高考数学真题全刷——超难1000题-解析几何
全国高考数学专题汇编：解析几何(含答案)
全国高考数学专题汇编：解析几何一．选择题（共21小题）1．（2020•新课标Ⅰ）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．42．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A．B．3C．D．23．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．4．（2020•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．325．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD ⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（2019•新课标Ⅰ）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．7．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝18．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．89．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．10．（2019•新课标Ⅲ）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．11．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣113．（2018•新课标Ⅲ）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 14．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．215．（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．16．（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆C：+＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）17．（2017•新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）18．（2017•新课标Ⅱ）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．319．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．20．（2016•新课标Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）22．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．23．（2018•新课标Ⅰ）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．24．（2017•新课标Ⅲ）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝．25．（2016•新课标Ⅰ）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为．三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．参考答案一．选择题（共21小题）1．B；2．B；3．B；4．B；5．B；6．D；7．B；8．D；9．A；10．B；11．C；12．D；13．A；14．D；15．D；16．A；17．C；18．C；19．A；20．B；21．A；二．填空题（共4小题）22．（3，）；23．2；24．5；25．4π；三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．【解答】解：（1）由题设得，A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），则，，由得a2﹣1＝8，即a＝3，所以E的方程为．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t），若t≠0，设直线CD的方程为x＝my+n，由题可知，﹣3＜n＜3，由于直线P A的方程为，所以，同理可得，于是有3y1（x2﹣3）＝y2（x1+3）①．由于，所以，将其代入①式，消去x2﹣3，可得27y1y2＝﹣（x1+3）（x2+3），即②，联立得，（m2+9）y2+2mny+n2﹣9＝0，所以，，代入②式得（27+m2）（n2﹣9）﹣2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）＝0，解得n＝或﹣3（因为﹣3＜n＜3，所以舍﹣3），故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点（，0）．综上所述，直线CD过定点（，0）．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【解答】解：（1）由题意设抛物线C2的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为（c，0），因为AB⊥x轴，将x ＝c代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，所以弦长|CD|＝4c，将x＝c代入椭圆C1的方程可得y2＝b2（1﹣）＝，所以|y|＝，所以弦长|AB|＝，再由|CD|＝|AB|，可得4c＝，即3ac＝2b2＝2（a2﹣c2），整理可得2c2+3ac﹣2a2＝0，即2e2+3e﹣2＝0，e∈（0，1），所以解得e＝，所以C1的离心率为；（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：（±a，0），（0，±b），而抛物线的准线方程为：x＝﹣c，所以由题意可得2c+a+c+a﹣c＝12，即a+c＝6，而由（1）可得＝，所以解得：a＝4，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12，所以C1的标准方程为：+＝1，C2的标准方程为：y2＝8x．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．【解答】解：（1）由e＝得e2＝1﹣，即＝1﹣，∴m2＝，故C的方程是：+＝1；（2）代数方法：由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），根据对称性，只需考虑n＞0的情况，此时﹣5＜s＜5，0＜t≤，∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，又+＝1③，联立①②③得或，当时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），则（法一）＝（8，1），＝（11，2），∴S△APQ＝＝|8×2﹣11×1|＝，同理可得当时，S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．法二：∵P（3，1），Q（6，2），∴直线PQ的方程为：x﹣3y＝0，∴点A到直线PQ：x﹣3y＝0的距离d＝，而|PQ|＝，∴S△APQ＝••＝．数形结合方法：如图示：①当P点在y轴左侧时，过P点作PM⊥AB，直线x＝6和x轴交于N（6，0）点，易知△PMB≌△BQN，∴NB＝PM＝1，故y＝1时，+＝1，解得：x＝±3，（x＝3舍），故P（﹣3，1），易得BM＝8，QN＝8，故S△APQ＝S△AQN﹣S△APB﹣S△PBQ﹣S△BQN＝（11×8﹣10×1﹣（1+65）﹣1×8）＝，②当P点在y轴右侧时，同理可得x＝3，即P（3，1），BM＝2，NQ＝2，故S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解答】解：∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（|AB|）2＝R2，即①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得或，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，故曲线C的离心率e＝＝﹣1．（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，•＝﹣1，+＝1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②+＝1，③由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4，+∞）．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【解答】（1）证明：设D（t，﹣），A（x1，y1），则，由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故，整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．故直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0．∴直线AB过定点（0，）；（2）解：由（1）得直线AB的方程y＝tx+．由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．于是．设M为线段AB的中点，则M（t，），由于，而，与向量（1，t）平行，∴t+（t2﹣2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝x+1，或：y＝﹣x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝+＝＝＝0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝1，由|AB|＝x1+x2+p＝+2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|＝＝＝8，解得：sin2θ＝，∴θ＝，则直线的斜率k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y ＝﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m将A，B代入椭圆C：+＝1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k＝＝﹣＝﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴k＝﹣．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2＝2∵++＝，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，∴x3＝1由椭圆的焦半径公式得则|F A|＝a﹣ex1＝2﹣x1，|FB|＝2﹣x2，|FP|＝2﹣x3＝．则|F A|+|FB|＝4﹣，∴|F A|+|FB|＝2|FP|，35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y＝上两点，则直线AB的斜率为k＝＝（x1+x2）＝×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝的导数为y′＝x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为•＝﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝x+7．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足＝．可得（x﹣x0，y）＝（0，y0），可得x﹣x0＝0，y＝y0，即有x0＝x，y0＝，代入椭圆方程+y2＝1，可得+＝1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•＝1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）＝1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+m sinα﹣2sin2α＝1，当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m＝，即有Q（﹣3，），椭圆+y2＝1的左焦点F（﹣1，0），由•＝（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）＝3+3cosα﹣3（1+cosα）＝0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•＝1，可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣3m﹣m2+nt﹣n2＝1，又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，即有nt＝3+3m，又椭圆的左焦点F（﹣1，0），•＝（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+3m﹣nt＝3+3m﹣3﹣3m＝0，则⊥，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2＝﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC＝﹣1，即有•＝﹣1，即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，可得D＝m，F＝﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，即有2＝|OH|，再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，解得y＝1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴＝，＝t，∴N（，t），∴ON的方程为y＝x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴＝＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH＝，∴直线MH的方程为y＝x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．【解答】解：（I）由椭圆E的方程：+＝1知，其左顶点A（﹣2，0），∵|AM|＝|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2＝12，整理得：7a2﹣12a＝0，∴a＝或a＝0（舍），∴S△AMN＝a×2a＝a2＝；（II）设直线l AM的方程为：y＝k（x+2），直线l AN的方程为：y＝﹣（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，∴x M﹣2＝﹣，∴x M＝2﹣＝，∴|AM|＝|x M﹣（﹣2）|＝•＝∵k＞0，∴|AN|＝＝，又∵2|AM|＝|AN|，∴＝，整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8＝0，设f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8，则f′（k）＝12k2﹣12k+3＝3（2k﹣1）2≥0，∴f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，又f（）＝4×3﹣6×3+3﹣8＝15﹣26＝﹣＜0，f（2）＝4×8﹣6×4+3×2﹣8＝6＞0，∴＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP＝AF，BQ＝BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ＝90°，∴∠PFQ＝90°，∵R是PQ的中点，∴RF＝RP＝RQ，∴△P AR≌△F AR，∴∠P AR＝∠F AR，∠PRA＝∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ＝180°﹣∠QBF＝∠P AF＝2∠P AR，∴∠FQB＝∠P AR，∴∠PRA＝∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x＝﹣，S△PQF＝|PQ|＝|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF＝|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|＝1，∴x N＝1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得＝2（x1﹣x2），又＝，∴＝，即y2＝x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2＝x﹣1．。
高考数学 解析几何 专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ．54 B ．45C ．254 D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a by ax ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞3过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B 2 （C 3（D ）218．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离 19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ） A ．()21,1- B ．()21,2- C ．()1,2 D ．()2,+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( )A.B.C.D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r =。
高考数学平面解析几何专项训练(100题-含答案)
高考数学平面解析几何专项训练（100题-含答案）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点12(1,0),(1,0)F F -，点M 满足12MF MF +=记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点T 在直线2x =上，过T 的两条直线分别交C 于,A B 两点和,P Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】(1)2212x y +=(2)0【解析】【分析】（1）根据122MF MF +=，利用椭圆的定义求解；（2）设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立，利用参数的几何意义求解.(1)解：因为122MF MF +=，所以点M 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，则21,1a c b ===，所以椭圆的方程是2212x y +=；(2)设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立()()2222cos 2sin 4cos 4sin 420t m t m θθθθ+++++=，由参数的几何意义知：12,TA t TB t ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m t t θθθ++⋅=-=-+-，设直线PQ 的参数方程为：()2cos ,sin x y m λαλλα=+⎧⎨=+⎩为参数,则12,TP TQ λλ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m λλααα++⋅=-=-+-，由题意得：222242422cos 2cos m m θα++-=---，即22cos cos θα=，因为αθ≠，所以cos cos θα=-，因为0,0θπαπ<<<<，所以θαπ+=，所以直线AB 的斜率tan θ与直线PQ 的斜率tan α之和为0.2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =+(2)152522n n n T ++=-【解析】【分析】（1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T .(1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦；13a =也满足上式，故21n a n =+.(2)解：112122n n n n a n c +++==.则2341357212222n n n T ++=++++ ，所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++ ，上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎝⎭- 252542n n ++=-，因此，152522n n n T ++=-.3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点(3,1).(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B ，P 三点在椭圆C 上，O 为原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，且1213k k ⋅=-，若OP OA OB λμ=+，证明：221λμ+=.【答案】(1)221124x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得c a22911a b +=，222c b a +=，解出即可；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，由条件可得012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，12123x x y y =-，然后将01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程可得2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后可得答案.(1)因为ca=22911a b +=，222c b a +=所以可解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程221124x y +=.(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x yOP OA OB λμ=+ ，012012x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩()()222212120011124124x x y y x y λμλμ+++=∴+= 即2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112211124124x y x y +=+= ，，即22121221124x x y y λμλμ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭又1212121133y y k k x x ⋅=-∴=- ，即12123x x y y =-，221λμ∴+=4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ､B 分别为椭圆C 的右顶点､上顶点，F 为椭圆C的右焦点，椭圆C 的离心率为12，ABF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆C 上的动点（不是顶点），点P 与点M ，N 分别关于原点､y 轴对称，连接MN 与x 轴交于点E ，并延长PE 交椭圆C 于点Q ，则直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为32-【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c 的关系，再结合ABF 的面积可得到()a c b -=，由此解得a,b ，可得答案.（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积，代入化简可得答案.(1)由题意得12c a =，则2a c =，b =.ABF 的面积为()1322a cb -=，则()a c b -将2a c =，b =代入上式，得1c =，则2a =，b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,M x y --，()11,N x y -，()1,0E x -，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，∴()12122286223434km m y y k x x m k m k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭，∴21212263348434MQmy y k k km x x kk ++===-+-+，112PEPQ y k k k x ===，∵11112222MP PE y yk k k x x ====，∴33242MP MQ k k k k ⋅=-⨯=-∴MP MQ k k ⋅为定值32-.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算.5．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切.(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '.问A B '是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)()2,0-【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,A x y '-，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再表示出直线A B '的方程，将12y y +、12y y 代入整理即可得解；(1)解：由题意知动点M 的轨迹C 是以(0,0)O 为顶点，()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动圆圆心M 的轨迹方程为：24y x =；(2)解：设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y 不妨令21y y >，则()11,A x y '-，联立直线l 与抛物线方程得224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则124y y t +=、128y y =-，则直线A B '的方程为()()211121y y y y x x x x +--=--，即()()21212121x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()2121212122ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，()()()2121211222t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()21211222y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t ⋅=-⨯--⨯，即()2y t x =+，令200x y +=⎧⎨=⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线A B '恒过定点()2,0-；6．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222104x yb b+=>的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B两点，且22::3:4:5AF AB BF =.(1)求C 的离心率；(2)设M ，N 分别为C 的左、右顶点，点P 在C 上（P 不与M ，N 重合），证明：MPN MAN ∠≤∠.【答案】(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，由勾股定理的逆定理可得290BAF ∠=︒，再根据椭圆的定义可求出m 的值，从而可求出12,AF AF 的值，则可得点A 是椭圆短轴的一个端点，进而可求出离心率，（2）由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠，则可得0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，然后求出tan tan αβ+，tan tan αβ，再利用正切的两角和公式可得02tan()y αβ+=，由正切函数可求出αβ+的最小值，从而可求出()MPN παβ∠=-+的最大值，进而可证得结论(1)由()222104x y b b+=>，得24a =，得2a =，由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，则22222AF AB BF +=，所以290BAF ∠=︒，因为223451248AF AB BF m m m m a ++=++===，所以23m =，所以22AF =，所以122422AF a AF =-=-=，所以12AF F △为等腰直角三角形，所以点A 是椭圆短轴的一个端点，所以b c =，因为222224b c b a +===，得b c =所以椭圆的离心率为2c e a ==(2)由（1）可得椭圆方程为22142x y +=，则(2,0),(2,0)M N -,因为点A是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设A ,由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠,则0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，2200142x y +=，所以2200002200001tan tan 22422y y y y x x x y αβ⋅=⋅===+--，00002200000442tan tan 2242y y y y x x x y y αβ+=+===+--，所以0tan tan 4tan()1tan tan y αβαβαβ++==-，所以当0y =tan()αβ+取得最小值由（1）可知290BAF ∠=︒，所以()0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当tan()αβ+取得最小值时，αβ+取得最小值，即点P 与点A 重合时，αβ+取得最小值，此时()MPN παβ∠=-+取得最大，所以MPN MAN∠≤∠7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，且过点)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BO AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？【答案】(1)221102x y +=(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解.(1)依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b+=，将点)P代入C 得251110b +=，解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+，1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅，又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k m k mkx xmk x x mm kk+-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得1NQ NA ⋅=-等于定值1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是22y x =的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，A ，B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且A ，B ，H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线HA ，HB 与椭圆C 的另一交点分别交于点D ，E ，求证：直线DE 过定点.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率求出,a c 的关系式，再由,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线22=y x 上的点，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程.（2）设点()(),20H m m -≠，求得HA ，HB 的方程，与椭圆联立求得,D E 坐标，写出直线DE 的方程，即可求出DE 恒过的定点.(1)由题意知，222224c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设点()(),20H m m -≠，易知()0,1A ，()0,1B -，∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--.联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴22436D m x m =+，223636D m y m -=+，同理可得284E m x m -=+，2244E m y m -=+，∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-，∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)E y px p =>上.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线12,l l 都过点12(2,0),,l l 的斜率之积为1-，且12,l l 分别与抛物线E 相交于点A ，C 和点B ，D ，设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，求证：直线MN 恒过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入求解抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出,M N 的坐标，求出直线MN 的斜率，利用直线斜率之积为-1，求出直线MN 恒过的定点，从而证明出结论.(1)∵点(1,2)M -在抛物线2:2E y px =上，∴2(2)2p -=，∴解得:2p =，∴抛物线E 的方程为：24y x =.(2)由12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和点B ，D ，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.∴设1122:2,:2l x m y l x m y =+=+由214,2y x x m y ⎧=⎨=+⎩得：21480y m y --=设()()1122,,,A x y C x y ，则1214y y m +=，∴12M y m =，又2122M x m =+，即()21122,2M m m +同理可得：()22222,2N m m +∴()()212212212212222MN m m k m m m m -==++-+，∴()211121:222MN y m x m m m -=--+即MN ：()1212121y x m m m m =--⎡⎤⎣⎦+，∵12,l l 的斜率之积为1-，∴12111m m ⋅=-，即121m m =-，∴121:(4)MN y x m m =-+，即直线MN 过定点(4,0).10．已知抛物线()20x ay a =>，过点0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线12,l l ，设12,l l 分别与抛物线相交于,A B 及,C D 两点，当A 点的横坐标为2时，抛物线在点A 处的切线斜率为1.(1)求抛物线的方程；(2)设线段,AB CD 的中点分别为,E F ，O 为坐标原点，求证直线EF 过定点.【答案】(1)24x y =；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）结合导数知识，利用切线斜率构造方程可得a ，由此可得抛物线方程；（2）将直线AB 方程代入抛物线方程中，结合韦达定理可确定中点坐标，同理可得CD中点坐标，利用直线方程两点式可得直线EF 方程，化简可知其过定点()0,4.(1)由2x ay =得：21y ax =，则2y x a '=，241x y a=∴=='，解得：4a =，∴抛物线方程为：24x y =；(2)由题意知：直线12,l l 的斜率都存在且都不为零，由（1）知：()0,2M ，设直线:2AB y kx =+，代入24x y =得：2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，()21212444y y k x x k ∴+=++=+，AB ∴中点()22,22E k k +；12l l ⊥ ，1:2CD y x k ∴=-+，同理可得：CD 中点222,2F k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；EF ∴的方程为：()()222222222222k k y k x k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭-+=-+，化简整理得：14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当0x =时，4y =，∴直线EF 恒过定点()0,4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.11．在直角坐标系xOy 中，曲线:C 221x y +=经过伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩后的曲线为1C ，以x 轴正半轴为级轴，建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 上的一点P 到2C 的距离的最大，求距离的最大值及P 点的坐标.【答案】(1)1C ：2213y x +=，2C ：40x y +-=；(2)max d =，1322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】()1直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用三角函数关系式的变换和点到直线的距离公式的应用求出结果.(1)解：由伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得，代入曲线:C 221x y +=得：1C 的普通方程为2213y x +=，由极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin y ρθ=，cos x ρθ=可得：2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(2)解：直线2C 的普通方程为40x y +-=，设1C上的为点()cos P θθ，到2C 的距离为d =当且仅当()223k k Z πθπ=-+∈时，取得max d =，又因为1cos 23y 2x θθ⎧==-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点P 的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭.12．已知椭圆C ：2222+x y a b=1（a >b >0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）.(1)求C 的标准方程；(2)过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得,c b ，再求得a ，即得椭圆方程；（2）由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由直线,AP AQ 方程求出,M N 坐标，求出以MN 为直径的圆的方程，然后代入1212,x x x x +求得圆方程的常数项，从而可得y 的定点坐标．(1)由题意可得1,1c b ==从而22a =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线l 代入椭圆方程得()2242430k x kx ++-=，所以12122243,,4242k x x x x k k --+==++，直线AP 的方程为1111y y x x -=+，直线AQ 的方程为2211y y x x -=+.可得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，以MN 为直径的圆方程为，21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()221212121201111x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()1212122121212124111142122x x x x x x y y k x x k x x kx kx ==---++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22212612842k k k -==--+++.所以在①中令0x =，得26y =，即以MN 为直径的圆过y轴上的定点(0,，13．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H 两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）.(1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.【答案】(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =.设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-.所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=.同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=，()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.14．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA = .(1)若λ=4，求直线l 的方程；(2)设点E (a ，0)，直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=.若λ=4μ，求a的值.【答案】(1)4340x y --=或4340x y +-=(2)4【解析】【分析】（1）由4PF FA =得014y y =-，设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立，结合韦达定理，即得解；（2）由PF λFA = 得01y y λ=-，结合014y y =-，可得204y λ=，再由PE EB μ= 得02y y μ=-，设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立由韦达定理可得024y y a =-，故204y aμ=，又4λμ=，代入运算即得解(1)易知焦点F (1，0)，设P (0x ，0y )，A (1x ，1y )由4PF FA =得014y y =-设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立得2440y my --=，其中216160m ∆=+>，所以014y y =-由①②可得0141y y =⎧⎨=-⎩或0141y y =-⎧⎨=⎩又014y y m +=，所以34m =或34m =-所以直线l 的方程为314x y =+或314x y =-+.化简得4340x y --=或4340x y +-=(2)由PF λFA =得01y y λ=-又014y y =-可得204y λ=设点B (2x ，2y )，由PE EB μ= 得02y y μ=-设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=.所以216()0n a ∆=+>，024y y a=-故204y aμ=又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，考虑到点P 异于原点，所以00y ≠，解得4a =此时2216()16(4)0n a n ∆=+=+>所以a 的值为415．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:136x y C -=的右焦点为F ，T 为直线:1l x =上一点，过F 作TF 的垂线分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，交l 于点A ．(1)证明：直线OT 平分线段PQ ；(2)若3PA QF =，求2TF 的值．【答案】(1)证明见解析(2)12+【解析】【分析】（1）设直线PQ 的方程为3x ty =+，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ 的中点N 的坐标，计算得出ON OT k k =，证明出O 、T 、N 三点共线，即可证得结论成立；（2）由3PA QF =得3PA QF = ，可得出1238x x -+=，变形可得出()()12212184384x x x x x x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相乘结合韦达定理可求得2t 的值，再利用两点间的距离公式可求得2TF 的值.(1)解：依题意，3F x ==，即()3,0F ，设()1,2T t ，则直线PQ 的方程为3x ty =+，由22326x ty x y =+⎧⎨-=⎩得()222112120t y ty -++=，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()222210Δ14448210t t t ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，故212t ≠，由韦达定理可得1221221t y y t +=--，1221221y y t =-，所以()121226621x x t y y t +=++=--，又直线PQ 分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，所以()()()22121212122963339021t x x ty ty t y y t y y t +=++=+++=-<-，故212t >所以PQ 中点为2236,2121t N t t ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以2ON OT k t k ==，故O 、T 、N 三点共线，即直线OT 平分线段PQ ．(2)解：依题意，由3PA QF =得3PA QF =，则()12133x x -=-，即1238x x -+=，所以()12284x x x ++=，①，()121384x x x +-=，②①×②得()()21212123166416x x x x x x +++-=，所以()22222366963166416212121t t t t+⨯-⨯-=-⨯---，解得28374t +=，或28374t -=（舍去），此时，224412t TF =+=+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知抛物线2:4E y x =，F 为其焦点，O 为原点，A ，B 是E 上位于x 轴两侧的不同两点，且5OA OB ⋅=．(1)求证：直线AB 恒过一定点；(2)在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)在（2）的条件下，当F 为ABC 的内心时，求ABC 重心的横坐标．【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)173【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，结合向量的数量积，转化求解直线AB 的方程，推出结果．（2）在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等即CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，根据斜率和为零，从而可得结果；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，由题意可得32AC CF AN NF ==，坐标化，结合点在抛物线上可得点的坐标，从而得到结果.(1)设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅= 得：21212()516y y y y +=，所以：1220y y =-或124y y =（舍去），即4205n n -=-⇒=，所以直线AB 的方程为5x my =+，所以直线AB 过定点(5,0)P ．(2)由（1）知，直线AB 过定点(5,0)P 可设直线AB 的方程为5x my =+，此时124y y m +=，1220y y =-，设x 轴上定点C 坐标为(,0)t ，要使F 到直线AC 和BC 的距离相等，则CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，故0AC BC k k +=，即21210y yx t x t+=--，∴()()21120y x t y x t -+-=，∴()()1212250my y t y y +-+=，∴()40450m m t -+-=对任意m 恒成立，∴510t -=，5t =-，故在x 轴上有一定点C (5,0)-，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，∵F 为ABC 的内心，∴32AC CF AN NF ==，32=，即2211126250x y x +-+=，又2114y x =，∴21122250x x -+=，同理22222250x x -+=，∴12,x x 是方程222250x x -+=的两个根，∴1222x x +=，∴三角形重心的横坐标为1251733x x +-=.17．已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线()()10y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于Q ，求MN PQ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2)(4,【解析】【分析】（1）由顶点和离心率直接求,,a b c 即可；（2）先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长MN ，再求出垂直平分线和Q 坐标，表示出PQ ，最后分离常数求取值范围即可.(1)由题意知2222,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩可得1,2a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222418440k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222844,4141k k x x x x k k -+=⋅=++，()121222241k y y k x x k -+=+-=+，线段MN 的中点为2224,4141k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，线段MN 的垂直平分线方程为22214()4141k k y x k k k --=--++，令0y =，得22341kx k =+，所以223,041k Q k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又(1,0)P ，则22223114141k k PQ k k +=-=++,又12MN x x =-=所以2241141MN k k PQk +==++220,1331k k ≠∴<-<+ ，故MN PQ的取值范围为(4,.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的关系式求解；（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线和弦长MN 、PQ ，转化成关于k 的代数式求范围即可.18．定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C 上一点M ，且与曲线C 在点M 处的切线垂直的直线称为曲线C 在点M 处的法线．设点()()000,0M x y y >为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点．(1)求抛物线C 在点M 处的切线的方程（结果不含0x ）；(2)求抛物线C 在点M 处的法线被抛物线C 截得的弦长||AB 的最小值，并求此时点M 的坐标．【答案】(1)002y py x y =+(2)；()p 【解析】【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解；（2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值.(1)因为点()()000,0M x y y >在抛物线上方，所以由2:2(0)C y px p =>得y =py y'=，所以在点M 处的切线斜率0y y pk y y ='==，所求切线方程为000()py y x x y -=-，又202y x p=，故切线方程为2000()2y p y y x y p -=-，即002y p y x y =+.(2)点M 处的法线方程为2000()2y y y y x p p-=--，即220022y p p x y y p +=-+.联立抛物线2:2(0)C y px p =>，可得()2232000220y y p y y p y +-+=，可知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，()2221212002,2p y y y y y p y +=-⋅=-+，所以322212202()y p AB y y y +⋅-=.令200t y =>，则3222()(0)t p AB t t +=>，令3222()()(0)t p f t t t +=>，1312222222223()()()(2)2()2t p t t p t p t p f t t t +⋅-++⋅-'=⨯=，所以()f t 在()20,2p 单调递减，在()22,p +∞单调递增，所以()2min ()2f t f p ==，即min AB =，此时点M的坐标为()p .【点睛】（1）关键在于化简出0y >时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率；（2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值.19．已知点()11,0F -，()21,0F ，M 为圆22:4O x y +=上的动点，延长1F M 至N ，使得1MN MF =，1F N 的垂直平分线与2F N 交于点P ，记P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)过2F 的直线l 与Γ交于,A B 两点，纵坐标不为0的点E 在直线4x =上，线段OE 分别与线段AB ，Γ交于,C D 两点，且2OD OC OE =⋅，证明：AC BC =.【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得12124PF PF F F +=>，可知P 点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）由已知可知24D C x x =；当l 斜率不存在时显然不成立；当l 斜率存在时，设l 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得AB 中点横坐标；设():0OE y k x k ''=≠，与直线l 和椭圆方程联立可求得34k k'=-，由此可整理得到C x ，与AB 中点横坐标相同，由此可得结论.(1)连接1,MO PF，PM 是1NF 的垂直平分线，1PF PN ∴=，1222PF PF PN PF NF ∴+=+=；,M O 分别为112,NF F F 中点，224NF MO ∴==，12124PF PF F F ∴+=>，P ∴点轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a =，1c =，23b ∴=，P ∴点轨迹Γ的方程为：22143x y +=；(2)2OD OC OE =⋅ ，即OD OE OC OD =，D EC Dx x x x ∴=，由题意知：0C x >，4E x =，24D C x x ∴=，①当直线l 斜率不存在时，即:1l x =，此时1C x =，2D x <，此时24D C x x =不成立；②当直线l 斜率存在时，设():1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，AB ∴中点的横坐标为21224234x x k k +=+；设直线OE 的方程为：()0y k x k ''=≠，由()1y k x y k x ='=⎧⎨-⎩得：kx k k ='-，即C k x k k ='-；由22143y k xx y =⎧='⎪⎨+⎪⎩得：221234x k ='+，即221234D x k ='+；由24D C x x =得：212434k k k k =''+-，整理可得：34k k '=-，2122434324C x x kk x k k k+∴===++，C ∴为线段AB 的中点，AC BC ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查定义法求解轨迹方程、直线与椭圆综合应用问题；本题证明C 为AB 中点的关键是能够通过已知等式得到,C D 两点横坐标之间满足的等量关系，进而表示出AB 中点横坐标和C 点横坐标，证明二者相等即可.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率2e =，P为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值；(3)平面内到两定点距离之比是常数()1λλ≠的点的轨迹是圆.椭圆E 的短轴上端点为A ，点Q 在圆228x y +=上，求22QA QP PF +-的最小值.【答案】(1)22142x y +=；(2)见解析；4.【解析】【分析】（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；（3）设点R 坐标，借助点Q 在圆228x y +=上，将2QA 转化成RA ，再借助椭圆定义将2PF 转化成14PF -，最后通过1,,R P F 三点共线求出最小值.(1)当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，222222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===，故椭圆E 的方程为22142x y +=.(2)由（1）知，()2,0,(2,0)C D -,设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ，,(2,4)MD CD M k ⊥∴ ，联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=，由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21ky k x k =+=+，222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k kOM ON k k k -⋅=⨯⨯++ ，故OM ON ⋅为定值4.(3)由题意(A ，设()(0,),,R m Q x y ，使2QA QR =，()()22222,4QR x y m QAx y +-==+，整理得222282833m m x y y --++=，又点Q 在圆228x y +=上，20,883m =∴⎨-⎪=⎪⎩解得m =，(0,R 由椭圆定义得124PF PF =-，2112(4)4QA QP PF QR QP PF QR QP PF +-=+--∴=++-，当1,,R P F三点共线时，(10,,(R F 22QA QP PF +-∴4.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的方程；（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N 坐标；（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将2QA 转化成RA ，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，P 为椭圆C 上的一个动点，过点E0）作OP 的平行线交椭圆C 于M ，N 两点，问：是否存在实数t （t ＞0），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在，12t =【解析】【分析】（1）由题意可得2a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中可求出2b ，从而可求得椭圆的方程，（2）①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，将直线方程代入椭圆方程中可求出22,x y ，则可得2OP ，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =，将直线方程代入椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，再利用两点间的距离公式表示出||,||EM EN ，再计算||||EM EN 与2OP 比较可求出t 的值，②当OP 的斜率不存在时，可得||OP =MN的方程为x ||||EM EN 的值，进而可求出t (1)由题意可得24a =，所以2a =．因为点（1，32）在椭圆C 上，所以221914a b +=，解得23b =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =．联立方程，得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得221234x k =+，2221234k y k =+．解得()2222221211212||343434k k OP k k k+=+=+++，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =-．联立方程，得(22143y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩化简，得()22223412120k x x k +=+-=．因为点E0）在椭圆内部，所0∆>，221213221212,3434k x x x x k k-+=⋅=++，所以1||EM x =-．同理可得2||EN x =所以()(())22121212||||113EM EN kx xk x x x x ⋅=+=+⋅++()()22222223112122413343434k k kk k k k +-=+⋅-+=+++，假设存在实数(0)t t >），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列，则22||||||EM EN t OP ⋅=．所以()()22222311213434k k tk k ++=⋅++．解得214t=．四为1t >，所以12t =，②当OP 的斜率不存在时，||OP =MN 的方程为x =x =22143x y +=，得234y =．所以||||2EM EN ==，当||,||,||EM t OP EN 构成等比数列时，22||||||EM EN t OP ⋅=，即2334t =．因为0t >，所以12t =．综上所述，存在实数12t =，使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为()cos sin 3m m ρθθ++=l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB =CD .【答案】(1)2212x y +=，30mx y m ++=；(2)4.【解析】【分析】（1）消参法求曲线C 的普通方程，公式法求直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）所得普通方程，结合圆中弦长、半径、弦心距的几何关系求圆心到直线l 的距离，再利用点线距离公式列方程求参数m ，即可得直线的倾斜角大小，由AB 、CD 的关系求CD 即可.(1)由题意，消去参数α，得曲线C 的普通方程为2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()cos sin 3m m ρθθ++得直线l的直角坐标方程为30mx y m ++=.(2)设圆心到直线l：30mx y m ++=的距离为d，则AB =3d =.3=，解得3m =-.所以直线l的方程为60x +=，则直线l 的倾斜角为30θ=︒.所以4cos30AB CD ==︒.23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线340x y ++=与圆1C ：222x y r +=相切，另外，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于C ，D 两点．且1CD =．(1)求圆1C 的方程与椭圆2C 的方程；(2)经过圆1C 上一点P 作椭圆2C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆1C 相交于M ，N 两点（异于点P ），求△OAB 的面积的取值范围．【答案】(1)225x y +=，2214x y +=；(2)4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r ，即可得圆1C 的方程，根据椭圆离心率、22b CD a=及椭圆参数关系求出a 、b 、c ，即可得椭圆2C 的方程.（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，讨论直线PA ，PB 斜率存在性，则直线PA 为()111y k x x y =-+、直线PB 为()222y k x x y =-+，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程0∆=求1k 、2k ，进而得直线PA 为1114x x y y +=、直线PB 为2214x xy y +=，结合P 在直线PA ，PB 上有AB 为0014x xy y +=，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得0OAB S = .(1)由题设，圆1C ：222x y r +=的圆心为()0,0，因为直线340x y ++=与圆1C相切，则r ==所以圆1C 的方程为225x y +=，因为椭圆2Cc e a ==c =，由221b CD a==，则22a b =，又222a b c =+，所以22324a a a =+，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=．综上，圆1C 为225x y +=，椭圆2C 为2214x y +=.(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ．当直线PA ，PB 斜率存在时，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA 为()111y k x x y =-+，直线PB 为()222y k x x y =-+．由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得：()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=．所以()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦．令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=，则11111122111444x y x y x k x y y --=-==-，所以直线PA 为()11114x y x x y y -=-+，化简得：22111144x x y y y x +=+，即1114x x y y +=．经验证，当直线PA 斜率不存在时，直线PA 为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=．同理，可得直线PB 为2214x xy y +=．因为()00,P x y 在直线PA ，PB 上，所以101014x x y y +=，202014x xy y +=．综上，直线AB 为0014x xy y +=．由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：()22200035816160y x x x y +-+-=．所以01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+．所以12AB x =-=)20203135y y +==+．又O 到直线AB的距离d ==所以)20200311235OABy S y +=⋅+ t =，[]1,4t ∈，则24444OAB t S t t t∆==++，又[]44,5t t+∈，所以△OAB 的面积的取值范围为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA ，PB 的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA ，PB 的方程，由P 在直线PA ，PB 上求直线AB 的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.24．已知点A ，B 是抛物线x 2=2py (p 为常数且p >0)上不同于坐标原点O 的两个点，且0OA OB ⋅= .(1)求证：直线AB 过定点；(2)过点A 、B 分别作抛物线的切线，两切线相交于点M ，记 OMA 、 OAB 、 OMB 的面积分别为S 1、S 2、S 3;是否存在定值λ使得22s =λS 1S 3?若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，4λ=【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程中，消去y ，。
高考数学 解析几何 专题练习与答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ．54 B ．45C ．254 D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a by ax ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r则||PM u u u u r 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞3过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）（A ）1 （B 2 （C 3（D ）218．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离 19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP uu r uu r⋅的取值范围为（ ）A ．()21,1- B ．()21,2- C ．()1,2 D ．()2,+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( )A.B.C.D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r =。
高考数学-解析几何-专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ．54 B ．45C ．254 D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a by ax ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞3过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B 2 （C 3（D ）218．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离 19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ） A ．()21,1- B ．()21,2- C ．()1,2 D ．()2,+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( )A.B.C.D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r =。
高考数学 解析几何 专题练习及答案解析版
6．点 M 的直角坐标为 ( 3 ,1) 化为极坐标为（ ）
A． (2, 5 ) 6
B． (2, ) C． (2, 11 )
6
6
D． (2, 7 ) 6
7．曲线的参数方程为
x 3t yt
2 2
2 1
(t
是参数)，则曲线是（
）
A、线段 B、直线 C、圆 D、射线
8．点（2,1）到直线 3x-4y+2=0 的距离是（ ）
直线 l 的方程为( )
A. y 3x
B． y 3x
C． y 3 x 3
D． y 3 x 3
43．当曲线 y 1 4 x2 与直线 kx y 2k 4 0 有两个相异的交点时，实数 k 的
取值范围是 （ ）
A． (0, 5 ) 12
B． (1 , 3] 34
C． ( 5 , 3] 12 4
20．若直线 l：y＝kx－ 3 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾
斜角的取值范围是( )
A．[ ， ) 63
B．( ， ) 62
C．( ， ) 32
D．[ ， ] 62
21．直线 l 与两直线 y 1和 x y 7 0 分别交于 A, B 两点，若线段 AB 的中点为
M (1, 1) ，则直线 l 的斜率为（ ）
A． 3 2
B． 2 C． 3
3
2
D． 2 3
22．已知点 O 0, 0 , A 1,1 ，若 F 为双曲线 x2 y2 1的右焦点， P 是该双曲线上
且在第一象限的动点，则 OA FP 的取值范围为（ ）
A． 2 1,1
B． 2 1, 2
B、 4 2
C、6
高考数学——解析几何专题经典试题练习及解析
1 / 21高考数学解析几何专题经典试题练习及解析1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足、证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值【解析】(1)由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m kmkm k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，2 / 21整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，3 / 21所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE=）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值. 2、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点、求直线AB 的方程、【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅰ）132y x =-，或3y x =-、 【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，4 / 21设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 3、已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =（Ⅰ）求椭圆C 的方程：5 / 21（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q 、求||||PB BQ 的值【解析】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.6 / 21很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 4、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.7 / 21所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d==，由两点之间距离公式可得||AM==.所以△AMN的面积的最大值：11825⨯=.5、如下图已知椭圆221:12xC y+=，抛物线22:2(0)C y px p=>，点A是椭圆1C与抛物线2C的交点，过点A的直线l交椭圆1C于点B，交抛物线2C于M（B，M不同于A）（Ⅰ）若116=p，求抛物线2C的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值、【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p时，2C的方程为218y x=，故抛物线2C的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x yB x y M x y I x y mλ=+，8/ 219 / 21由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，40p ≤， 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .10 / 21将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p模拟试题1、在平面直角坐标系中，曲线Γ：0(),F x y =和函数21()4f x x =的图像关于点(1,2)对称. （1）函数21()4f x x =的图像和直线4y k x =⋅+交于A 、B两点，O 是坐标原点，求证：2AOB π∠=； （2）求曲线Γ的方程；（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线Γ为抛物线.【解析】（1）设()()1122,,A B x y x y ，，由2144y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得24160x kx --=，则1212+4,16x x k x x =⋅=-， 又1212+OA OB x x y y ⋅=⋅⋅ ()()22112121222211++16+160441616x x x x x x x x =⋅⋅=⋅⋅=-⨯-=，11 / 21所以OA OB ⊥，所以2AOB π∠=；（2）设曲线Γ：0(),F x y =上任意一点(),P x y ，点P 关于点(1,2)对称的点()111,P x y ，则1124x xy y =-⎧⎨=-⎩，代入到214y x =中得()21424y x -=-， 所以曲线Γ的方程是2134y x x =-++；（3）设曲线Γ：0(),F x y =上任意一点(),P x y ，则满足2134y x x =-++，设点()2,3F ，直线:5l y =，则()()22223PFx y =-+-()()22222211233244x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222251123544x x x x y ⎛⎫⎛⎫=-+=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭，所以曲线Γ：0(),F x y =上任意一点P 到点()2,3F 的距离与到直线:5l y =的距离相等，根据抛物线的定义得到曲线Γ为抛物线.2、点P 是直线2y =-上的动点，过点P 的直线1l 、2l 与抛物线2y x 相切，切点分别是A 、B .（1）证明：直线AB 过定点；（2）以AB 为直径的圆过点()2,1M ，求点P 的坐标及圆的方程. 【解析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -，对函数2yx 求导得2y x '=，所以，直线1l 的方程为()1112y y x x x -=-，即1120x x y y --=，同理可得直线2l 的方程为2220x x y y --=，12 / 21将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程得1122220220bx y bx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220bx y -+=，由于两点确定一条直线，所以，直线AB 的方程为220bx y -+=，该直线过定点()0,2； （2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立得220x kx --=，则240k ∆=+>，由韦达定理得122x x =-，12x x k +=，因为()2,1M 在AB 为直径的圆上，所以0MA MB ⋅=，()()11112,12,1MA x y x kx =--=-+，同理()222,1MB x kx =-+，()()()()()()()21212121222111250MA MB x x kx kx k x x k x x ∴⋅=--+++=++-++=，即2230k k +-=，解得1k =或3k =-.当1k =时，1,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2y x =+，圆心为15,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径2r ==，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为32y x =-+，圆心为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r ==2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，当1k =时，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；13 / 21当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3、设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程；（3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=.【答案】（1）圆心C的轨迹方程为1233y x x ⎛⎫=--<< ⎪ ⎪⎝⎭，轨迹为线段；（2）3y x =±；（3） 【解析】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+，联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <<由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，即轨迹为线段； （2）由（1）可得AB ===可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得3t =±，14 / 21因此，直线l的方程为y x =±； （3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫-⎪⎝⎭由222225124133393933t t OS t ⎫⎛⎫--=--+=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()2222941312033333m m OS m ⎫--=+-=--≤⎪⎪⎝⎭， 可得圆S 内含或内切于圆223x y +=.4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点()2,2 （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()1,0Q 的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线:1l x =-上任意一点.证明：直线PM PQ PN 、、的斜率依次成等差数列.【解析】（1）由条件设抛物线为22y px =，而点()2,2在抛物线上，从而有2222p =⨯，得1p =，故抛物线方程为22y x =；（2）设点()1,P t -是直线l 上任意一点，15 / 21由条件知直线MN 的斜率不等于0，设:1MN x my =+交抛物线于()()1122,,M x y N x y 、，由212x my y x=+⎧⎨=⎩可得：2220y my --= 从而有12122,2y y m y y +==-1212112PM PN PQ y t y t tk k k x x --===-++，， 121211PM PN y t y tk k x x --+=+++ ()()()12122121222424my y tm y y tm y y m y y +-+-=+++222424tm t t m --==-+， 而2PQ k t =-，即证2PM PN PQ k k k +=. 即证直线PM ，PQ ，PN 的斜率成等差数列.5、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率是2，原点到直线1x y a b +=的距离等于3. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点()0,3Q ，若椭圆C 上总存在两个点,A B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围【答案】（1）22142x y+=；（2）13⎛⎫⎪⎪⎝⎭，.【解析】（1）因为椭圆的离心率是2，原点到直线1x ya b+=的距离等于3，所以=⎪⎪⎨=，解得224,2a b==，所以椭圆C的标准方程为22142x y+=、（2）根据题意可设直线AB的方程为y x n=-+，联立22142y x nx y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22342(2)0x nx n-+-=，由22(4)432(2)0n n=--⨯⨯->△，得26n<、设1122(),(,)A x x nB x x n-+-+,，则()21212224,33nnx x x x-+==又设AB的中点为00()M x x n-+,，则12002,233x x n nx x n+==-+=.由于点M在直线y x m=+上，所以233n nm=+，得3n m=-代入26n<，得296m<，所以m<<，因为1122(,3),(,3)QA x x n QB x x n=-+-=-+-，所以212122(3)()(3)QA QB x x n x x n⋅=--++-2224(2)4(3)3619(3)333n n n n nn---+=-+-=.由328QA QB⋅<，得2361928n n-+<，即13n-<<，所以133m-<-<，即113m-<<，16/ 2117 / 21所以113m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得13m <<.实数m的取值范围为133⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，. 6、椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ，1||2MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ，B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意，离心率为c e a ==，右焦点为(),0F c ，将x c =代入22221x y a b +=，可得2b y a=±；又过椭圆右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ，1||2MF =，所以21||2b MF a ==，联立2212c a b a ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：2a =，1b =，18 / 21所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）证明：由（1）知()2,0A -，()2,0B ，设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+， 联立3x =得()3,5S k ；设()00,P x y 代入椭圆的方程有：()22000124x y x +=≠±整理得：()220144y x =--，故2020144y x =--， 又002y k x =+，002y k x '=-(k ，k '分别为直线PA ，PB 的斜率) 所以2020144y kk x '==--， 所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k =--，联立3x =得13,4T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，解得：3x =±， 所以以线段ST为直径的圆恒过定点3⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 7、已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于19 / 21点P ，记P 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【解析】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=， 所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2a =，b =，因此，曲线C 的方程为:22143x y +=；（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 设()11,D x y 、()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以()2212134t DE t +===+，20 / 21同理()2212134t AB t +=+，1l 与2l的距离为d =所以，四边形ABDE的面积为24S =，u =，则1u ≥，得224241313u S u u u==++，由双勾函数的单调性可知，函数13y u u=+在[)1,+∞上为增函数， 所以，函数2413S u u=+在[)1,+∞上为减函数， 当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6.8、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上任意一点，当1260F MF ∠=︒时，12F MF △2b =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆C 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得124k k mk +=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设1MF m =，2MF n =，则2m n a +=，在12MF F △中，1sin 602S mn =︒=4mn =， 由余弦定理可得2222cos604m n mn c +-︒=，即()2234m n mn c +-=，21 / 21代入计算可得223a c -=，23b ∴=，又2b =，2a ∴=，则椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设直线l 的方程为y kx t =+， 由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x ktx t +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122834kt x x k +=-+，212241234t x x k-=+. ()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--. 由124k k mk +=对任意k 成立，得()221223t m t =--， ()23212m t m -∴=， 又()0,t 在椭圆内部，203t ∴<<， 即()321032m m-<<，解得12m >. m ∴的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
高考数学真题全刷：超难1000题
第1章函数J J J J)给定k€N*，设函数f:N*—N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)=n-k.(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为__________;(2)设k=4,且当n<4时，2<f(n)<3,则不同的函数f的个数为______【2】（2006•浙江-10f:{1，2,3}—{1，2,3}满足f(f(x))=f(x)，贝I J这样的函数个数共有（A.1个B.4个C.8个D.10个【3】（1978•全国-5-⑴）I W(-/4a/?1)：1化简：4C O, 1)-2(«'V/-4)：【4】（2002•全国新课标-16-已知函数/Q >，那么f(1)+f(2)+【5】（2014•陕西-14X已知/(<r)式为_______1+7，x>0，f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f(f n(x))，n€N+，则f2〇14(x)的表达【6】（1993•全国-16设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（A.丄=丄+|B,7_7+7TC.1_2,^r a h) )D .【7】（2014 •重庆-12函数/(■!：) = lo g 2 ，log # ( )的最小值为.【8】（1978 •全国.8 •i m )已知logi 89=a (a 关2)，18b =5.求log 3645.【9】（2004 •全国三-18 i i i i )解方程4x +|1-2x |=11.【10】 （2002 •上海-3方程log 3(1-2-3x )=2x +1的解x =______【11】（1995 •全国_16 m )方程log 2(x +1)2+log 4(x +1)=5的解是.【12】 （1985 •全国-11解方程l 〇g 4(3-x )+lo g 〇.25(3+x )=lo g 4(1-x )+lo g 〇.25(2x +1)【13】 （1999 •全国• 19 • j j j j )解方程 v ^l g i -2 — 3lg 』. + 4 = 0.【14】 （2008 •湖北.8 m i )函数/(、r )= —ln ( — 3^'+ 2 + V —x 2—3.r +4 )的定义域为（A . (-ra ，-4]U [2，+ra )B . (-4, 0) U (0， 1)C . [-4, 0) U (0，1]D . [-4, 0) U (0，1)【15】 （2005 •全国三-6 • i i J J )若则（）)A . a <b<cB . c <b<aC . c <a<b已知实数a,b满足等式=下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个【17】（2012•全国.11i i i i)已知1=1〇7；，^=1〇轻&2，^=^—"^，则（A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x).【18】（2010•安徽• 7 •》j j】）设《，则a，b，c的大小关系是（A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a).【19】（2003•上海•19 •j j j)已知函数/C x)T-1〇g21 ~\~xx求函数f(x)定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.【20】（2007•重庆.16i i i i)函数/&>=/r2—2.r十2的最小值为.【21】（2010•山东.5m i)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数），贝lJ f(-1)=(A.-3B.-1C.1).已知函数f(X)=sinx+tanx.项数为27的等差数列{an}满足、€(—j，|〕，且公差d关。
全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)
1．（2020•上海）已知抛物线 y2＝x 上的动点 M（x0，y0），过 M 分别作两条直线交抛物 线于 P、Q 两点，交直线 x＝t 于 A、B 两点． （1）若点 M 纵坐标为 ，求 M 与焦点的距离； （2）若 t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB 为常数； （3）是否存在 t，使得 yA•yB＝1 且 yP•yQ 为常数？若存在，求出 t 的所有可能值， 若不存在，请说明理由．
试卷第 1 页，总 25 页
线型道路 PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆 O 的半径．已知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离．
21．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + ＝1 交于 A，B 两点， 线段 AB 的中点为 M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣ ； （2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + ＝ ，证明：2| |＝| |+| |．
试卷第 10 页，总 25 页
点的圆． （1）求 C 的轨迹方程； （2）动点 P 在 C 上运动，M 满足
＝2 ，求 M 的轨迹方程．
试卷第 8 页，总 25 页
18．（2018•浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2＝4x 上 存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
新高考数学真题全刷——超难1000题09第九章 解析几何
4√百’ ｜DE｜＝2√百’则C的焦点到准线的距离
）.
A· m＞′′且ele2＞1
B·m＞〃且ele2＜1
C.m＜〃且ele2＞1
Dm＜门且ele2＜1
【700】 （2013.全国。8.”汕）
2
2
椭圆◎÷＋背＝l的左、右顶点分别为A｜ ’
A2 ’点P在C上且直线PA2斜率的取值范围
是［—2’—1］’那么直线PAl斜率的取值范围
是（
）.
A［＋,;］
风［;,÷］
瓣§
驴
恐
□屉
片
】
甜
《默龋哥问必答爆’
第9章解析几何143
【675】 （2013.课程标准二. 12。j》”》）
已知点A（—1’0）’B（1’0） ,C（0,1）’直线y＝
α工＋b（α＞0）将△ABC分割为面积相等的两
部分’则b的取值范围为（
）.
A. （0,1）
O（l—罕,＋］
／
徊 ］）
B.
′
— ‖ ］ — 〗 ｛
和圆M相切.
其中真命题的代号是
（写出所有真
命题的代号〉.
【685】 （2006.湖南。 10。””） 若圆工2＋y2 4工—4y—1（）＝0上至少有三个 不同的点到直线／: α工＋6y＝0的距离为2 √】’则直线／的倾斜角的取值范围是（ ）.
A~ ［古.于］ B~ ［备.苦］
C~ ［÷’;］
D［0,昔］
过点A（l1,2）作圆工2＋γ2＋2工—4y
的弦’其中弦长为整数的共有（
）
A. 16条
B. 17条
C. 32条
D. 34条
164＝0
【702】 （2016。浙江·7.”》》）
(完整word版)高中数学解析几何练习题
高中数学解析几何练习题赵玉苗一、选择题1．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1旳离心率为45，则k 旳值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 2．圆心在抛物线y 2＝2x 上且与x 轴和该抛物线旳准线都相切旳一个圆旳方程是( )A ．x 2＋y2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y2－x －2y ＋14＝03．已知P 是椭圆22143x y +=上旳一点，F 1、F 2是该椭圆旳两个焦点，若△PF 1F 2旳内切圆半径为12，则21PF PF ⋅旳值为（ ）A ．32 B ．94C ．94-D ．04．已知12F 、F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>旳左、右焦点，过1F 作垂直于x 轴旳直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线旳离心率旳范围是（ ）A ．(1,1+B ．()1+∞ C.(1D ．)15．抛物线2(0)x ay a =>旳准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒12π弧度旳角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．从双曲线31532222=+=-y x F y x 引圆的左焦点旳切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP旳中点，O 为坐标原点，则|MO|—|MT|等于（ ）A ．3B ．5C ．35-D ．35+7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P ，F 1、F 2为椭圆旳焦点，若∠F 1PF 2＝θ，则△PF 1F 2旳面积等于( )A ．a 2tanθ2B ．a 2cotθ2C ．b 2tanθ2D ．b 2cotθ28．椭圆x 25＋y 24＝1旳右焦点为F ，设A (－52，3)，P 为椭圆上旳动点，则|AP |＋5|PF |取得最小值时P点旳坐标是( ) A ．(52，3) B ．(5,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)或(0,2)10．椭圆x 2m＋y 2n＝1(m ＞n ＞0)与双曲线x 2a－y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同旳焦点F 1、F 2，P 是两曲线旳一个交点，则|PF 1|·|PF 2|旳值为( )A ．m －a B.12(m －a ) C ．m 2－a 2 D.m －a11．如果双曲线x 213－y 212＝1上一点P 到右焦点旳距离等于13，那么点P 到右准线旳距离是( ) A.135B ．13C ．5D.51312．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 旳纵坐标是12时，点P 到坐标原点旳距离是( ) A.62 B.32C.3 D ．213．“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”是“ab ＜0”旳( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A (－2,23)，B (32，－5)，则( )A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆D ．这样旳曲线C 不存在二.填空题15．若直线y ＝x ＋k 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则k 旳取值范围是______．16．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，(θ为参数)与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么实数a 旳取值范围是______．17．过直线y ＝4上任一点作圆x 2＋y 2＝4旳切线，则切线长旳最小值为________．18．已知点P 是以F 1、F 2为焦点旳椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2， tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆旳离心率是________．19．在平面直角坐标系xOy 中，A 1、A 2、B 1、B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)旳四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆旳交点M 恰为线段OT 旳中点，则该椭圆旳离心率为________．20．已知椭圆x 23＋y 2＝1旳左、右两个焦点分别为F 1和F 2，点P 为椭圆上任意一点，点E 在椭圆旳右准线上．给出下列命题：则其中所有正确命题旳序号为________． 21．对于顶点在原点旳抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1旳点到焦点旳距离等于6；④抛物线通径旳长为5；⑤由原点向过焦点旳某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使抛物线方程为y 2＝10x 旳条件是________．(要求填写合适条件旳序号)22．双曲线x 29－y 216＝1旳两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴旳距离为________．23．设圆过双曲线x 29－y 216＝1旳一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心旳距离为________．24．已知F 为双曲线x 24－y 212＝1旳左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支点上旳动点，则|PF |＋|PA |旳最小值为________． 三、解答题25．如右图所示，已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点且这两点平分圆C 2旳圆周．求圆C 1旳圆心C 1旳轨迹方程，并求出当圆C 1旳半径最小时圆C 1旳方程．26．P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴旳一个端点，Q 为椭圆上旳一个动点，求|PQ |旳最大值．27．椭圆旳中心是原点O ，它旳短轴长为22，相应于焦点F (c ，0)(c >0)旳准线l 与x 轴相交于点A ，|OF |＝2|FA |，过点A 旳直线与椭圆相交于P 、Q 两点． (1)求椭圆旳方程及离心率； (2)若，求直线PQ 旳方程；28．已知抛物线y x 62=旳焦点为F ，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 旳离心率为23=e ，P 是它们旳一个交点，且2||=PF ．（I ）求椭圆C 旳方程；（II ）若直线)0,0(>≠+=m k m kx y 与椭圆C 交于两点A 、B ，点D 满足BD AD +=0，直线FD 旳斜率为1k ，试证明411->⋅k k ．29．如图，已知直线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于D ，且点D 旳坐标为(3，3)．(1)求p 旳值；(2)若F 为抛物线旳焦点，M 为抛物线上任一点，求|MD |＋|MF |旳最小值．30．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>旳焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0),F 直线2:l x a =交x 轴于点A ，且122.AF AF = （I ）试求椭圆旳方程；（II ）过F 1、F 2分别作互相垂直旳两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积旳最大值和最小值．31．圆C 1旳方程为532)1()4(22=-+-y x ,椭圆C 2为()222210x y a b a b+=>>，其离心率为23，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1旳直径. （Ⅰ）求直线AB 旳方程和椭圆C 2旳方程；（Ⅱ）如果椭圆C 2旳左右焦点分别是21F F 、,椭圆上存在点P ,使得12PF PF AB λ+=,求点P 旳坐标.第30题一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一。
(完整word)高中数学解析几何大题专项练习.doc
解析几何解答题x2 y2 1(a b 0) 的两个焦点为 F1 2 12b 2a2F1、 F2、 B1、 B2四点共圆，且点N（ 0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2.（ 1）求此时椭圆G 的方程；（ 2）设斜率为 k（ k≠ 0）的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点E、 F， Q 为 EF的中点，问过点 P（0，3）、 Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．32 、已知双曲线x2 y2 1的左、右顶点分别为A、 A ，动直线l : y kx m 与圆 x2 y212线左、右两支的交点分别为P (x , y ), P ( x , y2 ) .1 1 12 2 （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1的最小值；E、F 两点能否关于1相切，且与双曲（Ⅱ）记直线P1 A1的斜率为 k1，直线 P2 A2的斜率为 k2，那么， k1 k2是定值吗？证明你的结论.3、已知抛物线C : y2 ax 的焦点为F K ( 1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A、，点B 两点，点A关于x轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C的方程。
（2）证明：点F在直线BD上；uuur uuur 8，求BDK 的面积。
．（ 3）设FA ? FB94、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x轴上，离心率为1，点P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB的2中点 T 在直线 OP 上，且 A、O、B 三点不共线．(I)求椭圆的方程及直线 AB 的斜率；( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．5、设椭圆x 2y 2F 1 ( 1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 lx a222 1( a b 0) 的焦点分别为 ： a b uuur uuuur交 x 轴于点 A ，且 AF 12AF 2 ．（Ⅰ）试求椭圆的方程； （Ⅱ）过 1 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D EM N 四点（如图所示），若四边形 DMENF 、F 、 、 、的面积为27，求 DE 的直线方程．76、已知抛物线 P ：x 2=2py (p>0)．（Ⅰ）若抛物线上点M (m, 2) 到焦点 F 的距离为 3 ．（ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E ，过 E 作抛物线 P 的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，连接 AO ， BO 并延长分别交抛物线的准线于C ， D两点，求证：以 CD 为直径的圆过焦点F ．7、在平面直角坐标系xOy 中，设点 P( x, y), M ( x, 4) ，以线段PM为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹 W 的方程；（Ⅱ）过点E(0, 4) 的直线l与轨迹W交于两点A, B ，点A关于y轴的对称点为A' ，试判断直线 A 'B 是否恒过一定点，并证明你的结论.8、已知椭圆M :x2y2 1 ( a b 0) 的离心率为2 2，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形a 2 b2 3周长为 6 4 2 ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆 M 交于A, B两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C ，求ABC 面积的最大值．9、过抛物线 C: y 22 px( p 0) 上一点 M ( 2p , p) 作倾斜角互补的两条直线 ,分别与抛物线交于 A 、 B 两点。
高考数学解析几何试题分类汇编[整理六]2
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卜人入州八九几市潮王学校2021年全国高考数学试题汇编——解析几何(二)1．〔2021年高考·文史第11题〕圆xy 2211++=()的圆心坐标是______________，假设直线x y a ++=0与该圆有公一共点，那么实数a 的取值范围是______________． 2．〔2021年高考·理工第12题〕曲线C ：x y ==-+⎧⎨⎩cos sin θθ1〔θ为参数〕的普通方程是__________，假设曲线C 与直线x y a ++=0有公一共点，那么实数a 的取值范围是_______________． 3．〔2021年高考·理工第4题，文史第5题〕设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的 左、右焦点，假设3||1=PF ，那么=||2PFA.1或者5B.6C.7D.94．〔2021年高考·文史第7题〕假设过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的局部有交点，那么k 的取值范围是 A.50<<k B.05<<-k C.130<<k D.50<<k5．〔2021年高考·理工第7题〕假设)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程是A.03=--y xB.032=-+y xC.01=-+y xD.052=--y x6．〔2021年高考·理工第14题，文史第15题〕假设过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是。
7．〔2021年高考·理工类第2题，文史类第2题〕设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,那么它的焦点坐标为. 8．〔2021年高考·理工类第7题〕在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l :ρ(2cosθ+sinθ)=4的间隔d=. 9．〔2021年高考·文史类第7题〕当x 、y 满足不等式组2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时,目的函数k=3x －2y 的最大值为.10．〔2021年高考·文史类第8题〕圆心在直线x =2上的圆C 与y 轴交于两点A(0,－4),B(0,－2),那么圆C 的方程为. 11．〔2021年高考·理工类第8题〕圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,－4),B(0,－2),那么圆C 的方程为. 12．〔2021年高考·理工类第11题，文史类第11题〕教材中“坐标平面上的直线〞与“圆锥曲线〞两章内容表达出解析几何的本质是. 13．〔2021年高考·理工类第3题，文史类第3题〕圆222430xy x y +-++=的圆心到直线1x y -=的间隔为〔〕A ．2B．2C ．1 D14．〔2021年高考·理工类第10题，文史类第10题〕双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,那么此双曲线的离心率e 的最大值为：〔〕A ．43B ．53C ．2D ．7315．〔2021年高考·理工类第16题〕对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公一共点，那么b 取值范围是_______________．16．〔2021年高考·文史类第2题〕设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，那么a,b 满足 〔〕A ．1=+b aB ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a17．〔2021年高考·理工类第2题，文史类第4题〕假设双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的间隔等于13，那么点P 到右准线的间隔是 〔〕A ．513 B ．13 C ．5 D ．135 18．〔2021年高考·文史类第15题〕F 1，F 2是椭圆C ：14822=+x x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________. 19．〔2021年高考·理工类第16题〕设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i 〔i =1，2，3，…〕，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，那么d 的取值范围为.20．〔2021年高考·文史第17题，本小题总分值是14分〕如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P 〔1，2〕，A 〔x y 11,〕，B 〔x y 22,〕均在抛物线上。
高考数学重难点必刷题：解析几何选填含详解
上，则双曲线的离心率为( )
A． 3 1
B． 2 1
C． 5 1 2
D． 2 1 2
23． P 为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a, b
0 上一点， F1, F2 分别为 C 的左、右焦点，
PF2 F1F2 ，若 PF1F2 的外接圆半径是其内切圆半径的 2.5 倍，则 C 的离心率为（ ）
54
2
的取值范围是（ ）
A． 2,2
B． , 2 2,
C． 2, 2
D． , 2 2,
3．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) ，F1, F2 分别为其左、右焦点，过 F1 的直线 l 与
双曲线 C 的左、右两支分别交于 A, B 两点，若 AB : BF2 : AF2 3 : 4 : 5 ，则双曲线 C
B． (a m)
C． 2(b n)
D． 2(a m)
25．已知抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 和动直线 l ：y kx b（ k ，b 是参变量，且 k 0 ，
b≠0 ）相交于 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) 两点，直角坐标系原点为 O ，记直线 OA ，OB 的 斜率分别为 kOA ， kOB ，若 kOA kOB 3 恒成立，则当 k 变化时直线 l 恒经过的定点为
C． 2 3 3
D． 3 2 2
29．已知点 A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线 y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割
为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是（ ）
A．（0，1） 二、多选题
B． 1
2 2
，1 2
高考数学解析几何专项训练.docx
高中数学学习材料唐玲出品解析几何专项训练一．选择题：（共12小题，每小题5分，计60分）1.在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)2.已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．3 5 B ．6 5 C ．415D ．2153.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝14.已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 5.已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 26.设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)7.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( ) A ．1＋2 2 B ．4－2 2 C ．5－2 2D ．3＋2 28.已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( ) A.12 B.32 C ．1D ．29.若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．510.已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝011.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.3－12C.32D.3－112.已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43二．填空题：（共4小题，每小题5分，计20分）13.在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．14.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．15.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.16.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.三．解答题：（共70分）17.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点⎝⎛⎭⎫12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，求△PBC 面积的最小值．18.（14分）在△ABC 中，顶点B (－1,0)，C (1,0)，G ，I 分别是△ABC 的重心和内心，且IG →∥BC →.(1)求顶点A 的轨迹M 的方程；(2)过点C 的直线交曲线M 于P ，Q 两点，H 是直线x ＝4上一点，设直线CH ，PH ，QH 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，试比较2k 1与k 2＋k 3的大小，并加以证明．19.（14分）已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．20.（15分）如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△P AB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21.（15分）如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.答案：1.解析：选A.圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0|－a |>2⇒a <－2，|2a |>2故选A.2.解析：选D.将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.3.解析：选D.利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝± bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.4.解析：选A.由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解．由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.故选A. 5.解析：选B.|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α ＝2＋2cos α＝3， 所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 6.解析：选D.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ， d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn ， 又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.7.解析：选C.如图，设|AF 2|＝x ，则|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝2a ＋x .又∵△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴|AB |＝|AF 1|＝2a ＋x ，∴|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝4a ，∴4a ＝2(2a ＋x )，x ＝2(2－1)a ，又∵|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(2a ＋x )2＋x 2＝4c 2，即8a 2＋4(3－22)a 2＝4c 2，e 2＝c 2a2＝5－2 2.8.解析：选B.因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，故选B.9.解析：选C.将点的坐标代入直线的方程，得到a ，b 所满足的关系式，再利用基本不等式求最值．将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C. 10.解析：选A.设C 1的离心率e 1＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2，C 2的离心率e 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.e 1e 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2·1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 4＝32.∴⎝⎛⎭⎫b a 4＝1－34＝14， ∴b a ＝22. ∴渐近线y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.11.解析：选D.设A (m ，n )，则⎩⎨⎧nm ＋c ×(－3)＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫c 2，32c ，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∴e ＝3－1.12.解析：选B.先根据已知条件分析△ABC 的形状，然后确定外心的位置，最后数形结合计算外心到原点的距离．在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213，故选B. 13.解析：设出点D 的坐标，求出点D 的轨迹后求解．设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0, 3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OC →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1. 答案：7＋114.解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |， ∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x15.解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15.答案：4±1516.解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：3317.解：(1)由题意可知圆心到⎝⎛⎭⎫12，0的距离等于到直线x ＝－12的距离，由抛物线的定义可知，曲线E 的方程为y 2＝2x .(2)法一：设P (x 0，y 0)，B (0，b )，C (0，c )，直线PB 的方程为：(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0，又圆心(1,0)到PB 的距离为1， 所以|y 0－b ＋x 0b |(y 0－b )2＋x 20＝1，整理得：(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0， 同理可得：(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0，所以b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2， 依题意bc <0，即x 0>2，则(b －c )2＝4x 20＋4y 20－8x 0(x 0－2)2， 因为y 20＝2x 0，所以|b －c |＝⎪⎪⎪⎪2x 0x 0－2， 所以S ＝12|b －c |x 0＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥8， 当x 0＝4时上式取得等号，所以△PBC 面积的最小值为8.法二：设P (x 0，y 0)，直线PB ：y －y 0＝k (x －x 0)，由题知PB 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则 |k ＋y 0－kx 0|k 2＋1＝1，整理得： (x 20－2x 0)k 2＋2(1－x 0)y 0k ＋y 20－1＝0，k 1＋k 2＝－2(1－x 0)y 0x 20－2x 0，k 1k 2＝y 20－1x 20－2x 0， 依题意x 0>2，则|y B －y C |＝|(y 0－k 1x 0)－(y )－k 2x 0|＝|k 1－k 2|x 0，又|k 1－k 2|＝2|x 0－2|，则|y B －y C |＝⎪⎪⎪⎪2x 0x 0－2， 所以S ＝12|y B －y C ||x 0|＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥8，当且仅当x 0＝4时上式取得等号， 所以△ PBC 面积的最小值为8.18.解：(1)由题意知S △ABC ＝12(|AB |＋|AC |＋|BC |)·r ＝12|BC |·|y A |，且|BC |＝2，|y A |＝3r ，其中r 为内切圆半径， 化简得：|AB |＋|AC |＝4，顶点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，4为长轴长的椭圆(去掉长轴端点)，其中a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)2k 1＝k 2＋k 3，以下进行证明：当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)且P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，H (4，m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －1)可得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2， x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. 由题意：k 1＝m 3，k 2＝y 1－m x 1－4，k 3＝y 2－m x 2－4. k 2＋k 3＝(y 1－m )(x 2－4)＋(y 2－m )(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4)＝8m ＋8k ＋2kx 1x 2－(m ＋5k )(x 1＋x 2)x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝24mk 2＋24m 36k 2＋36＝2m 3＝2k 1. 当直线PQ 的斜率不存在时，不妨取P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32， 则k 2＋k 3＝m －323＋m ＋323＝2m 3＝2k 1. 综上可得2k 1＝k 2＋k 3.19.(1)证法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k 2. ∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. ∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′|x ＝k 4＝k ， 即抛物线在点N 处的切线的斜率为k .∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB .证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k 2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0， ∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0， ∴m ＝k ，即l 1∥AB .(2)解：假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N .∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝ 12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2， ∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. ∵|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2×⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1)＝12k 2＋1×k 2＋16. ∴k 2＋168＝14k 2＋1×k 2＋16，∴k ＝±2， ∴存在实数k ＝±2，使以AB 为直径的圆M 经过点N .20.解：(1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －t )，y ＝14x2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0， 由于直线P A 与抛物线相切Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0， 解得⎩⎨⎧x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2. (2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线P A 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线P A 的距离是d ＝t 21＋t 2. 设△P AB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t 32. 21.解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3.即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)方法一：连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1， x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a ca 2－2b 2， y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝(a a 2－2b 2c ＋c )2＋b 4c 2 ＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|，又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(42＋2－1)2＝6－ 3. 方法二：如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，则|PF 1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a. 由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。
解析几何-冲刺2022年高考数学大题限时集训(解析版)
专题05解析几何解析几何作为高考数学必考大题，一般包含圆，椭圆。
双曲线，抛物线相关的综合问题。
一般解答题椭圆与抛物线作为重点，双曲线一般考查小题，但是2021年高考新课标中解答题出现了双曲线。
一般出现在20或21题左右，考查内容主要包含直线过定点，求值或者是相应的范围问题，以及定值问题等，对于直线过定点问题可采用齐次化解。
对于求值以及范围问题一般做法均是万能方法韦达定理去转化。
类型一：斜率之和或之积，直线过定点问题方法一：韦达定理方法二：齐次化解决（简单方便）例题1．12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得:22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b bb +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---=整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=-因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=--22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则022000220x mx y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.齐次化方法技巧:例如要证明直线AP 与AQ 斜率之和或者斜率之积为定值，将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为mx+ny=1(为什么这样设？因为这样齐次化更加方便)，与圆锥方程联立，一次项乘以mx+ny ，常数项乘以（mx+ny ）²，构造ay ²+bxy+cx ²，然后等式两边同时除以x ²（前面注明x 不等于0），得到，化简为ak ²+bk+c=0，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。