新人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角同步练习
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新人教版九年级上册24.1.4圆周角同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（）A．3﹣B．C．D．24．如图，△ABC看，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．85．下列命题：①圆周角等于圆心角的一半；②x=2是方程x－1=1的解；③平行四边形4。
其中真命题的个数有【】A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．7．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是AC的中点，则∠DAC的度数是________．8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．9．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠A=50°，∠ABC=60°，则∠ABD=_____．10．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_____．三、解答题11．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．12．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC=6，则当CD= 时，四边形EBCA是矩形．13．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．14．（1）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，求∠BOC的度数．（2）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．参考答案1．D【分析】首先圆上取一点A ，连接AB ，AD ，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【详解】圆上取一点A ，连接AB ，AD ，∵点A 、B ，C ，D 在⊙O 上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°. 故选D ．【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2．D【解析】【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可．【详解】由图可知，OA=10，OD=5，在Rt △OAD 中，∵OA=10，OD=5，，∴tan ∠1=AD OD=∴∠1=60°， 同理可得∠2=60°， ∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°， ∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.3．D【分析】先根据勾股定理计算直径作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC=∠DCE，根据外角性质得：∠ACE=∠ECB，则∠ACE=∠ECB=45°，作辅助线后可得：△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则a，AF=2-a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=2，BC=4，∴，∵CD=BD，∴CD BD=，∴∠CAD=∠BAD，过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，∴PD=DQ，∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），∴CP=BQ，易得△APD≌△AQD，∴AP=AQ，设PC=x，则AP=2+x，-x，∴，，∴，OQ=1，Rt△ODQ中，，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，∵DC BC=，∴∠CAD=∠DCB，∴∠ACE=∠ECB，∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠ECB=45°，过E作EF⊥AP于F，∴△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则a，AF=2-a，∵EF∥PD，∴△AFE ∽△APD ， ∴EF AF PD AP＝， ∴2a＝，∴∴（.故选D ．【点评】本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC 是关键．4．D【分析】连接AE ，可得∠AED=∠BEA=90°，从而知点E 在以AB 为直径的⊙Q 上，继而知点Q 、E 、C 三点共线时CE 最小，根据勾股定理求得QC 的长，即可得线段CE 的最小值．【详解】如图，连接AE ，则∠AED=∠BEA=90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙Q 上，∵AB=10，∴QA=QB=5，当点Q 、E 、C 三点共线时，QE+CE=CQ （最短），而QE 长度不变，故此时CE 最小，∵AC=12，∴，∴CE=QC-QE=13-5=8.故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．5．A。
人教版数学九年级上册24-1-4圆周角同步练习题(最新)
24.1.4圆周角同步练习题一、单选题 1．如图．AB 为⊙O 的直径，C,D 为⊙O 上两点，CD ⌢=AD ⌢+BC ⌢，连AC,BD 相交于E 点．如若AB =2CE ．则DE:BE 的值为（ ）A ．√3−13B ．√2−1C ．√3−12D ．√2−122．如图，已知⊙O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ，∠AOD =128°，∠E =40°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．16°B ．20°C ．24°D ．35°3．如图，BC 是圆O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠ACB ＝30°，则∠AOB ＝（ ）A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°4．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接AE ，若∠BCD =2∠BAD ，若连接OD ，则∠DOE 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°5．有下列四个命题：（1）三点确定一个圆；（2）相等的弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．下列事件中，是随机事件的是( )A ．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似B ．相似三角形的对应角相等C ．⊙O 的半径为5，OP ＝3，点P 在⊙O 外D ．直径所对的圆周角为直角7．如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠C=50°，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角∠ASB 应满足的条件是（ ）A ．∠ASB >25°B ．∠ASB >50°C ．∠ASB <55°D ．∠ASB <50°8．如图，在⊙O 中，AB ⌢=AC ⌢，∠ACB =70°，则∠BOC 的度数是（ ）．A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°9．如图，已知：⊙O 中，AB 、CB 为弦，OC 交AB 于D ，则∠AOC =（ ）A．∠BOC B．∠ABC C．2∠BOC D．2∠ABC 10．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠ABD=50°，则∠C的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°二、填空题11．在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD >1 2AB；④12AB < DE < √22AB．12．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=40°，则∠C的度数为．13．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上一点，若∠A=102°，则∠DCE=．14．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°．若CD=4cm，则AB的长为cm．15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点E为AB的中点．以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB的异侧），连接CD．则△ACD的面积为．三、解答题16．如图，△APB内接于⊙O.（1）作∠APB的平分线PC，交⊙O于点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若∠APB=120º，连接AC，BC，求证：△ABC是等边三角形.17．已知在Rt△ABC中，∠B=30°，点M平分BC,AD平分∠BAC，过点A,M,D的⊙O分别交AB,AC于点E,F．(1)求∠MAD的度数；(2)连接DF，求证：△CDF是等边三角形；(3)若AC=4，则⊙O的半径r=______________．18．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．19．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．(1)如图①，求∠BOD及∠A的大小；(2)如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．20．问题发现：（1）如图①，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上一点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为．问题探究：（2）如图②，线段BQ=20，C为BQ上一点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC=任务：(1)将探索小组的解题过程补充完整；⌢所对的一个圆内角，延长AP交⊙O于点C，(2)如图3，当点P在⊙O内时，∠APB AB⌢所对的圆心角为n°，则∠APB的度数为延长BP交⊙O于点D，若设∠AOB=m°，CD______．。
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题带答案
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题带答案一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若70A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．70︒B ．90︒C ．110︒D ．140︒2．以原点O 为圆心的圆交x 轴于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若⊙DAB ＝25°，则⊙OCD ＝（ ）．A ．50°B ．40°C ．70°D ．30°3．已知有一个长为8，宽为6的矩形，能够把这个矩形完全盖住的最小圆形纸片的半径是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，⊙O 的半径为4，点A 、B 、C 在⊙O 上，且⊙ACB ＝45°，则弦AB 的长是（ ）A ．43B ．4C ．43D ．35．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连结AC 、AD 、BD ，若35CAB ∠=，则ADC ∠的度数为( )A ．35B ．55C ．65D ．70二、填空题7．如图，在O 中，点D 为弧BC 的中点 40COD ∠=︒，则BAD ∠= ．8．如图，⊙ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，若⊙CAB=55°，则⊙ADC 的大小为 （度）．9．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为⊙O 的弦，⊙ACD=25°，⊙BAD 的度数为 ．10．如图，CD 是O 的弦，O 是圆心，把O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，若100CAD ∠=︒，那么BCA BDA ∠+∠= ．11．如图，等边ABC 中，AB=4，P 为AB 上一动点 ,PD BC PE AC ⊥⊥，则线段DE 的最小值为 ．12．如图，点A 的坐标为（－2，0），点B 的坐标为（8，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为 ，若二次函数2y ax bx c =++的图像经过点A ，C ，B ．已知点P 是该抛物线上的动点，当⊙APB 是锐角时，点P 的横坐标x 的取值范围是 ．三、解答题13．如图所示，AB是O的一条弦OD AB⊥，垂足为C，交O于点D，点E在O上．(1)若64∠=︒，求DEBAOD∠的度数；OC=，OA=10，求AB的长．(2)若6⊥，OD与AC交于14．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD AC点E．(1)若20∠的度数；CAB∠=︒，求CADAB=，AC=6，求DE的长．(2)若815．如图，ABC内接于O，60∠=︒点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CFBAC相交于点H．试证明：∠=∠；（1）FAH CAO（2）四边形AHDO是菱形．16．如图，ABD △内接于半圆,O AB 是直径，点C 是BD 的中点，连接OC ，AC ，分别交BD 于点,F E ．(1)求证：OC AD ∥；(2)若10,8AB AC ==，求AD 的长．17．如图，在ABCD 中，过点C 的O 与AB ，AD 分别相切于点E ，F ，交BC ，CD 交于点G ，H ．连接FH ，FH=FD ．(1)求证：四边形ABGF 是平行四边形； (2)若4AE =，BE=6，求O 的半径．18．已知：如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，⊙CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE⊙AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ． （1）求证：⊙DAC=⊙DBA ；（2）连接CD ，若CD ﹦3，BD ﹦4，求⊙O 的半径和DE 的长．题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C C C B B7．20︒8．359．65°10．20°11．312．（0，-4）0＜x＜613．(1)32︒(2)1614．(1)35︒(2)4716．(2)2.817．415318．（2）⊙O的半径为2.5；DE=2.4．。
九年级数学上册24-1-4圆周角同步测试(新版)新人教版
九年级数学上册24-1-4圆周角同步测试（新版）新人教版1．如图21－1－41，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于( D )图21－1－41A．50°B．80°C．90°D．100°2．如图21－1－42，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝100 °，则∠A的度数为( B )图21－1－42A．40° B．50° C．80° D．100°3．如图24－1－43，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为( C )A．40° B．60° C．50° D．80°【解析】根据圆周角定理，可求得∠A的度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得∠DCE＝∠A＝50°.图24－1－434．如图21－4－44，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为( D )图21－4－44A．135° B. 122.5° C. 115.5° D．112.5°【解析】∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBC＝22.5°，∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°.∴∠C＝(360°－135°)＝112.5°.5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( C )图21－4－45 第5题答图A．55° B．60° C．65° D．70°【解析】连接BD，如图，∵点D是弧AC的中点，即弧CD＝弧AD，∴∠ABD＝∠CBD，而∠ABC＝50°，∴∠ABD＝×50°＝25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－25°＝65°.6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( D )图24－1－46A．20° B．40° C．50° D．80°【解析】∵弦AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠BOD＝2∠BCD＝2∠ABC＝2×40°＝80°.7．如图24－1－47，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__答案不唯一，如∠A＝∠C等__．图24－1－478．[2013·张家界]如图24－1－48，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC＝40°，则∠BOD＝__80°__．24－1－489．如图24－1－49，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则BC＝__5__cm.图24－1－4910．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O 上的一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__35__度．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.图24－1－5011．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC的度数为__30°__．【解析】因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，所以AD是∠BAC的平分线，所以∠DAC＝30°.图24－1－5112．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．解：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC ＝∠C.又∵∠BDC＝∠BOC，∴∠C＝∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.图24－1－52第12题答图13．如图24－1－53，CD⊥AB于E，若∠B＝70°，则∠A＝__20°__．图24－1－53【解析】因为CD⊥AB，∠B＝70°，所以∠C＝20°，所以∠A＝20°.14．如图24－1－54，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB 的延长线上，BD＝BC，则∠D＝__27°__．【解析】∠ABC＝∠AOC＝×108°＝54°.因为BD＝BC，所以∠D＝∠ABC＝×54°＝27°.图24－1－54图24－1－5515．如图24－1－55，已知AB，CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC 交⊙O于点E.(1)求证：BE＝DF；(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．【解析】 (1)首先由平行线性质得到∠EBA＝∠COA＝∠CDF，然后根据相等的圆周角所对的弧相等即可证明＝，进一步得到＝，再根据等弧对等弦即可得到BE ＝DF；(2)根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧．解：(1)证明：∵DF∥AB，BE∥DC，∴∠EBA＝∠COA＝∠CDF，∴＝，∴＝，∴BE＝DF.(2)图中相等的劣弧有：＝，＝，＝，＝，＝等．图24－1－5616．已知：如图24－1－56，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC 于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.(1)求证：∠DAC＝∠DBA；(2)求证：P是线段AF的中点．证明：(1)∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA.∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA.(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD ＋∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝PA.又∵∠DFA ＋∠DAC＝∠ADE ＋∠PDF＝90°，∠ADE＝∠DAC，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，∴PA＝PF，即P是线段AF的中点．17．已知：如图24－1－57(1)，在⊙O中，弦AB＝2，CD＝1，AD⊥BD.直线AD，BC相交于点E.(1)求∠E的度数；(2)如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角的大小是否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由(图形未画完整，请你根据需要补全)．①如图(2)，弦AB与弦CD交于点F；②如图(3)，弦AB与弦CD不相交．图24－1－57【解析】 (1)连接OC，OD，则∠COD＝60°，且∠DBE＝∠DOC＝30°.解：(1)如图(1)，连接OC，OD.∵AD⊥BD，∴AB是⊙O的直径，∴OC＝OD＝CD＝1，∴△DOC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠DBE＝∠COD＝30°，∴∠E＝90°－∠DBE＝60°.(2)①如图(2)，连接OD，OC，AC.∵DO＝CO＝CD＝1，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝∠DOC＝30°，∴∠EBD＝∠DAC＝30°.∵∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－∠EBD＝60°.②如图(3)，连接OD，OC，同理可得出∠CBD＝30°，∠BED＝90°－∠CBD＝60°.。
人教版九年级数学上册同步练习 24.1.4 圆周角(包含答案)
九年级上册同步练习24.1.4 圆周角一．选择题（共12小题）1．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．130°2．如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则∠ACD的度数为（）A．46°B．23°C．44°D．67°3．如图，AB是圆O的弦，AB=20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是（）A．10B．5C．10D．204．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=36°，则∠C的度数为（）A．44°B．54°C．62°D．72°5．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC=30°，弧BC等于弧CD，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°6．如图，⊙O中，若∠BOD=140°，∠CDA=30°，则∠AEC的度数是（）A．80°B．100°C．110°D．125°7．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．8．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=130°，则∠D的度数是（）A．20°B．25°C．40°D．50°9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）A．8B．12C．16D．2010．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°11．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（）A．100°B．112.5°C．120°D．135°12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°二．填空题（共6小题）13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为．14．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，（1）若CD=16，BE=4，则⊙O 的半径为；（2）点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB，若∠M=∠D，则∠D的度数为．16．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A=102°，则∠DCE=．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC=40°，则∠BCD的度数为18．利用圆周角定理，我们可以得到圆内接四边形的一个性质，请规范写出我们所学的这个性质的内容，并利用这个性质完成下题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=60°，则∠DCE的度数是．三．解答题（共6小题）19．如图，在圆的内接四边形ABCD中，AB=AD，BA、CD的延长线相交于点E，且AB=AE，求证：BC是该圆的直径．20．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，△COD为等边三角形．（1）求∠CDB的大小．（2）若OE=3，直接写出BE的长．21．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°．（Ⅰ）求证：△ABC是等边三角形；（Ⅱ）求∠AOC的大小．22．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=112°，求∠CDE．23．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD=3，求⊙O的半径．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O 分别交AC，BM于点D，E．连结DE，使四边形DEBA为⊙O的内接四边形．（1）求证：∠A=∠ABM=∠MDE；（2）若AB=6，当AD=2DM时，求DE的长度；（3）连接OD，OE，当∠A的度数为60°时，求证：四边形ODME是菱形．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．在△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×25°=50°，同理可得：∠COD=∠ACO+∠OAC=2×30°=60°，故∠BOC=∠BOD+∠COD=110°．故选：B．2．【解答】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是46°，∴∠BOD=46°，∴∠BCD=∠BOD=23°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=67°．故选：D．3．【解答】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA=AB=×20=20，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN=AC，当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为20．故选：D．4．【解答】解：∵⊙O中，，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，故选：D．5．【解答】解：∵∠BAC=30°∴弧BC的度数是30°，∵弧BC等于弧CD∴∠DAC=30°．故选：A．6．【解答】解：由圆周角定理得，∠C=∠BOD=70°，∴∠AEC=∠C+∠CDA=100°，故选：B．7．【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∵∠AOC=2∠ABC=120°，∵OA=OC，OH⊥AC，∴∠COH=∠AOH=60°，CH=AH，∴CH=AH=OC•sin60°=，∴AC=2，∵CN=DN，DM=AM，∴MN=AC=，∵CP=PB，AN=DN，∴PN=BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．8．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O直径，∠AOC=130°，∴∠BDA=90°，∠CDA=65°，∴∠BDC=25°，故选：B．9．【解答】解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，又∵EF是⊙O的直径，∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≌△BFC（ASA），∴AE=BF，∵Rt△ECF中，CF=2、∠EFC=45°，∴EF2=16，则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，故选：C．10．【解答】解：∵∠AOD=130°，∴∠C=90°﹣，故选：C．11．【解答】解：∵AB经过圆心O，∴∠ACB=90°，∵∠B=3∠BAC，∴∠B=67.5°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=180°﹣∠B=112.5°，故选：B．12．【解答】解：连接OD、OB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠DCB=80°，∴40°≤∠BPD≤80°，∴∠BPD不可能为90°，故选：D．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOD=2∠ACD=50°，∴∠BOD=180°﹣50°=130°，故答案为：130°．14．【解答】解：在优弧BD上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故答案为100°．15．【解答】解：（1）设⊙O的半径为r，则OE=r﹣4，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DE=EC=CD=8，在Rt△OED中，OD2=OE2+DE2，即r2=（r﹣4）2+82，解得，r=10，故答案为：10；（2）由圆周角定理得，∠DOE=2∠M，∵∠M=∠D，∴∠DOE=2∠D，∴∠D=30°，故答案为：30°．16．【解答】解：连接OB，OD，∵∠DOB与∠A都对，∠DOB（大于平角的角）与∠BCD都对，∴∠DOB=2∠A，∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，∵∠DOB+∠DOB（大于平角的角）=360°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=102°，故答案为：102°17．【解答】解：∵OD∥BC，∴∠AOD=∠ABC=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°﹣∠OAD=110°，故答案为：110°．18．【解答】解：∵圆内接四边形的对角互补，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠A=60°，∴∠BCD=120°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=60°，故答案为；圆内接四边形的对角互补，60°．三．解答题（共6小题）19．【解答】解：连接BD．∵AE=AD=AB，∴∠E=∠ADE，∠ADB=∠ABD，∵∠E+∠EDB+∠ABD=180°，∴2∠EDA+2∠ADB=180°，∴∠EDA+∠ADB=90°，∴∠BDC=∠EDB=90°，∴BC是该圆的直径．20．【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形∴OC=OD=CD，∠OCD=∠ODC=∠COD=60°∵OB⊥CD∴∠COB=30°∵∠COB=2∠CDB∴∠CDB=15°（2）∵sin∠OCD==∴∴OC=2∴BE=OB﹣BE=2﹣3故答案为2﹣3．21．【解答】（Ⅰ）证明：∵=，∴AB=BC，又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形；（Ⅱ）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．22．【解答】解：由圆周角定理得，∠A=∠1=56°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CDE=∠A=56°．23．【解答】解：（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB=60°，由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°，∴△ABD是等边三角形；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则DH=BD=，∠BOD=2∠BAD=120°，∴∠DOH=60°，在Rt△ODH中，OD==，∴⊙O的半径为．24．【解答】解：（1）证明：∵∠ABC=90°，点M是AC的中点，∴AM=CM=BM．∴∠A=∠ABM．∵四边形DEBA为⊙O的内接四边形，∴∠ADE+∠ABM=180°，又∵∠ADE+∠MDE=180°，∴∠ABM=∠MDE∴∠A=∠ABM=∠MDE．（2）解：由（1）知∠A=∠ABM=∠MDE，∴DE∥AB∴△MDE∽△MAB∴=∵AD=2DM，∴AM=3DM∴=∴DE=2．（3）证明：由（1）知∠A=∠ABM=∠MDE，∵∠A=60°，∴∠A=∠ABM=∠MDE=60°∴∠AMB=60°又∵OA=OD=OE=OB∴△AOD、△OBE都是等边三角形∴∠ADO=∠AMB=∠OEB=60°，∴OD∥BM，AM∥OE∴四边形ODME是平行四边形，又∵OD=OE∴四边形ODME是菱形。
人教版九年级上册数学 24.1.4 圆周角 同步练习(含答案)
人教版九年级上册数学24.1.4 圆周角同步练习一．填空题1．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC＝°．2．如图，⊙O中，∠AOB＝80°，点C、D是上任两点，则∠C+∠D的度数是°．3．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD＝25°，则∠AOD＝．4．如图，点A，D，B为⊙O上的三点，∠AOB＝120°，且过A的直线交BD延长线于点C，连接AD，且AD ＝CD，则∠C的度数为．5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为．6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝．7．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，（1）若CD＝16，BE＝4，则⊙O的半径为；（2）点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB，若∠M＝∠D，则∠D的度数为．9．如图，△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC边于E、D，连接BD、CE交于点F．以下四个结论：①ED＝BC；②∠ACE＝30°；③BD平分∠ABC；④若连接AF，则AF⊥BC．其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BOC＝2∠BAD，则⊙O的直径为．二．解答题11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC并延长至点D，使DC＝CB．连接DA并延长，交⊙O 于另一点E，连接AC，CE．（1）求证：∠E＝∠D（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．12．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝62°，∠APD＝86°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．13．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠BAC＝20°，∠DAC＝35°．求证：AD＝CD．14．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE＝2OE．15．如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE＝BE，求∠C的度数．16．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．参考答案一．填空题1．36．2．80．3．130°．4．30°．5．40°．6． 25°．7．6．8．30°．9．①②④．10． 10．二．解答题11．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB．∴∠B＝∠D，∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠D；（2）解：∵∠E＝∠D，∴DC＝CE，∵DC＝CB，∴CB＝CE，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（BC﹣2）2+BC2＝42解得，BC1＝1+，BC1＝1﹣（舍去），∴CE＝1+，即CE的长为1+．12．（1）∵∠APD＝∠CAB+∠C，∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝86°﹣62°＝24°，∴∠B＝∠C＝24°；（2）作OE⊥BD于E，如图所示：则DE＝BE，∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AD＝×6＝3，即圆心O到BD的距离为3．13．证明：∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，在△ABC中，∵∠DAC＝35°，∴∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣35°﹣110°＝35°，∴∠DCA＝∠DAC，∵AD＝CD．14．（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA＝90°∴AO＝OB＝3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB＝2OM＝∴P点坐标为（3，）（2分）在直角三角形ABP中，AB＝6，PB＝2，根据勾股定理得：AP＝4，所以圆的半径MC＝2，又OM＝，所以OC＝MC﹣OM＝，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM＝MC＝2，AO＝3，OC＝，∴AM＝MC＝AC＝2，∴△AMC为等边三角形（2分）又∵AP为圆M的直径得∠ACP＝90°得∠OCE＝30°（1分）∴OE＝1，BE＝2∴BE＝2OE．（2分）15．（1）∵四边形ABED 圆内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°；（2）连接AE．∵DE＝BE，∴＝，∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°．16．作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．。
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题附答案
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题附答案一、单选题1．如图，点A，B，C在⊙O上∠BAC=52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（）A．26°B．70°C．104°D．128°2．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的（）A．B．C．D．3．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，⊙ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（）A．7√2B．247√2C．257√2D．2454．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）．A．33°B．37°C．43°D．47°5．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=√3，则弦AB所对圆周角的度数为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且⊙BOD＝110°，则⊙BCD为（）A．110°B．115°C．120°D．125°7．如图，在半圆O中，若⊙ABC＝70°，则⊙ADC的度数为（）A．70°B．140°C．110°D．130°8．如图，⊙O中OC⊥AB，∠BOC=50°，则∠ADC的度数是（）A．20°B．24°C．25°D．30°9．如图，△ABC是等边三角形AB=2，点P是△ABC内一点，且∠BAP−∠CBP=30°，连接CP，则CP的最小值为（）A．12B．√32C．2−√3D．√3−1二、填空题10．如图，点A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AB、BC、CD、AE，且∠A+∠C=155°，则弧DE所对圆心角的度数为．11．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，已知∠OBA=20°，则∠ACB=．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AD的延长线上∠ABC=135°，AC=4．（1）∠CDE的度数为；（2）⊙O的半径为．13．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上∠BCD=120°，若AB=2，则弦BD的长为 .14．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ．若AB =8，OC =3则EC 的长为 ．15．如图，△ABC 内接于⊙O ．若⊙O 的半径为3，∠C =45°则弦AB 的长为 ．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ⏜上的三等分点∠AOE =60°，则∠COE 的度数是 ．17．如图，四边形ABCD 的对角线AC 是⊙O 的直径AB =AD ，∠AOD =110°，则∠BCD = °．三、解答题18．如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD．求证：DE=BE．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦∠ACD=36°，求∠BOD的度数．20．如图所示，BC是⊙O的直径AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于E，求证：BE=AE．21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，⊙APB=⊙CPB=60°．(1)判断⊙ABC的形状，并证明你的结论．(2)证明：P A+PC=PB．22．（1）【问题情境】A是⊙O外一点，P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA=5，则点P到点A的最短距离为．（2）【直接运用】如图1，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）【构造运用】如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边BC，CD向终点C，D运动，连接AM和BN交于点P，求点P到点C的距离最小值．（4）【灵活运用】如图3，⊙O的半径为4，弦AB=4，C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM面积的最大值是．参考答案：1．C2．B3．C4．B5．D6．D7．C8．C9．D10．50°11．70°12．135°2√213．√3．14．2√1315．3√216．80°17．11018．证明：⊙AB=CD⌢=CD⌢⊙AB⌢−BD⌢=CD⌢−BD⌢⊙AB⌢=CB⌢⊙AD⊙AD=BC又⊙∠A=∠C，∠D=∠B⊙△ADE≌△CBE⊙DE=BE．19．⊙AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=36°⊙∠AOD=2∠ACD=72°⊙∠BOD=180°−∠AOD=108°．20．证明：延长AD交⊙O于H，如图∵AB=AF∴AB⌢=AF⌢∵AD⊥BC∴AB⌢=BH⌢∴BH⌢=AF⌢∴∠BAH=∠ABF ∴AE=BE．21．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，⊙BCA=⊙APB=60°，⊙BAC=⊙CPB=60°⊙⊙ABC=60°⊙⊙ABC=⊙ACB=⊙BAC=60°⊙⊙ABC是等边三角形；（2）证明：在PB上截取PH=P A⊙⊙APB=60°⊙⊙APH为等边三角形⊙AP=AH，⊙P AH=60°⊙⊙BAH+⊙CAH=⊙P AC+⊙CAH即⊙BAH=⊙P AC在△AHB和△APC中{AB=AC∠BAH=∠PACAH=AP⊙⊙AHB⊙⊙APC（AAS）,⊙BH=PC⊙PB=PH+BH=P A+PC．22．解：（1）当点P是OA与⊙O的交点时，PA为最短AP=AO−OP=5−2=3（2）如图，连接AO，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的最短∵AC=BC=2∴r=12BC=1∴AO=√22+12=√5∴AP的最小值为AO−r=√5−1故答案为：√5−1；（3）∵AB=BC,∠ABM=∠BCN∴△ABM≌△BCN∴∠BAM=∠CBN∴∠CBN+∠ABP=90°∴∠BAM+∠ABP=90°∴AM⊥BN故点P点在以AB为直径的圆上运动，连接OC，与⊙O的交点，此交点P即为PC最小时的位置；∵AB=6∴OC=√32+62=3√5∴PC的最小值为3√5−3；（4）连接OA,OB∵OA=OB=4=AB∴△AOB是等边三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=1∠AOB=30°2∵AM⊥AC∴∠M=60°∵AB=4，要使△ABM面积最大，则点M到AB的距离最大如图，∵∠M=60°∴点M在以∠ADB=120°的⊙D上当AM=BM时，点M到AB的距离最大∴△ABM是等边三角形∴△ABM的最大面积为12AB×√32AB=√34AB2=√34×16=4√3．第11页共11页。
人教版数学九年级上册：24.1.4 圆周角 同步练习(附答案)
24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC＝50°，则∠A的度数是() A．25° B．20°C．80° D．100°2．如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝()A．55° B．110°C．120° D．125°3．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是() A．24° B．28°C．33° D．48°4．如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为 m.5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是() A．35° B．45° C．55° D．65°6．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )A ．65°B ．75°C ．50°D ．55°8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为 .9．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为 ． 10．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD11．如图，AB ︵是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C ，D 在AB ︵上，连接AD ，CO ，BC ，BD ，OD.若∠COD ＝62°，且AD ∥OC ，则∠ABD 的大小是( )A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°12．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°13．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD ＝130°，AC ∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B ＝ 度．14．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为 ．15．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP ⊥BC 于点P ，AM 为⊙O 的直径．若∠BAM ＝15°，则∠CAP ＝ .16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点． (1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．17．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为 .第2课时圆内接四边形1．如图，图中∠A＋∠C＝()A．90° B．180°C．270° D．360°2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是()A．115° B．105° C．100° D．95°3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．1∶2∶3∶4 B．1∶3∶2∶4C．4∶2∶3∶1 D．4∶2∶1∶34．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是．5．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，D 是AC ︵的中点，则∠DAC 的度数是 度．6．圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD ＝65°.求证： (1)AD ＝CD ；(2)AB 是⊙O 的直径．8．如图，在⊙O 中，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝ ．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA ＝DC ，∠CBE ＝50°，则∠DAC 的大小为( )A ．130°B ．100°C ．65°D ．50°10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A ．48°B ．96°C ．114°D ．132°11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为 ．12．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径．13．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 为⊙O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使得CD ＝BD.连接AC 交⊙O 于点F ，连接AE ，DE ，DF. (1)求证：∠E ＝∠C ；(2)若∠E ＝55°，求∠BDF 的度数．14．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．参考答案：24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1．A2．D3．A4．200 .5．C6．D7．A8．50°.9．30°或150°．10．D11．B12．D13．40．1415．15°.16．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AB ＝12×2＝1.17．8__cm .第2课时 圆内接四边形1．B 2．B 3．D 4．AB ∥CD ． 5．30．6．解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x °，x °，7x °，8x °，则 2x ＋x ＋7x ＋8x ＝360.解得x ＝20. 2x ＝40，7x ＝140，8x ＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°，20°，140°，160°. 7．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝180°－25°－130°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB是⊙O的直径．8．140°．9．C10．B11．50°．12．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.13．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C ＋∠CFD＝110°.14．解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，又∵∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF ， ∴∠ADC ＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°.∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADF 中，∠A ＝90°－∠F ＝90°－42°＝48°.(3)连接EF.∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠BCD ＋∠A ＝180°.又∵∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∴∠ECD ＝∠A.∵∠ECD ＝∠CEF ＋∠CFE ，∴∠A ＝∠CEF ＋∠CFE.∵∠A ＋∠CEF ＋∠CFE ＋∠DEC ＋∠BFC ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°.∴∠A ＝90°－α＋β2.。
人教版九年级上册数学 24.1.4圆周角 同步练习
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角同步练习一.单选题1．如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠ACD=35°，则∠BAD=（）A．55°B．40°C．35°D．30°2．如图，直径为10的A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧A 优弧上一点，30OBC ∠=︒，则点C 的坐标为（）．A．(B．()0,5C．⎛⎝D．⎛⎝3．如图，AB 是O 的直径，点在O 上，若20AED ∠=︒，则BCD ∠的度数为（）A．120︒B．110︒C．100︒D．90︒4．如图，点A，B，C 在⊙O 上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC 的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°5．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10B．8C．6D．56．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，E 为弧BC 上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=（）A．14°B．28°C．56°D．80°7．如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（）A．85︒B．75︒C．70︒D．65︒8．如图，在菱形ABCD 中，AB＝BD，点E、F 分别是AB、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF 与DE 相交于点G，连接CG 与BD 相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC 平分∠BGD；③S 四边形BCDG ＝4CG 2；④∠BGE 的大小为定值.其中正确的结论个数为（）A．1B．2C．3D．49．如图，点A，B，C 在一条直线上，△ABD，△BCE 均为等边三角形，连接AE 和CD，AE 分别交CD，BD 于点M，P，CD 交BE 于点Q，连接PQ，BM，下面的结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ 为等边三角形；④MB 平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）A．CE=DEB．弧BC=弧BD C．∠BAC=∠BAD D．AC﹥AD二.填空题11．已知O 中，直径6cm AB ，弦A C 的长为3cm，则弦A C 的长为3cm，则弦AC 所对圆周角的度数为．12．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D 三点的⊙O 分别交BC，CD 于点E，M，下列结论：①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O 的直径为2；④AE=AD.其中正确的结论有（填序号）.13．如图，某博览会上有一圆形展示区，准备在圆形边缘的五等分点A，B，C，D，E 处安装5台相同的监视器，为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要度．14．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，AE=4ED，BE 的中垂线分别交BE，BC 的延长线于点H，N.且BC=CN，⊙C 为△BNH 的外接圆，CF∥BE，交⊙C 于点F，FM⊥AB 于点M（FM＜BC），若FM=20，则tan ∠AEB=；矩形ABCD 的周长为.15．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠OAB=.三.解答题16．如图，AB 是⊙O 直径，弦CD 与AB 相交与点E，∠ADC=26°，求∠CAB 的度数．17．如图，A，C，B．D 四点都在⊙O 上，AB 是⊙O 的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD 的长．18．如图所示，AB 是半圆O 的直径，C，D 是半圆上两点，且//OD AC OD ，与BC 相交于点E .（1）求证：E 是BC 的中点.（2）若BC=8，DE=3，求AB 的长.19．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC 的长．20．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，C 为 BD的中点，若30CBD ∠=︒，⊙O 的半径为12．（1）求BAD ∠的度数；（2）求扇形OCD 的面积．21．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD 是△ABC 的角平分线，过A、C、D 三点的圆与斜边AB 交于点E，连接DE．（1）求BE 的长；（2）求△ACD 外接圆的半径．22．如图所示，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，弦//DE BC ，交AC 于点 F AD DE=，，连结AE.（1）求证：ADE 是等边三角形.（2）连结OB，若2BD =，求OB 的长.。
24.1.4 圆周角 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)
24.1.4圆周角知识点1 圆周角定理例1．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，«Skip Record If...»为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的弦B．«Skip Record If...»是圆心角C．«Skip Record If...»是圆周角D．«Skip Record If...»变式2．如图，在«Skip Record If...»中，点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上一点，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．130°3．AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（）A．32°B．64°C．116°D．128°知识点2 同弧或等弧所对的圆周角相等例4．如图，«Skip Record If...»、«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°变式5．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在圆上，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»等于（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»6．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为«Skip Record If...»的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．5«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．5D．«Skip Record If...»知识点3 直径所对的圆周角例7．如图，半径为5的«Skip Record If...»经过点C和点O，点B是y轴右侧«Skip Record If...»的优弧上一点，«Skip Record If...»，则点C的坐标为（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»变式8．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA ＝_____度．9．如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧«Skip Record If...»上一点，则∠ACB＝_______．课堂练习10．如图，在⊙O 中，AC =«Skip Record If...»AB ， 直径BC =2«Skip Record If...»， «Skip Record If...»， 则AD =___．11．如下是小华设计的“作«Skip Record If...»的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在«Skip Record If...»上任取一点C ，以点C 为圆心，«Skip Record If...»为半径作半圆，分别交射线«Skip Record If...»于点P ，点Q ，连接«Skip Record If...»«Skip Record If...» ①«Skip Record If...»，理由是② 第二步过点C 作«Skip Record If...»的垂线，交«SkipRecord If...»于点D ，交«Skip Record If...»于点E«Skip Record If...»，«Skip Record If...» ③ 第三步作射线«Skip Record If...»射线«Skip Record If...»平分«Skip Record If...»射线«Skip Record If...»为所求作．12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），设∠OAB ＝α，∠C ＝β，（1）当α＝35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．13．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC.OC.BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．14．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC 分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．参考答案1．B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A.点C不在«Skip Record If...»上，所以AC不是«Skip Record If...»的弦，故错误，不符合题意；B.因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；C.点C不在«Skip Record If...»上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；D.当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若«Skip Record If...»成立，则AC+OC＜OA+OB，∴AC＜OA，与题干矛盾，∴D选项错误，不符合题意；故选B．【点拨】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．2．D【分析】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，由∠AOC= 100° 求出∠ADC= «Skip Record If...»∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC= 180° ，即可求出∠ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，∵∠AOC= 100° ，∴∠ADC= «Skip Record If...»∠AOC=50° ，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC= 180° ，∴∠ABC= 180° -50° =130° ，故选：D．【点拨】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．C【分析】根据圆周角定理可求∠AOC，根据邻补角定义可求∠AOC的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°∴∠BOC=2∠D=2×32°=64°∴∠AOC=180°-∠BOC=116°故选：C【点拨】考核知识点：圆周角定理．理解圆周角定理是关键．4．C【分析】先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A ＝20°，由三角形外角定理即可得出答案．【详解】解：∵∠A＝20°，∴∠EOD＝2∠A＝40°，又∵«Skip Record If...»，∴∠ADB＝∠A＝20°，∴∠AFC＝∠EOD＋∠ADB＝40°＋20°＝60°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．5．B【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝55°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠B＝55°．故选：B．【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．A【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．【详解】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵B为«Skip Record If...»的中点，∴∠BOD=∠ACD=30°，∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，∴∠BOQ=30°+60°=90°．∵直径CD=10，∴OB=«Skip Record If...»CD=«Skip Record If...»×10=5，∴BQ=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=5«Skip Record If...»，即PA+PB的最小值为5«Skip Record If...» ．故选A．【点拨】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理、圆的对称性质应用．7．A【分析】先根据«Skip Record If...»可得CD是«Skip Record If...»的直径，进而求得«Skip Record If...»，再利用圆周角定理得出∠CDO的度数，进而利用含30°的直角三角形的性质得出答案．【详解】解：如图，设«Skip Record If...»与x轴的交点为D，连接CD．«Skip Record If...»∴CD是«Skip Record If...»的直径，∵«Skip Record If...»的半径为5，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴点C的坐标为«Skip Record If...»，故选：A．【点拨】此题主要考查了圆周角定理及其推论以及含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．8．70【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，∴∠B=540°-430°=110°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠CDA=180°，∴∠CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点拨】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．9．118°【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝124°，∴∠ADB＝«Skip Record If...»∠AOB＝«Skip Record If...»×124°＝62°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣62°＝118°．故答案为：118°．【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与它的圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．«Skip Record If...»【分析】过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，DC，根据«Skip Record If...»和BC是直径可以得到，∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB，即可得到AE=DE，利用勾股定理先求出AB，BD再求出AE，即可求出AD.【详解】解：如图所示，过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，CD∵BC是圆的直径∴∠BAC=90°=∠BDC∵«Skip Record If...»∴∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB∴BD=DC∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠EDA=∠DAB=45°∴AE=DE在Rt△ABC中，AC=«Skip Record If...»AB，BC=2«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»同理«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»设AE=DE=x，则BE=4-x在Rt△DEB中，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴AE=DE=3∴«Skip Record If...»故答案为：«Skip Record If...».【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，等腰三角形的判定等等，大角对大边，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11．见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③«Skip Record If...»【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．①∵OQ是直径∴∠OPQ=90°故答案为：90；②故答案为：直径所对的圆周角是直角；③∵CE⊥PQ∴由垂径定理得：«Skip Record If...»«Skip Record If...»．故答案为：«Skip Record If...»【点拨】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键12．（1）55°；（2）α+β=90°，证明见解析．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．【详解】解：（1）连接OB，∵∠OAB=α=35°，∴∠OBA=35°，∴∠AOB=110°，∴β=«Skip Record If...»∠AOB=55°；（2）结论：α+β=90°．证明：∵∠AOB=180°-2α，β=«Skip Record If...»∠AOB∴β=90°-α，∴α+β=90°．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．13．（1）翙解析；（2）圆O的直径为10cm．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理即可得«Skip Record If...»，然后由圆周角定理可得∠BCD=∠BAC，又由OA=OC，根据等边对等角，可得∠BAC=∠ACO，继而证得结论；（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴«Skip Record If...»，∴∠BCD=∠BAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACO=∠BCD；（2）设⊙O的半径为R cm，则OE=OB-EB=（R-2）cm，CE=«Skip Record If...»CD=«Skip Record If...»×8=4（cm）．在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R-2）2+42，解得R=5，∴OB=5 cm．故圆O的直径为10 cm．【点拨】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．14．（1）见解析；（2）BD＝2.8【分析】（1）利用弧的中点，等腰三角形的性质计算即可．（2）利用勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理的推论计算即可．【详解】（1）证明：∵C是«Skip Record If...»的中点，∴«Skip Record If...»，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝«Skip Record If...»＝6，∵C是«Skip Record If...»的中点，∴OC⊥AD，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.8．【点拨】本题考查了垂径定理及其推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键．。
人教版九年级数学上册《24.1.4 圆周角》 同步练习
24.1.4 圆周角一．选择题1．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∠COB＝40°，则∠BAD等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°2．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC 的度数为（）A．100°B．105°C．125°D．110°3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝20°，则∠BAD为（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（）A．54°B．30°C．36°D．60°6．⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝D．∠BCA＝∠DCA 7．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°8．如图，在⊙O中，＝，∠C＝70°，则∠A的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°9．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（）A．70°B．35°C．40°D．20°10．在同圆或等圆中，下列说法正确的有（）①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形是菱形；③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（）A．∠1＝∠4B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C．∠4＝∠7D．∠ADC＝∠2+∠512．如图，四边形ABCD内接于⊙O上，∠A＝60°，则∠BCD的度数是（）A．15°B．30°C．60°D．120°13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）A．3B．6C．9D．1214．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C＝120°．若AD＝2，则AB的长为（）A．B．2C．2D．415．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OC⊥AB，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°二．填空题16．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝．17．如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且，若∠ABC＝∠CAD，则弦AC＝．18．在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是．19．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB＝10，BC＝4，则DP＝．20．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于．21．若平行四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A的度数为．22．如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠A＝80°，则∠C＝．23．如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝．24．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA、OC，∠AOC＝150°，则∠B＝°．25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝30°，则∠E的度数为．三．解答题26．如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC的中点，连接BC，OD．（1）求证：OD∥BC；（2）如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦BC的长．27．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．（1）若AC＝6，则BC的长是；（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．28．已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF 的大小．29．用两种方法证明命题“在圆的内接四边形中，如果一组对边相等，那么另一组对边平行”．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝CD．求证：AD∥BC．证法1：∵，∴＝．∴．即＝，∴∠DCB＝∠ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴．∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC．请把证1补充完整，并用不同的方法完成证法2．30．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．求证：△ABC是等边三角形．参考答案一．选择题1．解：∵直径AB过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，∴＝，∴∠BAD＝∠COB＝×40°＝20°．故选：D．2．解：设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，如图所示：∵∠CBD＝55°．∴∠E＝∠CBD＝55°．∴∠AOC＝2∠E＝110°．故选：D．3．解：连接BD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝20°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝70°．故选：D．4．解：∵BC∥OA，∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故选：C．5．解：∵∠ACB＝54°，∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，故选：C．6．解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD．故选：B．7．解：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠BDC＝∠BOC＝30°．故选：B．8．解：∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣2×70°＝40°，故选：C．9．解：如图，连接DE，∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠BED＝70°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，故选：D．10．解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，才能成立．②圆内接平行四边形是菱形，错误，圆内接平行四边形是矩形．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，正确．④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．错误，弦所对的圆周角有两个，也可能互补．故选：A．11．解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC＝∠2+∠5，故A，B，D都正确，∵和不一定相等，∴BC与DC不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C错误，故选：C．12．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，故选：D．13．解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴＝，∴AD＝CE＝2，∵BC＝6，∴△BEC的面积为BC•CE＝×6×2＝6，∵OB＝OE，∴△BOC的面积＝△BEC的面积＝×6＝3，故选：A．14．解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝120°，∴∠A＝60°，∵OD＝OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝OA，∵AD＝2，∴OA＝OD＝OB＝2，∴AB＝2+2＝4，故选：D．15．解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．二．填空题16．解：如图，在优弧上取一点E，连接AE、BE，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∵∠ACB＝100°，∴∠AEB＝80°，∵由圆周角定理得：∠AEB＝AOB＝，∴∠α＝2∠AEB＝160°，故答案为：160°．17．解：连接OC，由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC，∠CAD＝∠COD，∵∠ABC＝∠CAD，∴∠AOC＝∠COD，∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴AC＝AD＝3，故答案为：3．18．解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′（3，m），则有32+m2＝（9﹣m）2，解得m＝4，∴圆心O′（3，4），故答案为：（3，4）．19．解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴∠C＝90°，OA＝OD＝5，∴AC＝＝＝2，∵DE⊥AC，∴AP＝CP＝AC＝，∴OP＝＝＝2，∴DP＝OD+OP＝5+2＝7，故答案为：7．20．解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝65°，∴∠CDB＝90°﹣65°＝25°．故答案为25°．21．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，故答案为90°．22．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100°．23．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．24．解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠AOC＝150°，∴∠B＝75°或105°，故答案为：75或105．25．解：∵∠DCE＝∠F+∠B，∠DCE＝85°，∠F＝30°，∴∠B＝∠DCE﹣∠F＝85°﹣30°＝55°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝∠B＝55°，∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣85°﹣55°＝40°，故答案为40°．三．解答题26．（1）证明：连接BD，如图1所示：∵D为AC的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠BDO，∴∠CBD＝∠BDO，∴OD∥BC；（2）解：∵G为BC中点，∴OF⊥BC，由（1）得：OD∥BC，∴DO⊥EF，∴△DOE是等腰直角三角形，∴∠OED＝45°，∵DE⊥AB，∴∠EOA＝∠BOG＝45°，∴△OGB是等腰直角三角形，∴BG＝OB＝×2＝，∴BC＝2BG＝2．27．解：（1）如图1中，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝2．故答案为2．（2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．∵D是的中点，∴＝，∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC，设DH＝x，则OH＝4﹣x，∵AC⊥OD，∴∠CHD＝∠CHO＝90°，∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2，∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，解得x＝，∴CH＝＝＝，∵OD垂直平分AC，∴AC﹣2CH＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝7．②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．∵D，E，C是的三等分点，∴＝＝，∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC，∴DE∥AC，∵∠H＝∠I＝90°，∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°，∴四边形AHIC是矩形，∴AH＝CI，AC＝HI，∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°，∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL），∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2，∵∠H＝90°，∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2，∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2，解得x＝，∵EI＝DH＝，∴HI＝DH+DE+EI＝+2+＝，∴AC＝HI＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝．28．解：（I）∵＝＝，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（II）连接BF，∵AD⊥直线l，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝110°，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠ABF+∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．29．证法1，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠DCB＝∠ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故答案为：AB＝CD；+＝+；∠DCB+∠BAD＝180°；证法2，如图，连接OA、OB、OC、OD、AC，∵AB＝CD，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB，∠CAD＝∠COD，∴∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC．21 /2130．证明：∵∠ABC ＝∠APC ，∠BAC ＝∠BPC ，∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．。
人教版初中数学九年级上册《24.1.4 圆周角》同步练习卷
人教新版九年级上学期《24.1.4 圆周角》同步练习卷一．选择题（共3小题）1．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．52．若在⊙O上A、B两处各安装一台同样的摄像装置恰好可观察圆上A、B之间的优弧部分（其中摄像装置在A处所观察范围如图所示），为观察同样范围，改在劣弧AB的任意一点M或圆心O处安装同样的摄像装置，则在M、O处各需要摄像装置至少（）A．2台，4台B．2台，1台C．1台，2台D．1台，4台3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+二．填空题（共10小题）4．如图，⊙O的直径AB的长12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DE⊥AB于点E，OC⊥DF于点C，连接CE，AF，则sin∠AEC的值是，当CE的长取得最大值时AF 的长是．5．如图，已知点B（5，2），⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO ＝45°，圆心P的坐标为．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是．（填序号）7．如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N 与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是°．8．如图，⊙O的直径AB＝12，点C，D在⊙O上，连接BC，CD，且BC＝CD，若直线CD 与直线AB相交于点E，AE＝2，则弦BD的长为．9．已知点P（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OP A为直角三角形时，点P的坐标为．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为．11．平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），点D为OB上任意一点，连接AD，以OD为直径的圆交AD于点E，则当线段BE的长最短时E的坐标为．12．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．13．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是cm．三．解答题（共30小题）14．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．15．如图，已知AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点E，交AD延长线于点B，过点A作AC ⊥BC交⊙O于点G，交DE于点F．（1）求证：AD＝AF；（2）若DE＝2CF，试说明四边形OEFG为菱形．16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．17．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD＝，求AB的长．18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求弧CD的度数；（2）若AB＝26，DE＝8，求AC的长．19．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AC，BC，DG．（1）求证：∠ACG＝∠F；（2）若tan∠BAC＝，，求DG的长．20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线角于点F，求证：∠FGC＝∠AGD．21．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD＝5，DB ＝7．（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离．22．已知圆O的直径AB＝12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．23．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC＝8cm，DE＝2cm，求OD与AD的长．24．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°（1）求∠B的大小；（2）已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：DA＝DB，∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．26．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，⊙O经过点A和点B，与斜边BC交于点P（不与B、C重合），PE是⊙O的直径，连接AE，BE．（1）求证：AP＝AE；（2）若PE＝4，求PC2+PB2的值．27．如图，AB为半圆O的直径，弦CD与AB的延长线相交于点E．（Ⅰ）求证：∠COE＝2∠BDE；（Ⅱ）当OB＝BE＝2，且∠BDE＝60°时，求tan E．28．已知：如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．求证：∠OCF＝∠ECB．29．如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB＝2，∠AOE＝30°，求圆O的半径OC及PE的长．30．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4cm．（1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长；（3）若sin A＝，求⊙O的直径．31．如图，点C在⊙O上，连接CO并延长交弦AB于点D，＝，连接AC、OB，若CD＝8，AC＝．（1）求弦AB的长；（2）求sin∠ABO的值．32．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4cm．（1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长；（3）若2sin A﹣1＝0，求⊙O的直径．33．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．34．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O 于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．35．已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O 于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG＝∠EBG；（2）若sin∠CAB＝，求的值．36．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，连接BE（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD＝CD．37．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．38．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD＝CD．39．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），AB⊥CD．（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CED＝∠COB；（2）点E´在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CE´D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．40．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，求DE的长．41．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．（1）求⊙O的面积；（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求CD的长．42．如图，已知AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，弦CD⊥AB，垂足为点E，AB＝5，BC＝3，点F为劣弧AC中点，连结DF．（1）求AD的长．（2）求OE的长．（3）求tan∠FDC的值．（4）求DF的长．43．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为；此时，∠POQ的度数为．人教新版九年级上学期《24.1.4 圆周角》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．【解答】解：∵AB＝CD，∴＝，∴＝，∴∠AOC＝∠BOD，故①正确；∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着，∴∠BOD＝2∠BAD，故②正确；∵＝，∴AC＝BD，故③正确；∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着，∴∠CAB＝∠BDC，故④正确；延长DO交⊙O于M，连接AM，∵D、C、A、M四点共圆，∴∠CDO+∠CAM＝180°（圆内接四边形对角互补），∵∠CAM＞∠CAO，∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误；即正确的个数是4个，故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．2．若在⊙O上A、B两处各安装一台同样的摄像装置恰好可观察圆上A、B之间的优弧部分（其中摄像装置在A处所观察范围如图所示），为观察同样范围，改在劣弧AB的任意一点M或圆心O处安装同样的摄像装置，则在M、O处各需要摄像装置至少（）A．2台，4台B．2台，1台C．1台，2台D．1台，4台【分析】如图，连接OC，OB，MC，MB．因为摄像装置的视角为∠CAB，根据∠CAB ＝∠CMB，∠COB＝2∠CAB，即可判断；【解答】解：如图，连接OC，OB，MC，MB．∵摄像装置的视角为∠CAB，又∵∠CAB＝∠CMB，∠COB＝2∠CAB，∴在M、O处各需要摄像装置至少2台，4台；故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题；【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥P A，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二．填空题（共10小题）4．如图，⊙O的直径AB的长12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DE⊥AB于点E，OC ⊥DF于点C，连接CE，AF，则sin∠AEC的值是，当CE的长取得最大值时AF的长是4．【分析】先求出OC，在判断出点O，C，D，E是以OD为直径的圆上，进而得出∠AEC 的值，再判断出CE最大时，OC⊥AB，即可得出结论．【解答】解：如图1，连接OD，∴DO＝AB＝6，∵OC⊥DF，∴∠OCD＝90°，CD＝CF＝DF＝2，在Rt△OCD中，根据勾股定理得，OC＝＝4，∴sin∠ODC＝＝＝，∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°＝∠OCD，∴点O，C，D，E是以OD为直径的圆上，∴∠AEC＝∠ODC，∴sin∠AEC＝sin∠ODC＝，如图2，∵CD是以OD为直径的圆中的弦，CE要最大，即：CE是以OD为直径的圆的直径，∴CE＝OD＝6，∠COE＝90°，∵∠OCD＝∠OED＝90°，∴四边形OCDE是矩形，∴DF∥AB，过点F作FG⊥AB于G，易知，四边形OCFG是矩形，∴OG＝CF＝2，FG＝OC＝4，∴AG＝OA﹣OG＝4连接AF，在Rt△AFG中，根据勾股定理得，AF＝＝4，故答案为，4．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，判断出点O，C，D，E是以AD为直径的圆上是解本题的关键．5．如图，已知点B（5，2），⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO ＝45°，圆心P的坐标为（）．【分析】连接OP，OB，PB，延长BP交⊙P于E，作EF⊥OA于F，BH⊥x轴于H．利用全等三角形的性质求出点E坐标即可解决问题；【解答】解：连接OP，OB，PB，延长BP交⊙P于E，作EF⊥OA于F，BH⊥x轴于H．∵∠BPO＝2∠BAO，∠BAO＝45°，∴∠BPO＝90°，∵PO＝OB，∴△PBO是等腰直角三角形，∵BE是直径，∴∠BOE＝90°，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OE＝OB，∵∠EOB＝∠AOH＝90°，∴∠EOF＝∠BOH，∵∠EFO＝∠BHO＝90°，∴△EFO≌△BHO（AAS），∴OF＝OH＝5，BF＝BH＝2，∴E（﹣2，5），∵PE＝PB，∴P（，）．故答案为（，）．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是①③④．（填序号）【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，③由平行线得到∠OCB＝∠DBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出∠OBC＝∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，故①正确；②∵∠AEC＝∠ABC+∠A，∠AOC＝∠ABC+∠C，根据图形好已知不能推出∠C＝∠A，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；③∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③正确；④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO＝90°，∵点O为圆心，∴AF＝DF，故④正确；⑤∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故⑤不正确；综上可知：其中一定成立的有①③④，故答案为：①③④．【点评】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．7．如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N 与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是120°．【分析】首先连接OE，由∠ACB＝90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．【解答】解：连接OE，∵∠ACB＝90°，AB为半圆的直径，∴E、A、C、B四点共圆，∴∠ACP＝3°×20＝60°，∴∠AOE＝2∠ACP＝120°，即第20秒点E在量角器上对应的读数是120°，故答案为：120．【点评】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8．如图，⊙O的直径AB＝12，点C，D在⊙O上，连接BC，CD，且BC＝CD，若直线CD 与直线AB相交于点E，AE＝2，则弦BD的长为或3．【分析】分两种情形分别画出图形求解即可解决问题；【解答】解：①当BD、BC在直径AB的同侧时．连接OC、AD．∵＝，∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠OFB＝90°，∴AD∥OC，∴＝，∴＝，∴AD＝，∴BD＝＝．②当BD，CD在直径AB两侧时，连接AD，CO，CO的延长线交BD与F．同法可证：AD∥OC，∴＝，∴＝，∴AD＝3，∴BD＝＝3，故答案为或3．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．已知点P（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OP A为直角三角形时，点P的坐标为（10，2）、（8，4）、（9，3）．【分析】分情况讨论：①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去；②若A 为直角顶点，则P A⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y＝﹣x+12中，得y＝2，求出点P坐标为（10，2）；③若P为直角顶点，可得△OPB∽△P AB，根据相似三角形的性质求出P点横坐标，进而得到P点坐标．【解答】解：分情况讨论：①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去；②若A为直角顶点，则P A⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y＝﹣x+12中，得y＝2，所以点P坐标（10，2）；③若P为直角顶点，可得△OPB∽△P AB．∴＝，∴PB2＝OB•AB．∴（﹣x+12）2＝x（10﹣x）．解得x＝8或9，∴点P坐标（8，4）或（9，3）．∴当△OP A为直角三角形时，点P的坐标为（10，2）、（8，4）、（9，3），故答案为：（10，2）、（8，4）、（9，3）．【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉一次函数的性质以及三角形的面积公式以及懂得直角三角形的性质是解题的关键．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为130°．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝40°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝×（360°﹣100°）＝130°，故答案为：130°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．11．平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），点D为OB上任意一点，连接AD，以OD为直径的圆交AD于点E，则当线段BE的长最短时E的坐标为．【分析】由OD是直径，推出∠OED＝∠OEA＝90°，推出点E的运动轨迹是以OA为直径的圆，设OA的中点为K，连接BK，当点E在BK上时，BE的长最短，作EH⊥OA 于H，由EH∥OB，可得＝＝，由此即可解决问题；【解答】解：如图，∵OD是直径，∴∠OED＝∠OEA＝90°，∴点E的运动轨迹是以OA为直径的圆，设OA的中点为K，连接BK，当点E在BK上时，BE的长最短，∵A（4，0）、B（0，4），∴OA＝PB＝4，∵OK＝KA＝2，∴EK＝OA＝2，BK＝＝2，作EH⊥OA于H，∵EH∥OB，∴＝＝，∴＝＝，∴EH＝，KH＝，∴OH＝2﹣，∴E（2﹣，）．【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型．12．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝，故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．13．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是5cm．【分析】连接BD，由圆周角定理得∠BCA＝90°，再由已知得∠ACD＝45°，从而得出△ABD为等腰直角三角形，由勾股定理求解即可．【解答】解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∴∠ABD＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD2+BD2＝AB2，∵AB＝10cm，∴AD＝5cm．故答案为5．【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，是基础知识要熟练掌握．三．解答题（共30小题）14．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．【分析】（1）根据四点共圆进行画图即可；（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径进行画图即可．【解答】解：（1）如图1，∠P即为所求：（2）如图2，∠CBQ即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．熟练掌握圆周角定理是解决此题的关键．15．如图，已知AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点E，交AD延长线于点B，过点A作AC ⊥BC交⊙O于点G，交DE于点F．（1）求证：AD＝AF；（2）若DE＝2CF，试说明四边形OEFG为菱形．【分析】（1）连接OE，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；（2）连接OG，利用等边三角形的性质和菱形的判定解答即可．【解答】证明：（1）如图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，OE是半径，∴OE⊥BC，∴∠BEO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴OE∥AC，∴∠OED＝∠F，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠ODE＝∠F，∴AD＝AF；（2）连接OG，∵OE∥AF，OD＝OA，∴DE＝EF，∵DE＝2CF，∴EF＝2CF，∵∠ACB＝90°，∴∠F＝60°，∵AD＝AF，∴△ADF是等边三角形，∴∠A＝60°，∵OA＝OG，∴∠OGA＝60°，∴∠OGA＝∠F，∴OG∥EF，∵OE∥AF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵OE＝OG，∴平行四边形OEFG是菱形．【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据切线的性质和平行线的判定和性质解答．16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC＝r，OE＝OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．【解答】（1）证明：如图．∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE＝CD＝×4＝2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．17．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD＝，求AB的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD＝90°，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．【解答】（1）证明：∵∠B+∠D＝90°，∴∠BHD＝180°﹣90°＝90°，即AB⊥CD，∵AB过O，∴CH＝DH，即H是CD的中点；（2）解：连接OD，∵H为CD的中点，CD＝2，AB过O，∴DH＝CH＝CD＝，AB⊥CD，∴∠BHD＝90°，由勾股定理得：BH＝＝＝1，设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OB＝OD＝R，在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2＝OD2，即（R﹣1）2+（）2＝R2，解得：R＝，∴AB＝2×＝3．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求弧CD的度数；（2）若AB＝26，DE＝8，求AC的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC的度数，根据平行线的性质求出∠AOD的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；（2）根据三角形中位线定理求出BC的长，根据勾股定理求出答案．【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°，又∠B＝70°，∴∠BAC＝20°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°，又OD＝OA，∴∠OAD＝55°，∴∠DAC＝35°，∴的度数是70°；（2）∵AB＝26，∴OD＝13，又DE＝8，∴OE＝5，∵OD∥BC，OA＝OB，∴BC＝2OE＝10，∴AC＝＝24．【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握直径所对的圆周角是直角、圆的半径相等、三角形中位线定理是解题的关键．19．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AC，BC，DG．（1）求证：∠ACG＝∠F；（2）若tan∠BAC＝，，求DG的长．【分析】（1）首先证明∠FGC＝∠ADC＝∠ACD，由∠DCG＝∠GCA+∠ACD＝∠FGC+∠F，即可推出∠ACG＝∠F；（2）如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．想办法求出DH，GH，利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，∴＝，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠FGC+∠AGC＝180°，∠ADC+∠AGC＝180°，∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD，∵∠DCG＝∠GCA+∠ACD＝∠FGC+∠F，∴∠ACG＝∠F．（2）解：如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．∵AB＝10，tan∠BAC＝＝，∴BC＝2，AC＝4，∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝＝4，∴BE＝＝2，OE＝3，∵＝，∴OG⊥AB，∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°，∴四边形OEHG是矩形，GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，DH＝9，在Rt△DGH中，DG＝＝＝3．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线角于点F，求证：∠FGC＝∠AGD．【分析】连接AD，如图，先根据垂径定理由CD⊥AB得＝，再根据圆周角定理得∠AGD＝∠ADC，根据圆内接四边形的性质得∠FGC＝∠ADC，所以∠FGC＝∠AGD．【解答】解：连接AD．∵CD⊥AB，∴＝，∴∠AGD＝∠ADC，∵∠FGC＝∠ADC，∴∠FGC＝∠AGD【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．21．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD＝5，DB ＝7．（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离．【分析】（1）根据折叠的性质知：＝；若连接CD、AC，则∠DBC+∠BCD＝∠CAD，即∠CAD＝∠CDA；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE＝AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．（2）设圆心到BC的距离为h，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接CA、CD；根据折叠的性质，得：＝；∴∠CAB＝∠CBD+∠BCD；∵∠CDA＝∠CBD+∠BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠CAD＝∠CDA，即△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E，则AE＝DE＝2.5；∴BE＝BD+DE＝9.5；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝9.5×12＝114；故BC＝．（2）设圆心到BC的距离为h，圆的半径为r＝6，由（1）知，Rt△ECB中，BE＝9.5，BC＝，∴，∵，∴h＝，故圆心到BC的距离为．【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．22．已知圆O的直径AB＝12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．【分析】（1）先判断出∠POB＝90°，进而求出最后用勾股定理即可得出结论；（2）先求出，，进而求出，即可得出结论．【解答】解：如图1，联结OD∵直径AB＝12∴OB＝OD＝6∵PD⊥OP∴∠DPO＝90°∵PD∥AB∴∠DPO+∠POB＝180°∴∠POB＝90°又∵∠ABC＝30°，OB＝6∴∵在Rt△POD中，PO2+PD2＝OD2∴∴（2）如图2，过点O作OH⊥BC，垂足为H∵OH⊥BC∴∠OHB＝∠OHP＝90°∵∠ABC＝30°，OB＝6∴，∵在⊙O中，OH⊥BC∴∵BP平分∠OPD∴∴PH＝OH•cot45°＝3∴．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数，利用锐角三角函数求出线段是解本题的关键．23．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC＝8cm，DE＝2cm，求OD与AD的长．【分析】连接AC，设⊙O的半径为R．在Rt△ODB中，利用勾股定理求出R，再利用三角形的中位线定理求出AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD即可；【解答】解：连接AC，设⊙O的半径为R．∵＝，∴OE⊥BC，∴CD＝DB＝4cm，在Rt△ODB中，∵OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣2）2+42＝R2，∴R＝5，∴OD＝OE﹣DE＝3，∵AO＝OB，CD＝DB，∴AC＝2OD＝6，∵AB是直径，∴∠C＝90°，∴AD＝＝＝2．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．24．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°（1）求∠B的大小；（2）已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．【分析】（1）先依据三角形的外角的性质求得∠C的度数，然后再根据圆周定理求解即可；（2）利用三角形中位线的性质得出EO＝AD，即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠APD＝∠C+∠CAB，∴∠C＝65°﹣40°＝25°，∴∠B＝∠C＝25°；（2）作OE⊥BD于E，则DE＝BE，又∵AO＝BO，∴OE＝AD，∴圆心O到BD的距离为3．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形中位线定理，根据已知得出EO＝AD 是解题关键．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：DA＝DB，∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．【分析】（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB＝90°，由于E是AB的中点，得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠B等量代换即可得到结论；（2）根据等腰三角形的判定定理得到AE＝EF＝2 ，推出AB＝2AE＝4 ，在Rt △ABC中，根据勾股定理得到BC＝＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；（2）∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2 ，∴AB＝2AE＝4 ，在Rt△ABC中，AC＝AB•sin B＝4，∴BC＝＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，∵AC2+CD2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．26．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，⊙O经过点A和点B，与斜边BC交于点P（不与B、C重合），PE是⊙O的直径，连接AE，BE．（1）求证：AP＝AE；（2）若PE＝4，求PC2+PB2的值．【分析】（1）欲证明AP＝AE，只要证明＝，只要证明∠ABE＝∠ABP＝45°即可；（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N．可证△PBN，△PCM都是等腰直角三角形，推出PC2+PB2＝2PN2+2PM2＝2（AN2+PN2）＝2P A2，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：∵PE是直径，∴∠EBP＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴＝，∴AE＝AP．（2）解：作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N．∵∠MAN＝∠AMP＝∠ANP＝90°，∴四边形AMPN是矩形，∴AN＝PM，∵∠PBN＝∠PCM＝45°，∴△PBN，△PCM都是等腰直角三角形，∴PC2+PB2＝2PN2+2PM2＝2（AN2+PN2）＝2P A2，∵PE是直径，PE＝4，∴∠EAP＝90°，∴2AP2＝16，∴PC2+PB2＝16．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．27．如图，AB为半圆O的直径，弦CD与AB的延长线相交于点E．（Ⅰ）求证：∠COE＝2∠BDE；（Ⅱ）当OB＝BE＝2，且∠BDE＝60°时，求tan E．【分析】（Ⅰ）想办法证明∠EOC＝2∠A，∠EDB＝∠A即可解决问题；（Ⅱ）作CF⊥OA于F，OH⊥CD于H．构造相似三角形解决问题即可；【解答】（Ⅰ）证明：连接AC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠EOC＝∠A+∠OCA，∴∠EOC＝2∠A，∵∠A+∠CDB＝180°，∠CDB+∠EDB＝180°，∴∠A＝∠EDB，∴∠COE＝2∠BDE．（Ⅱ）作CF⊥OA于F，OH⊥CD于H．∵∠EDB＝60°，∴∠EOC＝120°，∠COF＝60°，在Rt△COF中，∵CO＝2，∠COF＝60°，∴OF＝1，CF＝，EC＝＝2，∵∠E＝∠E，∠OHE＝∠CFE＝90°，∴△EOH∽△ECF，∴＝＝，∴＝＝，∴OH＝，EH＝，∴tan E＝＝．【点评】本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．28．已知：如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．求证：∠OCF＝∠ECB．【分析】延长CE交⊙O于点G，利用圆周角的性质进行解答即可．【解答】证明：延长CE交⊙O于点G．∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，∴BC＝BG，∴∠G＝∠2，∵BF∥OC，∴∠1＝∠F，又∵∠G＝∠F，∴∠1＝∠2．即∠OCF＝∠ECB．【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答．29．如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC（1）求证：AC平分∠OAB；。
人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角 同步练习
人教版数学九年级上册第二十四章圆24.1.4圆周角同步测试一、选择题1. 下列图形中的角是圆周角的是()A B C D2. 下列说法中正确的是()A. 顶点在圆周上的角叫圆周角B. 圆周角等于圆心角的一半C. 同弦所对的所有圆周角相等D. 弦所对的圆周角有无数个3. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为()A. 22B. 4C. 42D. 8第3题第4题4. 如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O中，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°5. 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是线段BC延长线上的一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是()A. 115°B. 105°C. 75°D. 85°6. ⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对的圆周角为()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°第7题 第8题8. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝59°，则∠C 等于( ) A. 29° B. 31° C. 59° D. 62°9. 如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D ＋∠E 的度数为( )A. mB. 180°－m 2C. 90°＋m 2D. m2第9题 第10题10. 如图，BA 是半圆O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠ABC ＝50°，则∠CAB ＝ .11. 如图所示，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝ ，∠B ＝ .第11题 第12题12. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，连接BC ，AC ，∠BAC ＝60°，弦AD 平分∠BAC ，若AD ＝6，那么AC ＝ .13. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，D ，E 在⊙O 上，说明：BD ＝DE .14. 如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，延长DC ，AB 相交于点E ，若BC ＝BE . 求证：△ADE 是等腰三角形.15. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是CAD ︵上一点(不与C ，D 重合)，求证：∠CPD ＝∠COB ；(2)点P ′在CD ︵上(不与C ，D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.16. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵中点，连接BM ，CM . (1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长.17. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD .(1)弦长AB ＝ (结果保留根号)； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数.18. 在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD . (1)如图①，若点D 与圆心O 重合，AC ＝2，求⊙O 的半径r ； (2)如图②，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，求∠DCA 的度数.答案1. B2. D3. C4. C5. B6. D7. C8. B9. B 10. 40° 11. 80° 100° 12. 213. 解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠EAD ，∴︵BD ＝︵DE，∴BD ＝DE .14. 证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB ＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠BCE .∴∠A ＝∠E .∴AD ＝DE .∴△ADE 是等腰三角形.15. (1)证明：连接OD ，∵AB 是直径，AB ⊥CD ，∴︵BC ＝︵BD ，∴∠COB ＝∠BOD ＝21∠COD .又∵∠CPD ＝21∠COD ，∴∠CPD ＝∠COB .(2)解：∠CP ′D ＋∠COB ＝180°.证明：∵四边形PCP ′D 是圆内接四边形，∴∠CPD ＋∠CP ′D ＝180°.∴∠CP ′D ＋∠COB ＝180°.16. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ，∴︵AB ＝︵CD ，∵M 为︵AD 中点，∴︵AM ＝︵DM ，∴︵AB ＋︵AM ＝︵CD ＋︵DM ，即︵BM ＝︵CM.∴BM ＝CM .(2)解：∵⊙O 的半径为2，∴⊙O 的周长为4π，∴︵BM 的长＝83×4π＝23π. 17. 解：(1)2(2)∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角，∴∠BOD ＝∠B ＋∠BCO ，∠BCO ＝∠A ＋∠D .∴∠BOD ＝∠B ＋∠A ＋∠D .又∵∠BOD ＝2∠A ，∠B ＝30°，∠D ＝20°，∴2∠A ＝∠B ＋∠A ＋∠D ＝∠A ＋50°，∴∠A ＝50°，∴∠BOD ＝2∠A ＝100°.18. 解：(1)如图①，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，则AE ＝21AC ＝21×2＝1.∵翻折后点D 与圆心O 重合，∴OE ＝21r .在Rt △AOE 中，AO 2＝AE 2＋OE 2，即r 2＝12＋(21r )2，解得r ＝33.(2)连接BC .∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝25°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝65°.根据翻折的性质，︵AC 所对的圆周角为∠B ，︵ABC所对的圆周角为∠ADC ，∴∠ADC ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝∠CDB ＝65°，∴∠DCA ＝∠CDB －∠A ＝65°－25°＝40°.。
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新人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角同步练习
一、选择题
1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．
A ．140°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
O
B
A
2
1
4
3
O B
(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2
C ．∠4<∠1<∠3∠2
D ．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC
等于（ ）．
A ．3
B ．3．5-1
2
3．5
二、填空题
1．半径为2a 的⊙O 中，弦AB 的长为3，则弦AB 所对的圆周角的度数是________．
2．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•
O B
C
2
1
E
D
O B
C
(4) (5)
3．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．
三、综合提高题
1．如图，弦AB 把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O 半径为1，求弦长AB ．
O
B
A
2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．
（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．
O B
A P
3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，
4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．
O
B
A C y x
M
参考答案
一、1．D 2．B 3．D
二、1．120°或60° 2．90° 3．
3
三、13．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又AB AC
，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=4
3
3
3．（1）略（2）4，（32）。