生存模型与生命表
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第二章 生命表函数与生命表构造
设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。 求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t
死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质 、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
0
x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
生命表
501 2 1 1 1 1 1 0
506 5 3 3 2 1 1 0
0.5 2.0 4.6 3.9 3.1 2.3 1.4 0.5
67424 175 50 47 44 41 38 35
5.954 1.253 0.062 0.066 0.071 0.076 0.082 3.555
5.3 动态混合生命表：同时包括了存活率lx和出生率mx
第二章、种群生态学
§1 §2 §3 §4 §5
概论 种群的基本特征 生命表的特征和应用 种群增长 种群调节 种群进化对策
第二节、生命表 Life table
1. 概念
生命表是按种群生长的年龄或发育阶段的顺序而编制
的,是种群中个体存活、死亡和新生历程的系统记述。
简言之，生命表是直接记录种群内个体死亡和存活过程的一览表. 记录了与年龄或发育阶段相联系的某个种群特定年龄或特定时间的死 亡和生存情况。 统计预测特定年龄人群的生命期望（Life expectancy)。
There are three generalized patterns of age-specific survivorship depending on whether the probability of dying is highest later in life (Type I)
constant through life (Type II) or
0.067 0.137 0.222 0.342 0.426 0.556 0.699
0 300 620 430 210 60 30 10 —
5.2 静态生命表：
是根据某一特定时间对种群作年龄结构调查的资 料而编制的生命表。
Numerical data was obtained by investing age structure of population at one time.
3.1生存模型与生命表教案资料
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
第一章 生命表
60p20，2|3q50
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
3.1生存模型与生命表
■定理证明:
(1)
t
px Pr(Tx t ) Pr( X x t X x)
s( x t ) s ( x)
(2)由 t qx 的定义可知
t
qx P(Tx t ) 1 P(Tx t ) 1 t px ;
又由条件概率公式，有
u|t
qx P(u Tx t u ) P(Tx u ) P(Tx t u | Tx u )
S0 ( x) S ( x t ) f0 ( x t ) f x (t ) Fx (t ) 0 ; S0 ( x) S0 ( x)
xt
(2) S x (t )
S0 ( x t ) e S0 ( x)
s ds
x
e
xs ds
0
t
.
(3) f 0 ( x) S0 ( x) x , S0 ( x t ) S0 ( x) S x (t ), f x (t ) f0 ( x t ) S x (t ) x t t px x t S0 ( x)
S0 (64) 1 ) S0 (51) 8
□例3已知18岁的小王，再生存10年的概率为
0.95，再生存30年的概率为0.75.则其现年28岁 在48岁之前的死亡概率为。
□解:已知
10
p18 0.95， 30 p18 0.75
30
p18 10 p18 20 p28
0.75 0.2105 0.95
m n
注：生存函数 S0 (t ) 的性质
1
2
S0 (0) 1
S0 ( x)单调下降，右连续
寿险精算学-ch2
未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和 死亡力函数（以年为最小计量单位） 为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386
生命表
基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下，2003年8月， 正式启动了新生命表编制项目。
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
第二章--生命函数与生命表理论
均匀分布下
0
ex
ex
1 2
第四节 死亡效力
瞬时死亡率，简记
x
lim
h0
S(x) S(x h) h S(x)
S ( x) S(x)
(ln S(x))
f (x) S(x)
死亡效力曲线称为“浴盆曲线”
死亡效力与生存函数关系：
x
S(x) exp{ 0 sds}
寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率， 后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ;
(3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x) S(x t) S(x t u) S(x)
第八节 有关分数年龄的假设
基本原理:插值法
1）均匀分布假定(线性插值) 2）常数死亡力假定(几何插 值) 3）Balducci假定(调和插值)
均匀分布假定(线性插值)
s(x t) (1 t)s(x) ts(x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
s(x t) s(x)(1t) s(x 1)t , 0 t 1
例 假设某人群的生存函数为S(x) 120 x , 0 x 120. 求： 10
（1）39岁的人至少还能再活45年的概率； （2）56岁的人能活过71岁但活不过84岁的概率.
剩余寿命的期望和方差
o
e 期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记 x
o
wx
ex E(T (x)) t fT (t)dt t pxdt
生命表基础课件
t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；
（8）
qx
lim
t
FT
(
x
)
(t
)
0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px
d dt
(1
t qx )
d dt
t qx
t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx
SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px
SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px
SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)
S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念
第3章_生存模型与生命表
符号 p x 与 q x 可扩展到不只限于 1 年的死亡与生存概率。 定义：
t
p x ＝ S x (t ) ＝ P [ Tx ＞ t ]
t
q x ＝ Fx (t ) ＝ P [ Tx ≤ t ]
即， t p x 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍然生存的概率； t q x 表示 x 岁的人在未来 t 年 中死亡的概率。显然，
x s 岁，并在一个很短的时间间隔 ds 里死亡的概率。这个定积分因此是这个人
在 x 岁到 x ＋1 岁之间任意一给定时刻死亡的概率的加总。这些事件当然都是独 立的，所以我们把它们的概率加起来得到总的概率 q x 。
（二） t p x 的公式
s ＝
即
( s p 0 ) s p0
d log( s p 0 ) ds
h x ≈ h q x
二、关于死亡力的一个重要公式：
1 x ＝ Iim PT0 x h | T0 x h0 h
1 F ( x h) F0 ( x) ＝ Iim 0 h0 h 1 F0 ( x)
＝
d 1 × F0 ( x ) 1 F0 ( x) dx
f x (t ) ＝
S (x t) 1 P[T x t h] P[T x t ] Iim S ( x) h0 h S (x t)
h 0
＝ S x (t ) × Iim ＝ S x (t ) × xt
1 P[T x t h | T x t ] h
t
p x ＝1－ t q x
且
t u
p x ＝ t p x × u p x t ＝ u p x × t p x u
容易理解：
t u
t
p x ＝ S x (t ) ＝ P [ Tx ＞ t ]
t
q x ＝ Fx (t ) ＝ P [ Tx ≤ t ]
即， t p x 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍然生存的概率； t q x 表示 x 岁的人在未来 t 年 中死亡的概率。显然，
x s 岁，并在一个很短的时间间隔 ds 里死亡的概率。这个定积分因此是这个人
在 x 岁到 x ＋1 岁之间任意一给定时刻死亡的概率的加总。这些事件当然都是独 立的，所以我们把它们的概率加起来得到总的概率 q x 。
（二） t p x 的公式
s ＝
即
( s p 0 ) s p0
d log( s p 0 ) ds
h x ≈ h q x
二、关于死亡力的一个重要公式：
1 x ＝ Iim PT0 x h | T0 x h0 h
1 F ( x h) F0 ( x) ＝ Iim 0 h0 h 1 F0 ( x)
＝
d 1 × F0 ( x ) 1 F0 ( x) dx
f x (t ) ＝
S (x t) 1 P[T x t h] P[T x t ] Iim S ( x) h0 h S (x t)
h 0
＝ S x (t ) × Iim ＝ S x (t ) × xt
1 P[T x t h | T x t ] h
t
p x ＝1－ t q x
且
t u
p x ＝ t p x × u p x t ＝ u p x × t p x u
容易理解：
t u
3.1寿命分布概述
含义：(x)在x+t前死亡的概率
3.1.3
剩余寿命T 的分布
s ( x t ) f T (t ) FT (t ) s ( x)
概率密度 生存函数
s( x t ) T ( x) t ) t p x 1 t q x Pr( s ( x)
含义：(x)在x+t岁时仍活着的概率
0
1
2
3
… …
q0
q1 q2
i
q3
q
i 0
1, qi 0
3.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s (0)
1,
x
lim s ( x) 0
b. 单调递减函数
生存函数与死力关系：
0 s ( x) e
y dy
x
2.1.5
t
死力
t
px , t qx , fT (t ) 与死力之间的关系
xs ds
0 p e t x
,
s( x t ) s( x t ) s( x t ) fT (t ) t p x x t s ( x) s ( x) s ( x t )
3.1
寿命分布
主要内容
寿命X的分布（分布函数和生存分布） 未来寿命（余命）的分布 死力（瞬时死亡率） 重点掌握： a. 各函数的符号表示及理解其涵义 b. 各种函数之间的关系
2.1.1
寿命X的分布函数
连续型死亡年龄
1. X: 死亡年龄（从生存到死亡的时间长度） 是一连续型随机变量
第二章生命表(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)
qx
n qx n dx lx
n dx
lx l xn lx
px
px
l x 1 lx
• 例2.2 根据表2.2求： • （1）在2-4岁之间死亡的人数。 • （2）1岁生存到4岁的概率。
• 2.2由lx推导的其他函数
• 一、死力（the force of mortality）的概念
dx Lx
dx l x (1 f x ) d x
qx 1 (1 f x ) q x
一般地 由于 有
0
n
s l x s x s ds l x s ds n l x n n Lx n l x n
0
n
nf x
n L x n l x n
表2.2 x 0 1 2 3
传统生命表 lx 100000 99724 99538 99407 x 4 … 109 110 lx 99311 … 1 0
特点：1、不使用S(x),而是将S(x) ×100000. 2、l0=100000.令lx=l0S(x).
• • • •
已知l0,则 lx=l0S(x)。 dx=lx-lx+1 ndx=lx-lx+n
xd (Tx )
0
Tx dx
定义： Y0 得： ( 4)
0 2
Tx dx
2 Y0 l0 2 2
E( X )
于是： Var（X） E ( X ) E ( X )
2 Y0 l0
T0 l 0
2
2.2.3 条件概率与密度
(1)
x n m q x 表示x岁的人在（ n）岁和
n qx n dx lx
n dx
lx l xn lx
px
px
l x 1 lx
• 例2.2 根据表2.2求： • （1）在2-4岁之间死亡的人数。 • （2）1岁生存到4岁的概率。
• 2.2由lx推导的其他函数
• 一、死力（the force of mortality）的概念
dx Lx
dx l x (1 f x ) d x
qx 1 (1 f x ) q x
一般地 由于 有
0
n
s l x s x s ds l x s ds n l x n n Lx n l x n
0
n
nf x
n L x n l x n
表2.2 x 0 1 2 3
传统生命表 lx 100000 99724 99538 99407 x 4 … 109 110 lx 99311 … 1 0
特点：1、不使用S(x),而是将S(x) ×100000. 2、l0=100000.令lx=l0S(x).
• • • •
已知l0,则 lx=l0S(x)。 dx=lx-lx+1 ndx=lx-lx+n
xd (Tx )
0
Tx dx
定义： Y0 得： ( 4)
0 2
Tx dx
2 Y0 l0 2 2
E( X )
于是： Var（X） E ( X ) E ( X )
2 Y0 l0
T0 l 0
2
2.2.3 条件概率与密度
(1)
x n m q x 表示x岁的人在（ n）岁和
（整理）实验三生命表与存活曲线的编制.
（整理）实验三生命表与存活曲线的编制.实验二生命表与存活曲线的编制生命表（life table）的概念：生命表是描述种群存活和死亡过程的一种统计表格。
记录了生物发育的不同年龄阶段的出生率和死亡率，以及由此计算出的种群生命期望值等特征值。
生命表一般可以分为如下几种类型：1）特定年龄生命表：以一群同年龄个体为起始点，始终跟踪各年龄阶段的种群动态，记录期繁殖和死亡个体数，直至该年龄群全部死亡为止。
适用于世代周期短、世代不重叠的种群。
2）特定时间生命表：假设不同年龄段种群的大小和结构相同的前提下，对一时刻各年龄段个体的调查统计而制成的生命表。
适用于世代重叠且稳定的种群。
3）图解生命表：将某世代个体数的动态特征以图解的形式直观地表现出来便成了图解生命表。
适用于生活史简单的种群。
总之，生命表是描述种群死亡过程及存活情况的一种有用工具，它包括了各年龄组的实际死亡数、死亡率、存活数及平均期望年龄值等。
根据生命表绘制的种群存活曲线图可以直观地描述种群的时间动态。
生命表是描述种群死亡过程及存活情况的一种有用的工具。
可以体现各年龄或各年龄组的实际死亡数、死亡率、存活数目和群内个体未来预期余年（即平均期望年龄）。
生命表的意义在于提供一个分析和对比种群个体起作用生态因子的函数数量基础。
也可以利用生命表中的数据，描述存活曲线图，说明种群各年龄组在生命过程中的数量；说明不同年龄的生存个体随年龄的死亡和生存率的变化情况。
一、目的要求1．了解生命表的类型及其结构；2．通过给定种群各年龄时期的存活个体数，计算生命表各特征值，理解种群生命期望的含义，领会生命表的生态学意义。
二、材料用品调查或利用已有的资料，如某年某地人口统计数据、电脑或计算器等三、实验原理生命表是描述种群死亡过程及存活情况的一种有用工具。
可以体现各年龄或各年龄组的实际死亡数、死亡率、存活数目和群内个体未来预期余年（即平均期望年龄）。
生命表的意义在于提供一个分析和对比种群个体起作用生态因子的函数数量基础。
第4章 人口统计学和生命表
4.1.3 人口转变理论与人口金字塔
ACTUARY
当今世界城市化和工业化趋势在中国和印度尤为明显。这两国家成为世界上人口最为 稠密的国家，这两国的变化发展对全球经济的发展都起到了主导作用。
2．人口金字塔 人口金字塔是用以展示一个国家人口的性别和年龄分布状况的类似金字戴的图形，由 许多条形块结合组成。比如下图印度1989年人口金字塔所示，男性人口数量如图右边所 示，女性人口数量如图左边所示。金字塔中年龄组的组间距为5年，0—4岁为第一组，往 后类推。 人口金字塔可以直接根据各年龄组男女人数来确定坐标刻度进行绘制；也可以先计算 出各年龄组男女人数各自所占总人口百分比来确定坐标刻度进行绘制。人口年龄金字塔 具有反映人口年龄结构状况的作用。
进行分类。包含索赔记录和行业数据
4.1.1 人口统计概述
ACTUARY
5．总体特征 任何总体都有大量共有的特征，为达到研究目的，一个总体需满足一个最起码的条件， 即总体中的个体需要有同质性，比如
· 以同样的方式进入这个总体 · 以同样的方式离开这个总体
“同质”是指至少存在一种方式可以辨认出某个个体是属于这个总体的。比如，精算 学家是一直从事精算研究的一群人，这就是同质性的一个特征。考虑一个国家，我们可 以以下面的标准对其进行分组：
第四章 人口统计学与生命表简 介
ACTUARY
生存模型是描述单个个体由生存状态到死亡状态这一过程（或由开始运行到报废或失效状态这一
过程）的数学模型。通常研究机械设备从运行到失效，或动物由生存到死亡的生存模型，其所研究
的精确年龄意义不大，比如一台机械从运行5年至6年间报废的概率的测度并没有多大意义，但对于
· 同一地区 · 同一行业 · 同一工种 · 同一嗜好
保险精算学3-生命表
Pr(K (x) k) Pr(k T (x) k 1) k px qxk
设S(x)为x岁人在其死亡年度中所活过的不足一年的 部分。 S(x)是（0，1）上的连续分布，有：
T (x) K(x) S(x)
K(x)的期望值是简约平均余命：
ex E(K (x)) k k px qxk k ( k px k1 px ) p k1 x
3050253031303030053030050530300530303070700514069700505139525505002555505552550025525505255001094501090250105454401090105042245025010901050847440253030530305303030530300569569ln05695生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制不过编制这种生命表需要纵向追踪一批人从生到死的全部过程而且在实际中很难取得完整的原始资料同时该表也只是历史的追述不能说明现在某个时期的死亡水平因此一般不采用实际同批人方法编制生通常采用假设同批人方法编制即把某一时期各个年龄的死亡水平当做同时出生的一批人在一生中经历的各个年龄时的死亡水平看待从而描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
二、x岁余命的生命函数
T(x)：x岁的人未来能生存的时间。其分布函数为：
设S(x)为x岁人在其死亡年度中所活过的不足一年的 部分。 S(x)是（0，1）上的连续分布，有：
T (x) K(x) S(x)
K(x)的期望值是简约平均余命：
ex E(K (x)) k k px qxk k ( k px k1 px ) p k1 x
3050253031303030053030050530300530303070700514069700505139525505002555505552550025525505255001094501090250105454401090105042245025010901050847440253030530305303030530300569569ln05695生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制不过编制这种生命表需要纵向追踪一批人从生到死的全部过程而且在实际中很难取得完整的原始资料同时该表也只是历史的追述不能说明现在某个时期的死亡水平因此一般不采用实际同批人方法编制生通常采用假设同批人方法编制即把某一时期各个年龄的死亡水平当做同时出生的一批人在一生中经历的各个年龄时的死亡水平看待从而描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
二、x岁余命的生命函数
T(x)：x岁的人未来能生存的时间。其分布函数为：
种群生命表的编制与存活曲线
种群生命表
种群生命表
----------种种群群生生命命表表的的编编制制与与存存活活曲曲线线
201940501097
方方向向：：森森林林生生态态 姓姓名名：：王超 学学号号：：
相关知识
种群具有个体所不具备的各种群体特征，这些特征 多为统计指标，大体分为三类： ①基本参数：种群密度 ②初级参数：出生率、死亡率、迁入、迁出 ③次级参数：性比、年龄分布、种群增长率
第一节 生命表的基本概念
二、生命表的主要优点:
1.系统性: 记录了从世代开始至结束.
2.阶段性: 记录各阶段的生存或生殖情况. 3.综合性: 记录了影响种群数量消长的各因素 的作用状况. 4.关键性: 分析其关键因素,找出主要因素和作 用的主要阶段.
第二节 生命表的一般构成
一、 例: 一个假设生命表
第四节 生命存活曲线
存活曲线的意义：
1.存活曲线以环境条件和对有限资源的竞争 为转移。例如，人类的存活曲线因营养、卫生医 药条件而有很大的变化。如果环境变得合适，死 亡率能够变得很低，种群就会突然爆发。不少农 业害虫的爆发就是这种情况。
第四节 生命存活曲线
存活曲线的意义：
2.研究存活曲线可以判断各种动物种群最容 易受伤害的年龄而人为地有效地控制这一种群的 数量，以达到造福人类的目的，如可以选择最有 利时间打猎或进行害虫防治。
一个假设的生命表xnxdxlxqxlxtxex1100055010005507251210121245025004505563254851083200150020075012516008045040005080030350705101000110005505060000存活个体的百分数死亡率第一节生命表的基本概念一生命表的定义生命表lifetable是种群统计学的一个有用工具生命表是按种群生长的时间或按种群的年龄发育阶段的程序编制的系统记述了种群的死亡或生存率和生殖率
种群生命表
----------种种群群生生命命表表的的编编制制与与存存活活曲曲线线
201940501097
方方向向：：森森林林生生态态 姓姓名名：：王超 学学号号：：
相关知识
种群具有个体所不具备的各种群体特征，这些特征 多为统计指标，大体分为三类： ①基本参数：种群密度 ②初级参数：出生率、死亡率、迁入、迁出 ③次级参数：性比、年龄分布、种群增长率
第一节 生命表的基本概念
二、生命表的主要优点:
1.系统性: 记录了从世代开始至结束.
2.阶段性: 记录各阶段的生存或生殖情况. 3.综合性: 记录了影响种群数量消长的各因素 的作用状况. 4.关键性: 分析其关键因素,找出主要因素和作 用的主要阶段.
第二节 生命表的一般构成
一、 例: 一个假设生命表
第四节 生命存活曲线
存活曲线的意义：
1.存活曲线以环境条件和对有限资源的竞争 为转移。例如，人类的存活曲线因营养、卫生医 药条件而有很大的变化。如果环境变得合适，死 亡率能够变得很低，种群就会突然爆发。不少农 业害虫的爆发就是这种情况。
第四节 生命存活曲线
存活曲线的意义：
2.研究存活曲线可以判断各种动物种群最容 易受伤害的年龄而人为地有效地控制这一种群的 数量，以达到造福人类的目的，如可以选择最有 利时间打猎或进行害虫防治。
一个假设的生命表xnxdxlxqxlxtxex1100055010005507251210121245025004505563254851083200150020075012516008045040005080030350705101000110005505060000存活个体的百分数死亡率第一节生命表的基本概念一生命表的定义生命表lifetable是种群统计学的一个有用工具生命表是按种群生长的时间或按种群的年龄发育阶段的程序编制的系统记述了种群的死亡或生存率和生殖率
2,生命表和生命函数
➢ 有了死力概念，即可得出存活概率与死 亡概率的连续型表达式：
x
lx l0e0 ydy
n
p e n x
0 xt dt
n
n qx
1
e
0
xt
dt
n
0 t px xtdt
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续） ➢ Lx： 的人在 x 岁和
岁间活的总年数；
Lx
1 0
l
xt
xt
பைடு நூலகம்
tdt
lx1
1
0 lxt dt
假如死亡人数在每个年龄区间上均匀分布，则
Lx
lx
lx1 2
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢ Tx：x岁的人群未来累计存活总年数；
Tx 0 lxt xttdt 0 lxt dt
x1
Tx Lx Lx1 L1
Lxt
t 0
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢ K(x)：x岁的人群未来存活的整年数；
K ( x) [Tx ]
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢平均余命：取整平均余命及完全平均余命
➢取整：
ex
K (x) lx
E[K ( x)]
KP[K ( x) k ]
P k 1 x
k 0
k 0
➢完全：
ex
Tx lx
E[Tx ]
lxt dt 0 lx
死亡率的改进
➢ 死亡率的改进 ➢ 例：
➢ A公司：经过体检的不吸烟者死亡率首年度为 55%×生命表首年度死亡率，以后逐年递增到60% 或70%；经过体检的吸烟者，首年度调整因子为 115%，以后逐年递减到110%
生存模型
概率密度函数：
e
, t ≥ 0, λ > 0
d − λt f (t ) = − S (t ) = λ e dt
危险累积函数：
f (t ) λ (t ) = =λ S (t )
精算教材中常称指数分布为常力分布。
例2.1 对于指数分布，证明
E (T ) =
证：
λ
1
,Var (T ) =
+∞ 0
1
λ
2
3、综合模型（总量模型） 综合模型（总量模型）
S （1） ( x ) 符号定义 考虑一特殊情况：定义在 t = 0时的初始事件是 某人的实际出生日，他的生存概率由 S (t ) 给出 。 一般地用 x表示到达年龄，则当 t = 0 时 x = 0 ， 所以到达年龄与消逝的时间事实上是一致的。 于是既可以用 x 也可以用 t 作为主要变量，按 通常的惯例是用 x 。生存概率将由 S ( x ), x ≥ 0 给出，而 S (0) = 1 ，当 x → ∞时S ( x) → 0 。
§2.2参数生存模型举例 参数生存模型举例 一：均匀分布
均匀分布是只有两个参数的分布，其概率 密度函数为：
1 , t ∈ [ a, b] f (t ) = b − a 0 , 其他
如果将均匀分布视为一生存模型，常用希腊 字母表示这个参数，则密度函数：
1 , t ∈ [0, ω ] ω 0 , 其他
− t λ ( y )dy S (t ) = exp ∫ 0
4. 累积危险率函数Λ (t ) ：
Λ(t )则：来自∫ λ ( y)dy = − ln S (t )
0
t
S (t ) = e
−Λ ( t )
e
, t ≥ 0, λ > 0
d − λt f (t ) = − S (t ) = λ e dt
危险累积函数：
f (t ) λ (t ) = =λ S (t )
精算教材中常称指数分布为常力分布。
例2.1 对于指数分布，证明
E (T ) =
证：
λ
1
,Var (T ) =
+∞ 0
1
λ
2
3、综合模型（总量模型） 综合模型（总量模型）
S （1） ( x ) 符号定义 考虑一特殊情况：定义在 t = 0时的初始事件是 某人的实际出生日，他的生存概率由 S (t ) 给出 。 一般地用 x表示到达年龄，则当 t = 0 时 x = 0 ， 所以到达年龄与消逝的时间事实上是一致的。 于是既可以用 x 也可以用 t 作为主要变量，按 通常的惯例是用 x 。生存概率将由 S ( x ), x ≥ 0 给出，而 S (0) = 1 ，当 x → ∞时S ( x) → 0 。
§2.2参数生存模型举例 参数生存模型举例 一：均匀分布
均匀分布是只有两个参数的分布，其概率 密度函数为：
1 , t ∈ [ a, b] f (t ) = b − a 0 , 其他
如果将均匀分布视为一生存模型，常用希腊 字母表示这个参数，则密度函数：
1 , t ∈ [0, ω ] ω 0 , 其他
− t λ ( y )dy S (t ) = exp ∫ 0
4. 累积危险率函数Λ (t ) ：
Λ(t )则：来自∫ λ ( y)dy = − ln S (t )
0
t
S (t ) = e
−Λ ( t )
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与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
.
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0) 1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续 3 o S0(x) 0,x 时 。
.
（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
.
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
第三章 生存模型与生命表
.
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定 价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
.
二、新生婴儿的生存分布
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
.
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
.
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
.
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
.
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et
et .
.
四、未来生存时间的密度函数 （一些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
.
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
.
■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的
概率是 P(T050)S0(50) ；（2）而在60
岁之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
.
三、 x岁个体的生存分布
.
□定理1 （1）生存概率
t
px
Hale Waihona Puke S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
.
■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
.
S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
.
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
(2)由 t q x 的定义可知
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ;
又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu)
P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
.
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0) 1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续 3 o S0(x) 0,x 时 。
.
（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
.
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
第三章 生存模型与生命表
.
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定 价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
.
二、新生婴儿的生存分布
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
.
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
.
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
.
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
.
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et
et .
.
四、未来生存时间的密度函数 （一些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
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F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
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■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的
概率是 P(T050)S0(50) ；（2）而在60
岁之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
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三、 x岁个体的生存分布
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□定理1 （1）生存概率
t
px
Hale Waihona Puke S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
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■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
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S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
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□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
(2)由 t q x 的定义可知
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ;
又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu)
P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;