人教版初三数学 反比例函数

思路点拨:(3)分别求出一次函数和反比例函数当y≥50时自变量的取值范 围,则结果易得.
解:(3)当 0≤x≤10 时,y=5x+30≥50,解得 x≥4,
当 10≤x≤40 时,y= 800 ≥50,解得 x≤16, x
16-4=12, ∴老师必须在 12 分钟以内讲完这道题.
1.(2017 遂宁)若点 A(-6,y1),B(-2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y= a2 1 (a 为常 x
小关系是( D (A)y1<y2<y3 (C)y2<y1<y3
) (B)y3<y2<y1 (D)y3<y1<y2
思路点拨:比较函数值的大小可以用反比例函数的性质法、数形结合法、 特殊值法.
解析:法一 根据反比例函数的性质 ∵k<0,图象在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大. 当-2<-1<0时,0<y1<y2. 又3>0时,y3<0.∴y3<y1<y2.故选D.
坐标代入双曲线表达式求出 k 的值.
解:(1)∵点 A(- 1 m,m-2),B(1,n)在直线 y=-2x+b 上, 2
∴
m b m 2 b n,
2,
解得
b n
2, 4,
∴B(1,-4),
代入反比例函数表达式 y= k ,得-4= k ,
x
1
∴k=-4.
(2)如图,直线AB交x轴于点C,交y轴于点D,若点E为CD的中点,求△BOE的面积.
(1)当0≤x≤10时,求y关于x的函数关系式; (2)当10≤x≤40时,求y关于x的函数关系式;
思路点拨:(1)用待定系数法求出直线表达式. (2)先求出x=10时y的值,再用待定系数法求出反比例函数表达式.
解:(1)当 0≤x≤10 时,设 y=kx+b, 将(0,30),(2,40)两点代入,得
几何意义得到 1 ×|3|+ 1 |k|=2,然后解关于 k 的绝对值方程可得到满足条件的 k
2
2
的值. 解析:连结 OC,OB,如图,
∵BC∥x 轴, ∴ S = △ACB S . △OCB
∵ S = △OCB 1 ×|3|+ 1 |k|,
2
2
∴ 1 ×|3|+ 1 |k|=2,|k|=1,∴k=±1.
2.(2018 遂宁)已知一次函数 y1=kx+b(k≠0)与反比例函数 y2= m (m>0) 的图象 x
如图所示,则当 y1>y2 时,自变量 x 满足的条件是( A ) (A)1<x<3 (B)1≤x≤3 (C)x>1 (D)x<3
解析:由题图可得,当1<x<3时,一次函数的图象在反比例函数图象的上 方,则y1>y2.故选A.
2
22
2
反比例函数的应用 [例4] (2019自贡模拟)学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数 表示.某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x(分钟)的变化 图象如图.上课开始时注意力指数为30,第2分钟时注意力指数为40,前10 分钟内注意力指数y是时间x的一次函数,10分钟以后注意力指数y是x的反 比例函数.
(2)直接写出当 x<0 时,kx+b< m 的解集. x
解:(2)∵在第二象限中,B 点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方,∴当 x<0 时,kx+b< m 的解集为-9<x<0.
x
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反比例函数的图象与性质
1.反比例函数 y= k (k≠0)的图象是 双曲线 且关于 x
2.反比例函数 y= k (k≠0)的图象分布及性质 x
原点
对称.
函数
k的 符号
图象
所在象限
性质
y= k x
(k≠0)
k >0 k<0
第 一、三 象 限(x,y 同号)
第 二、四 象 限(x,y 异号)
在每个象限内, y 随 x 增大而
法二 数形结合法
根据-2<-1<0<3,在函数图象上画出三个对应点的大概位置,比较函数值大小.
如图,y3<y1<y2.故选 D. 法三 特殊值法
设 k=-3,把 x=-2,-1,3 分别代入 y=- 3 得,y1= 3 ,y2=3,y3=-1,
x
2
∴y3<y1<y2.故选 D.
比较函数值的大小的方法 (1)在同一象限内的点可以通过比较横坐标的大小来判断函数值的大小. (2)在不同象限内的点,依据与x轴的相对位置来进行函数值的大小比较. (3)根据题目的特点,常用的方法有性质法、数形结合法、特殊值法.
第11讲 反比例函数
反比例函数的有关概念 1.反比例函数
形如
yk x
(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.反比例函数中,自
变量的取值范围是 不等于0 的一切实数.
2.反比例函数的表达式的三种形式
k
(1)y=
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2)y= kx-1
(3)xy= k
(k≠0,k为常数); (k≠0,k为常数);
(k≠0,k为常数)
3.(2018 宜宾)已知,点 P(m,n)在直线 y=-x+2 上,也在双曲线 y=- 1 上,则 x
m2+n2 的值为 6
.
解析:∵点 P(m,n)在直线 y=-x+2 上, ∴n+m=2, ∵点 P(m,n)在双曲线 y=- 1 上,
x ∴mn=-1, ∴m2+n2=(n+m)2-2mn=4+2=6.
b 30, 2k b
40,
解得
k b
5, 30.
∴y=5x+30(0≤x≤10).
(2)把 x=10 代入 y=5x+30,得
y=5×10+30=80,
当 10≤x≤40 时,设 y= m ,将(10,80)代入,得 m=800,∴y= 800 (10≤x≤40).
x
x
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50,为了保证 教学效果,本节课讲完这道题不能超过多少分钟?
求反比例函数关系式的方法步骤
1.根据两变量间的反比例关系,设 y= k (k≠0). x
2.代入图象上一个点的坐标,即x,y的一对对应值,求出k的值. 3.写出关系式.
反比例函数与一次函数的图象交点的求法 求直线 y=k1x+b(k1≠0)与双曲线 y= k (k≠0)的交点坐标就是求这两个函数关系
则 S =4S 矩形 ABCO
四边形 ONMG
=4|k|,
∴S 四边形 ODBE=S 矩形 ABCO-S△OCE-S△OAD=3|k|=12,
∴|k|=4.
∵k>0,
∴k=4.
6.(2019 攀枝花)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b 的图象与反 比例函数 y= m 的图象在第二象限交于点 B,与 x 轴交于点 C,点 A 在 y 轴上,满
x 式组成的方程组的解.
反比例函数的应用
应用反比例函数解决实际生活中成反比例关系的问题,经常与物理中的力学、 电学等内容相结合,一般是列出函数关系式,在自变量的取值范围内用函数 的增减性解决问题.
反比例函数的图象和性质
[例 1] 若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线 y= k (k<0)上,则 y1,y2,y3 的大 x
反比例函数中k的几何意义 [例 2] 如图,平面直角坐标系中,点 A 是 x 轴上任意一点,BC 平行于 x 轴,分别
交 y= 3 (x>0),y= k (x<0)的图象于 B,C 两点,若△ABC 的面积为 2,则 k 的值为
x
x
( A)
(A)-1 (B)1
(C)- 1 (D) 1
2
2
思路点拨:连结 OC,OB,由于 BC∥x 轴,得 S = △ACB S△OCB,再利用反比例函数系数 k 的
∵S 矩形 BDOE=4,反比例函数 y= k (x>0)经过点 B, x
∴k=4, ∴S 矩形 ACOH=4, ∵AC=1,∴OC=4, ∴CD=OC-OD=OC-BE=4-1=3, ∴S 矩形 ACDF=1×3=3,
∴S△ACD= 3 . 2
5.(2019 眉山)如图,反比例函数 y= k (x>0)的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 x
减小
在每个象限内, y 随 x 增大而
增大
反比例函数 y= k (k≠0,k 为常数)中 k 的几何意义 x
如图,过双曲线上任一点 P 作 x 轴,y 轴的垂线 PM,PN,所得的矩形 PMON 的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.
∵y= k ,∴xy=k, x
∴S= |k| .
连结 OP,则 S =S = △OPN △OPM 1 |k|. 2
数)的图象上,则 y1,y2,y3 大小关系为( D )
(A)y1>y2>y3
(B)y2>y3>y1
(C)y3>y2>y1
(D)y3>y1>y2
解析:∵a2+1>0,
∴反比例函数 y= a2 1 的图象位于第一、三象限,且在每个象限内,y 随 x 的增 x
大而减小, ∵-6<-2,∴0>y1>y2,∵y3>0,∴y3>y1>y2.故选 D.
M,分别交 AB,BC 于点 D,E.若四边形 ODBE 的面积为 12,则 k 的值为 4 .