第3讲凸集凸函数凸规划
凸集与凸函数ppt课件
设H为一超平面,子空间L平行于H,则L的正交补
空间L是一维的.不妨设p 0是L的一个基,则
L={x n|xTp=0},a M,有
M L a {x a n | xTp 0} {y n | pTy pTa}
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(2),对每一非空的仿射集M,存在唯一的子空 间L和向量a∈Rn,使得
M L a {x a | x L}
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2. 凸集与凸函数
•若非空仿射集M=L+a,则a∈M,于是唯一子空间
L可表为 L M M {x y | x, y M}
Df2.2. 非空仿射集M的维数是指平行于仿射 集M的子空间的维数.
若riS S,则S称为一个相对开集.集合clS \ riS称为S 的相对边界,记为rbS.
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2. 凸集与凸函数
•2.2 凸集与锥
Df 2.7 设S为n维欧氏空间 n中的一个集合。若对 任意两点x(1),x(2) S及每个实数 [0,1],有
x(1)+(1-)x(2) S 则称S为凸集。x(1)+(1-)x(2)称为x(1)和x(2)的凸组合。
2. 凸集与凸函数
Th2.2 给定向量p(≠0)∈Rn,∈R,则
H {x n | pT x } (2.1)
是Rn中的一个超平面.反之,Rn任一超平面都可表 成上式的形式,且在相差一个非零常数的意义下, (p,)是唯一的. Th2.3 给定矩阵A mn ,向量b n ,则
设仿射集M aff {x0, x1,...xm},L是平行于M的子空间,则
x M , x 1(x1 x0 ) ... m (xm x0 ) x0
最优化方法(凸集与凸函数)
{ {
} }
{
}
+ D1 ⊂ H 0 = x ∈ R n | a T x > β
− D2 ⊂ H 0
{ = {x ∈ R
n
| aT
} x < β}
+ − 则称超平面 H 严格分离 D1 和 D2 ，其中 H 0 和 H 0 分别表示
H + 和 H − 的内部
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点到凸集的投影
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集， y ∈ R n 但是 y ∉ D ，则 的距离最小， （1）存在唯一的点 x ∈ D ，使得集合 D 到点 y 的距离最小，即 x − y = inf { x − y , x ∈ D} （2） x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
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是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集，则任意 m 个点 x ( i ) ∈ D( i = 1,2,⋯ , m ) 的凸组合仍 即有： 属于 D ， 即有：
( x − x )T ( x − y ) ≥ 0 ， ∀x ∈ D
证明： （1） 证明： ） （ 令 S = x ∈ R n | x ≤ 1 则取充分大的 µ > 0 使得
Ds = D ∩ ( y + µS ) ≠ φ
因此连续函数 f ( x ) = x − y 在 D s 上必定可以取到极小点 存在性证明完毕
凸函数和凸的
凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。
本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。
简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。
如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。
（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。
（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。
这个性质在优化问题中非常有用。
3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。
此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。
二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。
也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。
如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。
（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。
（3）凸集的闭包也是凸集。
（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。
3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。
凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。
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x5
x
x2
x4
y
x3
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2. 凸集与凸函数
命题2.3若集合S ¡ n为凸集，则它的闭包S也是凸集。 Df 2.10设有集合C ¡ n,若对每一点x C,当取 任何非负数时，都有x C,称C为锥,又若C为凸 集，则称C为凸锥.
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2. 凸集与凸函数
（2）pT (y x) pT (y x x x) pT (y x) pT (x x) = (y x)(x x)
推论2.1设C为¡ n中的非空闭凸锥集，y C,则 存在p( 0)S,使得pTy 0 pTx
| | 1 1,因否则导出y S,矛盾。
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2. 凸集与凸函数
Th2.6.设S ¡ n的非空闭凸集，y S,则点x S为极小化问题 (2.4)的最优解当且仅当( y - x)T (x x) 0
设S为闭凸集，y S,H {x | pTx }为超平面。 H分离点y 若pTy ,则pTx ，x S. 令pTy ，则y与S分离可表为
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2. 凸集与凸函数
命题2.1 下述断言相互等价. (1) ¡ n中的向量组{x0 , x1 ,..., xm}仿射无关;
(2)¡ n中的向量组{x1 x 0 ,..., xm x 0 }线性无关;
(3)¡ n1中的向量组{(x0 ,1),(x1 ,1),...(xm,1)}线性无关.
设仿射集M aff {x0, x1,...xm},L是平行于M的子空间,则
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2. 凸集与凸函数
仿射无关向量组{x0, x1,..., xm}称为仿射集M的一个 重心坐标系. Df 2.6 设S ¡ n是非空集合, x S, N (x)表示x的 - 邻域。 若N (x) I affS S,则x称为S的一个相对内点.S的相对 内点的全体称为它的相对内部,记为riS
凸函数凸规划
凸函数
下面的图形给出了凸函数f x, y x4 3x2 y4
y2 xy的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1:设 f x是定义在凸集 D Rn 上，x, y D ,
令 t f tx 1 t y, t 0,1, 则:
i1
i1
凸函数
性质
定理2.3.2
f1 , f2 ,..., fk 是凸集S上的凸函数, 则
k
(x) ifi (x),i 0(i 1,2,..., k) i 1
和
(x) max 1 i k
fi ( x)
都是S上的凸函数.
凸函数
水平集(Level Set)
凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.3.1
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D ,及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y 则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
(1) f x是凸集 D上的凸函数的充要条件是对 任意的x, y D ,一元函数t为 0,1上的凸函数.
(2)设 x, y D , x y,若 t 在 0,1 上为严格
凸函数，则f x在 D上为严格凸函数．
凸函数
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之 间的部分是一段向下凸的弧．
故, cT x 是凸函数． 类似可以证明 cT x 是凹函数．
凸函数
性质
定理2.3.1
设 f x是凸集D Rn上的凸函数，
x1 , x2 ,..., xk S , i 0(i 1,2,..., k ),
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2. 凸集与凸函数
Th2.2 给定向量p(≠0)∈Rn, ∈R,则
H {x ¡ n | pT x } (2.1)
是Rn中的一个超平面.反之,Rn任一超平面都可表成 上式的形式,且在相差一个非零常数的意义下, (p, )是唯一的. Th2.3 给定矩阵A mn ,向量b n ,则
M {x ¡ n | Ax b}(简记为Ax b) (2.2) 是 n中的一仿射集.反之, n中的每一仿射集 都可表成(2.2)式的形式,即一组超平面的交集.
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2. 凸集与凸函数
Df 2.12，设S( ) n, p n，p 0, x S 若S H {x pT (x x ) 0}或者S H － {x pT (x x ) 0}
则称H {x pT (x x )＝0}是S在x处的支撑超平面，若S H ,
则称H为S在x处的正常支撑超平面。
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2. 凸集与凸函数
m
Df 2.8 给定m个向量, x1,..., xm ¡ n,以及满足 i 1的 i1
非负实数i R,i 1,..,m,称向量
1x1 ... mxm为{x1,..., xm}的凸组合.
Th2.4 集合S ¡ n是凸集,当且仅当S包含其中任意有限个
元素的凸组合,即对m
于是,由下确界定义知,存在序列{x(k)}, x(k) S, 使得 y x(k) r.
先证{x(k)}存在极限x S.只须证{x(k)}为柯西数列。
x(k) x(m)
2
(x(k) y) (x(m) y) 2
2
x(k) y
2
2
x(m) y
2
(x(k) y) (x(m) y)
2
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多面体(polyhedral set)是有限闭半空间的交. (可表为 Axb ). x1
凸集凸函数凸规划
凸集-----性质
k
推论：设Di , i 1,2,, k是凸集，则 i Di i 1 也是凸集，其中i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点． D2 0, yT y R 表示 y 轴上的点．
x 1 y D,
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2
= x Rn aT x b
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1 D2 R2 凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S Rn , S 中任意有限个点的所有凸 组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H(S) i xi xi S, i 0, i 1,2...,m, i 1, m N
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D (x y),及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
i 1
i 1
凸组合 (Convex Comb, xi Rn , i 1,2,...m且 i 1.
凸分析复习提纲
第一章：凸集及凸函数凸集——1、仿射集2、凸集3、锥（尖锥、凸锥、多面锥）4、凸集的闭包、内部和相对内部：线段定理；相对内部一定非空；相对内点判定5、集合的凸包：集合凸包的表示方法（卡拉太奥多里定理、克莱因-米尔曼定理）6、回收锥定理7、凸集的序列交、线性化、分解凸函数——1、定义、上境图、恰当函数2、下半连续3、函数的闭性4、凸性与极大极小值的关系5、函数的连续性6、函数凸性的一阶条件和二阶条件7、多元函数逐点取下确界，凸性不变/复合函数凸集的分离——1、超平面，闭半空间，强分离、支撑超平面2、投影定理3、二次规划（作业）4、两个凸集的联系/强分离定理第二章：凸包络、非凸优化和凸规划凸包络——1、定义及性质2、各种凸包络：多胞形/单纯形上凸函数/闭区间上单变量凹函数/平面矩形双线性函数的凸包络（作业）3、凸函数、上境图和凸包络的关系D.C.函数——1、定义及举例2、D.C.集，D.C.不等式3、D.C.集是一个闭集D.C.规划——1、定义2、典范D.C.规划（转化为凸规划）3、双层规划最优解的存在性刻画——1、强制函数2、weierstrass定理3、凸函数的回收方向4、函数的回收锥5、紧的最优解集的存在性定理第三章：凸规划解的描述择一定理与极锥定理——1、Fakas引理的两种表示2、点与闭凸锥分离3、极锥、有限生成锥、多面锥及其关系4、Fakas引理的正规表示5、Minkowski-weyl定理6、极点与多面体集合的关系7、多面体表示定理8、极点的性质9、凸集、极点、超平面LP问题——1、线性规划的定义、标准型及性质2、凹函数极点最优性整数规划——1、formulation定义2、有理多面体、weyl定理3、有理多面体与整数规划可行域的关系4、LP与IP之间的关系5、Benders分解算法（作业）第四章：带有约束的最优化1、LP与对偶2、KKT，强互补松弛3、FD、SFD、LFD4、一阶最优性条件（几何特征+代数特征）5、对偶理论及强对偶定理6、最小公共点与最大交叉点7、拉格朗日对偶、几何乘子、拉格朗日乘子8、弱对偶定理、slater约束规格与强对偶9、最优解-几何乘子对10、安点定理。
凸集的例子
凸集的例子在数学和几何学中，凸集是一个重要而有趣的概念。
它不仅在纯数学领域有广泛的应用，而且在实际问题的建模和解决中也起着至关重要的作用。
本文将为您介绍几个关于凸集的例子，帮助您更好地理解这一概念的实际意义。
例子一：凸多边形凸多边形是最简单的凸集之一。
它是由若干条线段连接而成的多边形，并且任意两点之间的连线都位于多边形内部。
简而言之，凸多边形没有凹陷的部分，任意两点之间的线段都在多边形内部，不会穿过多边形的边界。
著名的例子是正方形和正五边形，它们都是凸多边形的典型代表。
例子二：凸函数在数学中，凸函数是一个非常重要的概念，它在优化问题、经济学、物理学等多个领域中都有广泛的应用。
凸函数的定义是：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的实数x1和x2，以及0<=t<=1，都有以下关系成立：f(tx1+(1-t)x2)<=tf(x1)+(1-t)f(x2)那么函数f(x)就是一个凸函数。
直观地理解，凸函数的图像在任意两点之间的部分都位于连接这两点的线段的上方。
典型的例子包括二次函数f(x)=ax^2+bx+c（其中a>=0）以及指数函数f(x)=e^x等。
例子三：凸规划凸规划是数学规划中的一个重要分支，其目标是在满足一组约束条件的前提下，优化一个凸函数。
凸规划在工程、经济学、金融学等领域中都有广泛的应用。
考虑一个典型的凸规划问题：最小化f(x)，其中x是一个n维向量，f(x)是一个凸函数，同时满足约束条件g_i(x)<=0，h_j(x)=0，其中g_i(x)和h_j(x)分别是凸函数和仿射函数。
凸规划之所以重要，是因为它有着良好的性质和高效的求解算法，能够在实际问题中得到可行且高效的解决方案。
总结凸集是数学和几何学中一个重要且有趣的概念，它广泛应用于纯数学领域和实际问题的建模与解决中。
本文介绍了几个关于凸集的例子，包括凸多边形、凸函数和凸规划。
通过这些例子，我们希望读者能够更好地理解凸集的实际意义和应用价值。
凸函数与凸规划
f ( x1 ) f ( x) f ( x2 ) f ( x) , x1 x x2 x
即左差商不大于右差商. ii) x1 , x2 ( a, b), x2 x1 , x ( x1 , x2 ),
(2.1.2)
f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) , x x1 x2 x1
2
x1 , x2 (a, b), f ( x1 ) y1 , f ( x2 ) y2 .
由(2.1.1)，
f ((1 ) x1 x2 ) (1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) (1 ) y1 y2 , [0,1],
即 (1 )( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) ((1 ) x1 x2 , (1 ) y1 y 2 ) epi f , [0,1], 这表 明 epi f 是凸集. 反之，设 epi f 是凸集 . 对于任何 x1 , x2 ( a, b), 显然有 ( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))
(a, b) 上的凸函数，如果
f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), x1 , x2 (a, b), [0,1].
(2.1.1)
如果不等号是严格的，则称 f 在 (a, b) 上是严格凸函数. 如果 g 在 (a, b) 上是凸函数，则 称 g 在 (a, b) 上是凹函数. 此外，(2.1.1)等价于
x1 , x2 (a, b), x1 x2 ,
f ( x1 ) f ( x1 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ). x2 x1
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化和凸分析是数学中重要的分支领域，它们在诸多应用领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和凸分析的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、凸集与凸函数在进一步探讨凸优化和凸分析之前，我们先来了解一些基本概念。
首先是凸集和凸函数。
1. 凸集凸集是指集合中任意两点的连线上的点都属于该集合。
具体地，对于任意$x, y$属于集合$C$和$0\leq\lambda\leq 1$，满足$\lambda x+(1-\lambda)y$也属于$C$，则$C$是一个凸集。
2. 凸函数凸函数是定义在凸集上的实值函数，满足对于集合内的任意$x,y$和$0\leq\lambda\leq 1$，有$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambdaf(x)+(1-\lambda)f(y)$。
简单来说，凸函数的任意两点的连线上的函数值都不超过连线两端的函数值。
二、凸优化凸优化是指优化问题的目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸优化问题有着许多重要的性质和算法。
1. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为：$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &f(x)\\\text{subject to}\quad &x\in C\end{align*}$$其中，$f(x)$是凸函数，$C$是凸集。
2. 凸优化问题的性质凸优化问题具有以下性质：（1）全局最优解是局部最优解。
这意味着在凸优化问题中，存在一个全局最优解，同时该最优解也是局部最优解。
（2）凸优化问题无局部最优解和全局最优解之间的鞍点。
凸优化问题不存在鞍点，因此可以通过寻找局部最优解来获得全局最优解。
3. 典型凸优化问题凸优化问题在实践中有着广泛的应用，以下是一些典型的凸优化问题：（1）线性规划问题（Linear Programming，简称LP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &c^Tx\\\text{subject to}\quad &Ax\leq b\\&x\geq 0\end{align*}$$（2）二次规划问题（Quadratic Programming，简称QP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx+r\\\text{subject to}\quad &Gx\leq h\\&Ax=b\end{align*}$$（3）半正定规划问题（Semidefinite Programming，简称SDP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\langle C,X\rangle\\\text{subject to}\quad &\langle A_i,X\rangle=b_i,\quad i=1,\ldots,m\\&X\succeq 0\end{align*}$$三、凸分析凸分析是研究凸集和凸函数性质的数学分支，它主要研究凸集的性质以及凸函数的导数和二阶导数。
§4.2 凸函数和凸规划
§4.2 凸函数和凸规划1、凸函数及其性质定义 4.2.1 设n R S ⊂是非空凸集，R S f α:，如果对任意的)1,0(∈α有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+，S x x ∈∀21, 则称f 是 S 上的凸函数，或 f 在 S 上是凸的。
如果对于任意的)1,0(∈α有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+<-+，21x x ≠ 则称f 是S 上的严格凸函数，或f 在S 上是严格凸的。
若 f -是S 上的（严格）凸函数，则称f 是S 上的（严格）凹函数，或f 在S 上是（严格）凹的。
例 4.2.1 线性函数既是凸函数，又是凹函数定理 4.2.1 设n R S ⊂是非空凸集。
（1）若R R f n α:是S 上的凸函数，0≥α，则f α是S 上的凸函数；（2）若R R f f n α:,21都是S 上的凸函数，则21f f +是S 上的凸函数。
定理 4.2.2 设n R S ⊂是非空凸集，R R f n α:是凸函数，R c ∈，则集合}{c x f S x c f H S ≤∈=)(),(是凸集。
（称集合),(c f H S 为函数 f 在集合 S 上关于数 c 的水平集）证：任取),,(,21c f H x x S ∈ 则有S x S x ∈∈21,以及c x f c x f ≤≤)(,)(21因为S 是凸集，所以对于任意的)1,0(∈α有S x x ∈-+21)1(αα又因为f 是S 上的凸函数，因此有c c c x f x f x x f =-+≤-+≤-+)1()()1()())1((2121αααααα所以 ),()1(21c f H x x S ∈-+αα。
因此 ),(c f H S 是凸集。
定理 4.2.3 设n R S ⊂是非空开凸集，R S f α:可微，则（1）f 是S 上的凸函数的充要条件是)()()()(12121x f x f x x x f T -≤-∇， S x x ∈∀21, 其中T n x x f x x f x f ))(,....,)(()(1111∂∂∂∂=∇是函数f 在点1x 处的一阶导数或梯度。
凸集和凸函数的性质和应用
凸集和凸函数的性质和应用凸集和凸函数是数学领域中的两个重要概念，分别在几何、优化、概率等领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将会详细讨论凸集和凸函数的性质以及它们的应用。
一、凸集凸集是指满足任意两个点之间的线段都在集合内的集合。
换句话说，如果有一个集合S，那么S是凸集当且仅当对于S中的任意两个点x和y，x和y之间的线段上的所有点都在S内。
对于凸集，我们可以根据其性质进行分类。
首先，全空间和空集都是凸集，这两个极端情况被称为平凸集和空凸集。
而对于非平凸集来说，则可以有以下几种情况。
1.开凸集：对于某个凸集，如果它不包含任何边界点，则被称为开凸集。
2.闭凸集：对于某个凸集，如果它包含所有边界点，则被称为闭凸集。
3.紧凸集：对于某个凸集，如果它是有限的并且紧致的，则被称为紧凸集。
4.凸包：对于一组点，包含这些点的最小凸集，被称为凸包。
凸集不仅仅在数学中有着广泛的应用，还在计算机科学、优化问题等领域中得到广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用凸集来进行边界的处理和剪裁等；在优化问题中，我们可以使用凸集来化简复杂问题，以便更好地对其求解。
二、凸函数凸函数是指函数图像上任意两点的连线不在函数图像下方的函数。
更具体地说，如果一个函数f(x)满足以下不等式：f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)，其中0≤λ≤1则f(x)是凸函数。
这个不等式的意义是，对于函数图像上的任意两点x和y，它们之间线段上的所有点都在函数图像上方，即满足上述不等式。
凸函数的常见形式包括线性函数、指数函数、幂函数、对数函数等。
此外，两个凸函数的和、积和复合函数也都是凸函数。
凸函数的定义和凸集的定义类似，都是指在某一区间（或者全空间）内，满足一定的条件（凸性）。
凸函数的性质包括以下几个方面。
1.凸函数的上确界在左连续下降。
2.凸函数的导函数单调不减，且导函数的左导数和右导数存在并相等。
3.凸函数的一阶导数是凸函数。
线性规划凸集凸函数课件
同理可证线性函数 f ( x) = cT x 也是 Rn上的凹函数。
凸函数的性质
性质1 设f 1, f 2为定义在凸集D上的凸函数，l 为非负实数， l 则f1, f1+ f2也是D上凸函数。
性质2 设D是R n中一个凸集，f 是定义在D上的一个凸函数， 则f 在D 的内部连续。
= a (1-a )(x12 + x22 - 2x1 x2 )
= a (1-a ) (x1-x2)2 ≥0
∴ a f (x1) +(1- a ) f (x2)≥ f [ax1 + (1 - a )x2 ]
所以，f (x) = x 2 是R上凸函数。
例：证明线性函数
f ( x) = cT x = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn
仅〝<〞成立,则称为 f (xD)上严格凸函数。
凹函数，严格凹函数
对凸的一元函数 f (x)的几
何意义为：在曲线上任取
两点P1(x1, f (x1)), P2(x2, f (x2))弦 P1P2 位于
弧 P1P2 之上（见图）。
p2 p1 (x, y)
f (x)
x1 x
x2
例如，对 f (x)= x 2，因 "x1,x2∈R ，"a ∈(0,1)
多边形的顶点是 凸集的极点（顶点）。
圆周上的点都是 凸集的极点（顶点）。
定义4 设D为R n中非空凸集，若对" x(1)，x(2) ∈D ，
"a ∈(0,1)恒有
f [ax(1) +(1-a )x(2) ]≤ a f (x(1) )+ (1- a)f (x(2) ) (*)
线性规划 凸集凸函数
2 f
x1x2 2 f x22 L 2 f
xnx2
为 f (x) 在点x处的Hesse矩阵。
精品PPT
…
2 f
x1xn
…
2 f
x2 xn L
…
2 f
xn2
多元函数(hánshù)Taylor展开：
f x0 + p = f x0 + f x0 T p + o(|| p ||)
f x0 +
即Hesse矩阵 2 f (x)半正定。
若 " x ∈D , 2 f (x)>0，即Hesse矩阵正定，则 f (x)为严格
凸函数。
例：证明函数
f ( x) = xT x = x12 + x22 + + xn2
是 Rn上的凸函数。
精品PPT
定义6:凸规划(guīhuà)
设D Rn 为凸集,f ( x) 是定义在D上的凸函数，则
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 " x(1)，x(2)∈D，"a
∈[0,1]恒有 ax (1) +(1- a ) x(2) ∈D 则称D为凸集。ax (1)+ (1- a ) x(2)称为 x(1)和 x(2)的凸组合。
精品PPT
例
精品PPT
{ } 定义为
(i) 超平面 H = x PT x = b 为凸集。
精品PPT
凸函数的判断
设(p函àn数dufà(nx))存在一阶偏导数，x∈R n，向量
f
(x)
=
f x1
,
f x2
,…,
f xn
T
为 f (x) 在点x处的梯度。
(大学数学)凸集和凸函数讲义
二阶条件
定理3: 设在开凸集 D Rn 内 f x 二阶可微，则
(1) f x 是 D内的凸函数的充要条件为，在 D 内任一点 x 处，f x 的海色矩阵Gx半正定,
其中：
2 f x12
2 f
Gx
2
f
x
x2 x1
2 f
xn
x1
2 f
x1 x2 2 f x22
若对任意的 x, y D , 及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y 则称函数 f x 为凸集 D上的凸函数．
定义5 严格凸函数
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
例1：设 f x x 12 , 试证明 f x 在 ,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, y R, 且 x y , 0,1 都有： f x 1 y f x 1 f y
极点
定义1 设 D为凸集，x D, 若 D 中不存在
两个相异的点y , z 及某一实数 0,1 使得 x y 1 z , 则称 x 为 D 的极点．
例：D x Rn x a a 0, 则 x a
上的点均为极点．
• 图中0，Q1,2,3,4都是顶点。
凸函数
定义4 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上，
§ 1.2 凸集和凸函数
一 、凸集
定义1 设S为n维欧氏空间Rn 中一个集合.若对S
中任意两点,联结它们的线段仍属于S.即 对S中任意两点 x（1），x（2）及每个实数 [0，1]，都有
x（1）（1 ）x（2） S
则称S为凸集.
x（1）（1 ）x（2）称为x（1）和x（2）的凸组合 .
• 实心圆，实心球体，实心立方体等都是凸集， 圆环不是凸集。从直观上讲，凸集没有凹入 部分，其内部没有空洞。图1-7中的(a)(b)是凸 集，(c)不是凸集。
线性规划 凸集凸函数
例：证明线性函数
f ( x ) = c T x = c 1 x 1 + c 2 x 2 + L + c n x n
是 R n 上的凸函数。
同理可证线性函数 f(x)=cTx也是 R n上的凹函数。
精品课件
凸函数的性质
性质1 设f 1, f 2为定义在凸集D上的凸函数，l 为非负实数，则 l f1, f1+ f2也是D上凸函数。
xn
x1
xnx2
为 f (x) 在点x处的Hesse矩阵精品。课件
…
2 f
x1xn
…
2 f
x2
xn
L
…
2 f
xn2
多元函数Taylor展开：
fx0+p=fx0+fx0Tp+o(|p|||) fx0+p=fx0+fx0Tp+1 2pT2fx0p+o(|p||2|)
精品课件
定理2(一阶条件）：
是 R n 上的凸函数。
精品课件
定义6:凸规划
R设n D
f (为x )凸集,
凸函数，mi则n f称(x规) 划问题 xD
是定义在D上的
为凸规划。
若规划
min f (x)
s.t.
gi
(x)
0,
hj (x) = 0,
i = 1,2, …, m j = 1,2, …,l
中, f (x) 和- gi (x) 为凸函数, hi (x) 是线性函数,则上述问题为 求凸规划。
精品课件
多边形的顶点是 凸集的极点（顶点）。
圆周上的点都是 凸集的极点（顶点）。
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定义4 设D为R n中非空凸集，若对" x(1)， x(2) ∈D ，
凸函数与凸优化
凸函数与凸优化凸函数与凸优化是数学与计算领域中非常重要的概念和方法。
它们在优化问题的建模和求解、数学分析、经济学、工程学等众多领域中都有广泛应用。
本文将探讨凸函数的定义、性质以及凸优化问题的基本原理和解决方法。
一、凸函数凸函数是函数论中的一个重要概念。
形式化地讲，给定定义域为实数集合的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2∈D和任意的t∈[0, 1]，都有f(tx1 + (1 - t)x2) ≤ tf(x1) + (1 - t)f(x2)，那么函数f(x)就是凸函数。
凸函数具有以下性质：1. 凸函数的图像上任意两点间的连线都位于或在图像上方；2. 凸函数上的任意两点的切线都位于或在函数图像上方；3. 凸函数上的点集合是凸集。
凸函数具有许多重要的应用，例如在经济学中，凸函数可以用来描述供需关系、效用函数等；在工程学中，凸函数可以用来描述能量函数、成本函数等。
二、凸优化凸优化是指优化问题中目标函数和约束函数均为凸函数的一类优化问题。
凸优化问题具有良好的性质，可以使用有效的算法进行求解。
凸优化问题的一般形式如下：最小化 f(x)约束条件g_i(x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., p其中，f(x)是凸函数，g_i(x)和h_j(x)分别是凸集上的函数。
凸优化问题有许多解决方法，其中最常用的是拉格朗日乘子法和内点法。
1. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的凸优化求解方法。
它通过引入拉格朗日乘子构建拉格朗日函数，并求解其对偶问题来寻找原始问题的最优解。
2. 内点法内点法是一种高效的凸优化求解方法。
它通过在可行域内搜索，而不是沿着边界搜索，来解决凸优化问题。
内点法在求解大规模凸优化问题中具有优势，并且通常可以在多项式时间内找到近似最优解。
凸优化在工程、经济学、计算机科学等领域中有广泛应用。
例如，在机器学习中，凸优化被用于训练支持向量机、逻辑回归等模型；在无线通信中，凸优化被用于功率控制、资源分配等问题。
第三讲第三节拟凸函数与拟凹函数
拟凹函数与拟凸函数代数定义
• 设函数 f ：SRn R, S为凸集， 如果任意u,v Rn (0,1), f (v) f (u),有 f ( u ＋ (1-) v) f(u), f为拟凹函数 f(v), f为拟凸函数
拟凹函数与拟凸函数几何图示
拟凹函数
N M2 M
拟凸函数
N2
0 B 2 f1 f2
f1 f11 f 21
f2 f12 f 22
拟凹和拟凸函数
• 在非负象限，拟凹的必要条件是：
B1 0,
B2 0, ,
0 Bn 0
，n为奇数 ，n为偶数
• 在非负象限，拟凹的充分条件是：
B1 0,
B2 0, ,
0 Bn 0
，n为奇数 ，n为偶数
拟凹和拟凸函数
• 在非负象限，拟凸的必要条件是：
B1 0,
B2 0, ,
Bn 0
• 在非负象限，拟凸的充分条件是：
B1 0,
B2 0, ,
Bn 0
拟凹和拟凸函数练习
• 证明下面函数是拟凹函数：
f ( x, y) x y , ( x, y 0;0 a, b 1)
a b
答案
• 证明下面函数是拟凹函数：
f ( x, y) x y , ( x, y 0;0 a, b 1)
a b
B1 0,
B2 0
向量空间—拟凹函数举例
向量空间—拟凹函数举例
且
拟凹函数与拟凸函数
• 设函数 f ：SRn R, S为凸集，如果任意b R 集合U (f , b) 总为凸集，称函数 f 为拟凹函数。 • 如果任意b R， L (f , b) 总为 凸集，称函数 f 为拟凸函数。 • 如果任意b R集合U (f , b) 总为严格凸集，称函 数 f 为严格拟凹函数。 • 如果任意b R， L (f , b) 总为 凸集，称函数 f 为 严格拟凸函数。
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(b)凹函数
P41 2.37
凸函数
例：设
试证明
上是严格凸函数．
证明: 设
且
在 都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
例：试证线性函数是 上的凸函数．
证明: 设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
性质
定理1 设
凸函数
是凸集
上的凸函数充要条件
不等式应用: 设
詹生(Jensen)不等式 ，证明:
P41 2.36
性质
定理2
凸函数
正线性组合
凸函关于数 的水平集.
定理3
设 是凸集
上的凸函数，则对任意
，水平集
是凸集．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1: 设 是定义在凸集
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2) αf( x1 ) +(1- α) f( x2) f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
(2) 若 是凸集
上的严格凸函数，
且凸规划问题
局部极小点x*存在，
则x*是唯一的全局极小点．
定理 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。 证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使 如果x*不是整体最优解，则 又因为f是凸函数，所以
取α>0充分小，有
例 如下非线性规划是否为凸规划：
正定， 凸函数
都有：
严格凸函数(充要条件)??
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸
函数的依据.
凸函数
定理4----几何 解释
一个可微函数 是凸函数当且 仅当函数图形 上任一点处的 切线位于曲 线的下方.
定理4----几何 解释
一个可微函数 是凸函数当且 仅当函数图形 上任一点处的 切平面位于曲 面的下方.
凸集---定义
线性组合 (linear Combination) 仿射组合 (Affine Combination) 凸组合 (Convex Combination) 凸锥组合 (Convex Cone Combination)
凸集---定义
例 二维情况下，两点x1, x2 的
(a)线性组合为全平面； (b)仿射组合为过这两点的直线； (c)凸组合为连接这两点的线段； (b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
若对任意的 都有：
及任意的
则称函数
为 上的严格凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
凸函数
几何性质
对一元函数
在几何上
表示连接
的线段．
表示在点
处的
函数值．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点
的线段总是位于曲线弧的上方．
f(X) f(X2)
f(X1)
X1
X X2
f(X) f(X2)
H(S)是包含S 的最小凸集.
凸集-----凸锥 (Convex Cone)
定义 锥、凸锥
凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.4
设
是非空凸集，
若对任意的
及任意的
都有：
则称函数
为 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数
设
是非空凸集，
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件 例：
凸规划
凸规划(Convex Prog设ramming为) 凸集， 为 上的凸函数，
则称规划问题
为凸规划问题．
例：
为 上的凸函数，
为无约束凸规划问题．
例：
凸
规
划
例：
凸规划
凸规划
凸规划的基本性质
定理2.4 (1)凸规划问题的任一局部极小点是全局
极小点，且全体极小点的集合为凸集．
上，
令
则:
(1) 是凸集 上的凸函数的充要条件是对
任意的
一元函数 为 上的凸函数.
(2)设 凸函数，则
若在
上为严格
在 上为严格凸函数．
凸函数
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之 间的部分是一段向下凸的弧．
凸函数
凸函数的判别定理---一阶条件
定理4 设在凸集
上 可微，则：
在 上为凸函数的充要条件是对任意的
g1( X ) , g2 ( X )
半正定， 凸函数
所以，该问题为凸规划。
半正定， 凸函数
如图所示，该问题最优解（最小点）在x*点取得。
X2
X
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方 f(X2)αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
例4.2.1
(a) 凸函数
该定义的一个应用——证明不等式 例：证明
Young不等式
推广：Hölder不等式
而
凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S 中任意有限个点的所有凸组合 所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H(S) i xi xi S, i 0, i 1,2...,m, i 1, m N
i1
i 1
定理2.1.4 H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
集合是凸集： (3)
凸集-----性质
推论：设
是凸集，则
也是凸集，其中 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：
表示 轴上的点．
表示 轴上的点．
则
表示两个轴的所有点，它不是凸集；
凸集---定义
凸集---定义
定义1 设集合 及实数
若对于任意两点 都有：
则称集合 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：
半空间：
凸集----举例
例： 证明超球
为凸集．
证明：设 为超球中的任意两点，
则有：
即点
属于超球, 所以超球为凸集．
凸集-----性质
(1) 任意多个凸集的交集为凸集． (2) 设 是凸集， 是一实数， 则下面的
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
定理5: 设在开凸集
内 二阶可微,则
是 内的凸函数的充要条件为: 对任意
其中：
的Hesse矩 阵
半正定,
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
定理2.3.6: 设在开凸集
内 二阶可微,
若在 内 正定, 则 在 内
是严格凸函数．
注: 反之不成立．
例： f(x)是严格凸的， 但在点 处 不是正定的