数值分析实验题答案

数值分析实验报告

姓名：

院系：能源学院热能工程

学号：

2014年4月

习题一实验3.2

编制正交化多项式最小二乘拟合程序，并用于求解3次多项式最小二乘拟合

为基的多项式最小问题，作拟合曲线的图形，计算平方误差，并与以函数{}0n k k

x

=

二乘拟合的结果作比较

表1

x-1.0-0.50.00.5 1.0 1.5 2.0

i

y-4.447-0.4520.5510.0480.4470.549 4.552 i

首先使用以函数{}0n k k

为基的多项式最小二乘拟合，代码如下：

x

=

然后使用正交化多项式方法作最小二乘拟合并画图，代码如下：

拟合得到的图形如下（图1）：从图形来看，二者与数据点都很吻合。计算结果为：

delta1=2.1762e-05delta2=4.4701e-04

为基的多项式拟合精度更高。

可以看出对于3次多项式以{}0n k k

x

=

图1

习题二 实验4.2

分别用复化Simpson 公式与变步长Simpson 公式计算，要求绝对误差限为71

=102

ε-⨯，输出每种方法所需的节点数和积分近似值并分析比较结果。

（1）62

2

0()10x x x dx -+⎰ （2）10⎰ （3）6220()10

x x x dx -+⎰

对于复化Simpson 公式，使用事前误差估计法得到所需计算节点数，有以

下误差估计公式：

4(4)

()()()(),(,)1802

n b a h R f f a b ηη-=-∈

对（1）式有：

(4)2

2

max ()36144x f x x ===

0.0266h ≤

75.2b a

N h -≥

=取76N =，计算节点数为21153N N =+= 对（2）（3）式由于其4阶导数值分布极不均匀，用最大值来估计所需计算

节点数造成很大浪费，尝试多次后分别取153N =和1091N =代码如下：

计算结果如下：

（1）计算结果

用复化Simpson公式计算：

节点数：153

近似值：1.161904777

用变步长Simpson公式计算：

节点数：77

近似值：1.161904766

标准值：1.161904762

（2）计算结果

用复化Simpson公式计算：

节点数：153

近似值：0.400000049

用变步长Simpson公式计算：

节点数：33

近似值：0.400000069

标准值：0.400000000

（3）计算结果

用复化Simpson公式计算：

节点数：1091

近似值：23.812135331

用变步长Simpson公式计算：

节点数：145

近似值：23.812135297

标准值：23.812135292

从以上计算结果可以看出，变步长simpson公式所需节点数明显减少，因为3个函数的4阶导数在积分区间内分布都部均匀，（2）（3）式更为严重，在先范围区间内导数值远大于其他区间，只需要在这些区间增加节点数就可以达到指定精度，而Simpson公式需要在全体积分限内采用较小间距才满足条件。

习题三 实验5.3

常微分方程初值问题

{y ′=−y +cos2x −2sin2x +2xe −x 0

有精确解2()cos 2x y x x e x -=+

(1)选择一个步长h 使4阶Adams 预测校正修正法和经典R-K 法均稳定，分别用这两种方法计算初值问题，以表格形式列出10个等距节点上的计算值和精确值并比较他们的计算精度。

(2)取h =0.001，依然用这两种方法计算，比较两种方法所花的计算机CPU 时间。

代码如下：

输出的结果如下：

节点x坐标经典R-K方法Adams预估-校正修正法标准值

0.0 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000

0.2 0.953809798603462 0.953809798603462 0.953810224126004

0.4 0.803957187302435 0.803957187302435 0.803957916712868

0.6 0.559930144914359 0.559930144914359 0.559929943470523

0.8 0.258373645529882 0.258086443587833 0.258371014733733

1.0 -0.048261190980325 -0.048506026987456 -0.048267395375700

1.2 -0.303663865842853 -0.303846236688374 -0.303674050387674

1.4 -0.458878611459712 -0.458961883351702 -0.458892291343109

1.6 -0.481423834832514 -0.481371870814424 -0.481439689728435

1.8 -0.361173917672502 -0.360982088404667 -0.361190018496207

2.0 -0.112288336571588 -0.111970963792309 -0.112302487917161

对于h=0.2，Adams方法的误差要高于经典R-K方法。h=0.001时，运行结果为：

节点x坐标经典R-K方法Adams预估-校正修正法标准值

2.0 -0.112302487917154 -0.112302487917161 -0.112302487917161

经典R-K方法运行时间为0.008448s，Adams方法运行时间为0.009849s，