中值定理ppt
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微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
微分中值定理PPT课件
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
f (1) f (0) f ()
10
2
即 f () 2[ f (1) f (0)].
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0
由
的任意性知,
在 I 上为常数 .
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
第16页/共42页
例5 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
第12页/共42页
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
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注意:
1. Lagrange定理是罗尔定理的推广.
2.等价形式 f (b) f (a) f ( ).
ba 3.设 f ( x)在 (a, b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
即 f '() 0
经济数学 微分中值定理课件
f F
(b) (b)
f (a) F (a)
f F
' ( ' (
)成立. )
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
一点C(F (), f ()), 在
该点处的切线平行于
A
N
D
弦AB.
o F(a) F(1)F(x)
F(2)F(b)
x
证 作辅助函数
(x ) f(x ) f(a ) f(b ) f(a )[F (x ) F (a )]. F (b ) F (a )
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个 f得 ()0.
但 f(x )5 (x4 1 )0,(x (0,1))矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理( 1 )如果函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续(,2在 ) 开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(ab)，使等式
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f1(x) f(0x,),
xa ,
F(x), xa
F1(x)
0,
, xa
在U0(a,)内任取一 x, 在 点以a与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
f(b)f(a)f() F(b)F(a) F()
f(b)f(a)f(). ba
例4 设f函 (x )在 [0 数 ,1 ]上,连 在 (0 ,1 )内 续,可 证 :导 明
《拉格朗日中值定理》PPT课件
拉格朗日中值定理
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
§3.1-微分中值定理PPT课件
1 x2
1 x2
f ( x) C , x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 ,
即
C
.
arcsin
x
arccos
x
2
.
2
2
2
说明 欲证x I , f ( x) C0 ,只需证在 I上
f ( x) 0,且 x0 自证 arctan x arc
则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
广义微分中值定理
20
微分中值定理
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
0
由条件,则 f ( x1 ) f ( x2 ), 即在区间I中任意两
点的函数值都相等,所以, f ( x) C.
17
微分中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x0) arcsin x0 arccos 0x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0.由推论
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
x1
1 (4 3
37),
《积分中值定理》课件
积分中值定理在实数理论中有重要应用， 如证明实数的连续性、稠密性等性质。
在其他数学领域的应用实例
复变函数
积分中值定理在复变函数中有广泛的应用， 如在解决柯西积分公式、留数定理等问题时 起到关键作用。
概率论与数理统计
积分中值定理在概率论与数理统计中有重要 应用，如在计算期望、方差等统计量时起到 关键作用。
03
综上所述，积分中值定理是一个具有 重要性和意义的数学定理。在未来的 研究中，我们需要进一步深入探索其 应用范围和条件，并尝试将其应用于 更广泛的领域，以推动数学和其他学 科的发展。
THANKS
感谢观看
利用微积分基本定理证明积分中值定理
总结词
通过利用微积分基本定理和函数的单调性，证明积分中值定理。
详细描述
首先，我们选取一个连续函数$f(x)$，并设其在区间$[a, b]$上非负且不恒为零。然后 ，我们证明函数$F(x) = int_{a}^{x}f(t)dt$在$[a, b]$上单调增加。由于$F(x)$单调增加 ，存在一个点$c in (a, b)$使得$frac{F(b) - F(a)}{b - a} = f(c)$。最后，我们得出结论
对积分中值定理未来的研究方向和展望
01
积分中值定理的研究已经取得了丰硕 的成果，但仍有许多值得探索的问题 。例如，对于更一般的函数空间和更 复杂的积分问题，如何应用积分中值 定理进行有效的处理？这需要我们进 一步深入研究积分中值定理的适用范 围和条件。
02
随着数学和其他学科的不断发展，积 分中值定理的应用领域也在不断扩大 。未来，我们可以尝试将积分中值定 理应用于更广泛的领域，如金融、经 济、生物等，以解决实际问题。同时 ，我们也可以探索积分中值定理与其 他数学理论的交叉应用，以推动数学 的发展。
在其他数学领域的应用实例
复变函数
积分中值定理在复变函数中有广泛的应用， 如在解决柯西积分公式、留数定理等问题时 起到关键作用。
概率论与数理统计
积分中值定理在概率论与数理统计中有重要 应用，如在计算期望、方差等统计量时起到 关键作用。
03
综上所述，积分中值定理是一个具有 重要性和意义的数学定理。在未来的 研究中，我们需要进一步深入探索其 应用范围和条件，并尝试将其应用于 更广泛的领域，以推动数学和其他学 科的发展。
THANKS
感谢观看
利用微积分基本定理证明积分中值定理
总结词
通过利用微积分基本定理和函数的单调性，证明积分中值定理。
详细描述
首先，我们选取一个连续函数$f(x)$，并设其在区间$[a, b]$上非负且不恒为零。然后 ，我们证明函数$F(x) = int_{a}^{x}f(t)dt$在$[a, b]$上单调增加。由于$F(x)$单调增加 ，存在一个点$c in (a, b)$使得$frac{F(b) - F(a)}{b - a} = f(c)$。最后，我们得出结论
对积分中值定理未来的研究方向和展望
01
积分中值定理的研究已经取得了丰硕 的成果，但仍有许多值得探索的问题 。例如，对于更一般的函数空间和更 复杂的积分问题，如何应用积分中值 定理进行有效的处理？这需要我们进 一步深入研究积分中值定理的适用范 围和条件。
02
随着数学和其他学科的不断发展，积 分中值定理的应用领域也在不断扩大 。未来，我们可以尝试将积分中值定 理应用于更广泛的领域，如金融、经 济、生物等，以解决实际问题。同时 ，我们也可以探索积分中值定理与其 他数学理论的交叉应用，以推动数学 的发展。
微分中值定理与导数应用.ppt
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ，使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .
定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ，使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .
中值定理证明方法总结(1)ppt课件
成立 . 证毕
拉氏 目录 上页 下页 返回 结
束
6
f(x) 及 F(x) 满足 :
(1) 在闭区间 [ a, b] 上连续
(2) 在开区间 ( a, b) 内可导
(3)在开区间 ( a, b) 内F′(x) ≠ 0
至少存在一点 ξ∈(a,b) , f(b)
使 分析:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F(b)
−
F(a)
=
F(b) F′(η)(b− a)
b− a
(C为任意常数 )
oa ξ
+ y = f(x)
bx
y=
f (b)− f (a) b−a
x+C
10
要 f(b) − f(a) = f′(ξ)(b− a)
证
f′(ξ) − f(b) − f(a) = 0 b− a
即
F′(ξ)
证 F′(x) = f′(x) − f(b) − f(a) b− a 原函数法 Fb−(x)a= f(x) − f(b) − f(a) x
− h(a)
fhF=((a′b())ξ)
f((bgf)((aag))′ ξ h(a)
f(b) +)g(b)
0
fgf′′(((aξξ))) g(a)
=f(b) h′(ξ) g(b)
h(b) h′(ξ)
15
内可导, 证明至少存在一点 ξ∈ (a,b), 使 f(a) f(b) f′(ξ) g(a) g(b) g′(ξ) = h(a) h(b) 0 h′(ξ)
对x0f(x)在以x0 , x为端点的区间上用拉氏中值定理
得
f(x) − f(x0 ) = f′(ξ)(x− x0 )
x∈(
第16讲 中值定理
（a b)
这就是拉格朗日中值定理。
结论 拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.
综上所述 ： 三个中值定理有从特殊到一般的关系。
罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例， 而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理
的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格
朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应
用中拉格朗日中值定理更为广泛．
则 ( x) 在a, b 上满足罗尔定理. 即至少 一点 (a, b) s.t. ' ( ) 0 .
f (b ) f ( a ) F ' ( x) 又 ' ( x ) f ' ( x ) F (b ) F ( a )
f (b) f ( a ) f ' ( ) F (b) F ( a ) F ' ( )
第十六讲 中值定理
内容提要：
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
一.罗尔定理
定理 1(罗尔定理)：若函数f x 满足：
a, b 上连续， （1）在闭区间
（2）在开区间a, b 内可导，
（3） f a f b
a, b 内至少存在 则函数 f x 在开区间
x 为正为负总有: 又 M 为最大值,∴不论 f f x 0 f ( x ) f ( ) 0 ,故 当x ﹥0 时，因 x f ( x ) f ( ) 0 …………………(1) lim x 0 x f ( x ) f ( ) 0…(2) 同理,当x 0 时，有lim x 0 x 由(1)(2)(3)式得: f ' 0
2.证明 ∵ f x 在a, b 上连续，
m 最大值 M 和最小值 ∴ f x 在a, b 上必
高等数学上3.1中值定理.ppt
即ln(1 x) xf ( ), (0 x)
又 f ( x) 1 , 1 x
ln(1 x) x ,
1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
证毕
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结束
[x0, x0 x] (a,b), 上的拉格朗日定理，
零点定理 用不上!
证明：设F(x) 4ax3 3bx2 2cx a b c F( x) ax4 bx3 cx2 (a b c)x
?!
F(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导, F(0) F(1) 0,
由Rolle定理知，至少 (0，1),使F( ) 0,
即: 4a 3 3b 2 2c a b c 0.
k过M或D点红线 ,
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
在曲线弧AB上至少有一点 A
N
C(F ( ), f ( )),在该点处的
切线平行于弦AB.
o F(a) F(1) F(x)
D
F (2 )F (b)
X
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结束
柯西（Cauchy）中值定理 若函数 f ( x )及 F ( x )满足：
例2. 证明方程
正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 .
存在 x0 (0,1),
使
f ( x ) 0, 0
2) 唯一性 .
假设另有
使f ( x ) 0, 1
f ( x)在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
在 x0 , x1 之间 至少存在一点
中值定理教学PPT
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
例3. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证明： (x1, x3 ),使f ''( ) 0. 证： f (x)在[x1, x2 ] (a,b)上二阶可导,故必连续
又f (x ) f (x Fra bibliotek 由罗尔定理1
2
1 (x1, x2 )
使得f '( ) 0 1
同理，2 (x2 , x3 ) 使得f '(2 ) 0
10 在闭区间[a,b]上连续；
20 在开区间（a,b）内可导；
30 f (a) f (b).
（a,b）,使f '( ) 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例5.若函数f (x)在[0, a]上可导, f (a) 0,
证明： (0, a),使f ( ) f '( ) 0.
分析：f () f '() 0. [ f (x) xf '(x)]x 0.
[xf (x)]'x 0.
例5.若函数f (x)在[0, a]上可导, f (a) 0,
即 bf (b) af (a) f ( ) f '( )
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(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
例如 目录 上页 下页 返回 结束
单调性
1. 可导函数单调性判别
f (x) 0, x I f (x) 0, x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
f (x) 0, x I
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
x 0表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
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泰勒展开
1. 泰勒公式
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n Rn (x)
其中余项
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
o((x x0 )n )
( 在 x0 与x 之间)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
+
f (x) 0, x I
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
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思考与练习
1. 设在[0,1] 上 f (x) 0, 则 f (0), f (1), f (1) f (0) 或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
(A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及
最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
1.
设
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在. (L. P500 题4)
f (x0) 4 f (x0) 0
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图形
1. 曲线渐近线的求法
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3. 设 y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
A 若 f (x0) 0, 且 f (x0) 0, 则 f (x) 在 x0 ( )
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
思考与练习
1. 填空题 1) 函数
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
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2. 设 f (x) C[0, ], 且在 (0, )内可导, 证明至少存 在一点 (0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
欲证: ( x1 , x2),使 f ( ) f ( ) 0 只要证 e f ( ) e f ( ) 0
亦即
[ ex f (x ) ] x 0
作辅助函数 F (x) ex f (x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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2. 曲线
y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
;
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
;
拐点为
(
1 2
,
1
e
1 2
)
.
提示: y 2ex2 (1 2 x2 )
作业
P151 3 (1),(7) ; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14
4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0, x)
即
x
2
sin
1 x
(
2
sin
1
cos
1
)
x,
(0, x)
cos
1
2
sin
1
x
sin
1 x
当
x
0
时
0 ,
因此由上式得
cos
1
0.
问是否可由此得出
lim
x0
cos
1 x
0
?
不能 ! 因为 (x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
中值定理
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理 f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F(x) x
罗尔定理
f (b) f (a)
F(x) x
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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提示: 利用极限的保号性 .
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2. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0,
lim f (x) 2, 则在点 x 0 处 f (x) ( D ).
x01 cos x
(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且 f (0) 0;
(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
极值与最值
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充分条件
过 由正变负
为极大值
过 由负变正
为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
(4) 判别法的推广 ( Th.3)
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
2. 连续函数的最值
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设
F(x) f (x)sin x
验证 F (x ) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
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3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f (x ) f (x ) 的零点.
提示: 设 f (x1) f (x2 ) 0, x1 x2 ,
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
例如 目录 上页 下页 返回 结束
单调性
1. 可导函数单调性判别
f (x) 0, x I f (x) 0, x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
f (x) 0, x I
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
x 0表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
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泰勒展开
1. 泰勒公式
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n Rn (x)
其中余项
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
o((x x0 )n )
( 在 x0 与x 之间)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 .
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2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
+
f (x) 0, x I
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
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思考与练习
1. 设在[0,1] 上 f (x) 0, 则 f (0), f (1), f (1) f (0) 或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
(A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及
最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
1.
设
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在. (L. P500 题4)
f (x0) 4 f (x0) 0
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图形
1. 曲线渐近线的求法
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3. 设 y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
A 若 f (x0) 0, 且 f (x0) 0, 则 f (x) 在 x0 ( )
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
思考与练习
1. 填空题 1) 函数
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
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2. 设 f (x) C[0, ], 且在 (0, )内可导, 证明至少存 在一点 (0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
欲证: ( x1 , x2),使 f ( ) f ( ) 0 只要证 e f ( ) e f ( ) 0
亦即
[ ex f (x ) ] x 0
作辅助函数 F (x) ex f (x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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2. 曲线
y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
;
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
;
拐点为
(
1 2
,
1
e
1 2
)
.
提示: y 2ex2 (1 2 x2 )
作业
P151 3 (1),(7) ; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14
4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0, x)
即
x
2
sin
1 x
(
2
sin
1
cos
1
)
x,
(0, x)
cos
1
2
sin
1
x
sin
1 x
当
x
0
时
0 ,
因此由上式得
cos
1
0.
问是否可由此得出
lim
x0
cos
1 x
0
?
不能 ! 因为 (x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
中值定理
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理 f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F(x) x
罗尔定理
f (b) f (a)
F(x) x
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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提示: 利用极限的保号性 .
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2. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0,
lim f (x) 2, 则在点 x 0 处 f (x) ( D ).
x01 cos x
(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且 f (0) 0;
(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
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极值与最值
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充分条件
过 由正变负
为极大值
过 由负变正
为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
(4) 判别法的推广 ( Th.3)
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2. 连续函数的最值
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设
F(x) f (x)sin x
验证 F (x ) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
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3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f (x ) f (x ) 的零点.
提示: 设 f (x1) f (x2 ) 0, x1 x2 ,