高三上学期期中考试(理科数学)

高三数学（理科）阶段性质量检测试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷．其中第l 卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1.已知函数)1lg()(x x f -=的定义域为M ，函数xy 1=的定义域为N ，则N M ⋂= A.{}01|≠<x x x 且 B.{}01|≠≤x x x 且 C.{}1|>x x D.{}1|≤x x2.如果命题 “)(q p ∨⌝”为假命题，则A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ． p, q 中至多有一个为真命题3.已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 4.设R y x ∈,，则“2≥x 且2≥y ”是“422≥+y x ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件5.已知ααπααcos sin ),0,4(,25242sin +-∈-=则等于 A.51- B.51 C. 57- D.576.设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最大值D ．既无最小值，也无最大值 7.等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A.1 B.2 C.3 D.48.已知向量),4(),2,1(y b x a =-=，若b a ⊥，则yx39+的最小值为 A.2 B.32 C.6 D.99.如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数)0(1>=x xy 图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为 A.2ln B.2ln 1- C.2ln 2- D.2ln 1+10.函数)2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到图象解析式为 A.x y 2sin = B.x y 2cos = C.)32sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 11.在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若0=++PB b PA a AC c ，则ABC ∆的形状为A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形12.已知函数)(x f M 的定义域为实数集R ，满足⎩⎨⎧∉∈=Mx M x x f M ,0,,1)(（M 是R 的非空真子集），在R 上有两个非空真子集A ，B ，且Φ=⋂B A ，则=）（x F 1)()1)(+++⋃x f x f x f B A B A （的值域为A.]320，（ B.{1} C.}13221{，， D.]1,31[第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4个小题，每题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.在ABC ∆中，若C B A cos cos 2sin =，则=+C B tan tan ________.14.函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x f 的图象和函数)1ln()(-=x x g 的图象的交点个数是______________.15.函数)2,0(),3sin(2ππ∈-=x x y 的单调递增区间为____________.16.函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数.例如：函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.给出下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数； ②指数函数)(2)(R x x f x∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数，其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号）三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.（本小题满分12分）已知x x xx x x x f cos sin 22sin 23sin 2cos 23cos )(--=. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）当],2[ππ∈x ，求函数)(x f 的零点.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且2514,,a a a 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*121(),(3)n n n n b n N S b b b n a =∈=++++ ，求n t S >。

19.（本小题满分12分）已知向量),2sin ,1(),3,cos 2(2x n x m ==函数n m x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f 的对称中心；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且32,1,3)(===ab c C f ，且b a >，求b a ,的值.20.（本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x 当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时10000()511450C x x x=+-（万元），每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。

（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21.（本小题满分13分）已知函数)0(12)(2>++-=a b ax ax x g 在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记|)(|)(x g x f =. （1）求实数b a ,的值；（2）若不等式)2()(log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在],[q p 上函数)(x m ，用分法q x x x x x p T n i i =⋯<<<⋯<<=-110：将区间],[q p 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式∑=-≤-ni i M x m x m 1i 1|)()(|恒成立，则称函数)(x m 为在],[q p 上的有界变差函数，试判断函数)(x f 是否为[1，3]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.（参考公式：))()()()(211n ni i x f x f x f x f ⋯++=∑=22.（本小题满分13分）已知函数()()3,ln 2-+-==ax x x g x x x f .（1）求函数()x f 在[]2,+t t （t ＞0）上的最小值；（2）对一切()()()x g x f x ≥+∞∈2,,0恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：对一切()+∞∈,0x ，都有x x ln ＞.2ee x x -高三数学（理科）阶段性质量检测试题参考答案一、选择题 ACCAB BBCDD AB 二、填空题 13.2 14.2 15.)611,65(ππ 16.②③④ 三、解答题17.解：（1）)42cos(22sin 2cos )(π+=-=x x x x f ，故π=T ………………5分 （2）令0)42cos(2,0)(=+=πx x f ，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ，2x ， ………………7分2324492445πππππ=+∴≤+≤∴x x ， ………………9分 故85π=x ，函数)(x f 的零点是85π=x . ………………12分18.解：（1）由题意得2111)4()13)((d a d a d a +=++整理得：212d d a = …………4分)0(2,11舍去解得===d d a)(12*N n n a n ∈-=∴ …………6分（2）)111(21)1(21)3(1+-=+=+=n n n n a n b n n …………8分22)111(21)]111()3121()211[(2121+=+-=+-+-+-=+++=∴n n n n n b b b s n n …………12分19.解：（1）x x x x n m x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=, =1)62sin(22sin 312cos ++=++πx x x . ………………4分令ππk x =+62得，)(122Z k k x ∈-=ππ，∴函数)(x f 的对称中心为)1,122ππ-k （. ………………6分（2）1)62sin(31)62sin(2)(=+∴=++=ππC C C f ， C 是三角形内角，262ππ=+∴C 即：6π=C ……………………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a . 将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：32=a 或4， …………10分 3=∴a 或2，32或=∴b .3,2,==∴>b a b a . ……………………12分21.解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0143(1)2(b a g g ，解得） …………4分（2）由已知可得1||2|)(|)(2+-==x x x g x f 为偶函数，所以不等式)2()(log 2f k f >可化为2log 2>k 解得4104<<>k k 或， ………………8分 （3）函数)(x f 为[1，3]上的有界变差函数。

………………9分 因为函数)(x f 为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分 T ：31110=<⋯<<⋯<<=-n i i x x x x x ，有 )3()()()()()1(110f x f x f x f x f f n n =<<⋯<<=-，所以分，114)1()3()()()()()()()()(|)()(|01112011⋯⋯=-=-=-⋯+-+-=--=-∑f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f n n n ni i i所以存在常数4≥M ，使得∑=-≤-ni i M x m x m 1i 1|)()(|恒成立，所以M 的最小值为4. ………………13分 22.解： 单调递减，时，当)(,0)()1,0(,1ln )()1(x f x f ex x x f <'∈+=' 当单调递增，时，，)(,0)()1(x f x f ex >'∞+∈∴①e t t 120<+<<，t 无解；②210+<<<t e t ，即e t 10<<时，;1)1()(m in e e f x f -==③21+<≤t t e ，即et 1≥时，)(x f 在]2,[+t t 上单调递增，;ln )()(m in t t t f x f == 综上⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=e t t t e t ex f 1,ln 10,1)(min ………………4分 （2）xx x a ax x x x 3ln 2,3ln 22++≤-+-≥则对一切()+∞∈,0x 恒成立。