OP t =-，42OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，1t ∴=462OP OA t ===-，1t ∴=，∴满足条件，即：1t s =②QOP AOB ∆≅∆，442OQ OA t ∴===-，0t ∴=，262OP OB t ===-，2t ∴=，∴不满足条件，舍去；当23t <<时，62OP t =-，24OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，∴①POQ AOB ∆≅∆，224OQ OB t ∴===-，3t ∴=，462OP OA t ===-，1t ∴=，∴不满足条件，舍去；②QOP AOB ∆≅∆，424OQ OA t ∴===-，4t ∴=，262OP OB t ===-，2t ∴=，∴不满足条件，舍去；当3t >时，26OP t =-，24OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，3t ∴=426OP OA t ===-，5t ∴=，∴不满足条件，舍去；，②QOP AOB ∆≅∆，424OQ OA t ∴===-，4t ∴=，226OP OB t ===-，4t ∴=，∴满足条件，即：4t s =即：满足条件的时间1t s =或4s ．13．直线1l 与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-，与y 轴的交点B 的坐标为(0,1)．（1）求这条直线的表达式．（2）直线2l 经过第二、三、四象限，且与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，如果COD ∆和AOB ∆全等，求直线2l 的表达式．【答案】解：（1）设1l 一次函数表达式为y kx b =+，直线1l 与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-，与y 轴的交点B 的坐标为(0,1)．代入可得201k b b -+=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，1l ∴一次函数表达式为112y x =+；（2）点A 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(0,1)．2OA ∴=，1OB =，专题过关COD ∆和AOB ∆全等， 2OC ∴=或1，1OD =或2，(2,0)C ∴-，(0,1)D -或(1,0)C -，(0,2)D -，设2l 一次函数表达式为y mx n =+，∴201m n n -+=⎧⎨=-⎩或02m n n -+=⎧⎨=-⎩ 解得121m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或22m n =-⎧⎨=-⎩∴直线2l 的表达式为112y x =--或22y x =--． 2．已知直线25y x =-与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，点(1,)C n 在直线AB 上，点D 在y 轴的负半轴上，且CD =（1）求点C 、点D 的坐标．（2）若点M 为x 轴上一动点（点M 不与点O 重合），N 为直线25y x =-上一动点，是否存在点M 、N ，使得AMN ∆与AOB ∆全等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，点(1,)C n 在直线25y x =-上，3n ∴=-，(1,3)C ∴-，作CF y ⊥轴于F ，10CD =，1CF =，在Rt CDF ∆中，3DF ，(0,6)D ∴-或(0,0)（舍弃）(0,6)D ∴-．（2）如图2中，①当AMN AOB ∆≅∆时， 2.5AM OA ==，5NM OB ==5OM ∴=，(5,5)N ∴．②当△AN M AOB ''≅∆时，52AN OA '==，可得N '，． ③当△AN M AOB ''''≅∆时，52AN OA ''==，可得N ''，．综上所述，满足条件的点N 坐标：(5,5)或或 3 3．直线(0)y x b b =+>与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为(6,0)-，过点B 的另一直线交x 轴正半轴于点C ，且13OC OB =． （1）求点B 的坐标及直线BC 的解析式；（2）在线段OB 上存在点P ，使点P 到点B ，C 的距离相等，求出点P 坐标；（3）在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，画出ABD ∆并请直接写出点D 的坐标．【答案】解：（1）把A 的坐标为(6,0)-代入y x b =+中，得到6b =， (0,6)B ∴，13OC OB =，2OC ∴=，(2,0)C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有620b k b =⎧⎨+=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为36y x =-+．（2）如图1中，由题意PB PC =，设PB PC x ==．在Rt POC ∆中，6OP x =-，PC x =，2OC =，222(6)2x x ∴=-+，103x ∴=，108633OP ∴=-=，8(0,)3P ∴．（3）如图2中，设点C 关于直线AB 的对称点为D ，则ABD ABC ∆≅∆，直线AB 的解析式为6y x =+，∴直线CD 的解析式为2y x =-+，由62y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得24x y =-⎧⎨=⎩，(2,4)H ∴-，DH HC =，(6,8)D ∴-，根据对称性点D 关于直线y x =-的对称点(8,6)D '-也满足条件．综上所述，满足条件的点D 的坐标为(6,8)-或(8,6)-．4．如图，直线124:5l y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2:2l y x b =-+与x 轴、y 轴、直线1l 分别相交于点C 、D 、P ．已知点A 的坐标为(6,0)，点D 的坐标为(0,6)，点M 是x 轴上的动点．（1）求k ，b 的值及点P 的坐标；（2）当POM ∆为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）是否存在以点M 、O 、D 为顶点的三角形与AOB ∆全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线124:5l y kx =+与x 轴相交于(6,0)A ， 24605k ∴+=，45k ∴=-， ∴直线1424:55l y x =-+① 直线2:2l y x b =-+与y 轴相交于点(0,6)D ，6b ∴=，∴直线2:26l y x =-+②，联立①②解得，14x y =⎧⎨=⎩，(1,4)P ∴；（2）点M 是x 轴上的动点，∴设(,0)M m ，(1,4)P ，OP ∴=||OM m =，MP =POM ∆为等腰三角形，∴当OM OP =时，∴||m =，m ∴=(M ∴0)或0)当OM MP =时，||m ∴=172m ∴=，17(2M ∴，0)， 当OP MP =时，∴，0m ∴=（舍)或2m =，(2,0)M ∴，即：点M 的坐标为(0)或0)或17(2，0)或(2,0)；（3）点A 的坐标为(6,0)，点D 的坐标为(0,6)，6OA OD ∴==，点M 在x 轴上，90AOB DOM ∴∠=∠=︒，以点M 、O 、D 为顶点的三角形与AOB ∆全等，AOB DOM ∴∆≅∆， OM OB ∴=，直线1424:55l y x =-+与y 轴相交于B ， 24(0,)5B ∴，245OB ∴=，245OM ∴=， 24(5M ∴，0)或24(5-，0)．5．已知直线443y x =-+与x 轴和y 轴分别交与A 、B 两点，另一直线过点A 和点(7,3)C ．（1）求直线AC 对应的函数关系式；（2）求证：AB AC ⊥；（3）若点P 是直线AC 上的一个动点，点Q 是x 轴上的一个动点，且以P 、Q 、A 为顶点的三角形与AOB ∆全等，求点Q 的坐标．【答案】解：（1）在443y x =-+中，令0y =，则4043x =-+，3x ∴=，(3,0)A ∴，设直线AC 对应的函数关系式为y kx b =+，∴0337k b k b =+⎧⎨=+⎩，∴3494k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AC 对应的函数关系式为3944y x =-，（2）在直线443ABy x =-+中，143k =-， 在直线3944ACy x =-中，234k =， 121k k ∴=-，AB AC ∴⊥；（3）在443y x =-+中，令0x =，则4y =，3OA ∴=，4OB =，由勾股定理得5AB =，①当90AQP ∠=︒时，如图1，AOB AQP ∆≅∆，4AQ OB ∴==，1(7,0)Q ∴，2(1,0)Q -，②当90APQ ∠=︒时，如图2，AOB AQP ∆≅∆，5AQ AB ∴==，3(8,0)Q ∴，4(2,0)Q -．③当90PAQ ∠=︒时，这种情况不存在，综上所述：点Q 的坐标为：(7，0)(8，0)(1-，0)(2-，0)．6．如图，直线:3l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，34OB OA =，OM AB ⊥，垂足为点M ，点P 为直线l 上的一个动点（不与A 、B 重合）．（1）求直线3y kx =+的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时BOP ∆的面积是6；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与OMP ∆全等，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线:3l y kx =+与y 轴交于点B(0,3)B ∴，3OB =34OB OA =，4OA ∴=，即(4,0)A点A 在直线l 上，430k ∴+= 解得：34k =-∴直线l 的解析式为334y x =-+（2）过P 作PC y ⊥轴于C ，如图1，162BOP S OB PC ∆∴==4PC ∴=∴点P 的横坐标为4或4-点P 为直线l 上的一个动点且不与A 、B 重合∴横坐标不为4，纵坐标为：3(4)364-⨯-+=∴点P 坐标为(4,6)-时，BOP ∆的面积是6；（3）存在满足条件的P 、QOM AB ⊥，5AB ==90OMP ∴∠=︒ 125OA OB OM AB ==∴以O ，P ，Q 为顶点的三角形与OMP ∆全等时，斜边OP 为对应边，90OQP ∠=︒， ①OMP PQO ∆≅∆125PQ OM ∴==，即P 点横坐标为125-或125，如图2和图3，31224()3455-⨯-+=，31263455-⨯+= ∴点12(5P -，24)5或12(5，65）②OMP OQP ∆≅∆125OQ OM ∴==，即点P 、点Q 纵坐标为125-或125，如图4和图5，312345x -+=- 解得：365x =312345x -+= 解得：45x = ∴点36(5P ，12)5-或4(5，12)5 综上所述，符合条件的点P 的坐标为12(5-，24)5，12(5，6)5，36(5，12)5-，4(5，12)5。
全等三角形 知识点总结
全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。
全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。
全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。
本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。
一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。
用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。
全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。
2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。
3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。
二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。
1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。
2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。
3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
专题09 一次函数中的三角形问题(解析版)
1专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数3知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB=①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，5①OD ＝AD ＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO 时，①ADC ＝①AOB ＝90°，AD ＝OB ＝2，①OD ＝OA ＋AD ＝1＋2＝3． 综上所述，OD 的长为31． 故选：D ． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y ＝3x 向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（ ） A ．4 B ．6C ．D ．12【答案】A 【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案． 【详解】解：设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y ＝3x 向左平移后所得直线解析式为：y ＝3（x+k ）＝3x+3k ．易求得新直线与坐标轴的交点为（﹣k ，0）、（0，3k ） 所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：12k •3k ＝24， 解得：k ＝4或﹣4（舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何变换，由题意正确得出平移后解析式是解题的关键． 7．已知一次函数的图象过点（0,3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ） A ．y=1.5x+3 B ．y=1.5x -3 C ．y=-1.5x+3 D ．y=-1.5x -3【答案】C 【分析】设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0），与x 轴的交点是（a ，0），根据三角形的面积公式即可求得a 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0），与x 轴的交点是（a ，0）， ①一次函数y=kx+b （k≠0）图象过点（0，3）， ①b=3，①这个一次函数在第一象限与两坐标轴所围成的三角形面积为3， ①12×3×|a|=3， 解得：a=2，把（2，0）代入y=kx+3，解得：k=-1.5，则函数的解析式是y=-1.5x+3； 故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x 轴的交点坐标是解题的关键．8．如图，在直角坐标系中，一次函数25y x =-+的图象1l 与正比例函数的图象2l 交于点(,3)M m ，一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 能围成三角形，则在下列四个数中，k 的值能取的是（ ）7A ．﹣2B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】把M （m ，3）代入一次函数y=-2x+5得到M （1，3），求得l 2的解析式为y=3x ，根据l 1，l 2，l 3能围成三角形，l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M （1，3），于是得到结论． 【详解】解：把M （m ，3）代入一次函数y=-2x+5得，可得m=1， ①M （1，3），设l 2的解析式为y=ax ， 则3=a ， 解得a=3，①l 2的解析式为y=3x ， ①l 1，l 2，l 3能围成三角形，①l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M （1，3）， ①k≠3，k≠-2，k≠1， ①k 的值能取的是2， 故选C ． 【点睛】本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数图象及性质；熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，一次函数26y x =-+与坐标轴围成的三角形面积是：（ ） A ．6 B ．9 C ．15 D ．18【答案】B 【分析】根据函数关系式求出图像与坐标轴的交点坐标，即可求出图像与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】根据题中的关系式，可画出函数图像当0x =时，6y =，所以点A 的坐标为()06， 当0y =时，3x =，所以点B 的坐标为()30，12OABS OB OA =⨯ 1362=⨯⨯ 9=故答案为B. 【点睛】解题的关键是能够根据函数关系式求出函数与坐标轴的交点坐标．10．如图，在Rt①ABO 中，AB①OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分 的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）A ．S=t (0＜t ≤3)B ．S=12t 2 (0＜t ≤3) C ．S=t 2 (0＜t ≤3) D ．S=12t 2 -1(0＜t ≤3)【答案】B 【分析】由AB 、OB 的长度求出点A 、点B 的坐标，进而求出OA 所在直线的解析式，令x =t ，求出y ，确定t 的范围，利用三角形面积公式表示出S 即可. 【详解】 ①AB =OB =3， ①A （3，3），①OA 所在直线解析式为y =x ， 当0＜t ≤3时，令x =t ，则y =t ， ①S =12t 2（0＜t ≤3）.故选B.9【点睛】本题为一次函数与几何综合题，主要考查一次函数解析式的求解. 二、填空题11．直线44y x =-与坐标轴所围成的三角形面积为__________． 【答案】2 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式可求出直线与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：当0x =时，4044y =⨯-=-，①直线44y x =-与y 轴的交点坐标为()0,4-； 当0y =时，440x -=，解得：1x =， ①直线44y x =-与x 轴的交点坐标为()1,0．①直线44y x =-与坐标轴所围成的三角形面积14122=⨯⨯=．故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是把求线段的长的问题转化为求函数的交点．12．已知点A （7，0），B （0，m ），且直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于28，则m 的值是__________． 【答案】8± 【分析】先分别求出点A 、点B 到坐标轴的距离即OA 、OB ，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：①点A （7，0），B （0，m ）， ①OA =7，OB =｜m ｜，①直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于28， ①12×7×｜m ｜=28， 解得：m =±8， 故答案为：±8． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的面积的方法是解答的关键．13．已知直线1l ：23y x =-+，和直线2l ：6y x =-，若直线3l ：2y kx =-与1l 、2l 不能围成三角形，则k =_________．【答案】2-或1或13-【分析】由题分析可得，平面直角坐标系中，三条直线123,,l l l 不能围成三角形，有三种情况：①l 1①l 3，①l 2①l 3，①三条直线交于同一点，由此展开讨论即可求得答案． 【详解】解：若l 1①l 3则2k =-； 若l 2①l 3，则1k =； 若三条直线交于一点，236y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， 即1l 与2l 交于一点(3,3)-， 则3l 过该点，代入： 332k -=-，解得13k =-，综上所述，k 为2-或1或13-，故填：2-或1或13-．【点睛】本题考查一次函数图像和性质，两直线平行k 相等，一次函数与二元一次方程组，解题关键是理解和掌握一次函数图像与性质与求两一次函数交点的方法．14．已知一次函数4y kx =-的图像与两坐标轴围成的三角形周长为12，则k 的值为________． 【答案】43±【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的周长列出方程求得k 即可． 【详解】解：令x ＝0，有y ＝0−4＝−4， 令y ＝0，有kx −4＝0，x ＝4k，①直线4y kx =-与坐标轴的交点坐标为（0，−4）和（4k，0），①一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的周长等于12，①|−4|+|4 k①k＝43±，经检验：k＝43±是方程的解，故答案是：43±．【点睛】本题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点坐标，根据三角形的周长列出方程是解答此题的关键．15．将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y轴分别交于点,,A B那么ABO为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x=-+的坐标轴三角形的面积是_____．【答案】16【分析】求出点A，点B坐标，根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：对于142y x=-+，当x=0时，y=4，当y=0时，x=8①A（8，0）B（0，4），所以OA=8，OB=4，①S①AOB＝12×8×4＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了一次函数问题，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础．三、解答题1116．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的各顶点坐标分别()2,0A -，()2,0B ，(0,C ，直线l 过点B ，且与x 轴的正半轴成60︒角，将ABC 绕点B 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．解答下列问题：（1）填空：ABC 为________三角形（选择“等腰”或“等边”一种），直线l 的函数表达式为_______；（2）若0180α<<︒，在ABC 的旋转过程中，当ABC 的一边与直线l 互相垂直时，记A 点的对应点为A '，求点A '的坐标；（3）当210α︒=时，记旋转后顶点A ，C 的对应点分别为M ，N PQ 在直线l 上移动，连结MQ ，NP ，试求四边形MQPN 周长的最小值．【答案】（1）等边，y -（2）A ´（2-2）或（2，4）或（2）；（3）．【分析】（1）利用点的坐标，求出OA =OB =2，OC ，利用勾股定理得出边长即可；设l ：y =kx +b ，把B 、E 点的坐标代入即可；（2）分'A B l ⊥，''A C l ⊥，'BC l ⊥三种情况分别画出符合的图形，然后再分别求解即可；（3）由题意先确定出点N 坐标，在四边形MQPN 中，MN=4，则只需要MQ +PN 的值最小即可，如图，过点M 作MH //BE ，然后取MF =PQ 作出点M 、F 关于直线l 的对称点M ′，F ′，再分别过点M ′、F ′作x 轴、y 轴的垂线，两垂线交于点G ，连接NF ′，则NF ′的长就是MQ +PN 长的最小值，求出NF ′的长即可． 【详解】（1）①x 轴①y 轴，13①OC ①AB ，又①A （-2，0），B （2，0），C （0，）， ①OA =OB =2，OC， ①OC 是AB 的垂直平分线， ①BC =BA ，在Rt OBC 中，BC4= ， AB =OA +OB ， ①AB =BC =AC =4， ①ABC 为等边三角形；设直线l 与y 轴的交点为E ，在Rt OBE 中，①OBE =60°，OB =2 ①OE. ①E （0，-， 设l ：y=kx +b ，代入B (2，0)，E （0，-，① 20k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，①y-(2)如图，当'A B l ⊥时，过点'A 作'A F x ⊥轴于点F ，①'90A BE ∠=︒，'90A FB ∠=︒， ① ①OBE =60°，①α=①A′BF =90°-60°=30°， ①A′F =1'22A B =，BF=， ①OF =BF -OB =A´B -OB-2，①A ´（2-2）；如图，当''A C l ⊥时，垂足为F ，①1'''302A BF A BC ∠=∠=︒，'90A FB ∠=︒，① ①OBE =60°，①α=①A′BA =180°-30°-60°=90°， ①'A B AB ⊥，即'A B x ⊥轴， ①A ´（2，4）；如图，当'BC l ⊥时，''A C 交x 轴于点F ，①'90EBC ∠=︒， ① ①OBE =60°，①①FBC ′=180°-90°-60°=30°，①①A′BF =①A′BC ′-①FBC ′=60°-30°=30°， ①α=①A′BA =180°-30°=150°，①A′FB =90°， ①''A C AB ⊥，即''A C x ⊥轴，①A′F =2，BF =①OF=OB+BF①A´（2）；综上，A′的坐标为：（2-2）或（2，4）或（2）；（3）α=210°时，①ABM=360°-210°=150°，①①ABN=①ABM-①MBN=90°，①N（2，-4）在四边形MQPN中，MN=4，MQ+PN的值最小即可，如图，过点M作MH//BE，然后取MF=PQ分别作出点M、F关于直线l的对称点M′，F′，再分别过点M′、F′作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点G，连接NF′，则NF′的长就是MQ+PN长的最小值，①''M F=由对称性可知点①M′BA=30°，又（1）可知M′（2-2），在①M′F′G中，1'''2F G M F==3'4M G=，①3'224F⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，即5'24F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，①'F N①15【点睛】本题考查了旋转，一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：43y x =与直线2l ：y kx b =+相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴负半轴于点B ，且OB OA =． （1）求点B 的坐标及直线2l 的函数表达式；（2）过点B 作31//l l 交x 轴于点C ，连接AC ，求ABC 的面积．【答案】（1）35y x =-；（2）758【分析】（1）利用直线1l 的解析式求出点A 的坐标，再根据勾股定理求出OA 的长度，从而可以得到OB 的长度，根据图象求出点B 的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线2l 的函数表达式；（2）根据题意易求得直线3l 为453y x =-，即可求得15(4C ，0)，根据直线2l 的解析式求得与x 轴的交点D 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】解：（1）点A 的横坐标为3， ①将x ＝3代入43y x =，得：4343y =⨯=，∴点A 的坐标是(3,4)，5OA ∴=，OA OB =，5OB OA ∴==，17∴点B 的坐标是(0,5)-，把A 、B 的坐标代入y kx b =+得：345k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得35k b =⎧⎨=-⎩，∴直线2l 的函数表达式是35y x =-；（2）①31//l l 且点B 的坐标是(0,5)-，∴直线3l 为453y x =-， 令0y =，则154x =， 15(4C ∴，0)，设直线2l 与x 轴的交点为D ， 将y ＝0代入35y x =-，得：53x =，5(3D ∴，0)，155254312CD ∴=-=， ABC ∴的面积12575(45)2128=⨯⨯+=．【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出交点的坐标是解题的关键．18．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．（1）如图1，已知ABC ，请用尺规作出ABC 的一条面积等分线．（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上、OC 在y 轴的正半轴上，6,4OA OC ==． ①请判断直线4833y x =-是否为矩形OABC 的面积等分线，并说明理由； ①若矩形OABC 的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．（3）如图3，在ABC 中，点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3，点C 的坐标为()2,0，点D 的坐标()0,2-，求过点D 的一条ABC 的面积等分线的解析式．（4）在ABC 中点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()0,1，直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线，请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线；①y =2x −4或y =29x +43；（3）22y x =-；（4）01b ＜＜ 【分析】（1）作出线段BC 的垂直平分线，找到BC 中点D ，连接AD ，AD 即所求的ABC 的一条面积等分线．（2）①连接AC ，OB 交于点M ，根据6,4OA OC ==求出点M 的坐标，然后由矩形性质可知形OABC 的面积等分线必过点M ，将M 点的坐标代入4833y x =-判断M 点不在一次函数图像上，即可判断出直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线； ①先设出矩形面积等分线的解析式，利用和坐标轴围城的三角形面积是4建立方程求解即可； （3）根据题意设出三角形面积等分线的解析式，求出直线AB 的解析式，然后两条直线联立表示出交点坐标，根据三角形面积的一半列出方程求解即可； （4）根据图像结合面积等分线的性质即可求出b 的取值范围．19【详解】解：（1）如图1所示，作出BC 的垂直平分线交BC 于点D ，连接AD ， ①AD 是三角形ABC 的中线，①AC 所在直线即要求的ABC 的一条面积等分线．（2）①如图2所示，连接AC ，OB 交于点M ．①OA =6，OC =4， ①()6,0A ，()0,4C ， ①()3,2M ，①四边形OABC 是矩形，①矩形OABC 的面积等分线必过点M ， 将x =3代入4833y x =-中，得： 48432333y =⨯-=≠，①直线4833y x =-不过点M ， ①直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线； ①如图所示，由①知，矩形OABC的面积等分线必过点M(3,2)，设矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+b与x轴相交于点E，与y轴相交于F，①3k+b=2，①b=2−3k，①矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+2−3k，令x=0，y=2−3k，①F(0，2−3k)，①OF=|2−3k|，令y=0，①x=32kk-，①E(32kk-，0)，①OE=32kk-，①矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，①142OE OF•=，①OE①OF=8，①|2−3k|①|32kk-|=8，①k=2或k=29，①矩形OABC的面积等分线函数表达式为y=2x−4或y=29x+43．（3）如图所示，设三角形ABC面积的等分线的表达式为y kx b=+，交x轴于点F，交AB 于点E．21①三角形ABC 面积的等分线y kx b =+过点D ， ①将D ()0,2-代入表达式得：b =-2， ①表达式为2y kx =-．将y =0代入2y kx =-得：x =2k ，①F 20k ⎛⎫⎪⎝⎭，． ①AF =22k+． ①点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3， 利用待定系数法可得AB 的表达式为112y x =+， ①DE 和AB 交于点E ， ①联立表达式得：1122y x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：6216221x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩．①14362ACB S =⨯⨯=△，①132AEF ACB S S ==△△， ①132E AF y ⨯⨯=， 代入得：126223221k k k ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 整理得：24720k k --=，解得：12124k k ==-，（舍去），①三角形ABC 面积的等分线的表达式为22y x =-． （4）如图所示，①直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线， 由图像可知，当1b ≥或0b ≤时，无论a 取何值，直线()0y ax b a =+>都不能把ABC 的面积平分， ①01b ＜＜． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，三角形中线的性质，基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是设出直线表达式，根据三角形面积列出方程求解．19．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2）且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴正半轴交于点C ． （1）求直线n 的函数表达式；（2）若①ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若①ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC ，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝423x -；（2）C （0，4）；（3）y ＝463x -+．【分析】（1）用待定系数法求直线n 的函数解析式；23（2）根据①ABC 的面积为9可求得AC 的长，可得出结论；（3）过点B 作BD ①y 轴于点D ，则CD ＝AD ＝4，得C （0，6），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ，将B ，C 代入即可． 【详解】解：（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，①直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2），点B （3，2），①232b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ①直线n 的函数解析式为：y ＝423x -； （2）①若①ABC 的面积为9， ①9＝132AC ， ①AC ＝6， ①OA ＝2，①点C 在y 轴正半轴， ①C （0，4）；（3）当AB ＝BC 时，过点B 作BD ①y 轴于点D ，①CD ＝AD ＝4， ①C （0，6），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ， 将B （3，2），C （0，6）代入得：326k b b +=⎧⎨=⎩， 解得436k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①直线l 的解析式为：y ＝463x -+．【点睛】本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题． 20．如图，直线135y x =-与反比例函数21k y x-=的图象交于点()2,A m 、(),6B n -两点，连接OA 、OB ．（1）求m 、n 、k 的值； （2）求AOB 的面积；（3）直接写出12y y <时，x 的取值范围．【答案】（1）11,,33m n k ==-=；（2）356；（3）02x << 或13x <-【分析】（1）根据题意可先出m ，n ，可得()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ，再代入反比例函数解析式求出即可；（2）先求出直线与y 轴的交点坐标，可得AOB 的面积AODBODSS=+，即可求解；（3）观察一次函数图象在反比例函数图象下方时的x 的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）①直线135y x =-与反比例函数21k y x-=的图象交于点()2,A m 、(),6B n -两点， ①当2x = 时，2351m =⨯-= ，当6y =- 时，635n -=- ，解得：13n =- ，①()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ，将()2,1A 代入反比例函数21k y x -=，得：112k -=， 解得：3k = ，（2）设直线AB 与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ，25当0x = ，15y =- ， ①()0,5D - ， 即OD =5， ①AOB 的面积1112223AODBODSSOD OD =+=⨯⨯+⨯⨯ 111352552236=⨯⨯+⨯⨯= ； （3）①直线135y x =-与反比例函数21k y x -=的图象交于点()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ， ①由图象可知，当12y y <时，02x << 或13x <- ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，利用反比例函数与一次函数的交点解答是解题的关键． 21．如图直线l 1＝kx +5与y 轴交于点A 直线l2＝﹣x +1与直线l 1交于B ，与y 轴交于C ，已知点B 的纵坐标为2．（1）确定直线l 1的解析式；（2）直线l 1、l 2与y 轴所围成的三角形的面积为 ；（3）垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1、l 2分别交于M 、N ，若线段MN 的长为2，求a 的值．【答案】（1）35y x ==；（2）2；（3）12a =-或32a =-【分析】（1）根据B 点的纵坐标为2且B 是两直线的交点，先把B 纵坐标代入l 2求出B 点坐标，然后代入l 1解析式即可求解；（2）分别求出A 、C 两点的坐标，然后求解面积即可得到答案；（3）把x a =代入两直线解析式分别求出M 、N 的坐标，然后根据MN =2求解即可得到答案. 【详解】解：（1）解：把2y =代入1y x =-+中 得1x =-①B 点坐标为（-1，2）把1x =-时2y =代入5y kx =+中 得25k =-+3k =直线l 1的解析式为35y x =+（2）①直线l 1的解析式为35y x =+ 与y 轴交于A 点 ①A （0，5）①直线l 2的解析式为1y x =-+ 与y 轴交于C 点 ①C （0，1）27①两直线与y 轴围成的面积=14122⨯⨯=（3）把x a =分别代入21y x =-+，和135y x =+中 得21y a =-+ 135y a =+①M （a ，3a +5），N （a ，-a +1） ①1352a a -+--= 112a +=①12a =-或32a =-【点睛】本题主要考查了两一次函数的交点问题，与坐标轴围成的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识点.22．如图，一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象与反比例函数12y x=-的图象交于A 、B 两点，且与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求①AOB 的面积．【答案】（1）y＝-x-1；（2）7 2【分析】（1）根据题意得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出一次函数解析式；（2）求出一次函数与x轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：（1）把x＝3代入12yx=-，得y＝-4，故A（3，-4），把y＝3代入12yx=-，得x＝-4，故B（-4，3），把A，B点代入y＝kx+b得：34 43k bk b+=-⎧⎨-+=⎩，解得：11kb=-⎧⎨=-⎩，故直线解析式为：y＝-x-1；（2）由（1）知：当y＝0时，x＝-1，故C点坐标为：（-1，0），则①AOB的面积为：12×1×3+12×1×4＝72．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出A，B点坐标是解题关键．23．已知直线L1为y1＝x+1，直线L2为y2＝ax+b（a≠0），两条直线如图所示，这两个图象的交点在y轴上，直线L2与x轴的交点B的坐标为（2，0）．（1）求a、b的值．（2）求使y1、y2的值都大于0的x的取值范围．（3）求这两条直线与x轴所围成的①ABC的面积．【答案】（1）a＝12-，b=1；（2）-1＜x＜2；（3）32【分析】（1）首先根据直线l1的解析式可求得C点的坐标，进而可由B、C的坐标，利用待定系数法确定a、b的值．（2）根据两个函数的图象以及A、B点的坐标进行解答即可．（也可通过解不等式来求得）（3）根据（1）得到的直线l1的解析式，可求得点A的坐标，以AB为底、OC为高即可求得①ABC的面积．【详解】解：（1）由直线l1的解析式为y1=x+1，可求得C（0，1）；则依题意可得：201a bb+=⎧⎨=⎩，解得：a＝12-，b=1；（2）由（1）知，直线l2：112y x=-+，①y1=x+1＞0，①x＞-1；①y2＝112x-+＞0，①x＜2；①-1＜x＜2．（3）由题意知A（-1，0），则AB=3，且OC=1；①S①ABC=12AB•OC=12×3×1＝32．【点睛】此题主要考查了一次函数解析式的确定、一次函数与一元一次不等式的联系以及三角形面积29的计算方法，难度适中．。
第六章一次函数(动点、全等、三角形存在性问题压轴)(原卷版)
第六章 一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A B C D A ®®®®方向运动到点A 处停止（提示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC ）．设点P 运动的路程为x ，PCD V 的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．9C ．15D ．182．已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积 ()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（ ）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线A -B-C -D 运动.设P 点的运动时间为ts ，PAD V 的面积为S ，当P 运动到BC 的中点时，PAD V 的面积为A ．7B ．7.5C ．84．如图，在长为形ABCD 中，5cm 16cm AB AD ==，，点3cm 4cm AM AE ==，，连线CE ，动点P 从点B 出发，以运动到点A 即停止运动，连接MP ，设点P 运动的时间为(1)如图1，线段CE = cm ；当10t =时，线段EP = cm ；(2)如图1，点P 在线段BC 上运动的过程中，连接EM EP ，，当EMP V 是以EM 为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(1)求线段OC的长；(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求(3)已知y轴上有一点P，若以点标．(1)求n和b的值；△是直角三角形，求点P的坐标；(2)若ACP∠=∠，求点P的坐标．(3)当PBE BAC(1)求点D的坐标；(2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点i）若BDFV的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线接FM，若1OF MF=+，求线段MF的长．(1)求直线AB的解析式；(2)已知点D为直线BC上第三象限的一点，连接AD，设点D的横坐标为t 间的函数关系式（不要求写出变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，256S=，点D关于y轴的对称点为点E，点F在第一象限直线。
专题四 一次函数中的三角形综合式问题 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题四一次函数中的三角形综合式问题1、如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x＝0时，y＝8，∴B（0，8），当y＝0时，﹣x+8＝0，x＝6，∴A（6，0）；（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10，由折叠得：AB＝AB'＝10，∴OB'＝10﹣6＝4，设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，a＝3，∴M（0，3），设AM：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图∵M（0，3），B′（﹣4，0），∴B′M＝5，当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）；当B′M＝PM时，P3（4，0），当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q，易证得△P4B′Q∽△MB′O，则＝，即＝，∴P4B′＝，∴OP4＝4﹣＝，∴P4（﹣，0），综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）．（1）求k的值；（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．解：（1）∵点A（2，0）在一次函数y＝kx+3上，∴0＝2k+3，得k＝﹣1.5，即k的值是﹣1.5；（2）∵k＝﹣1.5，∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3，∴当x＝0时，y＝3，即点B的坐标为（2，0），∴OB＝3，∵点A（2，0），∴OA＝2，∴△AOB的面积是＝＝3，又∵△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，∴△AOQ的面积是1.5，设点Q的坐标为（a，﹣a），∴1.5＝，得a＝1.5，∴点Q的坐标为（1.5，﹣1.5）．3、如图，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）若点D在x轴上，使得S△DOC＝2S△BOC的值，请求出D点的坐标；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，则k的值为．解：（1）把C（m，4）代入一次函数y＝﹣x+5，可得4＝﹣m+5，解得m＝2，∴C（2，4），设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，解得a＝2，∴l2的解析式为y＝2x；（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，在y＝﹣x+5中，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO＝10，BO＝5，∵S△DOC＝2S△BOC，∴OD×4＝2×，∴OD＝5，∴D点的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，∴当l3经过点C（2，4）时，k＝；当l2，l3平行时，k＝2；当11，l3平行时，k＝﹣；故k的值为或2或﹣，故答案为或2或﹣．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（△）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）S△BCO＝OB×CO＝2×6＝6，直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，则S△CDE＝2或4，而S△CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4，则x E＝1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（△）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；当AE＝ED时，同理可得：m＝；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，求点F的坐标．解：（1）△直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，△令y＝0，则3x﹣6＝0，△x＝2，△D（2，0）；（2）如图1，△直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，△令y＝0．△x+2＝0，△x＝﹣2，△A（﹣2，0），由（1）知，D（2，0），△AD＝4，联立直线l1，l2的解析式得，，解得，，△C（4，6），△S△ACD＝AD•|y C|＝×4×6＝12，△S△ACE＝S△ACD，△S△ACE＝12，直线l1与y轴的交点记作点B，△B（0，2），设点E（0，m），△BE＝|m﹣2|，△S△ACE＝BE•|x C﹣x A|＝|m﹣2|×|4+2|＝4|m﹣2|＝12，△m＝﹣2或m＝6，△点E（0，﹣2）或（0，6）；（3）如图2，△当点F在直线l1上方时，△以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，△△、当△APF'△△APD时，连接DF'，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），△OB＝OA＝OD，△△ABO＝△DBO＝45°，△△ABD＝90°，△DB△l1，△△APF'△△APD，△PF'＝PD，AF'＝AD，△直线l1是线段DF'的垂直平分线，△点D，F'关于直线l1对称，△DF'△l1，△DF'过点B，且点B是DF'的中点，△F'（﹣2，4），△、当△P AF△△APD时，△PF＝AD，△APF＝△P AD，△PF△AD，△点D（2，0），A（﹣2，6），△点D向左平移4个单位，△点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，6），△F（﹣3，3），△当点F在直线l1下方时，△△P AF''△△APD，由△△知，△P AF△△APD，△△P AF△△P AF''，△AF＝AF''，PF＝PF''，△点F与点F'关于直线l1对称，△FF''△l1，△DF'△l1，△FF'△DF'，而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，△D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），△F''（1，﹣1），即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，△点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）△点C（﹣2，0），点B（0，2），△OC＝2，OB＝2，△P是直线AB上一动点，△设P（m，m+2），△△BOP和△COP的面积相等，△×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m＝±4，当m＝﹣4时，点P与点A重合，△点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，△当点B1是直角顶点时，△B1Q＝B1A1，△△A1B1O+△QB1H＝90°，△A1B1O+△OA1B1＝90°，△△OA1B1＝△QB1H，在△A1OB1和△B1HQ中，，△△A1OB1△△B1HQ（AAS），△B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，△B1（0，﹣2）或（0，2），当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，△B（0，2），△点B1（0，2）（不合题意舍去），△直线AB向下平移4个单位，△点Q也向上平移4个单位，△Q（﹣2，2），△当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，△直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，△A1（﹣2b，0），B1（0，b），△A1B12＝4b2+b2＝5b2，△A1B1△A1Q，△直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b△Q（﹣2，4﹣4b），△A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，△20b2﹣40b+20＝5b2，△b＝2或b＝，△Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；△当Q是直角顶点时，过Q作QH△y轴于H，△A1Q＝B1Q，△△QA1C1+△A1QC＝90°，△A1QC+△CQB1＝90°，△△QA1C＝△CQB1，△m△y轴，△△CQB1＝△QB1H，△△QA1C＝△QB1H在△A1QC与△B1QH中，，△△A1QC△△B1QH（AAS），△CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，△Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．7、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S△AOP：S△AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求△APC 的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，△点A（2，0），点B（﹣4，3），△，解得：，△直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE△x轴于E，过P作PD△x轴于D，△PD△BE，△S△AOP：S△AOB＝2：3，△＝，△点B（﹣4，3），△BE＝3，△PD△BE，△△APD△△ABE，△＝＝，△PD＝2，当y＝2时，x＝﹣2，△P（﹣2，2）；（3）点A（2，0）、点B（﹣4，3），点P（﹣2，2），则AP＝2，AB＝CA＝3，过点P作HP△AC交AC的延长线于点H，则AH＝AP＝，PH＝AP sin60°＝，△APC的面积＝AC×PH＝×3×＝；设点C（x，y），则PC2＝PH2+HC2＝15+（+3）2＝95＝（x+2）2+（y﹣2）2…△，CA2＝45＝（x﹣2）2+y2…△，联立△△并解得：x＝，y＝，故点C（，）．8、如图1，等腰直角三角形ABC中，△ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD△DE于点D，过B作BE△DE于点E，则△BEC△△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：△BEO△△AOD（K型全等），△OE＝AD，△k＝﹣1，△y＝﹣x+4，△B（0，4），△OB＝4，△BE＝3，△OE＝，△AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，△A（3，0），△当BM△AB，且BM＝AB时，过点M作MN△y轴，△△BMN△△ABO（AAS），△MN＝OB，BN＝OA，△MN＝4，BN＝3，△M（4，7）；△当AB△AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，△△ABO△△AMK（AAS），△OB＝AK，OA＝MK，△AK＝4，MK＝3，△M（7，3）；△当AM△BM，且AM＝BM时，过点M作MH△x轴，MG△y轴，△△BMG△△AHM（AAS），△BG＝AH，GM＝MH，△GM＝MH，△4﹣MH＝MH﹣3，△MH＝，△M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS△y轴，△△ABO△△BQS（AAS），△BS＝OA，SQ＝OB，△Q（4，4﹣），△OQ＝，△当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），△OQ＝，△当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，△OQ的最小值为4．9、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．△求y与x的函数关系式；△若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．解：（1）△3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，△点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+2），△△M是点D、E的“美妙点”．△x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，故m＝x﹣3，△y＝（x﹣3）+6＝x+3；△由△得，点M（9+3m，m+6），如图1，当△MEF为直角时，则点M（3，4），△9+3m＝3，解得：m＝﹣2；△点D（﹣2，）；当△MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，△点D（﹣，）；当△EMF是直角时，不存在，综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．10、在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k＝．（1）若点A（1，1），B（2，3），则△OAB投影比k的值为；（2）若点M（﹣2，0），点N（2，1）且△MNP投影比k＝，则点P的坐标可能是（填写序号）；△（﹣1，3）；△（2，﹣2）；△（3，3）；△（0，2）．（3）已知点C（4，0），在函数y＝2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k＝3，求点D的坐标．解：（1）如图2，过点B作BC△x轴于点C，作BD△y轴于点D，则矩形OCBD为△OAB的投影矩形，△点B（2，3），△OC＝2，BC＝3，△△OAB投影比k的值＝．（2）如图3，△点P的坐标为（﹣1，3）时，△MNP投影比k＝；△点P的坐标为（2，﹣2）时，△MNP投影比k＝；△点P的坐标为（3，3）时，△MNP投影比k＝；△点P的坐标为（0，2）时，△MNP投影比k＝＝2．则点P的坐标可能是△（﹣1，3）；△（2，﹣2）；（3）△点D为函数y＝2x﹣4（其中x＜2）的图象上的点，设点D坐标为（x，2x﹣4）（x＜2）．分以下两种情况：△当0≤x≤2时，如图4所示，作投影矩形OMNC．△OC≥OM，△k＝＝＝＝3，解得x＝，△D（，﹣）；△当x＜0时，如图5所示，作投影矩形MDNC．△点D坐标为（x，2x﹣4），点M点坐标为（x，0），△DM＝|2x﹣4|＝4﹣2x，MC＝4﹣x，△x＜0，△DM＞CM，△k＝＝＝3，解得x＝8．△当x＜0时，满足条件的点D不存在．综上所述，点D的坐标为D（，﹣）．故答案为：；△△．11、阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图△：在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图△，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图△，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图△，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．解：（1）理由：△△ACB＝90°，△△ACD＝△BCE＝90°，又△△ADC＝90°，△△ACD+△DAC＝90°，△△BCE＝△DAC，且△ADC＝△BEC＝90°，△△ADC△△CEB；（2）如图，过点O作ON△OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME△x轴NF△x轴，由（1）可得：△NFO△△OEM，△，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，△tanα＝＝，△，△NF＝3，OF＝，△点N（﹣，3），△设直线CD表达式：y＝kx+b，△△△直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当△CDP＝90°时，如图，过点P作PH△BC，交BC延长线于点H，△△ADC+△CDP＝180°，△点A，点D，点P三点共线，△△BAP＝△B＝△H＝90°，△四边形ABHP是矩形，△AB＝PH＝3，△将线段AE绕点E顺时针旋转90°，△AE＝EP，△AEP＝90°，△△AEB＝△PEH＝90°，且△BAE+△AEB＝90°，△△BAE＝△PEH，且△B＝△H＝90°，AE＝EP，△△ABE△△EHP（AAS），△BE＝PH＝3，当△CPD＝90°时，如图，过点P作PH△BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，△CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，△将线段AE绕点E顺时针旋转90°，△AE＝EP，△AEP＝90°，△△AEB＝△PEH＝90°，且△BAE+△AEB＝90°，△△BAE＝△PEH，且△B＝△EHP＝90°，AE＝EP，△△ABE△△EHP（AAS），△PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，△PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，△△DPC＝90°，△△DPN+△CPH＝90°，且△CPH+△PCH＝90°，△△PCH＝△DPN，且△N＝△CHP＝90°，△△CPH△△PDH，△，△△x＝△点P在矩形ABCD外部，△x＝，△BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，△DPC为直角三角形．。
一次函数之全等三角形存在性(北师版)(含答案)
一次函数之全等三角形存在性（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若x轴的负半轴、y轴的负半轴上分别存在点E，F，使得△EOF与△AOB全等，则直线EF的表达式为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性2.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若使△BCD与△AOB全等，则点C的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性3.如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P(x，y)是直线y=-2x+4上的一个动点，过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，若△EOF与△AOB全等，则点P 的坐标为( ).A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性4.如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线y=x+2上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与x轴相交于点D，若使△ACD与△AOB全等，则点C的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性5.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．若满足点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等，则满足题意的点D有( )个.A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性6.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)，P(x，y)是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．当△OPC的面积为时，点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数由图形位置不确定引起的分类讨论第11页共11页。
中考考试数学压轴题之三角形存在性问题
中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k 值乘积为1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。
的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。
交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。
与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误！未找到引用源。
与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0<t<1．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．3.（2012海南）如图，顶点为P(4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是(6，﹣3)，求△ANO的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM =∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．4.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。
全等三角形的存在性问题解题策略
全等三角形的存在性问题解题策略
等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，角度也相等。
等边三
角形的存在性问题是一个比较复杂的数学问题，它涉及到三角函数、等比数列、几何等等。
解决等边三角形存在性问题的策略有很多，其中最常用的是利用三角函数的性
质来解决。
首先，我们要知道等边三角形的三个角度都是相等的，因此可以用三角函数的性质来求出三个角度的值。
其次，我们要知道等边三角形的三条边长度也是相等的，因此可以用等比数列的性质来求出三条边的长度。
最后，我们要知道等边三角形的三个角度和三条边的长度是相互关联的，因此可以用几何的性质来求出等边三角形的存在性。
总之，解决等边三角形存在性问题的策略是利用三角函数、等比数列和几何的
性质来求出等边三角形的三个角度和三条边的长度，从而求出等边三角形的存在性。
一次函数视角下的特殊三角形存在性问题解题策略探究
LiberalArtsGuidance2024年第14期（总第518期）文理导航No.14,2024Serial No.518次函数视角下的特殊三角形存在性问题解题策略探究【摘要】一次函数视角下的特殊三角形存在问题的探究,借助几何画板画图操作活动,正确分析问题、转化化归,模型意识反思,对数形结合思想、方程思想、分类讨论思想的感悟,利用几何法和代数法求解问题。
【关键词】运算意识;几何作图;模型意识;一次函数;特殊三角形一次函数视角下的特殊三角形存在性问题是在变化的过程中,研究背景图形,根据条件探索某种状态是否存在,把函数信息坐标或表达式转化为几何信息。
分析不变特征,确定分类标准,探寻特殊状态运动的结果,画出符合题意的图形求解。
知识储备:用待定系数法求解一次函数的解析式,联立方程组求解两个一次函数图象的交点,求解三个顶点为定点的三角形的面积,用铅锤法求解有顶点是动点的三角形的面积。
解题困惑:对一次函数视角下的特殊三角形存在性问题,如直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、全等三角形等的存在性问题,学生解题过程存在一些困难,无法画图,进行正确的分类讨论,易出现漏解、错解。
策略探究:假设特殊三角形存在→推理论证→得出相应结论。
类型:两定一动及一定两动,思路:代数法→算理意识,几何法→构图识图,函数法→待定系数法。
一、直角三角形的构造→直角顶点的分类讨论方法策略:分别对三角形三个顶点为直角顶点的情况进行分类讨论,需要同时利用全等、勾股定理等相关知识计算,从而求出对应的点坐标。
【数学活动1】一次函数图象与坐标轴交于点A 、B ,在坐标轴上找一点C ,使得△ABC 为直角三角形,求符合条件的C 点坐标。
思路探析:找点→两条垂线一个圆,求点→解析式法、距离公式与勾股定理、斜率法(圆上的点),增(舍)点→斜率不存在或等于零,需结合图形检查是否遗漏。
画图探寻:满足条件的坐标轴上的C 点共有3个,如图所示:两垂线→→①若∠BAC =90°,则AB ⊥AC ,所以以A 为垂足作线段AB 的垂线,交x 轴于C 1,则△C 1AB 是以AB 为直角边的直角三角形。
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一次函数之全等三角形存在性（北师版）11.26
1.(本小题 16 分) 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，若 x 轴的负半轴、y 轴的负半轴上分别 )
存在点 E，F，使得△EOF 与△AOB 全等，则直线 EF 的表达式为(
A.
B.
C.
D.
1
2
2.(本小题 16 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是直线
上不与 A，B 重合 )
的动点．过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于点 D，若使△BCD 与△AOB 全等，则点 C 的坐标为(
A.
B.
C.
D.
3.(本小题 16 分) 如图，直线 y=-2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P(x，y)是直线 y=-2x+4 上的一个动点， 过 P 作 AB 的垂线与 x 轴、y 轴分别交于 E，F 两点，若△EOF 与△AOB 全等，则点 P 的坐标为( ).
A.
B.
C.
D.
4.(本小题 16 分) 如图，直线 y=x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是直线 y=x+2 上不与 A，B 重合的动点．过 点 C 的另一直线 CD 与 x 轴相交于点 D，若使△ACD 与△AOB 全等，则点 C 的坐标为(
)
A. C.
B. D.
4
5
5.(本小题 18 分) 如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，已知 A(2，0)，B(0，4)，线段 CD 的两端点在坐标 轴上滑动（点 C 在 y 轴上，点 D 在 x 轴上），且 CD=AB．若满足点 C 在 y 轴负半轴上，且△COD 和△AOB 全等，则满足 题意的点 D 有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.(本小题 18 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(-3，0)，
P(x，y)是直线
上的一个动点（点 P 不与点 A 重合）．当△OPC 的面积为
时，点 P 的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
一次函数之等腰三角形存在性（北师版） 11.25
1.(本小题 16 分) 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是 x 轴上的动点， )
若使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(
A.
B.
C.
D.
1
2
3
2.(本小题 16 分) 如图，直线 y=x+3 与 y 轴交于点 A，与直线 x=1 交于点 B，点 P 是直线 x=1 上的动点， 若使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(
) B.
A.
C.
D.
3.(本小题 16 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上的动点， )
若使△OAP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(
A.
B.
C.
D.
4.(本小题 16 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，点 P 是线 )
段 OA 上的动点，若使△PAC 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(
A.
B.
C.
D.
4
5
5.(本小题 18 分) 如图，直线 y=-x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是直线 AB 上的动点，若使△BOP 为等腰 三角形，则点 P 的坐标是(
) B. D. 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是坐标轴上一动点，若使△ABP )
A. C. 6.(本小题 18 分) 如图，直线 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有(
A. 2 个
B. 4 个
C. 6 个
D. 8 个
。