命题与证明的知识点总结

命题与证明的知识点总结

二、知识点归类 知识点一定义的帳念

对于一个槪念待征性质的描述叫做这个概念的定义。如：“两点Z 间线段的长度,

叫做这两点之间的距离”足“两点之间的距离”的宦义.

注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如"一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中 出现. 知识点二命题的概念

叙述一件事情的句子（陈述句），要么足贞的，要么圧假的，那么称这个陈述句足一个命 如“你是一个学生”、“我们所使用足教科书址湘教版的”等. 注意：（1）命题必须是一个完整的句子.

（2〉这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可.

知识点三命题的结构

毎个命题都冇条件和结论两部分组成.条件尼已知的爭项，结论圧山已知审项推断出的％项.一般地，命 题都可以写出“如果 那么——"的形式.有的命題表面上看不具有“如果 那么——”的形式, 但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角足对顶角，那么这两个角相等”。

傍把下列命懸改写成“如果--------- 那么——”的形式，并指出条件与结论。

1、同角的余角相等

2、两点确定一条ft 线

知识点四真命题与假命题

如果一个命题叙述的事情足直的，那么称它足真命题：如果一个命题叙述的爭情址假的，那么称它圧假命题 注童：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点. 知识点五证明及互逆命题的定义

1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。

注童：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论， 从而判斷这个命題是假命题.

2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，英中的一个命题 叫作另一个命题

的逆命題。

注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，希要具体问题具体分析. 例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。

<1）H 角二角形的两锐角互余；

（2）全等三角形的对应角相等.

T0

逆 SflrS

若计山

若狈J p

若曲q

语q 则p

一、知识结构械理

图

类型一，

例、判断下列语句在表述形式上，哪些对韦情作了判断？哪些没有对韦情作出判断？

（1）对顶角相等：（2）画一个角等于已知角：（3）两直线平行，同位角相等：

（4）a,心两条直线平行吗？（5）鸟是动物：（6）若=4 ,求a的值：（7）若卅=庄,则0=“.

思路点拨:通过本电熟悉命也的定义

解析：句子（1X3X5X7）对事惜作了判断,句子（2X4X6）没有对事情作出判断.其中⑴⑶⑸判断是正确的, （7）判断址借误的.

【变式1】下列语句中，哪些於命题.哪些不於命題。

⑴若3AC・则ZOZB吗？

（4）两点之间线段最短：（5）解方程X2 -2x-3=0 .（6）1+2弼.

【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题.

类型二：

例、指出下列命麗的条件和结论，并改写成••如果……那么……“的形式：

（1）三条边对应相等的两个三角形全等：（2）在同一个二角形中，等角对等边：

（3）对顶角相等：（4）同角的余角相等：

（5）三角形的内角和等于180°：（6）角平分线上的点到角的两边距离相等.

思路点拨：找出命题的条件和结论足木题的难点，因为命懸在叙述时要求通顺和简练，把命题中的冇些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去.

解析：（1）“三条边对应*11等“是对两个三角形来说的，因此写条件时馆好把“两个三角形“这句话添加卜.去，HU 命题的条件丿6“两个三角形的三条边对应和等“，结论址“这两个三角形全等“.町以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等“.

（2）••等角对等边介义“是指有两个角柑等所对的两条边相等.可以改写成“如果在同一个二角形中冇两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。“值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：••在一个三角形中“，在改写时不能遗漏.

（3）这个命题的条件圧“两个和足对顶ff广，结论於“两个角相等这个命题可以改写成••如果两个角肚对顶角，那么这两个角相等

（4）条件是••两个角是同一个角的余角“，结论是••这两个角相等这个命题可以改写成“如果两个角足同一个角的余角，那么这两个角相等”.

（5）条件是•'三个角於-个三角形的三个内角“，结论圧••这三个角的和等于180。“.这个命题可以改写如果“三个角足一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180。“：

（6）••如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。“

总结升华：注意原命题中省略的重更内内容一定要补充完整。

【变式1】试将下列各个命題的題设和结论相互颠倒或变为否定式.得到新的命题•并判断这些命题的貞•假.

（1）对顶用相等：（2）两n线半行•，同位角相等：

⑶若a-0,则ab-0：（4）两条直线不平行，则一定相交：

【答案】⑴对顶角相等（帥：相筹的角足对顶角（假）：不足对顶如不相等（假）：不相等的角不足对顶角（真）. （2）两£1线平行.同位角相等（真）：同位角相等，两直线平行（直）：

两r（线不平行，同位角不相等（貞）；同位角不相等，两ri线不平行（貞•）.

⑶若a-O,则ab-O（真）：若ab-O.则a-C（假）：若那O 则abK）（假）：若al#O,则君0（真）.

（4）两条直线不平行，则一定相交（假）：两条直线相交，则一定不平行（贞）；

两条直线平行，则一定不相交（貞）：两条11线不相交.则一定平行（假）.

【变式2】判断正误：

（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角郴等。

（）

（2）如果两个角相等，那么这两个角足对顶角。

（）

（3）如果两个角有公共顶点，那么这两个角圧对顶角. （）

（4）如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角. （）

（5）如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。（）

（6）如果两个角的和出180。，那么这两个角丛邻补角。（）

（7）对顶角的角平分线在同一条直线上. （）（8）如果两个角有公共顶点.R角平分线吃为反向延长线，那么这两个角是对顶角。

【答案】：（1）7：（2）x：（3）x；（4）x；（5）7：（6尸：（7）P；（8）x.

注：判断题如果於正确的命趣需要加以说明或论证，找出依据，如果足错谋的命懸，只婆举出-•个反例即可。知识点六公理与定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命題貞假的原始依据，这样的氏命题叫做公理。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命題的贞假，已经判断为翼的命懸称为定理。

注意：（1）公理是不裕要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明：

（2 ）定理都是真命題，但真命題不一定都是定理.

例填空：（1）同位角相等，则两11线_______________________ :（2）平而内两条不重合的H线的位巻关系

世_____________ :（3）_________________ 四边形绘平行四边形。

知识点七互逆定理

如果一个定理的逆命题也於定理，那么称它於原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.

注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理.如：“对顶角相等”就没逆定理.

知识点八证明的含义

从-•个命融的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立.从而判定该命题为贞，这个过程叫做证明. 推理汪明的必要性：判断瘠想的数学结论是否正确，仅仅依菲经验圧不够的，必须一步一步，有理冇据地进行推理。

证明命题的步9：1（1题设出发，经过一步步的推理故后推出纟当论（〃证）正确的过程叫做证明。证明中的毎一步推理都要冇根据.不能••想当然“，这些根据，可以兄己知条件，也可以圧定义、公理，在此以前7过的定理.（证明命題的格式一般为：1）按題意画出图形：2）分消命题的条件和结论，结合图形在“己知”中写出条件，在“求证“中写出结论：3）在“证明”中写出推理过程）

证明的四个注意

（1）注总：①公理足通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的貞命题：

②公理可以作为判定梵他命题貞假的根据•

（刁注盘，定理都是真命题，但真命题不一定都出定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题一这些被选作定理的翼命题，在教科M中足用黑体字排印的一

（3）注总：在几何问题的研丸上•必须经过证明，才能作出貞实可靠的判断.如••两II线平行，同位角相等“ 这个命题，如果只采用测吊:的方法.只能测戢有限个两平行rr•线的同位角是相等的.但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.

（4）注意：证明中的毎-步推理都耍有根据，不能••想当然①论据必须足貞命懸，如：定义、公理、已经学过的