10高等流体力学练习题

高等流体力学练习题

第一章 场论基本知识 第一节 场的定义及其几何表达

1、（RX21）设点电荷q 位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所

产生的电场强度，由电学知为：3

4q E r r

πε=

，其中ε为介质系数，r xi yj zk =++

为M 点的矢径，r r = 。求电场强度的矢量线。

2、（RX22）求矢量场22

()A xzi yzj x y k =+-- ，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。

第二节 梯度

1、（RX32）设r =M(x, y, z)的矢径的模，试证明：r

gradr r

=

。

2、（RX33）求数量场u=xy 2+yz 3

在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量22l i j k

=+- 方向的方向导数。

3、（RX34）设位于坐标原点的点电荷q ，由电学知，在其周围空间的任一点

M(x, y, z)处所产生的电位为：4q v r

πε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk

=++

为M 点的矢径，r r =

。求电位v 的梯度。

4、（BW7）试证明d dr grad ϕϕ=⋅ ，并证明，若d dr a ϕ=⋅

，则a 必为grad ϕ。 5、（BW8）若a

＝grad ϕ，且ϕ是矢径r 的单值函数，证明沿任一封闭曲线L

的线积分0L

a dr ⋅=⎰ ，并证明，若矢量a

沿任一封闭曲线L 的线积分

0L

a dr ⋅=⎰

，则矢量a

必为某一标量函数ϕ的梯度。

第三节 矢量的散度 1、 （RX39）设由矢径r xi yj zk =++

构成的矢量场中，有一由圆锥面x 2+y 2=z 2及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S 。试求矢量场从S 内穿出S 的通量。 2、 （RX41）在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为

3

4q D r r π= ，其中，r 为从点电荷q 指向M 点的矢径，r r

=

。设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内穿出S 的电通量。

3、 （RX44）若在矢量场A

内某些点（或区域）上有0divA ≠ ，而在其他点上都

有0divA =

，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。

4、 （RX44）在点电荷q 所产生的电场中，求电位移矢量3

4q D r r π=

在任何一点M 处的散度。

5、 （RX46）已知xyz e ϕ=，求()div r ϕ

第四节 矢量的旋度 1、（RX51）设有平面矢量场A yi xj =-+

，l 为场中的星形线x=Rcos 3θ，y=Rsin 3θ。求此矢量场沿l 正向的环量。

2、（RX55）求22

22sin y A xy z i z yj x e k =++ 的旋度。

3、（RX57）设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为123i j k ωωωω=++

。

由运动学我们知道，刚体上某一点处的线速度为

233112()()()v r z y i x z j y x k ωωωωωωω=⨯=-+-+-

，求此线速度场的旋度。

4、（BW18）证明rot grad ϕ=0，并证明，若rot a ＝0，则a

必为grad ϕ。

第五节 哈密尔顿算子

1、（RX80）已知u=3xsinyz ，求()ur ∇⋅

2、（RX80）设324

22A xz i x yzj yz k =-+ ，求该矢量在点M(1, 2, 1)处的旋度。

3、（RX80）证明()2l

S

a r dl a dS ⨯⋅=⋅⎰⎰⎰

，其中a 为常矢。

第六节 场论基本运算公式（见P6～7）

1、（BW19）证明场论各基本运算公式。

第二章 张量基本知识 第一节 指标

1、 什么是自由指标和哑指标？

2、 试简述约定求和法则。

第二节 张量及其表示法

1、 试简述二价张量的定义。

2、 什么是零阶张量？它有几个分量？

3、

试写出22

23[]x xy zx A xy zy x y y

yz ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

的实体表示形式。

第三节 几个特殊的张量

1、 试写出单位张量的分量表示形式

2、 （BW63）试证明二价张量可以唯一的分解为一个对称张量和一个反对称张

量之和。

第四节 二阶张量的运算 1、 证明[][]ij jn i n A B a b e e =

2、 证明当［B ］为对称张量时，则[][]a B B a =

3、 证明[]I a a =

4、 若将反对称张量［B ］写成：323

12

1

[]0

0B ωωωωωω-⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

，证明[]B a a ω=⨯

5、 证明[]:[]ii I B b =

6、 证明[]()

p p δ∇=∇

7、 证明[]()[][]p A p A p A ∇=∇+∇

8、 证明()()

T V V ∇∇=∇∇ ，其中T V ∇ 为V ∇

的转置张量。 9、 证明[]()[][]:P V P V P V ∇=∇+∇

第五节 各向同性张量

1、 什么是各向同性张量？

2、 证明二阶各向同性张量的形式必为ij λδ，λ为标量。