人教版七年级数学上典中点第四章整合提升专训一(含答案)

专训一：线段或角的计数问题

名师点金：

1.几何计数问题应用广泛，解决方法是“有序数数法”，数数时要做到不重复、不遗漏．

2．解决这类问题要用到分类讨论思想及从特殊到一般的思想．

3．回顾前面线段、直线的计数公式，比较这些计数公式的区别与联系．

线段条数的计数问题

1．先阅读文字，再解答问题．

(第1题)

如图①，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，如图②，在一条直线上取三点可得到3条线段，其中以A1为端点的向右的线段有2条，以A2为端点的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．

(1)如图③，在一条直线上取四个点，以A1为端点的向右的线段有______条，以A2为端点的向右的线段有______条，以A3为端点的向右的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)；

(2)如图④，在一条直线上取五个点，以A1为端点的向右的线段有______条，以A2为端点的向右的线段有________条，以A3为端点的向右的线段有________条，以A4为端点的向右的线段有______条，共有______＋______＋______＋______＝______(条)；

(3)如图⑤，在一条直线上取n个点(n≥2)，共有______条线段；

(4)某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛(每两个班赛一场)，那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？

平面内直线相交所得交点与平面的计数问题

2．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示．

(第2题)

列表如下：

直线条数最多交点个数把平面最多分成的部分数

1 0 2

2 1 4

3 3 7

………

(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________；

(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分；

(3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？

关于角的个数的计数问题

3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A：

(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？

(2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？

(3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？

(4)在角的内部作n 条射线，那么图中一共有几个角？

(第3题)

专训一

1．解：(1)3；2；1；3；2；1；6

(2)4；3；2；1；4；3；2；1；10

(3)n （n －1）2

(4)七年级有6个班，类似于一条直线上有6个点，每两个班赛一场，类似于两点之间

有一条线段，那么七年级的辩论赛共要进行6×（6－1）2

＝15(场)． 2．解：(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5

(2)45；56

(3)当直线条数为n 时，

最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2

(个)交点； 把平面最多可分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝⎣⎡⎦

⎤n （n ＋1）2＋1部分． 3．解：(1)如题图①，已知∠BAC ，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．

(2)题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中原来的三条射线再组成三个角，即题图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．

(3)如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中原来的四条射线再组成四个角，即题图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角．

(4)如果在一个角的内部作n 条射线，则图中共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝

（n ＋1）（n ＋2）2

(个)角．