数学建模国赛A题获奖论文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A

我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：10057066

所属学校（请填写完整的全名）：南京信息工程大学

参赛队员(打印并签名)：1.石婧

2.张蔚华

3.罗钰婧

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期：2014年09月15日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

2013年底我国发射了嫦娥三号月球探测器，首次进行月面软着陆，是我国航天事业的一大跨步。本文针对嫦娥三号软着陆的六个过程进行轨道设计与控制策略的确定，并做相应的误差分析和敏感性分析。

对于问题一，我们运用开普勒第二定律,迅速找出近日点和远日点之间的速度关联,根据机械能守恒定律使求得近日点和远日点的速度分别为1.673和1.633km/s 。然后建立动力方程，利用轨道根数将软着陆过程中的运行轨迹重建，求导迭代计算出探测器从近月点到落地点的水平距离为430km ，，最终求得近月点位置为（19.0464°W ，28.9989°N ，15km ），远月点位置为(160.9536°W ，28.9989°N,100km)，俯仰角为84°。

对于问题二，我们先建立三维空间下的月心坐标系，通过对初始下降位置的计算，基于牛顿第二定律建立月球探测器在惯性坐标系下的精确数学模型，给出着陆轨道方程。主减速过程利用燃料最优制导律，快速调整段利用重力转弯制导求最优解。然后，在粗避障和精避障阶段，对数字高程图进行聚类分析，确定最佳着陆点并借鉴障碍回避最优制导律求解。最终解得主减速模式历时约493s ，快速调整模式历时16s ，接近模式历时128s ，悬停模式17s ，避障模式19s ，缓速下降模式18s 。

对于问题三，对月球软着陆主制动段的位置、速度、力学、传感和燃料制导进行误差分析并建立模型，通过模拟整个闭环制导控制系统，仿真给出误差敏感性矩阵并分析得出位置偏差的敏感系数为4-10数量级，速度误差为2

-10数量级。误差结果表明，初始位置偏差对终端速度的影响较小，初始速度偏差对终端位置的影响较大，即此种制导方法对初始速度偏差较敏感。相对于初始状态偏差和测量误差，制导律对刻度因素误差的敏感性明显要高。关键词：动力学方程重力转弯轨道根数Pontryagin 极大值原理

一、问题的重述

随着中国航空航天事业的发展，继嫦娥一号，二号登月之后，嫦娥三号携带中国的第一艘月球车，实现了中国首次月面软着陆。嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点将在近月点15公里处以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零。整个过程大概需要十几分钟的时间至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题的分析

对于问题一，运用开普勒定律，根据机械能守恒定律先求出近日点和远日点的速度，在此基础上根据牛顿第二定律，结合科氏定律建立动力方程，将软着陆过程中的运行轨迹重建，求导迭代计算出探测器从近月点到落地点的水平距离，然后根据着陆点的位置倒推出近日点和远日点的位置和速度方向。

对于问题二，先建立三维空间下的月心坐标系，通过对初始下降位置的计算，基于牛顿第二定律建立月球探测器在惯性坐标系下的精确数学模型，给出着陆轨道方程。而后将软着陆过程六个阶段分成三种情况分别给出制导公式，主减速过程利用燃料最优制导律，主减速段利用重力转弯制导求最优解，避障阶段使用障碍回避最优制导律求解并利用简单易操作的聚类分析得出最佳降落位置。

对于问题三，首先对探测器着陆过程中的各种误差进行简单列举，分析参数扰动对最优策略分析结果的影响。然后着重讨论了位置和速度误差，力学模型误差，传感误差