恒定磁场的旋安培环路定律
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二、矢量磁位的计算 1、直接应用矢量磁位的计算公式。
2、求解矢量磁位的泊松方程或拉普拉斯方程。
三、电流的计算
四、磁通量的计算
五、力的计算
电磁场理论基础第四章
例2：判断矢量函数
B A yax
Axay
是否可能是某区域
的磁感应强度?若是,求相应的电流分布。
解：
由
B
0
，可知此矢量函数可以是某区域的
B A yax A xay
是否可能是某区域
的磁感应强度?若是,求相应的电流分布。
例3：证明矢量磁位A1
ax cos y ay sin x
和 A2
ay
sin x
x sin
y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
例4：两个半径为 a 的圆柱体，轴间距为 d ，d 2 a 。除两
第四章 恒定磁场
4.1 安培定理与磁感应强度 4.2 恒定磁场的散度和矢量磁位 4.3 恒定磁场的旋度 4.4 物质的磁化 4.5 恒定磁场的基本方程 4.6 标量磁位 4.7 边界条件
B A
A
2
A
A 0
2
A
2
A
0J
0J
B 0J
安培环路定律的微分形式
S B dS S 0J dS
和
A2
ay
sin x
x sin y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
解：
1
1
J1 0 B1
0
a x cos y a y sin x
J2
1
0
B2
1
0
a x cos y a y sin x
2 A1
2
ax
cos
的磁场。
B
解：
l B d l 0I
B
2B l 0 JSl
B 0 JS
2
在平面上方：B
0J
2
S
ax
在平面下方：
B
0J S
2
ax
dB2 y
dB
P
dB1 d
dl2
o
a
lc
dl1
x
b
真空中恒定磁场的计算：
电磁场理论基础第二章
一、磁感应强度的计算 1、直接应用磁感应强度的计算公式。 2、应用安培环路定理。 3、由矢量磁位的旋度求。
解：
ax
ay az
B1 A1 x
y
z
az
cos
x
sin
y
cos y sin x 0
ax
ay
B2 A2 x
y
az
az
cos
x
sin
y
z
0 sin x x sin y 0
显然，两者的磁场相同。
电磁场理论基础第四章
例3：证明矢量磁位 A1
ax
cos
y ay
sin x
例5：半径为
a
的长圆柱面上有密度为
J
的面电流，分别求
S
下述两种情况下的圆柱内、外的磁感应强度。
⑴
电流方向沿
a
方向；
⑵
电流方向沿
az
方向。
解： ⑴
B
az
Bz
r
在圆柱内、外， B 0
B
a
Bz r
0
由此可知，磁场是一个与 ，z 和 r 无关的常量。
⑵
电磁场理论基础第四章
例2：判断矢量函数
C B dl 0I
安培环路定律的积分形式
B
0 I 2r
a
Biblioteka Baidu
证明：
C
B dl
0I
1、安培环路与磁力线重合
d
dl
B
rB
C
2、安培环路与磁力线不重合
z
l 2
R
dz z r r
0
l2 I
3、安培环路不交链电流
C B dl 0
M(,, z)
C
4、安培环路与若干根电流交链 C B dl 0 Ik
Px, y, z
r
C
例题：求无限长同轴线 各处的磁感应强度。
r B
0 Ir 2 a2
r a
ra
c ba
z
r
r B
0 I 2 r
r a
arb
r B
0 I 2 r
1
r2 c2
b2 b2
r a
r
B0
cr
brc
Br
0 I 2a
0 I 2b
a bc
例题：计算电流面密度为 JS的
无限大的均匀电流平面
密度为 J ，求两圆柱重叠部分的磁感应强度。
解：
C B dl 0 I
y
左边圆柱
2 r1 B1 0 r12 J
B1
a1
0 r1J
2
右边圆柱
r1
r2
O1 d
O2
x
2 r2 B2 0 r22 J
B2
a2
0 r2J
2
B B1 B2
0 J
2
d
r ay
电磁场理论基础第四章
电磁场理论基础第四章
y ay
sin x
ax cos y a y sin x 0J1
2 A2
2
ay
sin
x
x sin
y
ay
sin
x
x
sin
y
0J2
这是由于 A1 满足库仑规范，而 A2不满足库仑规范。
电磁场理论基础第四章
例4：两个半径为 a 的圆柱体，轴间距为 d ，d 2 a 。除两
圆柱重叠部分外，柱内有大小相等，方向相反的电流，
磁感应强度。
ax
ay az
J
1
0
B
1
0
x
y z
Ay Ax 0
2A
0 az
电磁场理论基础第四章
例3：证明矢量磁位 A1
ax
cos
y ay
sin x
和
A2
ay
sin x
x sin y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
圆柱重叠部分外，柱内有大小相等，方向相反的电流，
密度为 J ，求两圆柱重叠部分的磁感应强度。
2、求解矢量磁位的泊松方程或拉普拉斯方程。
三、电流的计算
四、磁通量的计算
五、力的计算
电磁场理论基础第四章
例2：判断矢量函数
B A yax
Axay
是否可能是某区域
的磁感应强度?若是,求相应的电流分布。
解：
由
B
0
，可知此矢量函数可以是某区域的
B A yax A xay
是否可能是某区域
的磁感应强度?若是,求相应的电流分布。
例3：证明矢量磁位A1
ax cos y ay sin x
和 A2
ay
sin x
x sin
y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
例4：两个半径为 a 的圆柱体，轴间距为 d ，d 2 a 。除两
第四章 恒定磁场
4.1 安培定理与磁感应强度 4.2 恒定磁场的散度和矢量磁位 4.3 恒定磁场的旋度 4.4 物质的磁化 4.5 恒定磁场的基本方程 4.6 标量磁位 4.7 边界条件
B A
A
2
A
A 0
2
A
2
A
0J
0J
B 0J
安培环路定律的微分形式
S B dS S 0J dS
和
A2
ay
sin x
x sin y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
解：
1
1
J1 0 B1
0
a x cos y a y sin x
J2
1
0
B2
1
0
a x cos y a y sin x
2 A1
2
ax
cos
的磁场。
B
解：
l B d l 0I
B
2B l 0 JSl
B 0 JS
2
在平面上方：B
0J
2
S
ax
在平面下方：
B
0J S
2
ax
dB2 y
dB
P
dB1 d
dl2
o
a
lc
dl1
x
b
真空中恒定磁场的计算：
电磁场理论基础第二章
一、磁感应强度的计算 1、直接应用磁感应强度的计算公式。 2、应用安培环路定理。 3、由矢量磁位的旋度求。
解：
ax
ay az
B1 A1 x
y
z
az
cos
x
sin
y
cos y sin x 0
ax
ay
B2 A2 x
y
az
az
cos
x
sin
y
z
0 sin x x sin y 0
显然，两者的磁场相同。
电磁场理论基础第四章
例3：证明矢量磁位 A1
ax
cos
y ay
sin x
例5：半径为
a
的长圆柱面上有密度为
J
的面电流，分别求
S
下述两种情况下的圆柱内、外的磁感应强度。
⑴
电流方向沿
a
方向；
⑵
电流方向沿
az
方向。
解： ⑴
B
az
Bz
r
在圆柱内、外， B 0
B
a
Bz r
0
由此可知，磁场是一个与 ，z 和 r 无关的常量。
⑵
电磁场理论基础第四章
例2：判断矢量函数
C B dl 0I
安培环路定律的积分形式
B
0 I 2r
a
Biblioteka Baidu
证明：
C
B dl
0I
1、安培环路与磁力线重合
d
dl
B
rB
C
2、安培环路与磁力线不重合
z
l 2
R
dz z r r
0
l2 I
3、安培环路不交链电流
C B dl 0
M(,, z)
C
4、安培环路与若干根电流交链 C B dl 0 Ik
Px, y, z
r
C
例题：求无限长同轴线 各处的磁感应强度。
r B
0 Ir 2 a2
r a
ra
c ba
z
r
r B
0 I 2 r
r a
arb
r B
0 I 2 r
1
r2 c2
b2 b2
r a
r
B0
cr
brc
Br
0 I 2a
0 I 2b
a bc
例题：计算电流面密度为 JS的
无限大的均匀电流平面
密度为 J ，求两圆柱重叠部分的磁感应强度。
解：
C B dl 0 I
y
左边圆柱
2 r1 B1 0 r12 J
B1
a1
0 r1J
2
右边圆柱
r1
r2
O1 d
O2
x
2 r2 B2 0 r22 J
B2
a2
0 r2J
2
B B1 B2
0 J
2
d
r ay
电磁场理论基础第四章
电磁场理论基础第四章
y ay
sin x
ax cos y a y sin x 0J1
2 A2
2
ay
sin
x
x sin
y
ay
sin
x
x
sin
y
0J2
这是由于 A1 满足库仑规范，而 A2不满足库仑规范。
电磁场理论基础第四章
例4：两个半径为 a 的圆柱体，轴间距为 d ，d 2 a 。除两
圆柱重叠部分外，柱内有大小相等，方向相反的电流，
磁感应强度。
ax
ay az
J
1
0
B
1
0
x
y z
Ay Ax 0
2A
0 az
电磁场理论基础第四章
例3：证明矢量磁位 A1
ax
cos
y ay
sin x
和
A2
ay
sin x
x sin y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
圆柱重叠部分外，柱内有大小相等，方向相反的电流，
密度为 J ，求两圆柱重叠部分的磁感应强度。