导数在研究函数中的应用-单调性课件(92张)

(2)由 f′(x)＝3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立． ∴a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． 又∵－1＜x＜1， ∴3x2＜3，只需 a≥3. 当 a＝3 时， f′(x)＝3(x2－1)在 x∈(－1,1)上，f′(x)＜0， 即 f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3. 故存在实数 a≥3，使 f(x)在(－1,1)上单调递减．
图象是单调下降的.
y

1 x2
0
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y1 x
y x2 2x 1 y 3x
y
y
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和（0, ＋ ∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
解： f (x)=2x-2=2(x-1)>0
当 f (x)>0，即x>1时，函数单调递增；
当 f (x)<0，即x<1时， 函数单调递减；
y
f (x) x2 2x 3
图象见右图。
o1
x
练习:判断下列函数的单调性
【方法点评】 1.求函数单调区间的基本步骤 是：
(1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)由 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)，解出相应的 x 的 范围．当 f′(x)＞0 时，f(x)在相应的区间上是 增函数；当 f′(x)＜0 时，f(x)在相应的区间上 是减函数． 还可以通过列表，写出函数的单调区间．
个为最小值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为 函 数 的 __最__小__值___ ， f(b) 为 函 数 的 __最__大__值____；若函数 f(x)在[a，b]上单调递 减，则 f(a)为函数的__最__小__值___，f(b)为函数 的__最__大__值____．
间是减函数？在哪个区间上是增函数？
解: (1)求函数的定义域
函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
y
（2）求函数的导数
f ' (x) 2x 4
（3）令 f ' (x) 0以及 f ' (x) 0
2
o
x
求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。
令2x－4>0,解得x>2
∴x∈(2,＋∞)时，f (x)是增函数
[教师选讲]已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ ax)ex(x∈R，e 为自然对数的底数)． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的单调递增区 间；
【解析】 ∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]， ∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)． 令 3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即 x2＋2ax＋a＋2 ＝0. ∵函数 f(x)有极大值和极小值， ∴方程 x2＋2ax＋a＋2＝0 有两个不相等的实 根． 即 Δ＝4a2－4a－8＞0，∴a＞2 或 a＜－1.
在(－ ∞,＋∞) 上是增函数
概念回顾
1．函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，若 f′(x)>0 ， 则 f(x) 为 __增__函__数____ ； 若 f′(x)<0，则 f(x)为___减__函__数___．
单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p) 解： f (x)=cosx-1<0
从而函数f(x)=sinx-x
在x∈(0,p)单调递减， y
见右图。
o
x
f (x) sin x x
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： f (x)=6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0
已知函数 f(x)＝x3－ax－1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围． (2)是否存在实数 a，使 f(x)在(－1,1)上单调递 减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在， 说明理由．
【思路点拨】 求 f′(x f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立 a 的范围
当 f (x) >0，
即 x 1 17 或x 1 17
2
2
时，
函数单调递增；
当 f (x) <0，
即 1 17 x 1 17 时， y
2
2
函数单调递减；
图象见右图。
o
x
练习2:确定下面函数的单调区间:
f(x)=x/2+sinx;
解: (1)函数的定义域是R,
f ( x) 1 cos x.
【解析】 ∵y＝xsinx＋cos x， ∴y′＝ (xsin x)′＋ (cos x)′＝ sin x＋ xcos x－sin x＝xcos x， ∴当32π＜x＜52π时，xcos x＞0，即 y′＞0.
【答案】 C
3．函数 f(x)＝x3＋ax－2 在区间(1，＋∞)
上是增函数，则实数 a 的取值范围是
【答案】 a＞2 或 a＜－1
5．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的 最大值为________．
【解析】 f′(x)＝3x2－6x. 令 f′(x)＝0 得 x＝0，x＝2(舍)， 比较 f(1)，f(0)，f(－1)的大小知，f(x)max＝f(0) ＝2.
【答案】 2
函数的单调性与导数
③把函数 f(x)的间断点(即包括 f(x)的无定 义点)的横坐标和上面的各实根按由小到 大的顺序排列起来，然后用这些点把函数
f(x)的定义区间分成若干个小区间． ④确定 f(x)在各小开区间内的符号，根据 _f_′__(x_)_的__符__号___判定函数 f(x)在每个相应小 开区间内的增减性．
近为负，那么函数 y＝f(x)在这个根处取得 __极__大__值___；如果在根的左侧附近为负，右 侧附近为正，那么函数 y＝f(x)在这个根处取 得_极__小__值___．
3．函数的最大值与最小值 (1)设 y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，y ＝f(x)在(a，b)内有导数，求函数 y＝f(x)在[a， b]上的最大值与最小值，可分两步进行． ①求 y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将 y＝f(x)在各极值点的极值与f_(_a_)，___f(_b_) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一
图象是单调上升的.
y 1 0
在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
y 2x 0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.
y 2x 0
图象是单调上升的.
y 3x2 0(当x 0时)
在x∈(-∞,0)内
图象是单调下降的.
y


1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
2．函数 y＝x sinx＋cos x 在下面哪个区间
内是增函数( )
A．(π2，32π)
B．(π，2π)
C．(32π，52π)
D．(2π，3π)
令2x－4<0,解得x<2
∴x∈(-∞,2)时，f (x)是减函数
确定函数 f (x) 2x3 6x2 7，在哪个区 间是增函数，那个区间是减函数。
y 解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
f '(x) 6x2 12 x
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
2
令
1 2

cos x

0
,解得
2kp

2p
3

x

2kp

2p
3
(k Z).
令
1 cos x 0 2
,解得 2kp 2p x 2kp 4p (k Z).
3
3
4．函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大 值又有极小值，则 a 的取值范围是________．
1．函数 y＝x3 的单调增区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
【解析】 ∵y＝x3， ∴y′＝3x2≥0 且只有当 x＝0 时 y′＝0， ∴y＝x3 的递增区间为(－∞，＋∞)．
【答案】 C
y
o1
解：由题意可知
y f (x)
()
A．[3，＋∞)
Байду номын сангаас
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
【解析】 ∵f(x)＝x3＋ax－2 在(1，＋∞) 上是增函数， ∴f′(x)＝3x2＋a≥0 在(1，＋∞)上恒成立． 即 a≥－3x2 在(1，＋∞)上恒成立． 又∵在(1，＋∞)上－3x2＜－3，∴a≥－3.