福建师范大学概率论期末考试题5

《概率论与数理统计》试题三

答案及评分标准

一、

填空题（每小题4分，共40分）

1、设A 与B 为互斥事件，0)B (P >，则=)B |A (P 0

2、n 次贝努里试验中事件A 在每次试验中的成功的概率为p ，则恰好成功k 次的概率为：

()

k

n k k n p p C --1。

3、已知)1,0(N ~X ，则}0X {P <与}0X {P >的关系是： 相等 。

4、用联合分布函数与边缘分布函数的关系表示随机变量X 与Y 相互独立的充分必要条件：

()()()y F x F y x F Y X ⋅=,。

5、设随机变量⋅⋅⋅⋅⋅⋅,X ,,X ,X n 21相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：

2

k k )X (D ,)X (E σμ== ),2,1(k ⋅⋅⋅=，当n 较大时，∑=n

1

k k X 标准化随机变量近似

服从()1,0N 分布。

6、设总体X 服从正态分布),(N 2

σ

μ，其中μ已知，2σ未知，321X ,X ,X 是从中抽取

的一个样本。请指出下列表达式中不是统计量的是 （4） 。

321X X X )1(++， )X ,X ,X (m i n )2(321， n

/S X )

3(μ-， n

/X )

4(σμ

-

7、设随机变量4321X ,X ,X ,X 相互独立，服从相同的正态分布),(N 2

σ

μ，则

4

3242

32

1222

1X X 2X X X 2X X X Y -+-+=服从()1,1F 分布。 8、已知总体),(N ~X 2

σ

μ，2,σμ均未知，现从总体X 中抽取样本,X ,,X ,X n 21⋅⋅⋅则

μ的矩估计量=μ

ˆX ；2

σ的矩估计量=2

ˆσ()

∑=-n

k k k x x n 1

1。 9、如果随机变量X 与Y 满足)Y X (D )Y X (D -=+则EXY 与EX ·EY 的关系是 相等。

10、设随机变量 ),(~p n B X 且 4.2=EX ，44.1=DX ，则

=n 6 ， =p 0.4 。

二、计算题（共60分）

1、（10分）一人从外地到北京来参加一个会议，他乘火车的概率为

5

3

， 乘飞机的概率为 52 ，如果乘火车来，迟到的概率为 41， 乘飞机来，迟到的概率为 6

1

， 求： （1）此人迟到的概率； （2）如果他迟到了，那么他是乘飞机来的概率为多大？ 解：设C=“此人迟到”，A=“乘火车”，B=“乘飞机” 则()53=

A P ，()52=

B P ，()41=A

C P ，()6

1

=B C P （1）由全概率公式：()()()()()

6013

61524153=⨯+⨯=

+=B C P B P A C P A P C P （2）由贝叶斯公式：()()()()()()()13460

136152=⨯=+=B C P B P A C P A P B C P B P C B P 2、（10分）某汽车总站每隔3分钟发一趟车，乘客在3分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以X 表示乘客的候车时间， 求：（1）乘客候车时间X 的概率分布。 （2）乘客候车时间不超过2分钟的概率。

解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它

0,3

x 0,31

)x (f

（2）3

2

dx 31)2X (P 2

==≤⎰

3、（10分）设二维随机变量Y)(X,的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它

,01

y 0,1x 0,Kxy )y ,x (f

求：（1）常数K ； （2）边缘概率密度；

（3）}1Y 1,-1X 1{P ≤≤≤≤-。

解：（1）由

⎰⎰

=10

1

1dxdy )y ,x (f 可得，⎰

⎰

==

1

1

1K 4

1

Kxydxdy 所以，4K =。 所以，⎩⎨

⎧≤≤≤≤=其它

,01

y 0,1x 0,4xy )y ,x (f

（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰其它，

0,1x 02x 4xydy )x (f 10X

⎪⎩⎪⎨

⎧≤≤==⎰其它

，

0,1y 02y 4xydx )y (f 10Y （3）}1Y 1,-1X 1{P ≤≤≤≤-=⎰⎰

=10

1

1dxdy )y ,x (f

4、（10分）设Y)(X,的分布为：

求：E(Y),E(X))1(

)Y (D ),X (D )2( )Y ,X (COV )3(

解：（1）.04.014.01EY ,4.04.01EX =⨯+⨯-==⨯= （2）.0.84.014.01)(EY ,4.04.01EX

222

=⨯+⨯-==⨯=

.8.008.0DY ,24.0)4.0(4.0DX 22=-==-=

（3）01.0111.0)1(1EXY =⨯⨯+⨯-⨯=

.0EXEY EXY )Y ,X (COV =-=

5、（10分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 )108.0,45.4(2

N ， 现测得9炉铁水的平

均含碳量为4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水，其平均含碳量仍为 4.45 （05.0=α）？（注：96.1975.0=u ，645.195.0=u ）