理想变压器和全耦合变压器.ppt

RL ' n2 RL 32 42 5n 0.1
P
I 2 RL '
2002 5 (3 5)2 42
2500
W
8 -5 -2 含理想变压器电路的一般分析方法 列写网络方程和应用戴维南定理是常用的方法。
例8 -7： + U-S
R1
n:1
+* nU-2
*
+ U-2
I1
R2
nI1
I
j 1
C
已知 ＝1，求ab端的输
入阻抗。 解：由KVL：
Uac U1 U2 2U2 U2 U2
等效电路如左图，输入 阻抗为：
Zi
1//( j)
j 1 j
1 2
(1
j)
例8-4.含理想变压器电路如图，试求 I1 和 U。
I1 1
+
1000V
*
-
I2 j200
+ * U 100
-
1:10
解：将次级折合到初级
8-4.理想变压器和全耦合变压器
理想变压器也是一种耦合元件。它是实际
变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器 的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电 流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：
i1
+
u1
-
**
n:1
i2
+
u2
-
u1 u2 i1
n 1
i2
n
理想变压器的唯一参数是变比(或匝比): n
d
(b)
由图(a): I2 nI1
U2
1 n
U1
1 n
(US
Z1 I1 )
得图(b)。
1 n
(US
Z1
I2 ) n
1 n
US
Z1 n2
I2
应该指出：阻抗的 n2 倍与元件的 n2 倍是不一 样的。
电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反:
n2 R (n2 R)
n2 ( jL) j (n2 L)
ຫໍສະໝຸດ Baidui1
n1 :1
i2
+
+
u1
-
*
N1
n2
:1
*
N2
u2
-
* i3
N3
+
u3
-
R2 R3
+ i1 i1' n1 :1 i2
u1
*
N1
*
N2
+
u2
R2
-
-
i1
"
*
N1
* i3
N3
+
u3
-
R3
n2 :1
2
a
+*
U1
b-
c
*+
U2
4F
-
2:1
2:1 a
* 2
*
c
* 4F
2:1
利用上述结论可以巧妙 的计算如下例题：
n:1
i1
++
u2 u1
--
i1
++
u2 nu2
--
i2
-
*
u2
*
n:1
+
ni1
-
* *
u2
+
n:1
8 -4-2 全耦合变压器的电路模型
实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而 不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。两 线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有**
式，有
i 1
1 L1
t
u1( )d
负载中电阻吸收的功率：
P
I2(
ZL '
cosL )
( RS
ZL'
U
2 S
ZL'
cos L
cosL )2 ( XS
ZL'
sin L )2
要使P达到最大，必须
dP d( ZL
'）
0,即
Z
L
'＝
ZS
这时，负载获得最大功率。这种情况称为 “模匹配”。模匹配时负载中电阻吸收的功 率一般比达到共扼匹配时的功率小。这时
由于这时可变化的只是变比n，这就是“模匹配” 的情况。
下面先证明：
一般地，理想变压器内阻 ZS RS jXS，变换后的
阻抗 ZL ' ZL ' cosL j ZL ' sin L ，当仅负载阻抗的 模可变时，不可能达到共扼匹配，求负载获得 最大功率的条件：
I
US
(RS ZL ' cosL ) j( XS ZL ' sin L )
有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压 器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想 变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：
i1
+
u1
-
**
n:1
i2
i1
++
u2 u1
--
i2 n
i2
+
+ u1 －n
u2
-
理想变压器可以看成是耦合电感或空芯 变压器在理想条件下的极限情况: (1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的； (2)耦合系数k=1，即是全耦合 M L1L2 ； (3)自感系数L1和L2 均为无限大，但 L1 / L2等 于常数， 互感系数 M L1L2 也为无限大。
1 ni2
i
i1
可见，全耦合变压
器的初级电流有两
部分组成，其中 i
称为激磁电流。其
等效电路模型如图
i1 i1'
i2
+
u1
i
*
L1
*
-
n:1
+
u2
-
所示。
上图中，L1 称为激磁电感。这也说明理想变 压器由于 L1 为无穷大(极限情况)，故不需要 激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。
工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常
d
由理想变压器
c Z3
的VCR，简化 -
成没有变压器 的电路。
1 n
U+S
1 n2 Z1
1 n2 Z2
N
d
理想变压器还可由一个初级线圈与多个次级 线圈构成。
+
u1
-
i1
n1
*
N1
n2
:1
:1
*
N
i
2
2
+
u2
-
*
N
i3
3
+
u3
-
在图示电压，电流参考 R2方向下，有
u1 u2 u3 N1 N2 N3
p
u1i1
u2i2
(nu2 )(
1 n
i2 )
u2i2
0
可见：理想变压器既不耗能，也不储能。
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的
两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线
圈的电压(标同名端处假设为正极)、电流(一侧
流入另一侧流出)应如下图假设：
i1
+
u1
-
ii11
+
nu2
-
i2
**
n:1
ni1
**
i3
u1
1 n1
i2
1 n2
i3
G2
G3
n1u2 n2u3 n12 n22
R1
(n12R2 )(n22R3 ) n12R2 n22R3
n12 R2
//
n2 2 R3
即,有多个次级线圈 时，次级阻抗可以一 个一个地搬移。
n12 R2
n22 R3
其实，多个次级的理想变压器电路，可以认为
初级是双线(或多线)并绕，这样就更易理解。
8-5-1 理想变压器的阻抗变换
由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以 以n倍的关系变换电压、电流外，还可以有n2 倍的关系变换阻抗。
如：从初级看进去的等效电阻为
i1
Ri
u1 i1
i2
nu2
1 n
i2
n2
u2 i2
n2 RL
+
+
u1 * * u2 RL
+ i1 u1
n2 RL
-
-
-
n:1
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无 关。
1 11 12 N1(11 12) N1(11 22) N1
2 22 21 N2 (22 21) N2 (11 22) N2
式中， 11 22称为主磁通，由电磁感应定
律，初、次级电压分别为
u1
d1
dt
N1
d
dt
u2
d 2
dt
N2
d
dt
故得： u1 N1 n
u2 N 2
I2
1 n
( I2 " I2 ' )
1 (U2 n Z2
I2 ' )
U1 n2 Z2
I1 '
得图(b)。上式中：I1'
1 n
I2 '
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
a I1
I2 c
+
US
Z1 +U1*
*
+
U2
N
-
-
-
b
n:1 (a)
d
a I1
I2 c
+
US
*
*
1 n2
Z1
+
U2
N
-
-
b
n:1
电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合
线圈的VCR：
v1
d1 dt
d11 dt
d12 dt
vL1
vM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
v d2 d22 d21 v v L di2 M di1
2 dt
dt
dt
L2
M2
2 dt
dt
这里仅讨论第一种(相加的)情况。当耦合系数
k=1时：
电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈 相交链，即：11 21,22 12 , 若 初、次级 线圈 的匝数分别为N1和N2，则两线圈的总磁链分别 为：
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参 考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：
U1 nU2 , I2 nI1
I1
nI1
I1
nI1
+
nU2
**
++
U2 nU2
*
-
U2
-
--
*
+
n:1
n:1
若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效
阻抗为
Zi n2ZL
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：
1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；
已知 n 0.5 , R1 R2 10 ,
1 50 ,
C
US 500 V,求流过 R2 的电流. I。
解：理想变压器没有接成初、次级的形式，故 只能列写网孔方程。按照前面的方法假设电压、 电流。
网孔方程
(R1 R2 )I1 R2 (nI1) nU2 US
R2 I1 (R2
1
由耦合电感VCR的第一式： u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
从
到 t 积分，有 t
u1( )d L1i1 Mi2
得：
i1
1 L1
t
u1( )d
M L1 i2
由自感、互感的定义： N111 L1i1,N112 Mi 2
得：L1 M
M L2
N 2 21 Mi1,N 2 22 L2i2
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；
a I1
I2 I2 ' c
+
U1
*
*U+2
I2"
Z2
N
-
-
b n:1
d
a I1 I1'
I2 ' c
+
U1 n2 Z2
-
*
*
+
U2
-
N
b
n:1 d
由图(a)：(a)
(b)
U1 nU2
I1
1 n
负载电阻与电源达到最大功率匹配？此时，
负载获得的最大功率为多少？
I1 RS n:1
+ US-
**
RL
US+-
RS
I1
n2 RL
解：将次级折合到初级，根据最大功率 匹配条件有
n 2 RL RS
n RS 2 0.5 RL 8
时，达到最大功率匹配。
由于理想变压器既不能耗能也不能储能，故等
效电路中 n2RL吸收的功率就是 RL 原电路获得
ZL 100 j200 Zi n2ZL 1 j2
I1
1000 2 j2
25
2 45A
由理想变压器的伏安关系
I2 nI1 2.5 2 45A
U 100I2 250 2 45 V
例8-5.在如图所示电路中，已知 US 80 V 内阻RS 2 ，负载电阻 RL 8 ，求n=?时，
ZL
n1:1
n2:1 B
解：本题含有两个理想变压器，先搬 移走第一个：
1
n12 Z1 Z2
A
1 n1
+
US
-
+
+
U3 *
*U4
ZL
-
-
n2:1
B
再搬移第二个：
1 (n1n2 )2 Z1
+
1 n1n2
US-
1 n22 Z2
jC2
)(nI1) U2
0
代入数据
20I1 10
1 2
I1
1 2
U2
50
10I1
(20
j50)
1 2
I1
U2
0
得
I1 2 245 I2 245 I I1 I2 245 A
例8 -8 求：A、B以左电路的戴维南等效电路。
Z1
Z2
A
+
US
-
U+1* -
*+
U2
-
U+*-3
*+ * U-4
L1 N1 n L2 N 2
得：
i1
1 L1
t
u1( )d
1 ni2
**
由于u1为有限值，当L1 ,
L1 n 保持不变，即
L2
满足理想化的第三个条件，有
i1
1 n
i2
类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。
由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变 压器是一种无记忆元件，也称即时元件。如代 入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：
R3 即：
u1 u2
N1 N2
n1
u1 u3
N1 N3
n2
N1i1 N2i2 N3i3 0
即
i1
1 n1
i2
1 n2
i3
p u1i1 u2i2 u3i3 0 即
v1i1
v1 n1
i2
v1 n2
i3
0
从初级看入的等效电导
Gi
i1 u1
1 n1
i2
1 n2
u1
i3
1 n1
i2
u1
1 n2
由于同名端的不同，理想变压器还有另一个 电路模型，其伏安关系为
i1
+
u1
-
*
*
n:1
i2
+
u2
-
u1 u2 i1
1
n
i2 n
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两 种情况，这两种VCR仅差一个符号。
8 -4 -1 理想变压器伏安关系推导
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压
器着手推导理想变压器的VCR：当线圈的电压、
n2
1
jC
1
j
(
1 n2
C)
利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：
a Z1
c Z3
+
US
*
Z2
N
-
*
简化为
b
a
n:1 d c Z3
+
US
-
*
1 n2 Z1
*
1 n2
Z2
N
b n:1
d
电源也可以“搬移”。不过，电源搬移与同 名端有关。
a
c Z3
*
-
*
1 n
U+S
1 n2
Z1
1 n2 Z2
N
b n:1
采用导磁率 很高的磁性材料做变压器的芯子。
而在保持匝比不变得情况下，增加线圈的匝数， 并尽量紧密耦合，使k接近于1。同时使 L1, L2, M 非常非常大，认为增大到无限大。
8-5 含理想变压器电路的分析计算
由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想 变压器，激磁电感 ( 即初级电感 ) 可以认为是 外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路 的分析计算。
的功率，
Pmax
U
2 S
4 RS
8W
例8-6
3
+
2000V
-
j4 n:1
**
500
要使负载获得最大功率，求：n ?, Pmax ?
解：将次级折合到初级，RL'与ZL 3 j4 不可 能达到共扼匹配。
I3
+
2000V
-
j4
I
(3
2000 500n2 )
j4
RL' 500n2 2000 (3 RL ') j4