高等数学单元测试6——定积分及应用

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高等数学单元测试6——定积分及应用

第一卷 基础练习

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、 函数在上可积的必要条件是在上

A 有界

B 无界

C 单调

D 连续

2、 设()x f 在[]b a ,上可积，下列各式中不正确的是

A

()()dt t f dx x f b a b

a ⎰⎰

= B

()()dx x f dx x f a

a

b

a ⎰⎰

=

C

()()dx x f dx x f a

a

b b

⎰⎰= D ()()dt t f dx x f a

b

b a

⎰⎰-=

3、下列积分中可以用牛顿—莱布尼兹公式计算的是

A dx x x ⎰+5

023

1

B

dx x

x ⎰

--1

1

2

1 C

dx x x ⎰

-4

2

2

3)

5( D dx x x e

e

⎰1ln 1

4、设

()x

x

a

dt t f 20

=⎰，则()x f 等于A x

a

22 B a a

x

ln 2 C 122-x xa D a a x ln 22

5、积分上限函数

()dt t f x

a

⎰是

A 常数

B 函数()x f

C ()x f 的一个原函数

D ()x f 的全体原函数 6、设()x f 为连续函数，则积分dt t t f t n

n

⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

⎰11112等于 A 0 B 1 C n D n

1

7、=⎰

1

arccos x dx

A ⎰0

2

πx

dx

B ⎰2

sin π

dx x x

C dx x x

⎰0

2

sin π

D ⎰2

cos π

dx x x

8、设()x f '在[]2,1上可积，且()11=f ，()12=f ，

()12

1

-=⎰dx x f ，则()='⎰dx x f x 2

1

A 2

B 1

C 0

D -1

9、设函数()x f '在[]b a ,上连续，则曲线()x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于

A

()dx x f b a

⎰ B ()⎰b a

dx x f C ()dx x f b

a

⎰ D {}()()b a a b f <<-'ξξ

10、广义积分

⎰∞

-0

dx e kx 收敛，则k

A 0>k

B 0≥k

C 0

D 0≤k

二、填空题（每小题4分，共28分）

1、

()

dx x ⎰-+0

2

199

12= 。 2、2

3

2=

⎰k

x dx e ，则=k 。 3、()⎰

-=x

t dt te

x f 0

2

在区间 单调减少。

4、已知

()

3

1

2

x dt t f x

=⎰，则()=⎰dx x f 1

2 。 5、dx x x ⎰+-2

244= 。

6、定积分=⎰-11

2sin xdx x 。 7、

=⎰

1

3

x

dx

。

三、解答题

1、 （16分）计算下列定积分

①dx x ⎰

-2

1 ②

dx e x ⎰

-2

ln 0

1

③

dx x x ⎰

-2

1

21

④⎰π

20

2cos xdx x

2、 （8分）判别下列各广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。

①⎰∞

+∞-++222x x dx ②dx x x

⎰-2

1

1

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3、（6分）求函数()()dt t t x f x

⎰

-=0

23在[]4,1-上的最大值和最小值。

4、（6分）曲线x

e y =与x 轴，y 轴以及直线4=x 围成平面区域，试在区间()4,0内找到

一点0x ，使直线0x x =平分以上区域。

5、（6分）求由曲线2

2x y -=，)0(≥=x x y 与直线0=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体体积。

第二卷 提高练习

1、（6分）设()()dt t f a x x x F x

a

⎰-=

2

，其中()x f 为连续函数，则()x F a x →lim =（ ） A 2

a B ()a f a 2

C 0

D 不存在

2、（7分）计算定积分⎰

e

xdx 1

ln sin 。

3、（10分）已知()⎪⎩

⎪⎨⎧<≥=⎰0

0cos 20

x x x tdt

t x f x

，讨论()x f 的连续性，并写出连续区间；考察

在处是否可导？若可导，求()0f '。

4、（10分）设⎰∞

-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a

t

x

x dt te a x a x 2lim ，求a 的值。

5、（10分）求曲线)40(≤≤=x x y 的一条切线，使此切线与直线4,0==x x 及x 轴所

围成的梯形面积最小。

6、（7分）设连续函数()()dx x f x x f e

⎰

-

=1

ln ，证明()e dx x f e

1

1

=⎰