命题与证明的知识点总结
2.2 命题与证明
第2章
三角形
【预习诊断】 (对的打“√”,错的打“×”) 1.原命题是真命题,那么它的逆命题也是真命题.( × ) 2.如果两个命题是互逆定理,那么这两个命题都是真命题.( √ )
第2章
三角形
探究点断命题的真假.
(1)负数都小于零;
(2)过直线l外一点作l的平行线; (3)如果a>b,a>c,那么b=c. 【导学探究】 判断命题的关键是看它是否做出了 判断 . 解:(1)是命题,是真命题. (2)不是命题,没有对一件事情做出判断.
证明:如图, ∵∠BAF=∠2+∠3, ∠CBD= ∠1+∠3 ∠ACE=∠1+∠2, ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的 性质). ∵∠1+∠2+∠3=180°(
三角形内角和定理
,
),
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
第2章
三角形
【测控导航表】 知识点 命题 互逆命题 几何命题的证明 题号 1 、2 、6 、8 3 、7 、9 4、5、10
(C)无理数包括正无理数、0、负无理数
(D)两点之间,线段最短 解析:A、B、D都是真命题,都正确,C.0不是无理数,所以该命题错误,故 选C.
第2章
三角形
变式训练1-2:已知下列命题: ①若a>0,b>0,则a·b>0; ②若x≥1,则|x-1|=x-1;
③内错角相等;
④直角都相等. 其中原命题是真命题并且逆命题是假命题的是( A )
【导学探究】 1.要证明BD∥CE,需先证得∠3= 2.由∠1=∠2,可证得AD∥ BE 证明:∵∠1=∠2(已知), ∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行), ∴∠D=∠DBE(两直线平行,内错角相等). ∠DBE . ,进一步证明∠D= ∠DBE .
三角形中的边角关系、命题与证明(知识点汇总 沪科8上)
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明一、三角形（一）、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。
（二）、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a -b<c,a -c<b,b -c<a 。
2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a 同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.4、作用：∠判断三条已知线段能否组成三角形；∠当已知两边时，可确定第三边的范围；∠证明线段不等关系。
（三）、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
沪科8年级数学上册第13章2 命题与证明
作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实
(公理) 是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不
能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
例 4 填写下列证明过程中推理的依据.
知4－练
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
知识点 5 三角形内角和定理及推论1, 2
知5－讲
1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
2. 三角形内角和定理的证明
知5－讲
证明方法 方法一
图示
证明过程
如图，过点A作l∥BC，则 ∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠1＋∠B＋∠C＝180°.
知1－练
解：(1)(2)(3)(4)(5)(7)是命题，其中(2)(3)是真命题， (1)(4)(5)(7)是假命题.(6)不是命题.
知1－练
1-1. [期末·宿州桥区]下列命题是真命题的是( C ) A． 如果AB＝BC，那么点C是AB的中点 B． 三条线段的长分别为a，b，c，如果a＋b > c，那 么这三条线段一定能组成三角形 C． 三角形的内角和等于180° D． 如果| a |＝| b |，那么a＝b
续表： 证明方法
方法二
图示
知5－讲
证明过程 如图， 过点C作CD∥AB， 则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因 为∠1＋∠2＋∠ACB＝ 180°，所以∠A＋∠B＋ ∠ACB＝180°.
续表： 证明方法
方法三
图示
知5－讲
证明过程 如图，过点D作DE∥AB， DF∥AC，则∠1＝∠C， ∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A ＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
命题与证明--知识讲解
【要点梳理】 要点一、命题、公理、定理、推论 1.命题
判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫 做假命题．
命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式. 要点诠释：
命题与证明--知识讲解
撰稿：张晓新 审稿：孙景艳 【学习目标】 1.了解命题、定义、公理、定理、证明及推论的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，
会在简单情况下判断一个命题的真假，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据； 2.理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题
【总结升华】判断逆命题是否正确，能举出反例即可.
举一反三：
【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真 假． (1)对顶角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)若 a=0，则 ab=0； (4)两条直线不平行，则一定相交； 【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；
(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)； (3)若 a=0，则 ab=0(真)；若 ab=0，则 a=0(假)； (4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)； 类型二、证明举例 （1）平行线的性质与判定进行几何证明：
5.已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB 于 H．问 CD 与 AB 有什么关系？
DG DF
∴△EDG≌△EDF（S.A.S） ∴EG＝EF
在△FDC 与△GDB 中
CD BD 1 2 DF DG
∴△FDC≌△GDB(S.A.S) ∴CF＝BG ∵BG＋BE＞EG ∴BE＋CF＞EF 【总结升华】因为 D 是 BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段 DF，使 DG＝DF,证明
命题与证明的知识点总复习附答案解析
命题与证明的知识点总复习附答案解析一、选择题1．下列命题属于真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等【答案】C【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【详解】A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；D、两直线平行，同位角相等，是假命题；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．2．下列命题的逆命题不成立的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等C．平行四边形的对角线互相平分D．全等三角形的对应边相等【答案】B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】选项A，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，成立；选项B，如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等，错误，不成立，如（﹣3）2＝32，但﹣3≠3；选项C，平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，成立；选项D，全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立；故选B．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．3．下列说法中，正确．．的是( )A．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.B．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.C．“相等的角是对顶角”是一个真命题D．“直角都相等”是一个假命题【答案】B【解析】图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B4．下列命题正确的是( )A．在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的. B．两个全等的图形之间必有平移关系.C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.D．将一个封闭图形旋转，旋转中心只能在图形内部.【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质：平移后图形的大小、方向、形状均不发生改变结合选项即可得出答案．【详解】解：A、经过旋转后的图形两个图形的大小和形状也不变，半径相等的两个圆是等圆，圆还具有旋转不变性，故本选项正确；B、两个全等的图形位置关系不明确，不能准确判定是否具有平移关系，错误；C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，所以本选项错误；D、旋转中心可能在图形内部，也可能在图形边上或者图形外面，所以本选项错误.故选：A.【点睛】本题考查平移、旋转的基本性质，注意掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．5．下列命题的逆命题成立的是（）A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等D ．两直线平行，同位角相等【答案】D【解析】【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．【详解】解：A 、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；B 、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；C 、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；D 、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．6．下列命题是真命题的是（ ）A ．方程23240x x --=的二次项系数为3，一次项系数为-2B ．四个角都是直角的两个四边形一定相似C ．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖D ．对角线相等的四边形是矩形【答案】A【解析】【分析】根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．【详解】A 、正确．B 、错误，对应边不一定成比例．C 、错误，不一定中奖．D 、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.故选：A ．【点睛】此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．7．下列命题中是真命题的是（ ）A ．两个锐角的和是锐角B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．点(3,2)-到x 轴的距离是2D ．若a b >，则a b ->-【答案】C【解析】根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断，即可得解．【详解】A. 两个锐角的和是锐角是假命题，例如80°+80°=160°，是钝角，不是锐角，故本选项错误；B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项错误；C. 点(3,2)-到x 轴的距离是2是真命题，故本选项正确；D. 若a b >，则a b ->-是假命题，正确结果应为a b -<-，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查真假命题的判断，解题关键是认真判断由条件是否能推出结论，如果能举出一个反例，或由条件推出的结论与题干结论不一致，则为假命题．8．下列命题的逆命题正确的是（ ）A ．如果两个角是直角，那么它们相等B ．全等三角形的面积相等C ．同位角相等，两直线平行D ．若a b =，则22a b =【答案】C【解析】【分析】交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据直角的定义、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义判定四个逆命题的真假．【详解】解：A 、逆命题为：如果两个角相等，那么它们都是直角，此逆命题为假命题； B 、逆命题为：面积相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；C 、逆命题为：两直线平行，同位角相等，此逆命题为真命题；D 、逆命题为，若a 2＝b 2，则a ＝b ，此逆命题为假命题．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．9．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ）A ．两条直线B ．相交C ．只有一个交点D ．两条直线相交【答案】D【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D．【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.10．下列命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直x=B．方程214x x=的解为14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【详解】A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D.【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．11．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等; B．相等的角是对顶角;C．所有的直角都是相等的；D．若a=b,则a－1=b－1.【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．详解：交换命题A 的题设和结论，得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题； 交换命题B 的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等，是真命题；交换命题C 的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角，是假命题； 交换命题D 的题设和结论，得到的新命题是若a ﹣1=b ﹣1，则a =b ，是真命题． 故选C ．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．同位角相等B ．若两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C ．同旁内角相等，两直线平行D ．平行于同一直线的两直线互相平行 【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定、平行线的性质判断即可．【详解】A 、两直线平行，同位角相等，是假命题；B 、若两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；C 、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；D 、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；故选：D ．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．13．下列命题中，假命题是( )A ．同旁内角互补，两直线平行B ．如果a b =，则22a b =C ．对应角相等的两个三角形全等D ．两边及夹角对应相等的两个三角形全等【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定、等式的性质、三角形的全等的判定判断即可．【详解】A 、同旁内角互补，两直线平行，是真命题；B 、如果a b =，则22a b =，是真命题；C 、对应角相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；D、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，是真命题；故选：C．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果⋯那么⋯”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．14．下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的对角线互相垂直平分B．矩形的对角线相等C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半D．对角线相等的菱形是正方形【答案】A【解析】【分析】不正确的命题是假命题，根据定义依次判断即可.【详解】A. 平行四边形的对角线互相平分，故是假命题；B. 矩形的对角线相等，故是真命题；C. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，故是真命题；D. 对角线相等的菱形是正方形，故是真命题，故选：A.【点睛】此题考查假命题的定义，正确理解平行四边形的性质是解题的关键.15．下列命题是假命题的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；B．正确．等边三角形有3条对称轴；C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．16．下列命题的逆命题不正确．．．的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角互补C．矩形的对角线相等D．平行四边形的对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A、逆命题是：对顶角相等．正确；B、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确；C、逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误；D、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．17．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B ．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．18．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．19．下列命题是假命题的是（ ）A ．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B ．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16C ．将一次函数y ＝3x -1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D ．若关于x 的一元一次不等式组0213x m x -≤⎧⎨+>⎩无解，则m 的取值范围是1m £ 【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；D. 若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．20．用三个不等式a＞b，ab＞0，1a＞1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：①若a＞b，ab＞0，则1a＞1b；假命题：理由：∵a＞b，ab＞0，∴a＞b＞0，∴1a＜1b；②若ab＞0，1a＞1b，则a＞b，假命题；理由：∵ab＞0，∴a、b同号，∵1a＞1b，∴a＜b；③若a＞b，1a＞1b，则ab＞0，假命题；理由：∵a＞b，1a＞1b，∴a、b异号，∴ab＜0．∴组成真命题的个数为0个；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．。
《命题与证明》知识讲解
命题与证明知识讲解宋老师学习目标1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的题设条件和结论,会判断一个命题的真假；2．了解综合法的证明步骤和书写格式.3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题,用几何语言进行简单的推理论证.4.了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立,逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.要点梳理要点一、定义、命题、真命题、假命题定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定,就是给它们的定义.命题：判断一件事情的句子叫命题．真命题：如果条件成立,那么结论成立,这样的命题叫做真命题.假命题：如果条件成立时,不能保证结论总是正确的,也就是说结论不成立,这样的命题叫做假命题.要点诠释：命题属于判断句或陈述句,是对一件事情作出判断,与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以,即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题,则要从命题的条件出发,根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,证明它的正确性.要点二、证明根据已知真命题,确定某个命题的真实性的过程,叫做证明．经过证明的真命题称为定理.证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理,每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中,“因”是已知事项,“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.证明的步骤：1.根据题意,画出图形；2.根据命题的条件、结论,结合图形,写出已知、求证；3.写出证明过程.要点诠释：推理和证明是有区别的,推理是证明的组成部分,一个证明过程往往包含多个推理.要点三、三角形的内角和定理及其推论三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.要点诠释：1三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°．2三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角；③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．3三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角．三角形共有六个外角,其中有公共顶点的两个相等,因此共有三对．4三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．5若研究的角比较多,要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．要点四、互逆命题在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.把一个命题的条件与结论互换,就得到它的逆命题,我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题,只需举出一个反例就可以了.要点诠释：每一个命题都有对应的逆命题,一个真命题的逆命题不一定是真命题,同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.反例就是复合命题的条件,但不符合命题的结论的例子,它可以是数值、图形,也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个,解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.典型例题类型一、逆命题与逆定理1. 下列命题是真命题的是A．如果|a|=1,那么a=1B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．如果a为实数,那么a是有理数D．相等的角是对顶角.；答案B.解析如果|a|=1,那么a=±1,故A错误；如果a为有理数,那么a是实数,故C错误；两个直角三角形中的两个直角相等,但不是对顶角,故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确；总结升华主要考查命题的真假,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.举一反三：变式2016春•东平县期中下列句子中,不是命题的是A．三角形的内角和等于180°B．对顶角相等C．过一点作已知直线的平行线 D．两点确定一条直线答案C．C不是可以判断真假的陈述句,不是命题；A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句,都是命题．故选C．2.下列命题中,逆命题正确的是A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余C.全等三角形面积相等D.全等三角形对应角相等答案B.解析A选项逆命题是相等的角是对顶角,不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形,对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形,不一定,也可能是相似三角形.总结升华判断逆命题是否正确,能举出反例即可.举一反三：变式试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒,得到新的命题,并判断这些命题的真假．1对顶角相等；2两直线平行,同位角相等；3若a=0,则ab=0；4两条直线不平行,则一定相交；答案1对顶角相等真；相等的角是对顶角假；2两直线平行,同位角相等真；同位角相等,两直线平行真；3若a=0,则ab=0真；若ab=0,则a=0假；4两条直线不平行,则一定相交假；两条直线相交,则一定不平行真；3. 对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c,请你以其中两个作为题设,另一个作为结论,用“如果…,那么…”的形式,写出两个正确的命题．思路点拨同一平面内,根据垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行,则可由③⑤得到②；由①②得到④．答案与解析解：如果③a⊥b,⑤a⊥c,那么②b∥c；如果①a∥b,②b∥c,那么④a∥c．总结升华本题考查了命题：判断事物的语句叫命题,正确的命题叫真命题,错误的命题为假命题；命题分为题设与结论两部分．也考查了平行线的性质．类型二、证明举例1平行线的性质与判定进行几何证明：4. 2015春•姜堰市期末如图,直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．已知AB⊥ BC、CD⊥ BC,BE∥ CF,,求证：∠ 1=∠ 2．思路点拨由于AB⊥ BC、CD⊥ BC得到AB∥ CD,利用平行线的性质得到∠ ABC=∠ DCB,又BE∥CF,则∠ EBC=∠ FCB,可得到∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB,即有∠ 1=∠ 2．答案与解析证明：∵ AB⊥ BC、CD⊥ BC,∴AB∥ CD,∴∠ ABC=∠ CB,又∵ BE∥ CF,∴∠ EBC=∠ FCB,∴∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB,∴∠ 1=∠ 2．总结升华本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用.举一反三：变式如图所示,E在直线DF上,B在直线AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,试判断∠A与∠F的关系,并说明理由．答案∠A=∠F．证明：∵∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF,∴∠DGF=∠EHF,∴BD∥CE；∴∠C=∠ABD,又∵∠C=∠D,∴∠D=∠ABD,∴DF∥AC；∴∠A=∠F．2与三角形有关的几何证明：5.如图,已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I,IH⊥BC于H,试比较∠CIH和∠BID 的大小．思路点拨根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID,90°-∠HCI=∠CIH,所以∠BID=∠CIH．答案与解析证明：∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线,∴∠BAD=12∠BAC,∠ABI=12∠ABC,∠HCI=12∠ACB．∴∠BAD+∠ABI+∠HCI=12∠BAC+12∠ABC+12∠ACB=12∠BAC+∠ABC+∠ACB=12×180°=90°．∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．∵IH⊥BC,∴∠IHC=90°∴90°-∠HCI=∠CIH,∴∠CIH=∠BAD+∠ABI∵∠BID=∠BAD+∠ABI三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和∴∠BID=∠CIH．总结升华考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°,在推导角的关系时,一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.3文字命题的证明：6、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值.思路点拨先画图,设等边三角形的边长为a,高为h,再利用三角形的面积公式来求,原三角形分成三个大小不等的三个三角形,三个三角形的面积和与原三角形的面积相等,即S△A B C=S△P A B+S△P B C+S△P A C；可得h=PE+PF+PD.答案与解析已知：如图,△ABC是等边三角形,P是三角形内任一点,PE⊥AB,PG⊥AC,PF⊥BC．垂足分别为E、G、F,求证：PE+PG+PF为定值.证明：设等边三角形△ABC的边长为a,面积为S．连结PA、PB、PC,则S△APB=12a•PE,S△CPB=12a•PF,S△APC=12a•PG,于是S△APB+S△CPB+S△APC=12a•PE+12a•PF+12a•PG,即12a•PE+12a•PF+12a•PG=S,PE+PF+PG=2Sa,为定值．总结升华对于文字命题的证明,要根据文字所描述的内容写出已知和求证,然后证明.。
命题与证明)
命题与证明㈠、定义；1、一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2、定义必须是严密的，避免使用含糊不清的术语，正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区分开来。
㈡、命题；1、一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．2、命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．一般可以用“如果……，那么……”表示3、注意事项：（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命题；（2）必须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一㈢、真命题和假命题：1. 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
2. 要判断一个命题是真命题，可以通过实践是方式，也可以通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后公认的真命题，如“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”等，判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。
（四）、公理，定理：1. 经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。
这样公认为正确的命题叫做公理。
例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”。
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
2. 公理是不需要堆理论证的真命题，它可以作为判断其余命题真假的原始依据。
3. 定理都是真命题，但并不是所有的真命题都能作为定理，定理可以作为判断其他命题真假是依据。
4、本章中公理定理总结1) 平行线的判定性质定理平行线的判定公理● 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． ● 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.平行线的性质．● 公理：两直线平行，同位角相等.● 定理：两直线平行，内错角相等.● 定理：两直线平行，同旁内角互补.2）三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
第13章,三角形的边角关系,命题与证明基础知识总结
第13章,三角形的边角关系,命题与证明基础知识总结三角形的边角关系，命题与证明基础知识总结三角形作为几何学中的重要概念，其边角关系及命题与证明是我们学习几何的基础知识之一。
在这一章节中，我们将总结三角形的边角关系以及相关的命题和证明方法。
1. 三角形的基本概念在开始讨论三角形的边角关系之前，我们先来回顾一下三角形的基本概念。
三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中三条线段被称为三角形的边，而通过边连接的角则是三角形的内角。
三角形的内角和为180度。
2. 三角形的边角关系在三角形中，有一些重要的边角关系需要我们掌握。
首先是三角形的内角和定理，即三角形的三个内角之和为180度。
这个定理应用广泛，可以帮助我们推导出其他三角形的性质。
另外一个重要的边角关系是三角形的对角线和比例定理。
根据该定理，如果在两个三角形中，三个角分别相等，那么三个边的比例也应该相等。
这个定理可以用来解决一些三角形的相似性问题。
3. 三角形的命题与证明在几何学中，命题与证明是必不可少的。
在三角形中，我们可以通过命题来表达一些三角形的性质，然后通过证明来证明这些性质的真实性。
举个例子，假设我们有一个三角形ABC，命题可以是“三角形ABC 的两边之和大于第三边”。
然后我们可以通过构造具体的图形以及运用基础几何性质来进行证明。
具体的证明过程可以通过构造辅助线、利用三角形的内角和等性质等方法来进行。
此外，还有一些常见的三角形命题，比如角平分线定理、垂直平分线定理等。
通过学习这些命题并能够熟练地进行证明，有助于我们进一步掌握三角形的性质和理解几何推理的过程。
总结：三角形的边角关系、命题与证明是几何学中的基础知识。
我们需要掌握三角形的内角和定理、对角线和比例定理等重要的边角关系，并且能够应用这些关系解决三角形的相似性问题。
同时，我们还需要学会通过命题来表达三角形的性质，并能够通过证明来验证这些性质的真实性。
通过不断的练习和应用，我们可以更好地掌握三角形的边角关系以及命题与证明的基础知识，为学习更高级的几何学知识奠定坚实的基础。
13-1 命题、定理与证明 知识讲解
命题、定理与证明知识讲解【要点梳理】要点一、命题、基本事实与定理1. 命题一般地，判断某一件事情的语句叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“开始的部分是结论.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．2.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.如：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短等.3.定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.要点诠释：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点二、证明1.证明根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点诠释：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.【典型例题】类型一、命题1.判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)a，b两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若24a =，求a 的值；(7)若22a b =，则a =b ．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a b ＜，则＜-b a -；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程2230x x --=；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．2. 下列命题是真命题的是（ ）A ．如果|a|=1，那么a=1B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．如果a 为实数，那么a 是有理数D ．有两边和一角相等的两个三角形全等；【答案】C举一反三：【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．3个B ．1个C ．4个D ．2个【答案】Ｂ３.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。
命题、证明及平行线的判定定理(基础)知识讲
命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解责编：赵炜【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠3＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠1＝∠2∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠4＋∠2＝180°∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1．请说出下列名词的定义：（1）无理数 （2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（！）如果，那么；,>>a b b c >a c （2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：；结论：.它是真命题.,>>a b b c >a c（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）.A ，则B ．若a ＞b ，则am ＞bm m =a m =C ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D类型二、公理、定理及证明3．证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（ ）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD ＝∠DCB ，可以判定哪两条直线平行．【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．【答案与解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；(2)由∠BAD ＝∠DCB ，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD －∠1＝∠DCB －∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．综上，由（1）（2）可判定：AD ∥BC ，AB ∥CD .【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．举一反三：【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线∥的是（ ）.1l 2l A ．∠1＝∠3 B ．∠2＝∠3 C ．∠4＝∠5 D ．∠2+∠4＝1800【答案】B【高清课堂：平行线及判定 例1】【变式2】已知，如图，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1=∠2，求证：AB//CD ．【答案】∵ ∠1=∠2∴ 2∠1=2∠2 ，即∠ABC＝∠BCD∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）5.（2015•日照期末）如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于F ，∠CFE=∠E ．求证：AD ∥BC ．【答案与解析】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．【高清课堂：平行线及判定例5】举一反三：【变式1】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ-∠1＝∠MGE-∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．【变式2】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1B．2C．3D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；故选：C．。
人教版初中数学命题与证明的知识点总复习附解析
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关的知识点逐个分析．
【详解】
解：A.任意多边形的外角和为 ,是真命题；
B.在 和 中，若 ， ， ，则 ≌ ，根据HL，是真命题；
C.在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；
D.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.
命题②两点之间，线段最短，正确，为真命题；
命题③相等的角是对顶角，错误，为假命题；
命题④直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；
命题⑤同角或等角的补角相等，正确，为真命题，
故答案选B．
考点：命题与定理．
3．下列语句中真命题有( )①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．
12．下列命题的逆命题是真命题的是（）
A．若 ，则
B． 中，若 ，则 是
C．若 ，则
D．四边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断．
【详解】
解：A、该命题的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，此命题为假命题；
【详解】
A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，
B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，
C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，
D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，
故选：C．
【点睛】
命题与证明知识点总结
命题与证明知识点总结命题与证明是数学中基础且重要的一部分，它涉及到逻辑推理、推断和论证等一系列思维活动。
在整个数学学科中，命题与证明贯穿始终，无处不在。
本文将系统总结命题与证明的相关知识点，包括命题逻辑、证明方法、常见证明技巧等内容。
一、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的一门学科，其中命题是陈述句，它要么为真，要么为假。
在命题逻辑中，我们通常使用符号来表示命题，并通过符号之间的逻辑连接来表达命题之间的关系。
常见的逻辑连接包括合取(∧)、析取(∨)、蕴含(→)、双条件(↔)等。
1.合取合取是指命题p和q同时为真时，合取命题p∧q为真，否则为假。
合取命题p∧q的真值表如下：p q p∧qT T TT F FF T FF F F2.析取析取是指命题p和q中至少有一个为真时，析取命题p∨q为真，否则为假。
析取命题p∨q的真值表如下：p q p∨qT T TT F TF T TF F F3.蕴含蕴含是指当p为真而q为假时，蕴含命题p→q为假，否则为真。
蕴含命题p→q的真值表如下：p q p→qT T TT F FF T TF F T4.双条件双条件是指命题p和q同时为真或同时为假时，双条件命题p↔q为真，否则为假。
双条件命题p↔q的真值表如下：p q p↔qT T TT F FF T FF F T二、证明方法在数学中，我们常常需要证明一个命题的真假，为此我们需要采用合适的证明方法来论证。
常见的证明方法包括直接证明法、间接证明法、数学归纳法等。
1.直接证明法直接证明法是指通过一系列逻辑推理来证明一个命题的方法。
通常情况下，我们能够找到一条直接的逻辑推理路径，从已知的事实得出结论。
举例：证明“所有的偶数都是2的倍数”。
我们可以直接证明该命题，因为偶数的定义就是2的倍数。
2.间接证明法间接证明法是指通过反证法来证明一个命题的方法。
我们假设该命题的反命题为真，然后通过一系列逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
命题与证明
命题与证明考点：命题与证明►知识点拨：1.命题及其分类（1）命题定义：对某一事件作出正确或不正确判断的语句（或式子）叫做命题.举例：一年有365天；对顶角相等；欢迎光临，其中前两个是命题.识别：没有对一件事的正确与否作出任何判断的语句，不是命题.（2）分类：①真命题：正确的命题；②假命题：错误的命题；③识别：一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.注意：①命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断；②命题一般为陈述句.2.命题的结构①题设（或条件），是已知事项；②一般形式：如果p，那么q（其中p是题设，q是结论）；③结论（或题断），由已知事项推出的事项.3.互逆命题原命题与逆命题：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题.4.反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例.注意：对于一个命题，只要能举出反例，就说明它是假命题.5.定理、证明①定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.②证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推倒出结论，这一方法称为演绎推理.演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.6.三角形的外角及三角形内角和定理的推论①三角形外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角.②三角形内角和定理的推论：例1：下列语句不是命题的是 （ ） A.直角都等于90 B.对顶角相等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB例2：把下例命题改写成“如果......那么.....”的形式，并分别指出它们的题设和结论.(1)整数一定是有理数； (2)同角的补角相等；(3)两个锐角互余.例3：写出下列命题的逆命题，并判断真假（1）两直线平行，同位角相等；（2）若a =0，则a b=0；（3）对顶角相等.例4：请举反例说明命题“对于任意实数x ，552++x x 的值总是正数”是假命题，你举的反例是_____（写出一个的值即可）.例5：在下列证明中，填上推理依据：如图，CD ∥EF ，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB.例6：如图，在△ABC中，∠ABC=66 ，∠ACB=54 ，BE、CF是两边AC、AB上的高，它们交于点H.求∠ABE和∠BHC的度数.基础训练1、下列语句中，不是命题的是（）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.不是对顶角的两个角不相等D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线2、下列命题中，是真命题的是（）A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的一个外角等于两个内角之和C.三角形的两边之和一定不小于第三边D.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心3、“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A.两条直线B.相交C.只有一个交点D.两条直线相交4、已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A.2kB.15C.24D.425、如图，下列说法中错误的是（）A.∠1不是△ABC的外角B.∠B＜∠1+∠2C.∠ACD是△ABC的外角D.∠ACD＞∠A+∠B第5题图第6题图第7题图6、一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A.165B.120C.150D.1357、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°8、命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的题设是，结论是，它的逆命题是.9、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所示∠1=∠2，∠A=∠3.求证：AC∥DE.证明：因为∠1=∠2，所以AB∥．（）所以∠A=∠4．（）又因为∠A=∠3，所以∠3=.（）所以AC∥DE. （）10、将下列命题改写成“如果......那么......”的形式，并分别指出命题的题设与结论：（1）直角都相等；（2）末位数字是5的整数能被5整除；（3）同角的余角相等.11、分析下列所举反例的正确性，若不正确，请写出正确的反例.（1）若|x|=|y|，则x=y；反例：取x=3，y=-3，则|x|=|y|，所以此命题是假命题；（2）两个锐角的和一定是钝角；反例：取∠1=30°，∠2=100°，则∠1+∠2=130°，不符合命题的结论，所以此命题是假命题；（3）若|a|=a，则a>0.12、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2.求证：AB∥CD.13、如图，在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=∠DCE=36°，求∠BEC的度数.14、如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，，则△ABC 是直角三角形吗？为什么？强化训练1.如图，在锐角三角形ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于点P.若∠A ＝50°，则∠BPC 的度数是 （ ）A.150B.130C.120D.1002.如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D ；③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.3第2题图 第6题图3.一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则这个三角形三个内角之比是 （ ）A.5:4:3B.4:3:2C.3:2:1D.5:3:14.能说明命题“对于任何实数a ，a a ->”是假命题的一个反例可以是 （ ）A.a =-2B.31=a C. a =1 D.2=a 5.下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若b a =，则b a =；④若0=x ，则022=-x x .它们的逆命题一定成立的有 （ ）A.①②③④B.①④C.②④D.②6.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35 ，∠ACE=60 ，则∠A= （ ）A.35B.95C.85D.757.如图，在△ABC 中，∠B=40 ，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=.8.直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的锐角的度数是.9.写出命题“如果b a =，那么b a 33=”的逆命题：.10.如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交AD 于E.若∠C ＝60°，∠BED ＝54°，求∠BAC 的度数.11.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，交BC 的延长线于D 点，若∠B=30°，∠ACD=100°， 求∠DAE 的度数．12.如图，D是△ABC内的任意一点.求证：∠BDC=∠1+∠A+∠2.13.用两种方法证明“三角形的外角和等于360 ”.如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 .证法1： ，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180⨯ 3=540 .∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -（∠1+∠2+∠3）.，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -180 =360 .请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.能力提升1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D=.2.观察下列各式：想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设n 表示正整数，用关于n 的代数式表示这个规律：_______×_______=_______+________.3.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD=12BC ． （1）求证：∠BAC=90°；（2）直接运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为4.如图在△ABC 中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点,两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于E 、F.2224,24;1139393,3;22224164164,4;33335255255,5.4444⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=（1）求证：AE=CF（2）是否还有其他结论，不要求证明（至少2个）。
八年级命题与证明知识点
八年级命题与证明知识点
为了更好地帮助八年级的学生复习和掌握数学知识，本文将总结八年级命题与证明的重要知识点。
这些知识点是建立在初中数学基础上的，包括代数公式、等式的性质、角的定义、垂直角、平行线与夹角、三角形与四边形的基本概念和性质、勾股定理、相似三角形等内容。
以下是详细介绍：
一、代数公式
1.展开式和因式分解
2.二次根式简化
3.分式的基本操作和简化
二、等式的性质
1.等式两边加减相等数仍相等
2.等式两边乘除相等数仍相等
3.移项变形原则
三、角的定义
1.角的度量单位
2.角的分类
3.角平分线
四、垂直角
1.垂直角的定义和判定
2.垂直角的性质
3.全等图形中垂直角相等
五、平行线与夹角
1.平行线的定义和判定
2.平行线的性质
3.同位角、内错角、同旁内角
六、三角形的基本概念和性质
1.三角形的边和角
2.三角形的分类
3.三角形的周长和面积公式
七、四边形的基本概念和性质
1.四边形的性质
2.平行四边形的性质
3.矩形、菱形和正方形的性质
八、勾股定理
1.勾股定理的证明
2.勾股三元数的判别式
3.利用勾股定理解决问题
九、相似三角形
1.相似三角形的定义和判定
2.相似三角形的性质
3.相似三角形的应用
以上就是八年级命题与证明的重要知识点。
这些知识点不仅是掌握初中数学的基础，而且在高中和大学的数学学习中也是必要的。
希望学生们能够重视这些知识点的学习，认真思考、理解和应用，取得更好的成绩。
命题与证明的知识点
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边一定能组成三角形
C．两直线平行，同旁内角相等
D．三角形的外角和为360°
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特例对A进行分析，利用三角形三边关系、平行线的性质、三角形外角的性质分别对B、C、D进行分析判断．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．
10．下列命题是真命题的是（）
A．若x＞y，则x2＞y2B．若|a|=|b|，则a=bC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＜1，则a＞
【答案】C
【解析】
【分析】根据实数的乘方，绝对值的性质和倒数的意义等，对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
【详解】
A、正确．
B、错误，对应边不一定成比例．
C、错误，不一定中奖．
D、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.
故选：A．
【点睛】
此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．
【详解】A. x＞y，如x=0，y=-1，02<(-1)2，此时x2<y2，故A选项错误；
B. |a|=|b|，如a=2，b=-2，此时a≠b，故B选项错误；
C.若a＞|b|，则a2＞b2，正确；
D. a＜1，如a=-1，此时a= ，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了实数的性质．
八年级复习命题 定理与证明知识点
始的部分是条件，“那么”开始的部分就是 结论。
•⑶判断一个语句是否是命题的依据有哪些？
•①一个语句只要是一种判断就是命题，不 管是肯定的还是否定的判断，正确的判断还 是错误的判断
•②凡是有“如果……，那么……”和 “若……，”的语句都是命题
•③所有的问句都不是命题 •⑷判断命题真假的方法是什么？
•要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证。
•⑵什么叫做证明？ •根据条件、定义以及基本事实、定理等， 经过演绎推理，来判断其他命题真假的依 据，这样的推理过程叫做证明。 •⑶证明几何命题的依据是什么? •定义、基本事实、已学定理等 •⑷证明文字叙述的真命题的一般步骤是什么？ •①分清条件和结论
•②画出图形
•③根据条件写出已知，根据结论写出求证
•而要判断一个命题是假命题，一般采用“举反例” 的方法。
•⑸命题的改写需要遵循那些要求?
•①改写前后内容要保持一致
•②改写后的语句是一个完整的语句
•③改写后的条件和结论要表达清楚，有时要补 上原命题省略的部分。 •2．定理与证明 •⑴什么叫做定理？ •数学中有些命题可以从公理或其他真命题出 发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并 且可以进一步作为判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。
7
八 年 课级 时数 学 上 册
•1．命题
全等三角形
•⑴什么叫做命题？什么叫做真命题？什么叫做
假命题？命题的形式是什么？
•判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。
•正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。
•命题可以写成“如果……，那么……”的形式
•⑵命题的结构：命题由哪两部分组成？分别是 什么？ •命题由条件和结论组成。条件是已知事项； 结论是
中考数学知识点总结命题定理与证明
中考数学知识点总结：命题、定理与证明1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。
其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
1、命题及命题真伪的判断。
2、命题的条件和结论的区分。
3、写出命题的逆命题。
1、下列语句中，属于命题的是( )A、直线AB和CD垂直吗B、过线段AB的中点C画AB的垂线C、同旁内角不互补，两直线不平行D、连结A、B两点2、下列语句不是命题的是( )A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( ) A 、垂直 B 、两条直线C 、同一条直线D 、两条直线垂直于同一条直线4、命题“直角都相等”的题设是 ，结论是 。
5、把命题“有三个角是直角的四边形是矩形”改写成“如果……那么……”的形式： 。
命题与证明复习资料
命题与证明复习资料知识讲解一:定义与命题概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题结构：命题可看做由题设（条件)和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
命题的分类：正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题判定一个命题是真命题的方法:（1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.(2)人们经过长期实践后而公认为正确的:数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理.定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据。
命题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧假命题（举反例）理）其它的真命题（需要推定理（需要推理）公理（公认为正确）真命题 ◆针对练习1．下列语句中,为定义的是（ ）A ．两点确定一条直线吗；B ．三角形的角平分线是一条线段C ．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；D ．同角的余角相等2．已知下列句子：①延长线段AB 到C;②垂线段最短;③过点A 画直线EF ；④将4•开平方．其中是命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式,正确的是( ）A ．如果同角，那么相等;B ．如果同角,那么补角相等；C ．如果同角的补角，那么相等;D ．如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等.4．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．（1)两直线平行，内错角相等;（2)全等三角形的面积相等．5．正确的命题称为______命题,不正确的命题称为_______命题．命题“如果ab=0，那么a=0”是________命题；命题“如果a=0，那么ab=0”是________命题．6．下列说法正确的是（ )A ．定理不一定是真命题;B ．真命题不一定正确C ．假命题不一定错误;D ．公理一定是真命题7．(1)命题“若a 〉3，则2(3)a =a —3”是真命题还是假命题?请说明理由．(2）命题“如果ab 〉0,则a>0且b 〉0”是真命题还是假命题？请说明理由．8．•命题“在一个三角形中，•等边对等角”的条件是：____________,结论是：_______________,它是______命题．9．如图，△ABC 中,∠B=∠C ，AD ∥BC,则AD 平分△ABC 的外角∠EAC.用推理的方法说明它是一个真命题．◆综合提高10．指出下列命题的题设和结论,并把它改写成“如果……那么……”的形式．（1）三角形两边之和大于第三边;（2）三角形的内角和等于180°．11．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．x 3+x 2-3x+4=0，x 3+x-1=0，x 3—2x 2+3=x ，y 3+2y 2-5y-1=0．12．已知下列命题：①有一个内角是60°的三角形是等边三角形;•②有一个内有是60°的等腰三角形是等边三角形;③有两个内角是60°的三角形是等边三角形；④三个内角相等的三角形是等边三角形．其中真命题有（ )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？请说明理由．（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角．（2）关于x的方程ax2-x=0（a≠0）必有两个不相同的实数解．14．下列关于代数式x2-4x+8的三个命题:①该代数式的值必定大于8；②该代数式的值必定大于4；③该代数式的值必定大于2．其中是真命题的有_______．（填序号）知识点二：证明概念:要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、公理、定理,一步一步推得结论成立，这样的推理过程就叫做证明注:证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由可以写在每一步后的括号内证明命题的一般步骤:（1）根据题意，画出图形;（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证"中写出结论；（3)在“证明"中写出推理过程.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.证明几何命题时，表述要按照一定的格式,一般为:(1)按题意画出图形；(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论(3)在“证明"中写出推理过程。
命题与证明的知识点总结
命题与证明的知识点一、知识结构梳理二、知识点归类知识点一定义的概念对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。
如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。
知识点二命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。
注意：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
知识点三命题的结构每个命题都有条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。
有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。
如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
例把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。
1、同角的余角相等2、两点确定一条直线知识点四真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
知识点五证明及互逆命题的定义1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。
2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。
注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。
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命题与证明的知识点总结二、知识点归类 知识点一定义的帳念对于一个槪念待征性质的描述叫做这个概念的定义。
如：“两点Z 间线段的长度,叫做这两点之间的距离”足“两点之间的距离”的宦义.注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如"一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中 出现. 知识点二命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么足贞的，要么圧假的，那么称这个陈述句足一个命 如“你是一个学生”、“我们所使用足教科书址湘教版的”等. 注意：（1）命题必须是一个完整的句子.（2〉这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可.知识点三命题的结构毎个命题都冇条件和结论两部分组成.条件尼已知的爭项，结论圧山已知审项推断出的％项.一般地，命 题都可以写出“如果 那么——"的形式.有的命題表面上看不具有“如果 那么——”的形式, 但可以写成这种形式。
如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角足对顶角，那么这两个角相等”。
傍把下列命懸改写成“如果--------- 那么——”的形式，并指出条件与结论。
1、同角的余角相等2、两点确定一条ft 线知识点四真命题与假命题如果一个命题叙述的事情足直的，那么称它足真命题：如果一个命题叙述的爭情址假的，那么称它圧假命题 注童：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点. 知识点五证明及互逆命题的定义1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注童：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论， 从而判斷这个命題是假命题.2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，英中的一个命题 叫作另一个命题的逆命題。
注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，希要具体问题具体分析. 例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。
<1）H 角二角形的两锐角互余；（2）全等三角形的对应角相等.T0逆 SflrS若计山若狈J p若曲q语q 则p一、知识结构械理图类型一，例、判断下列语句在表述形式上，哪些对韦情作了判断？哪些没有对韦情作出判断？（1）对顶角相等：（2）画一个角等于已知角：（3）两直线平行，同位角相等：（4）a,心两条直线平行吗？（5）鸟是动物：（6）若=4 ,求a的值：（7）若卅=庄,则0=“.思路点拨:通过本电熟悉命也的定义解析：句子（1X3X5X7）对事惜作了判断,句子（2X4X6）没有对事情作出判断.其中⑴⑶⑸判断是正确的, （7）判断址借误的.【变式1】下列语句中，哪些於命题.哪些不於命題。
⑴若3<b,则一⑪WP ：⑵三角形的三条高交于一点；⑶在AABC中，若AB>AC・则ZOZB吗？（4）两点之间线段最短：（5）解方程X2 -2x-3=0 .（6）1+2弼.【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题.类型二：例、指出下列命麗的条件和结论，并改写成••如果……那么……“的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等：（2）在同一个二角形中，等角对等边：（3）对顶角相等：（4）同角的余角相等：（5）三角形的内角和等于180°：（6）角平分线上的点到角的两边距离相等.思路点拨：找出命题的条件和结论足木题的难点，因为命懸在叙述时要求通顺和简练，把命题中的冇些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去.解析：（1）“三条边对应*11等“是对两个三角形来说的，因此写条件时馆好把“两个三角形“这句话添加卜.去，HU 命题的条件丿6“两个三角形的三条边对应和等“，结论址“这两个三角形全等“.町以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等“.（2）••等角对等边介义“是指有两个角柑等所对的两条边相等.可以改写成“如果在同一个二角形中冇两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
“值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：••在一个三角形中“，在改写时不能遗漏.（3）这个命题的条件圧“两个和足对顶ff广，结论於“两个角相等这个命题可以改写成••如果两个角肚对顶角，那么这两个角相等（4）条件是••两个角是同一个角的余角“，结论是••这两个角相等这个命题可以改写成“如果两个角足同一个角的余角，那么这两个角相等”.（5）条件是•'三个角於-个三角形的三个内角“，结论圧••这三个角的和等于180。
“.这个命题可以改写如果“三个角足一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180。
“：（6）••如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。
“总结升华：注意原命题中省略的重更内内容一定要补充完整。
【变式1】试将下列各个命題的題设和结论相互颠倒或变为否定式.得到新的命题•并判断这些命题的貞•假.（1）对顶用相等：（2）两n线半行•，同位角相等：⑶若a-0,则ab-0：（4）两条直线不平行，则一定相交：【答案】⑴对顶角相等（帥：相筹的角足对顶角（假）：不足对顶如不相等（假）：不相等的角不足对顶角（真）. （2）两£1线平行.同位角相等（真）：同位角相等，两直线平行（直）：两r（线不平行，同位角不相等（貞）；同位角不相等，两ri线不平行（貞•）.⑶若a-O,则ab-O（真）：若ab-O.则a-C（假）：若那O 则abK）（假）：若al#O,则君0（真）.（4）两条直线不平行，则一定相交（假）：两条直线相交，则一定不平行（贞）；两条直线平行，则一定不相交（貞）：两条11线不相交.则一定平行（假）.【变式2】判断正误：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角郴等。
（）（2）如果两个角相等，那么这两个角足对顶角。
（）（3）如果两个角有公共顶点，那么这两个角圧对顶角. （）（4）如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角. （）（5）如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。
（）（6）如果两个角的和出180。
，那么这两个角丛邻补角。
（）（7）对顶角的角平分线在同一条直线上. （）（8）如果两个角有公共顶点.R角平分线吃为反向延长线，那么这两个角是对顶角。
【答案】：（1）7：（2）x：（3）x；（4）x；（5）7：（6尸：（7）P；（8）x.注：判断题如果於正确的命趣需要加以说明或论证，找出依据，如果足错谋的命懸，只婆举出-•个反例即可。
知识点六公理与定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命題貞假的原始依据，这样的氏命题叫做公理。
以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命題的贞假，已经判断为翼的命懸称为定理。
注意：（1）公理是不裕要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明：（2 ）定理都是真命題，但真命題不一定都是定理.例填空：（1）同位角相等，则两11线_______________________ :（2）平而内两条不重合的H线的位巻关系世_____________ :（3）_________________ 四边形绘平行四边形。
知识点七互逆定理如果一个定理的逆命题也於定理，那么称它於原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理.如：“对顶角相等”就没逆定理.知识点八证明的含义从-•个命融的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立.从而判定该命题为贞，这个过程叫做证明. 推理汪明的必要性：判断瘠想的数学结论是否正确，仅仅依菲经验圧不够的，必须一步一步，有理冇据地进行推理。
证明命题的步9：1（1题设出发，经过一步步的推理故后推出纟当论（〃证）正确的过程叫做证明。
证明中的毎一步推理都要冇根据.不能••想当然“，这些根据，可以兄己知条件，也可以圧定义、公理，在此以前7过的定理.（证明命題的格式一般为：1）按題意画出图形：2）分消命题的条件和结论，结合图形在“己知”中写出条件，在“求证“中写出结论：3）在“证明”中写出推理过程）证明的四个注意（1）注总：①公理足通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的貞命题：②公理可以作为判定梵他命题貞假的根据•（刁注盘，定理都是真命题，但真命题不一定都出定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题一这些被选作定理的翼命题，在教科M中足用黑体字排印的一（3）注总：在几何问题的研丸上•必须经过证明，才能作出貞实可靠的判断.如••两II线平行，同位角相等“ 这个命题，如果只采用测吊:的方法.只能测戢有限个两平行rr•线的同位角是相等的.但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.（4）注意：证明中的毎-步推理都耍有根据，不能••想当然①论据必须足貞命懸，如：定义、公理、已经学过的定理和己知条件：②论据的貞•实性不能依赖丁论证的真实性：③论拯应圧论题的充足理山. 例1.证明：两直线平行,内错角相等.己知：a〃b.c是截线求证：Z1-Z2分析：嬰证Z1-Z2只要证Z3-Z2即可，囚为Z3与Z1足对顶角，根据平行线的性质，易得1HZ3-Z2证明三•••d〃b（己知）.\Z3-Z2（iqn线平行，同位角相等）••• Z 1-Z3（对顶角相等）••• Z 1-Z2（等虽代换）例2.如图所示，己知：ZA-ZF. ZC-ZD＞求证：BD〃CE分析：要证BD〃CE・只需证得ZD-ZCEF或ZEHZCED-1800即可.由于ZC-ZD,因此只要ZC-Z CEF或ZC-fZCED-180%这就需要右AC〃DF・由己知条件中的ZA-ZF.可以得出AC〃DF・故此题可证证明：V ZA-ZF（已知）・・・AC〃DF（内错角相等，两直线平行）A ZC-ZCEF（两fl线平行，内借角相等）又•••ZD-ZC（己知）•••ZD-ZCEF（等虽代换）•■•BD〃CE（同位角相等,【变式】已知：如图正方形ABCD中.E为CD边匕一点.F为BC延长线上一点• .R CE=CF⑴求证：A BCE^ A DCF（2） 2：NFDC = 3O° •求ZBEF 的度数。
知识点九反证法反证法：在证明一个命题时.人们右时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和己知条件矛炳，或音与定义，公理•定理等矛旺的结论.从而得出假设侖題不成立於借误的，即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反正法.反证法的基本步9： 1.假设命题的结论不成立2•从这个假设出发・经过推理论证得出矛盾。
3•有矛盾判定假设不止确，从而肯定命題的结论正确结论的反面不止一种情形的反证法：应用反证法证明命题时，忤先要分清命懸的题设和结论，再全而地否定结论，如果结论的反而不止一种情形，那么必须把并种可能性都列出来，并II在逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确。