数学分析习题

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A 、8x+10y+7z-12=0；

B 、8x+10y+7z+12=0；

C 、8x -10y+7z-12=0；

D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则

L

y ds =⎰

（ 4 ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

L

zdx xdz +⎰

= （ 3 ）

A 、3

B 、5

C 、7

D 、9 4、

()1

3x y x y dxdy +≤+⎰⎰

=（ 2 ）

A 、2

B 、4

C 、6

D 、8 5、

02

11(,)y dy f x y dx --⎰

⎰

，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2

110

(,)x dx f x y dy -⎰⎰ B 、2

111(,)x dx f x y dy --⎰⎰

C 、

2

11

(,)x dx f x y dy +⎰

⎰

D 、2

11

1

(,)x dx f x y dy +-⎰⎰

6、V=[-2, 5]⨯[-3, 3]⨯[0,1]，则

2()V

xy z dv +⎰⎰⎰

=（ 3 ）

A 、1

B 、7

C 、14

D 、21

7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4

8、曲面S 为上半单位球面z =外侧，则

S

yzdxdz ⎰⎰

=（ 2 ）

A 、π/2

B 、 π/4

C 、π/6

D 、π/8

9、函数2

3

u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。

0cos x e xdx

-∞

⎰

，10

⎰

，3cos ln x dx x +∞⎰，20⎰，1+∞⎰ A 、2 B 、3 C 、4 D 、5

二、填空题（28分，每空4分）

1、区域Ω由1z =与2

2

z x y =+围成的有界闭区域，则

(,,)f x y z dv Ω

⎰⎰⎰

在直角坐标下的三

次积分为

柱坐标下三次积分

球坐标下三次积分

2、曲线L ：x=cost, y= sint , z=t ，从A(1,0,2π)到原点，则第二型曲线积分L

Pdx Qdy Rdz

++⎰

化为第一型曲线积分得

3、L 为中心在原点的椭圆，则332()()y y L

yx e dx xy xe y dy +++-⎰

=

4、2

2

:z x y ∑=+，取下侧，则(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑

++⎰⎰

化为第

一型曲面积分为

5、极坐标下的二次积分

/2

2cos /4

(,)d f r dr πθπ

θθ⎰⎰

交换积分顺序得

三（7分）、证明方程组22201

u v x y u v xy ⎧+--=⎨-+=⎩在（2,1,1,2）点附近能决定隐函数(,)(,)x u v y u v ϕψ=⎧⎨=⎩，

并求他们的偏导。

四（10分）、讨论反常积分

ln(1)

k

x dx x +∞+⎰

的敛散性

五（10分）、有界闭区域D 由光滑曲线L 围成，函数(,)u x y 、2

(,)()v x y C D ∈，n 为L 外法向，证明：（1）D

D

L

u

v udxdy u vdxdy v

ds n

∂∆=-∇∇+∂⎰⎰

⎰⎰⎰； （2）[()D

L

v u u v v udxdy u

v ds n n

∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰

⎰

六（10分）、计算22221/2()()

axdydz z a dxdy

x y z ∑++++⎰⎰∑为下半球面z =a 为正常数。

七（10分）、f 连续，证明：

()()()A D

A

f x y dxdy f t A t dt --=-⎰⎰

⎰

，其中，

:/2,/2D x A y A ≤≤